课题: 1．1．2余弦定理
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重、难点】
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】
[创设情景] C
如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设，，，那么，则
C B
从而 (图1．1-5)
同理可证
于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即
思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
【典例分析】
例1．在ABC中，已知，，，求b及A
⑴解：∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos
∴
解法二：∵sin
又∵＞
＜
∴＜，即＜＜
∴
评述：解法二应注意确定A的取值范围。
【变式训练1】
．在△ABC中，若，则
解：
例2．在ABC中，已知，，，解三角形
（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
例3. 例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以
（3）
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
【变式训练2】
在△ABC中，，求。
解：
，而
所以
【课堂演练】
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
解： 设中间角为，则为所求
答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
解：长为6的边所对角最大，设它为， 则
答案：A
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
解：设顶角为C，因为，
由余弦定理得：
答案：D
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
解：由得即
,又B为△ABC的内角，所以B为或
答案：D
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
解： ，为最大角，
答案：C
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案：C
[课堂小结]
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。
§1．1．2余弦定理
【课前学案】
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理得c2= = = ；同理得a2= ；b2= 。
2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。
【典例解析】
在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精确到0.1）
例2 三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精确到0.1）
例3已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
【双基达标】
1. 已知a,b,c是三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（ ）
A. 60o B. 90o C. 120o D.150o
2．已知的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3．已知，求证：
（1）如果=，则∠C为直角；
（2）如果>，则∠C为锐角；
（3）如果<，则∠C为钝角.
4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。
5．在△ABC中，已知，求△ABC的面积
6．在,求
（1）
（2）若点
【典例解析】
例1（见教材）
例2（见教材）
例3解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得
由余弦定理，得
，所以．
【课堂演练】
1．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4.在中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则角B的值为（ ）
A. B. C.或 D. 或
5．在△ABC中，若，则最大角的余弦是（ ）
A． B． C． D．
6. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【课后训练题】
1．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A． B． C． D．
2. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是 ．
3．在△ABC中，若，则
4．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰
5.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 则∠C的度数（ ）
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
6.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D.4
7. △ABC中，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0,则△ABC （ ）
8.在△ABC中，a=1,B=450,,则△ABC的外接圆的直径是 .
9.在△ABC中,,则角A= .
三．解答题
10. 在四边形ABCD中，四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，求AB的长。
11.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
12.在中，角所对的边分别为，且满足， ．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
课题: §1．1．2余弦定理应用
授课类型：习题课
【教学目标】
掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】
重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】
【知识梳理】
1．余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3.三角形ABC中
4.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【典例应用】
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角.
解：∵＝＝＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶
设a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0)
则最大角为C.cosC＝
＝＝－
∴C＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C最大。
[变式训练1]
在△ABC中，若则 ( )
A． B． C． D．
解：
答案：B
题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
[变式训练]
1在△ABC中，
2. 钝角△ABC的三边长为连续的自然数，求三边的长。
题型三：判断三角形的形状
例3.在中，若，试判断的形状.
解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：，
∵，∴，即，
∵B、C为的内角，∴，
故为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：，
即：，
由余弦定理得：
故为直角三角形.
评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。
[变式训练2]
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
答案：C
2. 在中，，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
答案：C
[典例训练]
1．在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长为（ ）
A． B． C． D．
5．在△中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
7.在△ABC中，若则△ABC的形状是什么？
8．在△ABC中，求证：
9．在△ABC中，设求的值。
10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。
[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10
: §1．1．2余弦定理应用
[课前学案]
[课前回顾]
1.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b= ,c= ,∠C=
2.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a= ,c= ,∠C= .
3.在(ABC中，sin2A+sin2B=sin2C ,则(ABC是 。
4．在(ABC中，acosA=bcosB ,则(ABC是 。
5.在(ABC中，s ,则(ABC是 。
6. 在(ABC中，a2+b2=c2,则(ABC是 三角形。
7.在(ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2 c2+b2>a2则(ABC是 三角形。
8. 在(ABC中，a2+b29. 在(ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则(ABC是 三角形。
10. 在(ABC中，,则∠A= 。
11．a=4,b=3,∠C=60°,则 c= .
