解三角形应用举例
第四课时
（1）教学目标
(a)知识和技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
(b)过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点，。
(c)情感与价值：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
（2）教学重点、教学难点
教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题
（3）学法与教学用具
正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式。同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯。
直角板、投影仪
（4）教学设想
设置情境
师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在
ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？
生：h=bsinC=csinB
h=csinA=asinC
h=asinB=bsinaA
师：根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=absinC，大家能推出其它的几个公式吗？
生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB
师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？
生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解
新课讲授
例1、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;
（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
解：（1）应用S=acsinB，得
S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)
(2)根据正弦定理，
=
c =
S = bcsinA = b
A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5
S = 3.16≈4.0(cm)
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB =
=
≈0.7697
sinB = ≈≈0.6384
应用S=acsinB，得
S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm)
例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？
师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。
由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cosB=
=≈0.7532
sinB=0.6578
应用S=acsinB
S ≈681270.6578≈2840.38(m)
答：这个区域的面积是2840.38m。
例3、在ABC中，求证：
（1）
（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab)
=(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
acosA = bcosB
sinC =
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”
师：大家尝试分别用两个定理进行证明。
生1：（余弦定理）得
a=b
c=
根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生2：（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,
A=B
根据边的关系易得是等腰三角形
师：根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？
生：第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90
(2)（解略）直角三角形
课堂练习
课本第21页练习第1、2题
4、归纳总结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
（5）评价设计
1、课本第23页练习第12、14、15题
2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长
四边形ABCD的面积
略解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以
ACD=30 ，又因为BDC=45，所以
DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，
所以 AD=DC=
在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以
= ，BD = =
在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,
所以得 AB=
S= ADBDsin75=
同理， S=
所以四边形ABCD的面积S=
1.3 实习作业?
从容说课
本节适当安排了一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践的能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．?
教学重点 数学模型的建立.?
教学难点 解斜三角形知识在实际中的应用.?
教具准备 测量工具（三角板、测角仪、米尺等）、实习报告??
三维目标
一、知识与技能?
1.解斜三角形应用;?
2.测角仪原理;?
3.数学建模.??
二、过程与方法?
1.进一步熟悉解斜三角形知识;?
2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;?
3.加强动手操作的能力;?
4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力; ?
5.增强数学应用意识.??
三、情感态度与价值观?
1.认识数学在生产实际中的作用;?
2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想.??
导入新课
师 前面几节课，我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用.?
这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题.
推进新课?
（1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度.?
问题（二）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧A、B两点间的距离??
问题（三）：如图(2)，若要测量小河两岸A、B两点间的距离，应怎样测量？?
(1)
(2)??
（2）分析问题：?
师 问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？?
生 根据实际情况，应该采取下列措施：?
1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测量,但改变测量点;4.填写实习报告;5.总结改进方案.?
实习报告（1）?
年 月 日
题目
测量底部不能到达的烟囱AB的高度
测量目标
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
EF长(m)
ED长(m)
α1
α2
计算
∵α3=α2-α1，
，
AC =AD·sinα2，
∴AB=AC +BC=AC+EF
减少误差措施
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
师 对于问题二、问题三中的A、B两点都不能直达，无法用皮尺直接量出，如何间接量出？应再取点C，借助△ABC来测量计算．?
在△ABC中要计算AB的长，应采集哪些数据？如何采集？?
生 问题二中，先选适当位置C，用经纬仪器测出角α，再分别量出AC、BC的长B、A，则可求出A、B两点间的距离．?
生 问题三中，可在小河的一侧，如在点B所在的一侧，选择点C，为了算出AB的长，可先测出BC的长A，再用经纬仪分别测出α、β的值，那么，根据A、α、β的值，就可算出AB的长．?
生 数据运算：?
问题二 计算方法如下：?
在△ABC中，已知AC=B，BC=A,C=α,则由余弦定理得
问题三 计算方法如下：?
在△ABC中，由正弦定理可得，所以.?
实习报告（2）?
题目
测量一水塘两侧A、B两点间的距离
测量目标（附图）
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
AC的长（m）
42.3
41.9
42.1
BC的长（m）
34.8
35.2
35
α
109°2′
108°58′
109°
计算
A、B两点间距离 （精确到0.1m），
AC=42.1 m，?
BC =35 m，?
α=109°??
∴
=
算得AB≈62.9(m)
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
实习报告（3）是对一小河两岸两点实际测量的情况．
实习报告（3）?
