2.2.2 等差数列的前n项和（一） 课件（41张PPT）

课件41张PPT。 2.2.2 等差数列的前n项和
（第一课时）温故知新1.等差数列的定义2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d如果一个数列从第2项起，后项 - 前项=同一个常数，即an-an-1=d (常数）(n∈N*且 n≥2)那么这个数列就叫做等差数列，d是公差. 推广：an=am+(n-m)d3.等差数列的常用性质
若m+n=p+q，则am+an=ap+aq,
(其中m、n、p、q均为正整数)特别地若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且都等于首末两项之和 ,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a14.课前小测试：（1） 0，1，2，3，4，5，6，… 的公差为＿＿＿＿
（2）等差数列 8，5，2 ， … 的通项公式为＿＿＿＿第 20 项为＿＿＿＿ ．
（3）
在等差数列{an}中a6+a9+a12+a15=20，a1+a20 = ＿＿＿＿ a3+a11=10， a6+a7+a8 =------- 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
1+2+3+4+5+6+7+……=?
数 学 王 子 高 斯 的 故 事 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题：计算从1到100的自然数之和.那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了.谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了.”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小(10岁)的高斯.老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞.为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他.思考：你知道聪明的高斯是怎么计算的吗?？计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… + 98＋ 99 ＋ 100首尾配对
相加法高斯是如何快速的计算1+2+3+ …… +100 = ？101由高斯的算法，我们将它稍作修改得：设S= 1 + 2 + 3 + 4+···+100则S=100+99+98+96+···+1所以2S=101×100=10100
∴S=5050结论：如果一个数列{an} ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法 100个101请你利用倒序相加法求和:1+2+3+4+…+n=?记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1请同学们思考倒序相加法妙在何处？我们能用这种方法求一般等差数列前n项和吗？设在等差数列{an}中前n项分别为 a1,a2,a3,…,an-1, an
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1 (2)
由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1
所以式子(1)+(2) 得 2sn=(a1+an)+(a1+an)+… +(a1+an）
= n(a1+an）下面推导等差数列的前n项和公式即由此得到等差数列{an}的前n项和公式即：等差数列前n项的和等于首末项之和与项数乘积的一半.上面的公式又可以写成比较：两个公式的共同点是须知a1和n,不同点是前者还需知an.后者须知d.解题时需根据已知条件决定选用哪个公式.正所谓：知三求二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1an（2） 1+3+5+…+（2n-1）=（1） 1+2+3+…+n=（3）2+4+6…+2n=上面习题的答案在以后会经常用到。n（n+1）/2 n（n+1）n2 =Sn ==SnSn公式的应用：例1公式的应用：例2
根据下列各题中的条件,求相应的等差数列｛an｝的前n项和Sn解:（3）已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a6＝9.求此数列前6项的和．
（5）．已知等差数列{an}，a1＝50，d＝－2，Sn＝0，则n等于(　　)
A．51 B．50
C．49 D．48 答案：　A（6）.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四 项和是67，求这个数列的和。 观察上面的式子,我们可以看出它是
关于n 的二次函数,从而等差数列的前n
项和可以写成形如: 将等差数列的前n项和公式写成上
述形式,有利于求其前n项和的最值:等差数列前n项和再认识:例3：已知数列{an}是等差数列，且a1= 21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。等差数列的前n项的最值问题变式练习 1.推导等差数列前 n项和公式的方法
课堂小结：2.公式应用中蕴涵的数学思想
-------倒序相加法
-------函数与方程的思想3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知其中三个 量，可以求其余两个量-------知三求二P41第2、3题
反思等差数列的求和方法
预习教材例2、例3、例4课后作业 谢谢大家！
祝大家学习愉快！
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27B3.等差数列{an}前n项和的性质的应用练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴ d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0∴a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0例7的变式题一：等差数列{an}中，首项a1>０，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？例7的变式题二：等差数列{an}的首项a1> 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得法2 ∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.例9：已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值4:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( )
A.12 B.13 C.12或13 D.14C求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得. 1.推导等差数列前 n项和公式的方法
小结方法：2.公式的应用中的数学思想.
-------倒序相加法
-------方程思想3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知
其中三个量，可以求其余两个-------知三求二