12.a=2,b=4,c=3,则∠B= 。
13．在(ABC中，b=4,c=3,BC边上的中线, 则∠A= ，a= ,
S＝ 。
[达标演练]
1．在中，，，，则此三角形的最大边的长为__________．
2．在中，，，，则_________，________．
3．在中，已知，，，则___________．
4．在中，，，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，则这个三角形中角的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在中，角、、所对的边分别为、、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9已知两线段，，若以、为边作三角形，则边所对的角的取值范围（）
A． B． C． D．
10．在中，，若此三角形最大边与最小边之比为，则最大内角（）
A． B． C． D．
11．在中，角、的对边分别为、，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（1）在中，已知，，，求及、的值；
（2）在中，已知，，，解此三角形．
13.(文科做) （07山东文17）在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，且，求．
: §1．1．2余弦定理应用
[课后训练题]
1. 在中，若（a-c cosB）sinB=（b-c cosA）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
2.设a，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A. 43. 在ΔABC中，已知 ，则角A为（ ）
A B C D 或
4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）
5.中，，BC=3，则的周长为 （ ）
A． B．
C． D．
6．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=,a=,b=1，则c=
(A)1 (B)2 () －1 (D)
7.已知的三边分别为a，b，c，且＝，那么角C＝ .
8.在中，若，AB=5，BC=7，则AC=__________
9。已知ΔABC的顶点为A（2，3），B（3，-2）和C（0，0）。求（1）∠ACB；（2）AB；（3）∠CAB；（4）∠ABC。
10． 在中，已知＝,且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.
试确定的形状.
11．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。
12． 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值
1．1.2 余弦定理(一)
课时目标
1．熟记余弦定理及其推论；
2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
2．余弦定理的推论
cos A＝；cos B＝；cos C＝.
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝90°；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝60°；
(3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝135°.
一、选择题
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B．3
C. D．5
答案 A
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，
由余弦定理cos C＝
＝＝.∴C＝.
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于( )
A．1 B. C．2 D．4
答案 C
解析 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin2＝＝，
∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
6．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
答案 B
解析 ∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴sin C＝cos C，
∴C＝45° .
二、填空题
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________.
答案 120°
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
答案 30°
解析 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝22＋42－2×2×4×cos 60°
＝12
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin A＝.
∵a9．三角形三边长为a，b， (a>0，b>0)，则最大角为________．
答案 120°
解析 易知：>a，>b，设最大角为θ，
则cos θ＝＝－，
∴θ＝120°.
10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.
答案 －2
解析 S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
∴cos C＝＝－，sin C＝，
∴tan C＝－＝－2.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
解 由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49
?x＝7.
所以，所求中线长为7.
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
(3)S△ABC＝absin C＝.
能力提升
13．(2018·潍坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
答案
解析 ∵cos C＝＝，
∴sin C＝.
∴AD＝AC·sin C＝.
14．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解 由余弦定理知
cos A＝，cos B＝，
cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．1.2 余弦定理(二)
课时目标
1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；
2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．
1．正弦定理及其变形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
2．余弦定理及其推论
(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.
(2)cos A＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2>a2＋b2?C为钝角；c23．在△ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：
(1)A＋B＋C＝π，＝－.
(2)sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，tan(A＋B)＝－tan_C.
(3)sin ＝cos ，cos ＝sin .
一、选择题
1．已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
答案 C
解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cos C＝－，∴∠C＝120°.
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
3.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，
则cos C＝＝－.
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
4．△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 D
解析 ∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.
∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，
c＝a，则( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos 120°
＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
答案 A
解析 设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.
