§1.2 应用举例(一)
课时目标
1．了解数学建模的思想；
2．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题．
1．基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．方位角：指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角．如图中的A点的方位角为α.
3．计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一．
一、选择题
1．若点P在点Q的北偏西45°10′方向上，则点Q在点P的( )
A．南偏西45°10′ B．南偏西44°50′
C．南偏东45°10′ D．南偏东44°50′
答案 C
2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C.a km D．2a km
答案 B
解析 ∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，
∴由余弦定理得AB＝a.
3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
答案 D
解析 在△ABC中，∠C＝180°－60°－75°＝45°.
由正弦定理得：＝
∴＝
解得BC＝5.
4．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
答案 A
解析 由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，
∴AB＝＝＝50 (m)．
5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋) 海里/小时
B．20(－) 海里/小时
C．20(＋) 海里/小时
D．20(－) 海里/小时
答案 B
解析 由题意，
∠SMN＝45°，∠SNM＝105°，∠NSM＝30°.
由正弦定理得＝.
∴MN＝＝＝10(－)．
则v货＝20(－) 海里/小时．
6．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A. 分钟 B. 小时
C．21.5 分钟 D．2.15 分钟
答案 A
解析 设行驶x小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km，
则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos 120°
＝28x2－20x＋100
＝28(x2－x)＋100＝282－＋100
∴当x＝(小时)＝(分钟)时，
y2有最小值．∴y最小．
二、填空题
7．如图，A、B两点间的距离为________．
答案 3
8．如图，A、N两点之间的距离为________．
答案 40
9．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得
∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为______．
答案 60 m
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°.∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB＝120 m.
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
由正弦定理得＝，
∴＝，
∴CD＝60(m)
∴河的宽度为60 m.
10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.
答案
解析
如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，
∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.
由正弦定理得
＝
∴BC＝·sin 15°＝ (km)．
设C到直线AB的距离为d，
则d＝BC·sin 75°＝·＝ (km)．
三、解答题
11．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°方向上，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24(n mile)．
(2)在△ADC中，由余弦定理得
CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 30°，
解得CD＝8≈14(n mile)．
即A处与D处的距离为24 n mile，
灯塔C与D处的距离约为14 n mile.
12．如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
解 在△BDC中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
则BC＝＝(km)．
在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，
∴△ACD为正三角形．∴AC＝CD＝(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°
＝＋－2×××＝，
∴AB＝(km)．
答 河对岸A、B两点间距离为km.
能力提升
13．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
答案 B
解析 设t小时时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得：
(20t)2＋402－2×20t×40·cos 45°＝302.
化简得：4t2－8t＋7＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
从而|t1－t2|＝＝1.
14．如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？
解 如图所示，连结A1B2，
由已知A2B2＝10，
A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10.
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°
＝202＋(10)2－2×20×10×
＝200.
∴B1B2＝10.
因此，乙船速度的大小为
×60＝30(海里/小时)．
答 乙船每小时航行30海里．
1．解三角形应用问题的基本思路是：
实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解．
2．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．
§1.2 应用举例(二)
课时目标
1．利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的问题．
2．利用正、余弦定理及三角形面积公式解决三角形中的几何度量问题．
1．仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)
2．已知△ABC的两边a、b及其夹角C，则△ABC的面积为absin C.
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α<β D．α＋β＝90°
答案 B
2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是( )
A．20 m， m
B．10 m,20 m
C．10(－) m,20 m
D. m， m
答案 A
解析 h甲＝20tan 60°＝20(m)．
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
3．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．30＋30 m B．30＋15m
C．15＋30m D．15＋3m
答案 A
解析 在△PAB中，由正弦定理可得
＝，
PB＝＝，
h＝PBsin 45°＝(30＋30)m.
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米 B.h米
C.h米 D．2h米
答案 A
解析 如图所示，
BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h.
5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度是( )
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100 m
答案 B
解析 如图所示，600·sin 2θ＝200·sin 4θ，
∴cos 2θ＝，∴θ＝15°，
∴h＝200·sin 4θ＝300 (m)．
6．平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形面积是( )
A．16 B．17.5 C．18 D．18.53
答案 A
解析 设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，
∴S?ABCD＝ab sin α＝16.
