第一章 解斜三角形
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学过程
1[创设情景]
如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
2[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
β
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3[例题分析]
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
五巩固深化反馈研究
1已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） :
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ D
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4-3 D 8-8
（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
六，课堂小结（有学生自己总结）
七 板书设计略
五 [课堂小结]（由学生归纳总结）
1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。
【典例解析】一 新课导入，推导公式
（1）直角三角形中
（2）斜三角形中
正弦定理是
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
【达标练习】
已知ΔABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（） :
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ D
（2）已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4-3 D 8-8
-（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则
则a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
参考答案
【预习达标】
1．a,b,. 2.bsinA asinB ,, ,=.
3. .bsinA asinB ,, =.
【典例解析】
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C
同理可得， b a
从而 A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴
∴，即
同理，过点C作，可得
从而
类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
例1解：根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得，，
两式相除得
【双基达标】
1．（1）C（2）D（3）=.（4）36-12
12-24（5）2, 2.5, 3
，
2．证明：设，则
§1.1.2 正弦定理
【三维目标】：
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】：新授课
四教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？
二、例题讲解
例 1试推导在三角形中 ===2R其中R是外接圆半径
证明 如图所示，∠＝∠
∴ 同理，
∴===2R
例2 在
：∵，为锐角，
∴
例3
解
，
五、巩固深化，反馈矫正
1试判断下列三角形解的情况：
已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在中，三个内角之比，那么等于____
4.在中，, B=135 C=15 a=5则此三角形的最大边长为_____
5在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____
6.在中，已知，求的度数
六、小结
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；
（2）==等价于=，=，=，即可得正弦定理的变形形式：
1）；
2）；
3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如。
一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．
外接圆法）如图所示，∠＝∠
a=bsinA有一解 a>bsinA有两解 a>b 有一解 a>b有一解
七板书设计 略
1.1.2正弦定理学案
— 预习达标
1 正弦定理的内容是——————————————————
2 在三角形ABC中已知c=10 A=450 C=300，则边a=---------，边b=-------，角B=------
3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，则角B=-------------（可借助计算器）
二 典例解析
例 1试推导在三角形中 ===2R其中R是外接圆半径
例2 在
例3
三 达标练习
1试判断下列三角形解的情况：
已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在中，三个内角之比，那么等于____
4.在中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
5.在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_____
6.在中，已知，求的度数
学案答案
一预习达标1 == 2 10 ， 5+5 3 64 或116
二典例解析
例1证明 如图所示，∠＝∠
∴ 同理，
∴===2R
例2 在
：∵，为锐角，
∴
例3
第一章 解三角形
§1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理(一)
课时目标
1．熟记正弦定理的内容；
2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．
1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.
2．在Rt△ABC中，C＝，则＝sin_A，＝sin_B.
3．一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是三角形外接圆的直径2R.
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则
a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4
C．3∶4∶5 D．1∶∶2
答案 D
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
答案 C
解析 由正弦定理＝，
得＝，∴b＝2.
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
答案 A
解析 sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．
4．在△ABC中，若sin A>sin B，则角A与角B的大小关系为( )
A．A>B B．A
C．A≥B D．A，B的大小关系不能确定
答案 A
解析 由sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B等于( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
答案 C
解析 由＝得sin B＝
＝＝.
∵a>b，∴A>B，B<60°
∴B＝45°.
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
答案 A
解析 ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)
＝sin(30°＋C)＝，
即sin C＝－cos C.
∴tan C＝－.
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
二、填空题
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则C＝_________.
答案 75°
解析 由正弦定理得＝，∴sin A＝.
∵BC＝2∴C＝75°.
8．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
答案
解析 ∵tan A＝，A∈(0°，180°)，∴sin A＝.
由正弦定理知＝，
∴AB＝＝＝.
9．在△ABC中，b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
答案 1
解析 由正弦定理，得
＝，
∴sin B＝.∵C为钝角，
∴B必为锐角，∴B＝，
∴A＝.
∴a＝b＝1.
10．在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝______.
答案 30°
解析 ∵b＝2a∴sin B＝2sin A，又∵B＝A＋60°，
∴sin(A＋60°)＝2sin A
即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，
化简得：sin A＝cos A，∴tan A＝，∴A＝30°.
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
解 ∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，
∴c＝＝＝＝2＋2.
12．在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解 a＝2，b＝6，a又因为bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．
答案
解析 ∵sin B＋cos B＝sin(＋B)＝.
∴sin(＋B)＝1.
又0由正弦定理，得sin A＝＝＝.
又a14．在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求的取值范围．
解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<90°，
即∴30°由正弦定理知：＝＝＝2cos B∈(，)，
故的取值范围是(，)．
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.