题目
测量一小河两侧A、B两点间的距离
测量目标（附图）
测得数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
a的长（m）
48.3
47.9
48.1
α
42°54′
43°6′
43°
β
70°7′
69°53′
69°
计算
A、B两点间距离 （精确到0.1m）：
A=48.1 m，
α=43°，
β=69°
∴
算得AB≈48.4(m)
负责人及参加人
计算者及复核者
指导教师审核意见
备注
课堂小结?
通过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过程中提高利用数学知识解决实际问题的能力,并认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用,增强学习数学的兴趣.??
布置作业?
完成实习报告??
板书设计
实习作业?
提出问题?
分析问题?
实习报告
课堂小结?
布置作业
课件38张PPT。正、余弦定理在三角形中的应用【思考】【点拨】 三角形的面积计算问题
【名师指津】运用三角形面积公式时的注意点：
(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式；
(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式；
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.【特别提醒】特别要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数求角时出现增根错误.【例1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积S.
【审题指导】(1)由三角形的内角和定理可知
再利用两角差的正弦公式解得；(2)△ABC的面积可由面积公式求得.【规范解答】(1)∵ ∴A＜B,
∴
由A+B+C=π，
(2)据正弦定理得【变式训练】在△ABC中，BC=5，AC=4，
cos∠CAD= 且AD=BD，求△ABC的
面积.
【解题提示】由∠CAD的余弦，
我们想到在△CAD中利用余弦定理，求出CD的长，然后再利用正弦定理求出角C的正弦值，根据三角形面积公式求出即可.【解析】设CD=x，则AD=BD=5-x,
在△CAD中，由余弦定理可知，
解得x=1.
∴CD=1，AD=BD=4.
在△CAD中，由正弦定理可知即△ABC的面积为【误区警示】在计算CD和sinC的值时，很容易出现计算错误. 证明三角恒等式
【名师指津】证明三角恒等式需要注意的问题：
解决本类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用.三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解.
【特别提醒】证明三角恒等式一定要正确利用变形公式，不能随便臆造.【例2】在△ABC中，求证：
【审题指导】从左边证右边，化角为边.
【规范解答】左边=
=
=右边，其中R为△ABC外接圆的半径.【互动探究】上述证明方法是化角为边，若证明方法改为化边为角该怎么证明？
【证明】左边= 三角形中的综合问题
【名师指津】解决三角形中的综合问题需要注意：
解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题关键.
【特别提醒】利用正弦定理求角时，要注意角的取值范围；要正确利用三角函数的公式和性质.【例3】在△ABC中， AC=3，sinC=2sinA，
（1）求AB的长；
（2）求sin(2A- )的值.
【审题指导】在△ABC中，运用正弦定理可直接求得AB的
长；再运用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，sin2A，
cos2A，最后利用两角差的正弦公式求得【规范解答】（1）在△ABC中，根据正弦定理，得
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得
于是
从而
cos2A=cos2A-sin2A=【变式训练】（2011·天津高考）在△ABC中，内角A，
B，C的对边分别为a,b,c，已知B=C，
（1）求cosA的值；
（2）求 的值.
【解题提示】运用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，
sin2A，cos2A，最后利用两角和的余弦公式求得【解析】（1）由B=C， 可得
所以，由余弦定理，可得，
（2）∵cosA= A∈(0,π)，
∴
cos2A=2cos2A-1=【例】在△ABC中，AB=5，AC=4，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长.
【审题指导】此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC长为x后，建立关于x的方程. 【规范解答】设BC=x，则由D为BC的中点，可得
在△ADB中，
在△ADC中，
又∠ADB+∠ADC=180°，所以
cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC，
解得 即BC的边长为 【变式备选】在△ABC中，若c=4，b=7,BC边上的中线AD的
长为 求边长a.
【解析】∵AD是BC边上的中线，
∴可设CD=DB=x，则CB=a=2x，
∵c=4，b=7，AD=
∴在△ACD中，在△ABC中，
解得x= ∴a=2x=9. 【典例】（12分）在△ABC中，若B=30°， AC=2,
求△ABC的面积.
【审题指导】先由正弦定理求得C的度数，从而得到A的度数，利用三角形面积公式求得三角形面积.【规范解答】∵ AC=2，B=30°，
∴根据正弦定理，有 ……2分
又∵AB＞AC，∴C＞B，则C有两解，…………………… 3分
（1）当C为锐角时，C=60°，A=90°
………………………… 7分
（2）当C为钝角时，C=120°，A=30°
……………………………11分
综上可知，△ABC的面积为 …………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】设在△ABC中， b=1，A=60°，求角B，边c及△ABC的面积S△ABC.