二、填空题
7．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向__________才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．
答案 北偏东30° a
解析
如图所示，设到C点甲船追上乙船，
乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知＝，
∴＝，
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°
＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.
8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为10，则其周长为________．
答案 20
解析 设AB＝8k，AC＝5k，k>0，则
S＝AB·AC·sin A＝10k2＝10.
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝82＋52－2×8×5×＝49.
∴BC＝7，∴周长为：AB＋BC＋CA＝20.
9．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．
答案
解析 不妨设三角形三边为a，b，c且a＝6，b＝c＝12，
由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴sin A＝ ＝.
由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.
∴S内切圆＝πr2＝.
10．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9 n mile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21 n mile，则舰艇到达渔船的最短时间是______小时．
答案
解析 设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为t，则AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°，
解得t＝或t＝－(舍)．
三、解答题
11．如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD.
解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，
∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得：＝，
即＝，
∴AC＝
＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β
＝.
即山高CD为.
12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．
解
连接BD，则四边形面积
S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin A＋BC·CD·sin C.
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.
由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∴20－16cos A＝52－48cos C.
又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.
∴四边形ABCD的面积S＝16sin A＝8.
能力提升
13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝＝＝10(m)，
DE＝＝＝130(m)，
EF＝＝＝150(m)．
在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得
cos∠DEF＝＝＝.
即∠DEF的余弦值为.
14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．
解 如图所示：
∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°
∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝＝30.
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，
∴CD＝30，即两船相距30 m.
1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
1.2 应用举例
1.2.1 解决有关测量距离的问题??
从容说课
解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．?
本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．?
教学重点 分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.
教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．?
教具准备 三角板、直尺、量角器等??
三维目标
一、知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、方位角等.??
二、过程与方法?
1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正．?
2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力.??
三、情感态度与价值观?
1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；?
2.通过解斜三角形在实际中的应用,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．??
教学过程
导入新课?
师 前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．
推进新课?
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.?
［例题剖析］?
【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1 m?)?
师（启发提问）1：△ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？?
师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答．?
生 从题中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该用正弦定理．?
生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边．?
解：根据正弦定理，得?
，?
≈65.7(m).?
答:A、B两点间的距离为65.7米.?
[知识拓展]?
变题：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于A km,灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？?
老师指导学生画图，建立数学模型．?
解略：km.?
【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法
[教师精讲]?
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出A、B的距离．?
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=A，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD =β,∠CDB=γ,∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得?
，?
.?
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离?
.
[活动与探究]?
还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．?
[知识拓展]?
若在河岸边选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA=60°,略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206.?
[教师精讲]?
师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．?
〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕?
师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.?
下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.?
【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A0A）.（精确到1 mm）?
师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B0重合时，A与A0重合，故A0C=AB＋CB＝425 mm，且A0A=A0C-AC．?
师 通过观察你能建立一个数学模型吗？?
生 问题可归结为：已知△ABC中， BC＝85 mm，AB＝34 mm，∠C＝80°，求AC．?
师 如何求AC呢？?
生 由已知AB、∠C、BC，可先由正弦定理求出∠A，再由三角形内角和为180°求出∠B，最后由正弦定理求出AC．?
解：（如图）在△ABC中，由正弦定理可得?
≈0.246 2.?
因为BC＜AB，所以A为锐角.?
∴A=14°15′，∴ B＝180°-（A＋C）＝85°45′.?
又由正弦定理，?
≈344.3(?mm?).?
∴A0A =A0C –AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).?
答：活塞移动的距离为81 mm．?
师 请同学们设AC=x，用余弦定理解之，课后完成.?
[知识拓展]?
变题：我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
师 你能根据方位角画出图吗？?
生（引导启发学生作图）?
师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．?
生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.?
解：如图，在△ABC中,由余弦定理得?
BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC?
=202+122-2×12×20×(-)=784,?
BC =28,?
∴我舰的追击速度为14海里/时.?
又在△ABC中,由正弦定理得?
∴.?