答案
解析 由题意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
答案 2解析 ∵2a－1>0，∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化简得：02a＋1，
∴a>2，∴29．已知△ABC的面积为2，BC＝5，A＝60°，则△ABC的周长是________．
答案 12
解析 S△ABC＝AB·AC·sin A
＝AB·AC·sin 60°＝2，
∴AB·AC＝8，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝AB2＋AC2－AB·AC＝(AB＋AC)2－3AB·AC，
∴(AB＋AC)2＝BC2＋3AB·AC＝49，
∴AB＋AC＝7，∴△ABC的周长为12.
10．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
答案
解析 S△ABC＝bcsin A＝c＝，
∴c＝4，
由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A
＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13，
∴a＝.
∴2R＝＝＝，
∴R＝.∴S外接圆＝πR2＝.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明 右边＝＝·cos B－·cos A
＝·－·＝－＝＝左边．
所以＝.
12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边的长，cosB =，
且·＝－21.
(1)求△ABC的面积；
(2)若a＝7，求角C.
解 （1）∵?·＝－21，∴?·=21.?
∴· = ||·||·cosB = accosB = 21.?
∴ac=35，∵cosB = ，∴?sinB = .?
∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14.?
(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝32，
∴b＝4.由正弦定理：＝.
∴sin C＝sin B＝×＝.
∵c∴C＝45°.
能力提升
13．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是( )
A．0C.答案 A
解析 方法一 (应用正弦定理)
∵＝，∴＝
∴sin C＝sin A，∵0∴0∵AB∴0方法二 (应用数形结合)
如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，
则圆上除了直线BC上的点外，都可作为A点．从点C向圆B作切线，设切点为A1和A2，当A与A1、A2重合时，角C最大，易知此时：BC＝2，AB＝1，AC⊥AB，∴C＝，
∴014．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2＝ac且cos B＝.
(1)求＋的值；
（2）设· = ，求a+c的值.?
解 (1)由cos B＝，得sin B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理得sin2 B＝sin Asin C.
于是＋＝＋
＝＝
＝＝＝.
(2)由· = 得ca·cosB =
由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2.
由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，∴a＋c＝3.
1．解斜三角形的常见类型及解法
在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角
(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；
由正弦定理求出b与c.在有
解时只有一解．
两边和夹角
(如a，b，C)
余弦定理
正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一
角．在有解时只有一解．
三边
(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出
角C.在有一解时只有一解.
两边和其中一边的对角如
(a，b，A)
余弦定理
正弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求
c.可有两解、一解或无解.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
1.1.2 余弦定理?
从容说课
课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．?
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.?
启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.?
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. ?
教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;?
2.余弦定理在解三角形时的应用思路;?
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．?
教具准备 投影仪、幻灯片两张?
第一张:课题引入图片(记作1.1.2?A?)?
如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2?
问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a??
第二张:余弦定理(记作1.1.2B)?
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.?
形式一: a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC,?
形式二:cosA=,cosB=,cosC=.??
三维目标
一、知识与技能?
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;?
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;?
3.能利用计算器进行运算.??
二、过程与方法?
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;?
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.??
三、情感态度与价值观?
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；?
2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．??
教学过程
导入新课
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.?
在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.?
师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.?
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得?
A2=CD2+BD2.?
∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,?
又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,?
∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.?
又∵在Rt△ADC中,AD=B·COsA,?
∴a2=b2+c2-2abcosA.?
类似地可以证明b2=c2+a2-2cacosB.?
c2=a2+b2-2abcosC.?
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2=c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B)?
推进新课?
1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.?
在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:?
形式一:?
a2=b2+c2-2bccosA,?
b2=c+a2-2cacosB,?
c2=a2+b2-2abcosC.?
形式二:?
,?
,?
.?
师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.?
[合作探究]?
2.向量法证明余弦定理?
(1)证明思路分析?
师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？?
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢??
生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角.?
师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造这一数量积以使出现COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.?
(2)向量法证明余弦定理过程:?
如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.?
由向量加法的三角形法则，可得,?
∴即B2=C2+A2-2AC?COs?B.?