A为锐角
aa＝bsin A
bsin A
a≥b
无解
一解(直角)
两解(一锐角，
一钝角)
一解(锐角)
A为直角
或钝角
a≤b
a>b
无解
一解(锐角)
1.1.1 正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2．三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
2．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：＝＝，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A. B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.
答案 D
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C.
∴04．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 A
解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3
C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
答案 B
解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴＝＝.
令＝＝＝k (k>0)，
则，解得.
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2
C. D．4
答案 A
解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
答案 2
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
答案 12 6
解析 ＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立，即＝.
12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
解 设三角形外接圆半径为R，则a2tan B＝b2tan A
?＝
?＝
?sin Acos A＝sin Bcos B
?sin 2A＝sin 2B
?2A＝2B或2A＋2B＝π
?A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
答案 C
解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，
∴＝
＝
＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，
cos ＝，求△ABC的面积S.
解 cos B＝2cos2 －1＝，
故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
1．在△ABC中，有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)＋＝；
(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.
2．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．
1.1 正弦定理和余弦定理?
1.1.1 正弦定理??
从容说课
本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．?
教学重点1.正弦定理的概念；?
2.正弦定理的证明及其基本应用．
教学难点1.正弦定理的探索和证明；?
2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．?
教具准备直角三角板一个??
三维目标
一、知识与技能?
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；?
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．??
二、过程与方法?
1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；?
2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；?
3.进行定理基本应用的实践操作．??
三、情感态度与价值观?
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；?
2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．??
教学过程
导入新课?
师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．?
师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？?
生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．?
师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？?
师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=sinA， =sinB，又sinC=1=,则.从而在直角三角形ABC中，
.
推进新课
[合作探究]?
师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）?
生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：?
如右图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=AsinB=BsinA,则，同理，可得.从而.
（当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）?
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即?
.?
师是否可以用其他方法证明这一等式？?
生可以作△ABC的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明这一关系．?
师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法.
在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结BO并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，
∴sinC=sinB′=.?
∴.?
同理,可得.?
∴.?
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式?
.?
点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.?
[知识拓展]?
师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢??
生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角.?
师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢??
生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.?
师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.?
师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得?
而添加垂直于的单位向量j是关键,为了产生j与?、、的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.?
师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.?
点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.?
(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.?
向量法证明过程:?
(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于,则j与的夹角为90°?-A,j与的夹角为90°-C.?
由向量的加法原则可得?
,?
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到
由分配律可得
.?
∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).?
∴AsinC=CsinA.?
∴.?
另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与的夹角为90°+B,可得.?
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与的夹角为90°-C,j与的夹角为90°-B)?
∴.?
(2)△ABC为钝角三角形,不妨设A＞90°,过点A作与垂直的单位向量j,则j与?的夹角为A-90°,j与的夹角为90°-C.?
由,得j·?+j·=j·,?
即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°),?
∴AsinC=CsinA.?
∴
另外,过点C作与垂直的单位向量j,则j与的夹角为90°+C,j与夹角为?90°+B.
同理,可得.?
∴（形式1）.?
综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立.?
师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.?
[教师精讲]?
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；?
（2）
等价于 (形式2).?
我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.
①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P4的例1就属于此类问题.?
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．?
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．?
师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.?
［例题剖析］?
【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.?
分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可.?
解：根据三角形内角和定理，?
C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;?
根据正弦定理，?
b=≈80.1(cm);?
c=≈74.1(cm).?
[方法引导]?
(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.?
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.?
【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）．?
分析:此例题属于BsinA＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.?
解：根据正弦定理，?
sinB =≈0.899 9.?
因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.?
（1）当B≈64°时，?
C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，?
C =≈30(cm).?
（2）当B≈116°时，?
C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，?
C=≈13(cm).?
[方法引导]?通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.?
变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A≥B这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.?
解：已知B∵sinB=≈0.513 1,?
∴B≈31°.?
∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.?
∴C=≈91.?
[方法引导]?
同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.?
变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形.?
解：∵sinB=≈0.618 6,?
∴B≈38°或B≈142°(舍去).?
∴C =180°-（A+B）=22°.?
∴ C =≈12.
[方法引导]?(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.?
(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.?
(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.?
师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：?
1.在△ABC中(结果保留两个有效数字)，?
(1)已知C =,A =45°,B=60°，求B;?
(2)已知B＝12,A＝30°,B＝120°,求A.?
解：(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，?
，?
∴B =≈1.6.?
(2)∵，?
∴A =≈6.9.?
点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心.?
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):?
(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;?