答：我舰航行的方向为北偏东50°-arcsin.?
[方法引导]?
师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？?
生
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．?
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．?
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．?
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．?
生 即解斜三角形的基本思路：?
?
师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？?
生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之．?
生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解．?
生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．
某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？?
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得?
,则,
,所以sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC -cos120°sinC =.?
在△MAC中，由正弦定理得?
，从而有MB= MC-BC=15.?
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．??
课堂小结
通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.??
布置作业?
课本第14页练习 1、2.??
板书设计
解决有关测量距离的问题?
1.提出问题?
2.分析问题 演示反馈?
3.解决问题 总结提炼
1.2.2 解决有关测量高度的问题?
从容说课
本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角；在例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．?
本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角的意义，二是要会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为解三角形的问题．?
教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；?
2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问补充的方法来让学生多感受问题的演变过程．?
教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；?
教具准备 直尺和投影仪??
三维目标
一、知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.??
二、过程与方法?
本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间.??
三、情感态度与价值观?
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.??
教学过程
导入新课
师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.??
推进新课?
【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．?
[合作探究]?
师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？?
生 要求建筑物AB的高，我只要能把AE的长求出来，然后再加上测角仪的高度EB的长就行了.?
师 对了，求AB长的关键是先求AE，那谁能说出如何求AE？?
生 由解直角三角形的知识，在△ADC中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．?
师 那现在的问题就转化成如何去求CA的长，谁能说说？?
生 应该设法借助解三角形的知识测出CA的长．?
生 为了求CA的长，应该把CA放到△DCA中，由于基线DC可以测量，且β也可以测量，这样在△DCA中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出CA的长．?
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得,AB=AE+h=acsinα+h=+h.?
师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？?
生 要测量某一高度AB，只要在地面某一条直线上取两点D、C，量出CD=A的长并在C、D两点测出AB的仰角α、β，则高度，其中h为测角器的高．?
【例2】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).
[合作探究]?
师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要在△ABD中求CD，则关键需要求出哪条边呢？?
生 需求出BD边．?
师 那如何求BD边呢？?
生 可首先求出AB边，再根据∠BAD=α求得．?
解：在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.
根据正弦定理,?
=，所以.?
在Rt△ABD中,得BD =ABsin∠BAD=.?
将测量数据代入上式,得≈177(m),?
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m).?
答:山的高度约为150米.?
师 有没有别的解法呢？?
生 要在△ACD中求CD，可先求出AC．?
师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？?
生 同理，在△ABC中，根据正弦定理求得．（解题过程略）?
【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度CD.?
[合作探究]?
师 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？?
生 在△BCD中.?
师 在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？?
生BC边.?
解：在△ABC中, ∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,?
,≈ 7.452 4(km),?
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan8°≈1 047(m).?
答:山的高度约为1 047米.??
课堂练习
用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得气球的仰角α和β,已知BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度.?
分析:在Rt△EGA中求解EG,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC中有较多已知条件,故可在△EAC中考虑EA边长的求解,而在△EAC中有角β,
∠EAC=180°-α两角与AC=BD=A一边,故可以利用正弦定理求解EA.?
解：在△ACE中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得
.在Rt△AEG中，EG=AEsinα=.?
∴EF=EG+b=.?
答:气球的高度是.?
评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt△EGA中,利用cotα表示AG,而Rt△EGC中,利用cotβ表示CG,而CG-AG=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,故EF高度可求.??
课堂小结?
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．??
布置作业
课本第17页练习第1、3题.
板书设计
解决有关测量高度的问题?
例1?
练习? 例2 课堂练习
小结 ? 例3 布置作业
1.2.3 解决有关测量角度的问题??
从容说课
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．?
教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．?
教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.?
教具准备 三角板、投影仪（多媒体教室）??
三维目标
一、知识与技能?
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.??
二、过程与方法?
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．??
三、情感态度与价值观?
培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.??
教学过程
导入新课
设置情境设问?
师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？?
生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向. ?
生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.?
师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．??
推进新课
【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°?
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile)
[合作探究]?
学生看图思考．?
师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”．?
生 这是方位角．?
生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB，就可以知道AC的方向和路程．?