【解析】在△ABC中， b=1，A=60°，
由正弦定理，得
∵0°＜B＜180°，且b
∴C=90°.
由正弦定理，得
△ABC的面积1.在△ABC中， A=45°，则△ABC外接圆的半径R等
于（ ）
(A)1 (B)2 (C)4 (D)无法确定
【解析】选A.∵ ∴R=1.2.在△ABC中，若C=60°， 则BC边上的高等于( )
(A) (B) (C) (D)6
【解析】选D.BC边上的高等于bsinC=6.3.△ABC的周长为20，面积为 A=60°，则BC的边长等
于（ ）
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【解析】选C.由题知a+b+c=20，
∴bc=40，
a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,
解得a=7.4.在△ABC中，a=4，b=2，C=45°，则S△ABC=_______.
【解析】S△ABC=
=
答案：5.若△ABC的面积为 c=2，A=60°，求a，b的值.
【解析】∵
∴b=1，由余弦定理，得
a2=b2+c2-2bccosA
=12+22-2×1×2× =3，课时训练4 三角形中的几何计算
一、与三角形面积有关的计算
1.在△ABC中,c=3,b=1,B=30°,则△ABC的面积为 ( )
A.32或3 B.32或34
C.3或34 D.3
答案:B
解析:由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B,
即1=a2+3-23acos 30°,
化简得a2-3a+2=0.
∴a=1或a=2.
又S△ABC=12acsin B=34a,
∴S△ABC=34或32.
2.钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=( )
A.5 B.5 C.2 D.1
答案:B
解析:根据三角形面积公式,得12BA·BC·sin B=12,即12×1×2×sin B=12,
得sin B=22,其中C若B为锐角,则B=π4,所以AC=1+2-2×1×2×22=1=AB,易知A为直角,此时△ABC为直角三角形,不符合题意,所以B为钝角,即B=3π4,所以AC=1+2-2×1×2×-22=5.
3.(2018山东威海高二期中,10)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,2sin2A+π6=1,b=1,△ABC的面积是32,则边c等于( )
A.2 B.3 C.23 D.27
答案:A
解析:∵sin2A+π6=12,A∈(0,π),
∴2A+π6=5π6,可得A=π3.
∵b=1,△ABC的面积为32.
∴S=12bcsin A=32,即12×1×c×32=32,
解得c=2,故选A.
4.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积等于 .?
答案:23
解析:在△ABC中,根据正弦定理,得ACsinB=BCsinA,
所以4sinB=23sin60°,解得sin B=1.
因为B∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30°
所以△ABC的面积S△ABC=12·AC·BC·sin C=23.
5.(2018河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b=2csin B.
(1)求角C的大小;
(2)若c2=(a-b)2+6,求△ABC的面积.
解:(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,及3b=2csin B,
得3sin B=2sin Csin B,
∵sin B≠0,∴sin C=32.
∵C为锐角,∴C=60°.
(2)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a-b)2+ab,
∵c2=(a-b)2+6,∴ab=6.
则S△ABC=12absin C=332.
二、三角形中的有关计算
6.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB的长为( )
A.5 B.52
C.53 D.56
答案:D
解析:在△ACD中,cos C=AC2+DC2-AD22·AC·DC=142+62-1022×14×6=1114.
∴sin C=5314.
在△ABC中,由正弦定理得ABsinC=ACsinB,
∴AB=AC·sinCsinB=14×531422=56.
7.如图,四边形ABCD中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为 .?
答案:53
解析:连接BD,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos 120°
=4+4+4,
∴BD=23.
S四边形=S△ABD+S△BCD
=12×4×23+12×2×2sin 120°=53.
8.(2018福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD中,AB=32,AC=6,∠ACB=45°.
(1)求∠ACB的大小;
(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD的长.
解:(1)在△ABC中,由正弦定理,得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB,
即6sin∠ABC=32sin45°.
整理,得sin∠ABC=1,则∠ABC=90°.
(2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°,
又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°.
在△ABD中,∠ADB=180°-105°-30°=45°,
由正弦定理ADsin∠ABD=ABsin∠ADB,
得AD=12×3222=3,
在△ABD中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=9+36-18=27,
∴CD=33.
三、与三角形有关的证明问题
9.在△ABC中,求证:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.
证明:右边=sinAcosB-cosAsinBsinC
=sinAsinC·cos B-sinBsinC·cos A
=ac·a2+c2-b22ac?bc·b2+c2-a22bc
=a2-b2c2=左边,
故结论成立.
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:ab?ba=ccosBb-cosAa.