(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.?
解： (1) ∵.?
∴sinA =≈0.909 1.?
∴A1≈65°，A2≈115°.?
当A1≈65°时，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°，?
∴C1=≈22.?
当A2≈115°时，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°,?
∴C2=≈13.?
(2)∵sinB=≈0.505 1,?
∴B1≈30°，B2≈150°.?
由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角).?
∴C=180°-(45°+30°)=105°.?
∴C=≈38.?
(3)∵,?
∴sinB=≈0.654 6.?
∴B1≈41°,B2≈139°.?
由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°应舍去.?
∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°,?
A=≈24.?
(4) sinB= =1.212＞1.?
∴本题无解.?
点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.??
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形.??
布置作业
（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.?
（二）预习内容：课本P5～P 8余弦定理
[预习提纲]?
(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.?
(2)余弦定理如何与向量产生联系.?
(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.??
板书设计
正弦定理?
1.正弦定理:? 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:
(1)平面几何法? (1)已知两角和一边?
(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角
课件36张PPT。 基础知识是形成学科能力的源头，本栏目根据课标要求，精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、易错处及时提醒，多策并举，夯实基础，要求学生动手填一填吧！【思考】【点拨】 核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力，请引导学生进入探究空间吧！ 正弦定理的基本应用
【名师指津】正弦定理主要用于解决下列两类解三角形的问题：
（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.
（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：【特别提醒】判断三角形解的个数也可由“三角形中大边
对大角”来判定(A为锐角)：若a≥b,则A≥B，从而B为锐
角，有一解；若a 的值.①sinB>1，无解；②sinB=1，一解；
③sinB<1，两解.【例1】已知在△ABC中， B=45°，解这个三角形.
【审题指导】在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.【规范解答】由正弦定理及已知条件有 得
因为a>b，所以A>B，又 ∴A=60°或120°，
当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°，
当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°，
综上可知：A=60°,C=75°,
或A=120°，C=15°，【互动探究】若将本例中的条件 改为
其他条件不变，本例答案又如何?
【解题提示】由条件可知a 因为a∴A=30°，∴C=180°-45°-30°=105°， 判断三角形的形状
【名师指津】判断三角形形状的方法
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定.在正弦定理的推广中，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化边为角的主要工具.
【特别提醒】正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主要方法，要注意灵活运用正弦定理的变形.【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
试判断△ABC的形状.
【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、
2RsinC来代替是解决本题的关键.【规范解答】由正弦定理
（R为△ABC外接圆的半径）得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入 中，可得
所以，tanA=tanB=tanC.
又因为A、B、C是△ABC的内角，
所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形.【变式训练】在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、
c，且 试判断△ABC的形状.
【解题提示】结合正弦定理，将已知等式变形，寻找角B、C之间的关系，求出角B、C，从而判断三角形的形状.【解析】方法一：由
得
∴sinB=cosB，即 ∴B=45°，
同理，C=45°.
∴A=180°-B-C=90°.
所以△ABC为等腰直角三角形.方法二：由 得
(*)
把a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)，代入(*)，得
2R=2RtanB=2RtanC，∴tanB=tanC=1，
又0°＜B，C＜180°，∴B=C=45°，A=90°，
所以△ABC为等腰直角三角形. 利用正弦定理证明等式
【名师指津】利用正弦定理证明等式应注意：
观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，此时题目完全转化成三角函数的运算了.可见，三角形中的三角函数问题也是解三角形过程中经常遇到的.
【特别提醒】要注意灵活应用正弦定理的变形公式.【例】在任意△ABC中，求证：a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.
【审题指导】本题要求证的式子中既有角也有边，可考虑把边统一化为角或把角统一化为边.【规范解答】方法一：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=2RsinA·(sinB-sinC)+2RsinB·(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinAsinB+sinAsinC-sinBsinC)=0=右边,原等式得证.
方法二：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=
bc-ab+ac-bc)=0=右边，原等式得证.【变式备选】在△ABC中，若
求证：a+c=2b.
【证明】∵
∴
即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
即sinA+sinC=2sinB,∴a+c=2b. 规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和良好的规范答题习惯。【典例】(12分)在△ABC中，已知 c=1，B=45°，求
a、A、C.
【审题指导】可利用正弦定理求解，但要注意判断三角形解的个数.【规范解答】由正弦定理得，
…………………………2分
由c∴A=180°-30°-45°=105°………………………7分
再由正弦定理得，
……………………10分
所以 A=105°，C=30°…………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，已知A=45°，a=2，
求B.