师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程.?
生解：在△ABC中，∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，
≈113.15.?
根据正弦定理, ,?
≈0.325 5,?
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.?
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.??
师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
[合作探究]?
师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）?
生甲 如右图．?
师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢??
生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.?
生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理，可得?
(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,∴化简得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去).
所以BC = 10x =15,AB =14x =21.?
又因为sin∠BAC =,∴∠BAC=38°13′,或∠BAC=141°47′（钝角不合题意，舍去）.?
∴38°13′+45°=83°13′.?
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.?
师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？?
生 同上解得BC=15,AB=21,?
在△ABC中，由余弦定理，得?
≈0.785 7,?
∴∠CAB≈38°13′,38°13′+45°=83°13′.?
∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．??
课堂练习
课本第18页练习.?
答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23?°?.?
[方法引导]?
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
[知识拓展]?
1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？?
解：在△ABC中，BC=30，B=30°，?
∠ACB=180°-45°=135°,
∴A=15°.?
由正弦定理知,∴.
∴.∴A到BC所在直线的距离为
AC·sin45°=（15+15）·=15（+1）≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．?
答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．?
2.如图，有两条相交成60°角的直线XX′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，?
（1）起初，两人的距离是多少？?
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；?
（3）什么时候两人的距离最短？?
解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，
则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,?
∴起初，两人的距离是千米．?
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP=4t,BQ=4t,?
当0≤t≤时，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;?
当t＞时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,
所以，PQ =48t2-24t+7．?
（3）PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,?
∴当t=时，即在第15分钟末，PQ最短．?
答：在第15分钟末，两人的距离最短．??
课堂小结?
在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．??
布置作业?
课本第22页习题1.2第9、10、11题.??
板书设计
解决有关测量角度的问题?
例1 例2 课堂练习?
布置作业
备课资料
一、备用例题?
1.如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？ ?
解：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC =(100-50x)海里，BD=30x
海里（0≤x≤2），∠CBD=60°，由余弦定理得?
CD2=(100-50x)2+(30x)2-2·(100-50x)·30x·cos60°=4 900x2-13 000x+10 000.
∴当（小时）时，CD2最小，从而得CD最小.?
∴航行小时，两船之间距离最近．?
2．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6 000米，∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°,∠BDC=15°．求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）．?
解：在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-ADC=60°,CD=6 000,∠ACD=45°,?
根据正弦定理，有.?
同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,
CD=6 000,∠BCD=30°.?
根据正弦定理,有.?
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°.
根据勾股定理,有.?
所以炮兵阵地到目标的距离为1 000米.??
二、常用术语与相关概念?
（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数．?
（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．?
（3）仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．?
（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．?
（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
1.2.4 解决有关三角形计算的问题?
从容说课
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题. ?
关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式?
hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.?
这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式?
S= absinC,S= bcsinA,S=casinB.?
教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.?
教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.?
教具准备 三角板、投影仪等??
三维目标
一、知识与技能?
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;?
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．??
二、过程与方法?
1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;?
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．??
三、情感态度与价值观?
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；?
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学过程
导入新课
[设置情境]?
师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式．在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？?
生hA=bsinC=csinB,?
hB=csinA=asinC,?
hC=asinB=BsinA.?
师 根据以前学过的三角形面积公式,应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？?
生 同理，可得,.?
师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？?
生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.??
推进新课
【例1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2）.?
（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5°;?
（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 cm;?
（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.?
师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．?
〔生口答，师书写过程〕?
解：（1）应用，得 S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2).?
(2)根据正弦定理，,?
.?
A = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,?
≈4.0(cm2).?
(3)根据余弦定理的推论，得≈0.769 7,?
≈0.638 4,?
应用得S=×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2).?
生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．?
【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？?
师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？?
生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．?
〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕?
解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，?
≈0.753 2,?
≈0.657 8,?
应用S= acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2).?
答：这个区域的面积是2 840.38 m2．?
【例3】在△ABC中，求证：?
（1）;?
（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）.?
[合作探究]?
师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点??
生
等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦定理来证明.?
师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法．?