证明:由余弦定理的推论得cos B=a2+c2-b22ac,cos A=b2+c2-a22bc,代入等式右边,得
右边=ca2+c2-b22abc-b2+c2-a22abc
=2a2-2b22ab=a2-b2ab=ab?ba=左边,
∴ab?ba=ccosBb-cosAa.
(建议用时:30分钟)
1.已知方程x2sin A+2xsin B+sin C=0有重根,则△ABC的三边a,b,c的关系满足( )
A.b=ac B.b2=ac
C.a=b=c D.c=ab
答案:B
解析:由方程有重根,∴Δ=4sin2B-4sin Asin C=0,
即sin2B=sin Asin C,∴b2=ac.
2.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=3,则角A的对边的长为( )
A.57 B.37 C.21 D.13
答案:D
解析:∵S△ABC=12bcsin A=12×1×c×sin 60°=3,
∴c=4.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos 60°=1+16-2×4×12=13.
∴a=13.
3.在△ABC中,已知a=32,cos C=13,S△ABC=43,则b=( )
A.3 B.23 C.43 D.32
答案:B
解析:在△ABC中,sin C=1-cos2C=223,
则由S△ABC=12absin C,得12×32×223×b=43,∴b=23.
4.(2018河南南阳高二期中,5)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知三角形ABC的面积S=a2+b2-c24,则C的大小是( )
A.45° B.30° C.90° D.135°
答案:A
解析:∵△ABC中,S=12absin C,a2+b2-c2=2abcos C,且S=a2+b2-c24,
∴12absin C=12abcos C.
整理,得sin C=cos C,即tan C=1,则C=45°.
故选A.
5.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为32,则b等于( )
A.1+3 B.1+32
C.2+32 D.2+3
答案:A
解析:由12ac·sin 30°=32,得ac=6,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos 30°
=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,
∴b=3+1.
6.在△ABC中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC边上的中线AD的长为 .?
答案:3
解析:∵AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos 60°=3,
∴AD=3.
7.在△ABC中,BC=2,B=π3,当△ABC的面积等于32时,sin C= .?
答案:12
解析:由三角形的面积公式S=12AB·BCsinπ3=32,易求得AB=1,由余弦定理得AC=3,再由三角形的面积公式S=12AC·BCsin C=32,即可得出sin C=12.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=2a,则a与b的大小关系是 .?
答案:a>b
解析:由正弦定理得,asinA=csinC.
∴sin A=asinCc=asin120°2a=322=64>12.
∴A>30°,则B<30°.∴a>b.
9.(2018陕西高考,理17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.
(1)解:因为m∥n,所以asin B-3bcos A=0.
由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0.
又sin B≠0,从而tan A=3.
由于0(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=7,b=2,A=π3,
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0.
因为c>0,所以c=3.
故△ABC的面积为12bcsin A=332.
解法二:由正弦定理,得7sinπ3=2sinB,
从而sin B=217.
又由a>b,知A>B,所以cos B=277.
故sin C=sin(A+B)=sinB+π3
=sin Bcosπ3+cos Bsinπ3=32114.
所以△ABC的面积为12absin C=332.
10.△ABC的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,asin Asin B+bcos2A=2a.
(1)求ba;
(2)若c2=b2+3a2,求B.
解:(1)由正弦定理,得sin2Asin B+sin Bcos2A=2sin A,
即sin B(sin2A+cos2A)=2sin A.
故sin B=2sin A,所以ba=2.
(2)由余弦定理和c2=b2+3a2,
得cos B=(1+3)a2c.
由(1)知b2=2a2,故c2=(2+3)a2.
可得cos2B=12,
又cos B>0,故cos B=22,所以B=45°.
课件32张PPT。第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用自主学习 新知突破1．掌握三角形的面积公式．
2．利用面积公式、正、余弦定理及三角函数公式求解综合问题．在△ABC中，若AC＝5，BC＝4，∠C＝30°.
[问题1] △ABC的面积为多少？
[问题2] △ABC的面积能否用三角形的两边及其夹角的正弦来表示呢？
[提示] 能． 三角形的面积的计算公式
解三角形面积问题的注意事项：
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．答案： B答案： B答案： 3合作探究 课堂互动 有关三角形的面积问题[思路点拨] 解答本题先利用余弦定理列出关于b，c的方程，再求解．
1．已知△ABC中，A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c，sin B及△ABC的面积． 三角形中线段长度的计算 解决此类问题要处理好两个方面
(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形．
(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．解题时应两方面结合，明确解题思路． 三角形中的综合问题[思路点拨] 此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质． 【错因】 本题没有注意到AB>AC，所以C>B，从而C有两解．谢谢观看！