【解析】根据正弦定理 得
∵b是( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选A.sinA∶sinB=a∶b=5∶3.2.在△ABC中，已知 c=10，A=30°，则B=( )
(A)105° (B)60°
(C)15° (D)105°或15°
【解析】选D.
∵c>a,∴C>A，∴C=45°或135°，∴B=105°或15°.3.在△ABC中，若B=2A， 则A=_______.
【解析】∵
故A=30°.
答案：30°4.在△ABC中，A=30°，C=45°， 则边a=______.
【解析】在△ABC中，由正弦定理 得
答案：15.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为多少？
【解析】根据三角形中“大角对大边”可知，此三角形的最大边为b，
由B＝135°，C＝15°，可得A=30°，
根据正弦定理
所以
故此三角形的最大边长为课时训练1 正弦定理
/
一、正弦定理变形的应用
1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是( )
A.
??
cos??
=
??
cos??
B.
??
??
=
sin??
sin??
C.asin B=bcos A D.a=bsin A
答案:B
解析:在△ABC中,由正弦定理得
??
sin??
=
??
sin??
,即
??
??
=
sin??
sin??
.
2.(2018山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )
A.3∶2∶1 B.
3
∶2∶1
C.
3
∶
2
∶1 D.2∶
3
∶1
答案:D
解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=
π
6
,故A=
π
2
,B=
π
3
,C=
π
6
.
∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶
3
2
∶
1
2
=2∶
3
∶1.故选D.
3.在△ABC中,A=60°,a=3,则
??+??+??
sin??+sin??+sin??
等于( )
A.
8
3
3
B.
2
39
3
C.
28
3
3
D.2
3
答案:D
解析:利用正弦定理及比例性质,得
??+??+??
sin??+sin??+sin??
=
??
sin??
=
3
sin60°
=
3
3
2
=2
3
.
二、利用正弦定理解三角形
4.(2018山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于( )
A.4
6
B.4
5
C.4
3
D.
22
3
答案:A
解析:∵B=60°,C=75°,
∴A=180°-60°-75°=45°.
∴由正弦定理可得b=
??sin??
sin??
=
8×sin60°
sin45°
=4
6
.
故选A.
5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=
2
,b=
3
,B=60°,那么A=( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.60°
答案:A
解析:由正弦定理可得sin A=
2
2
,但a6.(2018河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为( )
A.(2
3
,4) B.(2,4)
C.(4,+∞) D.(2
3
,4)
答案:B
解析:∵满足条件的△ABC有两解,
∴ABsin 30°∴27.在△ABC中,a=
3
,b=
2
,B=45°,则A= .?
答案:60°或120°
解析:由正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
,得sin A=
3
2
.
∵a>b,∴A=60°或A=120°.
8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.
解:∵B=120°,C=15°,
∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.
∵B最大,∴b最大.
由正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
,得
b=
??sin??
sin??
=
5×sin120°
sin45°
=
5
6
2
.
9.在△ABC中,已知a=2,c=
6
,C=
π
3
,求A,B,b.
解:∵
??
sin??
=
??
sin??
,∴sin A=
??sin??
??
=
2
2
.
∵c>a,∴C>A.∴A=
π
4
.
∴B=
5π
12
,b=
??sin??
sin??
=
6
×sin
5π
12
sin
π
3
=
3
+1.
三、判断三角形形状
10.(2018河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案:B
解析:∵bcos C+ccos B=asin A,
∴由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,
即sin(B+C)=sin Asin A,可得sin A=1,
故A=
π
2
,故三角形为直角三角形.
故选B.
11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案:C
解析:由b=2ccos A,根据正弦定理,
得sin B=2sin Ccos A,
∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
代入上式,可得sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,
即sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,
又-π∴A-C=0,即A=C.
同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.
12.(2018山东威海高二期中,7)在△ABC中,若
??
cos
??
2
=
??
cos
??
2
=
??
cos
??
2
,则△ABC的形状是( )
A.直角三角形
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案:C
解析:∵
??
sin??
=
??
sin??
=
??
sin??
,
∴
??
cos
??
2
=
??
cos
??
2
=
??
cos
??
2
,
可化为
sin??
cos
??
2
=
sin??
cos
??
2
=
sin??
cos
??
2
,
即sin
??
2
=sin
??
2
=sin
??
2
.
∵A,B,C均为三角形的内角,
∴A=B=C.
即△ABC为等边三角形.故选C.
/
(建议用时:30分钟)
1.(2018福建厦门高二期末,3)在△ABC中,若A=30°,B=45°,BC=
2
,则AC等于( )
A.
2
3
3
B.2 C.1 D.
3
2
答案:B
解析:由正弦定理可得
????
sin??
=
????
sin??
