1.3 勾股定理的应用(要点讲解+当堂检测+答案)

北师大版数学八年级上册同步学案
第一章　勾股定理
3　勾股定理的应用
要 点 讲 解
要点一　确定几何体上的最短路线
1. 柱体和长方体的展开图是一个长方形.
2. 求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解.
经典例题1　有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)
解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短).由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.
点拨：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定.
要点二　利用勾股定理解决生活中的长度问题
1. 由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题.在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决.
2. 勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形.在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解.因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题.
经典例题2　小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.
解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程.解方程求得结论.
解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米.依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米.
易错易混警示　将长方体展开时，忽视展开方式不唯一
对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离.
经典例题3　有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离.(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)

解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；
同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；
由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.
因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.

图(1) 图(2) 图(3)
点拨：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线.
当 堂 检 测
1. 为迎接国庆的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开联欢晚会.小刘搬来一架长5米的木梯，准备把拉花挂到3米高的墙上，则梯子底端与墙脚之间的距离应为(　　)
A. 4米 B. 3米 C. 5米 D. 6米
2. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大伸长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是(　　)
A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米
3. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，请你帮张大爷分析一下，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？(　　)
A. 一定不会 B. 可能会
C. 一定会 D. 以上答案都不对

第3题 第4题
4. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是(　　)
A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤13
5. 如图，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，现用绳子从A开始缠绕，沿长方体表面经BD到达C处，则需要绳子的最短长度是(　　)
A. 4cm B. 5cm C. 5.5cm D. 6cm

第5题 第6题
6. 如图，一个游泳爱好者要横跨一条宽AC＝8m的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了BC＝6m，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为 m.
7. 有一个圆柱，它的高为9厘米，底面周长为24厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁要沿侧面到上底面B点取食物，问它爬行的最短路程是多少厘米？

当堂检测参考答案
1. A 2. A 3. A 4. A 5. B
6. 10
7. 解：画圆柱侧面展开图如图，依题意得AD＝12厘米，BD＝9厘米，在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