第一章 章末复习课
课时目标
1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
答案 C
解析 sin B＝b·＝，且b
2．在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A＋B)>0，
∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角．
3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，
c＝2mk(m>0)，
∵ 即，∴k>.
4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设AB＝h，则AD＝，
在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴＝.
∴＝，∴h＝.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220，那么BC的长度为( )
A．25 B．51 C．49 D．49
答案 D
解析 S△ABC＝AC·AB·sin 60°＝×16×AB×＝220，∴AB＝55.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×55×＝2 401.
∴BC＝49.
6．(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，
sin C＝2sin B，则A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由sin C＝2sin B，根据正弦定理，得
c＝2b，把它代入a2－b2＝bc得
a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得cos A＝＝
＝＝.
又∵0°二、填空题
7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
答案 6
解析 由5x2－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2.
∵x2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－，
得sin θ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm2)．
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝____________.
答案
解析 由S＝bcsin A＝×1×c×＝，∴c＝4.
∴a＝＝
＝.
∴＝＝.
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
______________．
答案 2解析 因为三角形有两解，所以asin B即x<210．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________km.
答案 20
解析 如图所示，＝
∴BC＝×sin 45°＝×
＝20 (km)．
三、解答题
11．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试确定△ABC的形状．
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，
即a2＝b2＋c2－bc，∴cos A＝＝＝，
∴A＝.
又sin A＝2sin Bcos C．∴a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等边三角形．
12．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角．
(1)求最大角的余弦值；
(2)求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积．
解 (1)设这三个数为n，n＋1，n＋2，最大角为θ，
则cos θ＝<0，
化简得：n2－2n－3<0?－1∵n∈N*且n＋(n＋1)>n＋2，∴n＝2.
∴cos θ＝＝－.
(2)设此平行四边形的一边长为a，则夹θ角的另一边长为4－a，平行四边形的面积为：
S＝a(4－a)·sin θ＝(4a－a2)＝[－(a－2)2＋4]≤.
当且仅当a＝2时，Smax＝.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，
得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得b2±b－12＝0(b>0)，
解得b＝或2，
∴或
14．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即142＝x2＋102－20xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6舍去)，
即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理＝，
∴BC＝＝8.
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．
第一章 章末检测（A）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cos B等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由正弦定理得＝，
∴a＝b可化为＝.
又A＝2B，∴＝，∴cos B＝.
2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC= ，则·等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 由余弦定理得
cos A＝＝＝.
∴·＝||·||·cos A＝3×2×＝.
∴·＝－·＝－.
3．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
答案 C
解析 ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴5＝15＋c2－2×c×.
化简得：c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，
∴c＝2或c＝.
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
答案 D
解析 A中，因＝，
所以sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；
B中，sin C＝＝，
且c>b，∴C>B，故有两解；C中，
∵A＝90°，a＝5，c＝2，
∴b＝＝＝，
即有解，故A、B、C都不正确．
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
A. B.
C. D．9
答案 C
解析 设另一条边为x，
则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.设cos θ＝，则sin θ＝.
∴2R＝＝＝，R＝.
6．在△ABC中，cos2 ＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
答案 A
解析 由cos2＝?cos A＝，
又cos A＝，
∴b2＋c2－a2＝2b2?a2＋b2＝c2，故选A.
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b等于( )
A．2 B.－
C．4－2 D．4＋2
答案 A
解析 sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°.sin B＝.
由正弦定理：＝＝＝4.
∴b＝4sin B＝2.
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cos A＝，则△ABC的面积S为( )
A. B. C. D．6
答案 A
解析 由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即6＝4c2＋c2－4c2·.
∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝bcsin A＝×2×4×＝.
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，AB2＝BM 2＋AM 2－2BM·AM·cos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB ①
在△ACM中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cos∠AMC
即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB ②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋a2，∴a＝.
10．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一内角是30°的等腰三角形
答案 C
解析 ∵＝，∴acos B＝bsin A，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.
∴cos B＝sin B，∴B＝45°.同理C＝45°，故A＝90°.
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 ∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝，
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵012．△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．4sin＋3 B．4sin＋3
C．6sin＋3 D．6sin＋3
答案 D
解析 A＝，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知＝＝＝2R，
由合分比定理知＝，
即＝.
∴2＝x，
即x＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋2
＝3＋6
＝3＋6sin.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．在△ABC中，－－＝________.
答案 0
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B
的值为________．
答案
解析 ∵a2＋c2－b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，∴B＝.
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，
A＋C＝2B，则sin C＝________.
答案 1
解析 在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B.
∴B＝.
由正弦定理知，sin A＝＝.
又a∴A＝，C＝.
∴sin C＝1.
16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
答案 ≤a<3
解析 由.
解得≤a<3.
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
解 设我艇追上走私船所需时间为t小时，则
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：
(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°，
∴t＝2.
答 我艇追上走私船所需的时间为2小时．
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A＝.
(1)求sin2 ＋cos 2A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a.
解 (1)sin2 ＋cos 2A＝＋cos 2A＝＋2cos2 A－1＝.
(2)∵cos A＝，∴sin A＝.
由S△ABC＝bcsin A，得3＝×2c×，解得c＝5.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得
a2＝4＋25－2×2×5×＝13，∴a＝.
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
解 (1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理得＝，
即＝，
故AE＝＝＝－.
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解 (1)∵cos B＝>0，且0∴sin B＝＝.
由正弦定理得＝，
sin A＝＝＝.
(2)∵S△ABC＝acsin B＝4，∴×2×c×＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×＝17，∴b＝.
21．(12分)(2018·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，A＝120°.
(2)方法一 由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B.
∴sin2B＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝，
即sin2B－sin B＋＝0.