由向量减法的三角形法则，可得,?
∴即a2=b2+c2-2bccosA.?
由向量加法的三角形法则,可得,?
∴即c2=a2+b2-2abcosC.?
[方法引导]?
(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.?
(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,与属于同起点向量,则夹角为A;与是首尾相接,则夹角为角B的补角180°-B;与是同终点,则夹角仍是角C.?
[合作探究]?
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？?
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：?
.?
师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？?
生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC中，C =90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．?
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．?
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)?
通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:?
(1)已知三边,求三个角.?
这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况.?
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.?
这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.?
接下来,我们通过例题来进一步体会一下.?
［例题剖析］?
【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.?
解：根据余弦定理，?
a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82?,所以A≈41 cm.?
由正弦定理得sinC=≈≈0.544 0,?
因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C≈33°,?
B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°.?
【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.?
解：由余弦定理的推论,得?
cosA=≈0.554 3,A≈56°20′;?
cosB=≈0.839 8,B≈32°53′;?
C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.?
[知识拓展]?
补充例题：?
【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1°)?
分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.?
解：∵,?
∴A≈44°.?
∵cosC=≈0.807 1,?
∴C≈36°.?
∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.?
[教师精讲]?
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.?
(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.?
【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).?
分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.?
解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′,
得c≈4.297.?
∵cosA=≈0.776 7,?
∴A≈39°2′.?
∴B=180°-(A+C)=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′.?
[教师精讲]?
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.?
【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△ABC.?
分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=acsinB可以求出.?
若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C的目的.?
下面给出两种解法.?
解法一:由正弦定理得,?
∴A1=81.8°,A2=98.2°,?
∴C1=38.2°,C2=21.8°.?
由,得c1=3,c2=5,?
∴S△ABC=或S△ABC=.?
解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosB,?
∴72=c+82-2×8×ccos60°,?
整理得c2-8c+15=0,?
解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=或S△ABC= .?
[教师精讲]?
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.?
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.??
课堂练习?
1.在△ABC中:?
(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A;?
(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;?
(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B;?
(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.?
解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A=7.?
(2)由,得.∴B=90°.?
(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b=7.?
(4)由,得.∴A=45°.?
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.?
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).?
(1)a=31,b=42,c=27;?
(2)a=9,b=10,c=15.?
解：(1)由,得≈0.675 5,∴A≈48°.?
由≈-0.044 2,∴B≈93°.?
∴C=180°-(A+B)=180°-(48°+93°)≈39°.?
(2)由得≈0.813 3,?
∴A≈36°.?
由≈0.763 0,
∴B≈40°.?
∴C=180°-(A+B)=180°-(36°+40°)≈104°.?
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.??
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:?
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；?
（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．??
布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题.??
板书设计
余弦定理
1.余弦定理 2.证明方法:? 3.余弦定理所能解决的两类问题:
(1)平面几何法;? (1)已知三边求任意角;
(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形
? 4.学生练习
课件41张PPT。【思考】【点拨】 余弦定理的简单运用
【名师指津】理解与应用余弦定理的关注点：
(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
(2)在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的.
【特别提醒】在余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一.【例1】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a2-(b-c)2=bc，
(1)求A；
(2)若 B等于x，周长为y，求函数y=f(x)的取值
范围.
【审题指导】先对a2-(b-c)2=bc进行化简，再利用余弦定理求解；先写出y=f(x)的解析式，再利用三角函数知识求解.【规范解答】(1)由a2-(b-c)2=bc得:
a2-b2-c2=-bc，
∴
又∵0(2)故
∴y的取值范围为【变式训练】△ABC中，若a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形中最大内角为( )
(A)60° (B)90° (C)120° (D)150°
【解题提示】先判断出最大边，再利用余弦定理计算最大角.
【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x>0)，则c为最大边，角C为三角形中最大内角，
由余弦定理
∴C=120°. 正、余弦定理的综合应用
【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：【特别提醒】如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之.【例2】(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A、B、C所对
的边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos2A=
(1)求
(2)若 求B.