证明：（1）根据正弦定理，可设?
,?
显然 k≠0，所以?
左边==右边.?
师 那对于第二小题又该怎么化呢？?
生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.?
师 很好，哪位来板演一下？?
生 证明：（2）根据余弦定理的推论，?
右边=?
=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.?
1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C=6,求A及△ABC的面积S.?
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论.?
答案：A=6,S=9;A=12,S=18.?
2.判断满足下列条件的三角形形状，?
(1)acosA = bcosB;?
(2)sinC =.?
提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.?
(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．?
生（余弦定理）得,?
∴c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2).?
∴a2=b2或c2=a2+b2.?
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.?
生（正弦定理）得?
sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B.?
∴根据角的关系易得是等腰三角形.?
师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？?
生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.?
(2)（解略）直角三角形.?
[知识拓展]?
如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC =，求：?
(1)AB的长;?
(2)四边形ABCD的面积.?
略解：（1）因为∠BCD=75°,∠ACB=45°，
所以∠ACD=30°.?
又因为∠BDC=45°，?
所以∠DAC=180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD=DC =.?
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+ 45°）=60°，所以?
.?
在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得AB=.?
(2)S△ABD=×AD×BD×sin75°=.同理，S△BCD=.?
所以四边形ABCD的面积.??
课堂练习?
课本第21页练习第1、2题.
课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯．??
布置作业
课本第22页习题1.2第12、14、15题.??
板书设计
解决有关三角形计算的问题?
例1 例2 例3 变题1?
补充练习: 变题2
课件36张PPT。【思考】【点拨】 可到达的两点的距离问题
【名师指津】解三角形应用问题的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个数学模型；
(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.
【特别提醒】建立数学模型就是构造出三角形.【例1】如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直
角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，
AB=2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
【审题指导】由三角形的性质可求出∠CBE的度数，从而可解出cos∠CBE的值；求AE，可在△ABE中利用正弦定理求得.【规范解答】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°,
∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=
(2)在△ABE中，AB=2，故由正弦定理得【变式训练】在△ABC中，已知A=45°，
(1)求cosC的值；
(2)若BC=10,D为AB的中点，求CD的长.
【解析】(1)∵ 且0°＜B＜180°,
∴
cosC=cos(180°-A-B)=cos(135°-B)
=cos135°cosB+sin135°sinB(2)由（1)可得
由正弦定理得
即
解得AB=14，∴BD=7.
∴CD2=BD2+BC2-2BD·BCcosB
=72+102-2×7×10× =37,
所以【误区警示】(1)问中的符号容易出现错误从而导致第(2)问中的结果出现错误. 不可到达的两点的距离问题
【名师指津】测量不可到达的两点的距离要注意的问题：
测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.
【特别提醒】构造数学模型的时候，尽量把已知元素放在一个三角形中.【例2】如图，在河的对岸可以看到两个目
标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距
40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=
75°，∠NPQ=45°,∠MQP=30°，∠MQN=45°,试求两个目标物Ｍ，N之间的距离.
【审题指导】根据已知条件与求解目标，在相应三角形中，分别利用正弦定理和余弦定理求解.【规范解答】根据题意，知PQ=40，∠PMQ=30°,
∠PNQ=60°,在△MPQ中，由正弦定理，得
即
在△NPQ中，由正弦定理，得即
在△MQN中，由余弦定理，知
ＭN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠MQN
故MN2=
从而
故两个目标物M，N之间的距离是 米.【互动探究】本题条件若改为：MP=PQ=40米，
米，∠MPQ=120°,∠NQP=75°,又如何求MN的距离呢？
【解题提示】可先由余弦定理求出MQ，再求出∠MQP,进而求出∠MQN,然后由余弦定理求得MN.【解析】∵MP=PQ=40，∠MPQ=120°，在△MPQ中，由余弦定理得
∴MQ2=MP2+PQ2-2MP·PQcos∠MPQ
=402+402-2×40×40cos120°=4 800，
∴
又∵MP=PQ,∠MPQ=120°,
∴∠MQP=30°,又∵∠NQP=75°,∴∠NQM=45°，在△MNQ中由余弦定理得
∴MN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠NQM
∴ 即两个目标物M，N之间的距离为 米.【例】如图所示，a是海面上一条南
北方向的海防警戒线，在a上点A处
有一个水声监测点，另两个监测点
B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到
0.01 km)
【审题指导】(1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需求出PA的长和cos∠APD即可.【规范解答】(1)依题意，PA-PB=1.5×8=12(km)，PC-PB=1.5×20=30(km).因此
PB=(x-12) km，PC=(18+x) km,
在△PAB中，AB=20 km，
同理，在△PAC中可求得由于cos∠PAB=cos∠PAC,
即
解得
(2)作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，
PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB
所以静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.【变式备选】如图，为了解某海域海
底构造，在海平面内一条直线上的A，
B，C三点进行测量，已知AB=50 m，
BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，
于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，求∠DEF的余弦值. 【解析】作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.