,
从而有AC=
????sin??
sin??
=
2
×sin45°
sin30°
=2,故选B.
2.在△ABC中,已知a=5
2
,c=10,A=30°,则B等于0( )
A.105° B.60°
C.15° D.105°或15°
答案:D
解析:由正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
,得
10
sin??
=
5
2
sin30°
,sin C=
2
2
.
∵a再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos A=bsin B,则sin Acos A+cos2B=( )
A.-
1
2
B.
1
2
C.-1 D.1
答案:D
解析:根据正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
=2R得,
a=2Rsin A,b=2Rsin B,
∴acos A=bsin B可化为sin Acos A=sin2B.
∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.
4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cos A=
3
4
,则
??
??
的值为( )
A.2 B.
1
2
C.
3
2
D.1
答案:C
解析:由正弦定理得
??
??
=
sin??
sin??
=
sin2??
sin??
=
2sin??cos??
sin??
=2cos A=
3
2
.
5.在△ABC中,b=2
2
,a=2,且三角形有解,则A的取值范围是( )
A.0°C.60°答案:B
解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤
2
2
.
又a6.在△ABC中,若a=3,b=
3
,A=60°,则角C的大小为 .?
答案:90°
解析:由正弦定理得,
??
sin??
=
??
sin??
,从而
3
3
2
=
3
sin??
,
即sin B=
1
2
,∴B=30°或B=150°.
由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.
∴C=180°-60°-30°=90°.
7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2
3
asin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是 .?
答案:等边三角形
解析:由正弦定理可将3b=2
3
asin B化为3sin B=2
3
sin Asin B.∴sin A=
3
2
.
∵△ABC为锐角三角形,∴A=
π
3
.
又∵cos B=cos C,0π
2
,0π
2
,∴B=C.
∴△ABC为等边三角形.
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=
1
2
b,且a>b,则B= .?
答案:
π
6
解析:由正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
=
??
sin??
=2R,
得2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=
1
2
×2Rsin B.
由01
2
,
即sin(π-B)=sin B=
1
2
.
因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=
π
6
.
9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.
解:由已知得
??
2
sin??
cos??
=
??
2
sin??
cos??
,
由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径),
∴
4
??
2
si
n
2
??sin??
cos??
=
4
??
2
si
n
2
??sin??
cos??
.
∴sin Acos A=sin Bcos B.
∴sin 2A=sin 2B.
又A,B为三角形的内角,
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=
π
2
.
∴△ABC为等腰或直角三角形.
10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=2
3
,A=30°,求ac的值.
解:由正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
得
sin B=
??sin??
??
=
6sin30°
2
3
=
3
2
.
由条件b=6,a=2
3
,知b>a,所以B>A.
∴B=60°或120°.
(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.
在Rt△ABC中,C=90°,a=2
3
,b=6,则c=4
3
,
∴ac=2
3
×4
3
=24.
(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有a=c=2
3
.
∴ac=2
3
×2
3
=12.
课件48张PPT。第 一 章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理 自主学习 新知突破1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用．
2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．教学目标1．如图，在Rt△ABC中，A＝60°，斜边c＝4，
[问题1] △ABC的其他边和角为多少？2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.[提示] 相等．(1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(2)表达式：______________________.正弦定理(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 解三角形
3．利用正弦定理解三角形的注意事项：
(1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
(2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时常结合几何作图进行判断．1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．
答案： B答案： C 4．根据下列条件，解△ABC.
(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a；
(2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.合作探究 课堂互动 已知两角及一边解三角形 在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.
[思路点拨] 解决本题可先利用三角形内角和定理求C，再利用正弦定理求b. 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． 1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. 已知两边及一边的对角解三角形[思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角． 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角．当已知大边对的角时，可判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断． 判断三角形的形状 在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
[思路点拨] 已知等式中既有边又有角，可以利用正弦定理把边化为角，再利用角之间的关系判断△ABC的形状． (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 3．在△ABC中，若b＝acos C，试判断该三角形的形状． 判断三角形解的情况 在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．
(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝90°；
[思路点拨] 画出示意图结合大边对大角，判定解的个数． (1)三角形解的情况
已知两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表：
(2)在三角形中，a>b?A>B，而由正弦定理可得a>b?sin A>sin B．所以，在三角形中，sin A>sin B?A>B.因此判断三角形解的个数问题也可以用上述结论．
【错因】 这位同学在解题过程中，犯了一个“致命”的错误．已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，没有借助大边对大角作出判断，从而导致解题结果不全面的情况．解答此类问题时要特别小心，除用以上说明的方法作出判断外，有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失根问题的出现．谢谢观看！