【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得
的值；(2)利用余弦定理求B.【规范解答】(1)由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A
即
sinB(sin2A+cos2A) 故sinB
所以
(2)由余弦定理得 又因为
所以
整理得又由(1)知b2=2a2，故
可得cos2B= 又cosB>0，故
所以B=45°.
【误区警示】不能正确利用余弦定理和(1)的结论，从而导致(2)无法求解.【变式训练】在△ABC中，AC=2，BC=1，
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A+C)的值.
【解题提示】先由余弦定理解出AB，再结合正弦定理及倍角公式等解出sin2A、cos2A、sinC的值.【解析】(1)由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC
(2)由cosC= 且0得
由正弦定理得
解得又∵AB>BC,∴C>A， 判断三角形的形状
【名师指津】判断三角形形状的方法：
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状. 【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的形状.
【审题指导】将角化为边或将边化为角来判断三角形的形状.【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.【互动探究】本例中，将所给条件变为b2sin2C+c2sin2B
=2bccosBcosC，则三角形的形状又如何？
【解题提示】利用“角化边”或“边化角”来判断三角形的形状.【解析】方法一：由正弦定理 (R为△ABC外接圆的半径），将原式化为sin2Bsin2C=
sinBsinCcosBcosC.
∵sinBsinC≠0，
∴sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，
∴B+C=90°.∴A=90°.
∴△ABC为直角三角形.方法二：将已知等式变为
b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.
由余弦定理，可得
即
∴b2+c2=a2.
∴△ABC为直角三角形.【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
求证：
【审题指导】利用正弦定理、余弦定理，把边化为角，再利用三角函数知识化简.【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB，
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得：
由正弦定理得：
代入上式整理得：【变式备选】在△ABC中，求证：
【证明】由余弦定理得，【典例】(12分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，
(1)求A的大小；
(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.
【审题指导】应用正、余弦定理及其变形化简即可.【规范解答】(1)由已知，根据正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c ……………………………… 2分
即a2=b2+c2+bc …………………………………………3分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA
可求得cosA= ………………………………………5分
又∵A为△ABC内角，∴A=120°.…………………… 6分(2)由a2=b2+c2+bc得：
sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC ………………………8分
又∵A=120°,sinB+sinC=1,
∴sinB=sinC= ……………………………………10分
因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形.……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么？
【解析】方法一：acosA+bcosB=ccosC,
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=sin2C,
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
cos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,
cosA=0或cosB=0,得
所以△ABC是直角三角形.方法二：由余弦定理得：
上式两边同乘以2abc得
a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)
?a2b2+a2c2-a4+a2b2+b2c2-b4=a2c2+b2c2-c4
?a4+b4-2a2b2=c4? (a2-b2）2=c4
∴a2-b2=c2或a2-b2=-c2
∴a2=b2+c2或a2+c2=b2,
所以△ABC是直角三角形. 1.三角形的三边分别为4、6、8，则此三角形为( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不存在
【解析】选C.∵42+62<82，∴此三角形为钝角三角形.2.在△ABC中，若a=c=2,B=120°,则边b=( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选B.由余弦定理可得
b2=a2+c2-2accosB=4+4-2×2×2×3.在△ABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况
是( )
(A)无解 (B)一解
(C)两解 (D)不能确定
【解析】选B.已知两边及其夹角的三角形惟一确定.4.在△ABC中，B=60°,b2=ac，则△ABC的形状为____.
【解析】∵b2=ac,∴a2+c2-2accos60°=ac，∴(a-c)2=0.
∴a=c,∴△ABC为等腰三角形.
又∵B=60°，∴△ABC为正三角形.
答案：正三角形5.在△ABC中，若AB= AC=5且cosC= 则BC=______.
【解析】由余弦定理得
∴BC2-9BC+20=0,∴BC=4或5.
答案：4或56.在△ABC中，已知c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，求角C.