在△DEF中，由余弦定理得，
cos∠DEF【典例】(12分)如图，△OAB是等
边三角形，∠AOC=45°，
A、B、C三点共线，
(1)求sin∠BOC的值；
(2)求线段BC的长.
【审题指导】求sin∠BOC的值，可以利用两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求BC即可.【规范解答】 (1)∵△OAB是等边三角形，∠AOC=45°,∴∠BOC=45°+60°,
sin∠BOC=sin(45°+60°) …………………………4分
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
= ……………………………………………6分
(2)在△OBC中，
……………………………8分
∴
…………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，已知B=45°，
D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长.
【解析】(1)在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得
∴∠ADC=120°.(2)由（1)得∠ADB=60°,
在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得1.已知A、B两地相距10 km,B、C两地相距20 km,且∠ABC=120°，则A、C两地相距（ ）
（A）10 km （B） km
（C） km （D） km
【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=700，
∴AC= (km).2.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据中，较适宜的是（ ）
（A）c与a （B）c与b （C）c与β （D）b与α
【解析】选D.在a,b,c,α,β五个量中，a,c,β不易测量，故选D.3.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部都在一条线上，则两船相距( )
(A) 米 (B)30米
(C) 米 (D) 米
【解析】选C.如图所示，由题意知
CO= 米，BO=30米，
∴CB= 米.4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向
航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际
航程为_______.
【解析】如图所示，在△ACD中，
∠ACD=60°,
∴
∴AD=6，即该船实际航程为6 km.
答案：6 km5.如图，为了测量河的宽度，
在一岸边选定两点A、B，望对
岸的标记物C，测得∠CAB=45°，
∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.【解析】在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，∴∠ACB=60°.
由正弦定理,可得，
设C到AB的距离为CD，
则
∴河的宽度为 米.课件47张PPT。1．2 应用举例
第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用 自主学习 新知突破1．熟练掌握正、余弦定理．
2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度和角度等问题．如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，则A，B两点的距离为________米．(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做_____．测量中的基本术语(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫_____，目标视线在水平视线下方时叫_____，如图1.基线仰角俯角(3)方位角和方向角
从_____方向_______转到目标方向线所成的角叫_______.如图2，目标A的方位角为135°.
从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫________，如图3，北偏东30°，南偏东45°.正北顺时针方位角指定方向角(4)视角
观察物体的两端视线张开的_____．如图4.角度坡角 坡度测量中的有关概念、名词、术语的应用
(1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图．
(3)方位角α的范围是0°<α<360°，方向角β的范围是0°<β<90°.答案： D2．在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°答案： B解析： 画出示意图，在△ABE中，答案： 15°4．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追赶过程中乙船行驶了多少海里？
解析： 设甲沿直线与乙船同时到C点，
则A，B，C构成一个△ABC，
如图，设乙船速度为v，合作探究 课堂互动 测量距离问题 求距离问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 1．如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行．为了确定船的位置，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后，货轮到达C处，观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离．(得数保留最简根号) 测量高度问题 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB. 测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般要转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决． 2．如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB＝20 m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝30°，求旗杆的高度．测量角度问题 解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，运用正、余弦定理求解． 解析： 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，
则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20.◎某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？【错因】 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解．谢谢观看！