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，
∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，
∴C=120°或60°.课时训练2 余弦定理
一、利用余弦定理解三角形
1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b等于( )
A.1 B.2 C.3 D.3
答案:C
解析:b2=a2+c2-2accos B=1+4-2×1×2×12=3,故b=3.
2.在△ABC中,c2-a2-b2=3ab,则角C为( )
A.60° B.45°或135°
C.150° D.30°
答案:C
解析:∵cos C=a2+b2-c22ab=-3ab2ab=-32,∴C=150°.
3.在△ABC中,已知sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于 .?
答案:120°
解析:由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3,b=5,c=7,则c边最大,∴角C最大.
∴cos C=a2+b2-c22ab=32+52-722×3×5=-12.
∵0°4.(2018河南郑州高二期末,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=3sin C,B=30°,b=2,则边c= .?
答案:2
解析:∵在△ABC中,sin A=3sin C,∴a=3c.
又B=30°,由余弦定理,得cos B=cos 30°=32=a2+c2-b22ac=4c2-423c2,解得c=2.
二、判断三角形形状
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b+c=2ccos2A2,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案:A
解析:∵b+c=2ccos2A2,且2cos2A2=1+cos A,
∴b+c=c(1+cos A),即b=ccos A.
由余弦定理得b=c·b2+c2-a22bc,
化简得a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形.
6.在△ABC中,若sin2A+sin2BA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.不能确定
答案:A
解析:由sin2A+sin2B所以cos C=a2+b2-c22ab<0,
所以∠C为钝角,
即△ABC为钝角三角形.
7.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=2bcos C,试判断△ABC的形状.
解法一:∵cos C=a2+b2-c22ab,代入a=2bcos C,
得a=2b·a2+b2-c22ab,
∴a2=a2+b2-c2,即b2-c2=0.
∴b=c.∴△ABC为等腰三角形.
解法二:根据正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R,
得a=2Rsin A,b=2Rsin B,
代入已知条件得2Rsin A=4Rsin Bcos C,
即sin A=2sin Bcos C,
∵A=π-(B+C),∴sin A=sin(B+C).
∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C.
∴sin Bcos C-cos Bsin C=0.∴sin(B-C)=0.
又-π∴△ABC是等腰三角形.
三、正弦定理、余弦定理的综合应用
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sin B=3sin C,则cos A的值为( )
A.-14 B.14 C.12 D.-13
答案:A
解析:∵2sin B=3sin C,∴2b=3c.
又b-c=a4,∴a=2c,b=32c.
∴cos A=b2+c2-a22bc=94c2+c2-4c22×32c×c=-14.
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A= .?
答案:π6
解析:∵sin C=23sin B,
∴由正弦定理得c=23b.
∵a2-b2=3bc,
∴cos A=b2+c2-a22bc=c2-3bc2bc
=23bc-3bc2bc=32,
∴A=π6.
10.(2018山东威海高二期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足4acos B-bcos C=ccos B.
(1)求cos B的值;
(2)若ac=12,b=32,求a,c.
解:(1)已知等式4acos B-bcos C=ccos B,利用正弦定理,得4sin Acos B-sin Bcos C=sin Ccos B,
整理,得4sin Acos B=sin(B+C),
即4sin Acos B=sin A,
∵sin A≠0,∴cos B=14.
(2)∵ac=12,b=32,cos B=14,
∴由b2=a2+c2-2accos B,
得a2+c2=24,
联立a2+c2=24与ac=12,解得a=c=23.
(建议用时:30分钟)
1.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14 ,则sin B=( )
A.1516 B.154 C.158 D.78
答案:B
解析:由已知根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,
∴c=2,即B=C,
∴sin B=1-116=154.
2.(2018河北邯郸三校联考,3)在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cos C等于( )
A.23 B.-23 C.-13 D.-14
答案:D
解析:由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,
可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),
由余弦定理可得cos C=a2+b2-c22ab=4k2+9k2-16k22·2k·3k=-14,故选D.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=2a,则( )
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
答案:A
解析:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C得2a2=a2+b2+ab,∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b.
4.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6,则BA·BC的值为( )
A.19 B.14 C.-18 D.-19
答案:A
解析:cos B=72+52-622×7×5=1935,
∴BA·BC=|BA||BC|cos B=7×5×1935=19.
5.在不等边三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为最大边,如果sin2(B+C)A.0,π2 B.π4,π2
C.π6,π3 D.π3,π2
答案:D
解析:由题意得sin2A再由正弦定理得a20,
则cos A=b2+c2-a22bc>0,
∵0又a为最大边,∴A>π3.
因此得角A的取值范围是π3,π2.
6.已知在△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC的形状为 .?
答案:等边三角形
解析:∵2B=A+C,又A+B+C=180°,∴B=60°.
又b2=ac,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 60°=a2+c2-ac,
∴有a2+c2-ac=ac,从而(a-c)2=0,
∴a=c,故△ABC为等边三角形.
7.(2018北京高考,12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC= .?
答案:1
解析:在△ABC中,由正弦定理知,sin2AsinC=2sinAcosAsinC=2cos A·ac=2cos A×46=43cos A,
再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,
所以sin2AsinC=43×34=1.
8.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccos A+accos B+abcos C的值为 .?
答案:612
解析:由余弦定理得bccos A+accos B+abcos C=b2+c2-a22+a2+c2-b22+a2+b2-c22=a2+b2+c22=32+42+622=612.
9.在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判定△ABC的形状.
解:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得(a+b)2-c2=3ab,
即a2+b2-c2=ab.
∴cos C=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.
∵0°∵A+B+C=180°,
∴sin C=sin(A+B).
又∵2cos Asin B=sin C,
∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
∴sin(A-B)=0.
∵A,B均为△ABC的内角,∴A=B.
因此△ABC为等边三角形.
10.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cos A=34,求b.
解:由正弦定理得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cos A,
∴ca=32.
又a+c=10,∴a=4,c=6.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得b2+2012b=34,
∴b=4或b=5.
当b=4时,∵a=4,∴A=B.
又C=2A,且A+B+C=π,
∴A=π4,与已知cos A=34矛盾,
不合题意,舍去.
当b=5时,满足题意,∴b=5.
课件45张PPT。1.1.2 余弦定理 自主学习 新知突破1．了解向量法推导余弦定理的过程．
2．能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
3．能利用正、余弦定理解决综合问题．在△ABC中，AB＝3，BC＝2，B＝60°.
[问题1] △ABC确定吗？
[提示] 确定．
[问题2] 能否用正弦定理解上述三角形？
[提示] 不能．
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝ _________________ ，
b2＝ _________________ ，
c2＝ _________________.余弦定理b2＋c2－2bccos Aa2＋c2－2accos Ba2＋b2－2abcos Ccos A＝_________________，
cos B＝ _________________ ，
cos C＝ _________________.公式推论应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的三角形问题有：
(1)已知两边和它们的夹角解三角形；
(2)已知三角形的三边解三角形．解三角形
2．利用余弦定理解三角形的注意事项：
(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．
(2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会．答案： B答案： A答案： 1合作探究 课堂互动 已知两边及一角解三角形 已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．
(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题． 已知三边(或三边关系)解三角形 已知三边解三角形的方法及注意事项
(1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小．
(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．
(3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一． 2．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小是________．利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状． 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 3．(1)三角形的三边长分别为4,6,8，则此三角形为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
(2)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin B·cos C，试确定△ABC的形状．
即a2＝a2＋b2－c2，
所以b＝c.
又因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
所以(b＋c)2－a2＝3bc.
所以4b2－a2＝3b2.
所以b＝a.所以a＝b＝c.
因此△ABC是等边三角形．
答案： (1)C◎设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
【错因】 解题时，忽略三角形的三边必须满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大．
本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形三边，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边．谢谢观看！