解得sin B＝.故sin C＝.
∴B＝C＝30°.
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二 由(1)A＝120°，∴B＋C＝60°，
则C＝60°－B，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
＝sin B＋cos B－sin B
＝sin B＋cos B
＝sin(B＋60°)
＝1，
∴B＝30°，C＝30°.
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
22．(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，
n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴S△ABC＝absin C＝×4×sin＝.
章末检测 (B)
姓名：________ 班级：________ 学号：________ 得分：________
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，a＝2，b＝，c＝1，则最小角为( )
A. B.
C. D.
2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝
(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于( )
A．－2 B．2
C．±4 D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2 C. D.
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
A. B. C. D.
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A．1C．17．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
A．－ B.
C．－ D.
8．下列判断中正确的是( )
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝，AC＝1，则△ABC的面积是( )
A. B.
C.或 D.或
10．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC的面积为，则tan C为( )
A. B．1 C. D.
11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．在△ABC中，若＝，则B＝________.
14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cos A＝acos C，则cos A＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.
18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝3，c＝5，求b.
19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
20．(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．
21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b.
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
22．(12分) 如图所示，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
第一章 解三角形 章末检测 答案 (B)
1．B [∵a>b>c，∴C最小．
∵cos C＝＝＝，
又∵02．B [∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.
∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝，又∵0∴||·||·sin A
＝×4×1×sin A＝.
∴sin A＝.又∵0°∴A＝60°或120°.
·＝||·||cos A
＝4×1×cos A＝±2.]
4．D [由正弦定理得＝，
∴sin C＝＝＝，
∵c∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.
∴a＝c＝.]
5．D [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，
即72＝52＋AC2－10AC·cos 120°，
∴AC＝3.由正弦定理得＝＝.]
6．D [由题意，x应满足条件
解得：27．D [由正弦定理得＝.
∴sin B＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B<60°.
∴cos B＝＝＝.]
8．B [A：a＝bsin A，有一解；
B：A>90°，a>b，有一解；
C：aD：c>b>csin B，有两解．]
9．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴12＝()2＋BC2－2××BC×.
整理得：BC2－3BC＋2＝0.
∴BC＝1或2.
当BC＝1时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××1×＝.
当BC＝2时，S△ABC＝AB·BCsin B＝××2×＝.]
10．C [由S△ABC＝BC·BAsin B＝得BA＝1，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，
∴AC＝，∴△ABC为直角三角形，
其中A为直角，
∴tan C＝＝.]
11．C [由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，
又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，
故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，
即A＝B且A＋B＝90°，故选C.]
12．B [由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，
得cos2C＝
＝＝
?cos C＝±.∴角C为45°或135°.]
13．45°
解析 由正弦定理，＝.
∴＝.∴sin B＝cos B.
∴B＝45°.
14．10
解析 设AC＝x，则由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，
∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.
∴x＝8或x＝－3(舍去)．
∴S△ABC＝×5×8×sin 60°＝10.
15．8
解析 如图所示，
在△PMN中，＝，
∴MN＝＝32，
∴v＝＝8(海里/小时)．
16.
解析 由(b－c)cos A＝acos C，得(b－c)·＝a·，
即＝，
由余弦定理得cos A＝.
17．解 在△ACD中，∠DAC＝α－β，
由正弦定理，得＝，
∴AC＝
∴AB＝AE＋EB＝ACsin α＋h＝＋h.
18．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A，
∴sin B＝.∵0(2)∵a＝3，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B
＝(3)2＋52－2×3×5×cos 30°＝7.
∴b＝.
19．解 (1)在△POC中，由余弦定理，
得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cos θ
＝5－4cos θ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD
＝×1×2sin θ＋×(5－4cos θ)
＝2sin＋.
(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
答 四边形OPDC面积的最大值为2＋.
20．解 ①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示)．
②第一步：计算AM，由正弦定理AM＝；
第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；
第三步：计算MN，由余弦定理
MN＝.
21．解 (1)由余弦定理及已知条件得
a2＋b2－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于，
所以absin C＝，由此得ab＝4.
联立方程组解得
(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.
联立方程组解得
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
22．解 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，
∠OCP＝120°.
在△POC中，由正弦定理得＝，
∴＝，∴CP＝sin θ.
又＝，∴OC＝sin(60°－θ)．
因此△POC的面积为
S(θ)＝CP·OCsin 120°
＝·sin θ·sin(60°－θ)×
＝sin θsin(60°－θ)
＝sin θ
＝2sin θ·cos θ－sin2θ
＝sin 2θ＋cos 2θ－
＝sin－
∴θ＝时，S(θ)取得最大值为.
课件30张PPT。第一章 阶段复习课 对所学知识及时总结，将其构建成知识网络，既有助于整体把握知识结构，又利于加深对知识间内在联系的理解。下面是本阶段的知识结构图，请要求学生从后面的备选答案中选择准确内容，填在框图中的相应位置。 正、余弦定理的应用
【名师指津】正、余弦定理体现了三角形中的边角关系，能实现边角的互化，应用这两个定理可解决以下几类问题：【特别提醒】应用正弦定理时，一定要注意解的个数.【例1】在△ABC中，已知 sinA+cosA＜0，
b=5，求c.
【审题指导】此题已知a，b及A的正弦值，求c，只需先求cosA，再利用余弦定理求c.【规范解答】∵sinA+cosA＜0，且
∴cosA＜-sinA＜0,
∴
又 b=5，由a2=b2+c2-2bccosA，得
整理得，c2+8c-20=0,解得，c=2或c=-10(舍),
∴c=2. 正、余弦定理的实际应用
【名师指津】正、余弦定理的实际应用应注意的问题：
(1)认真分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图；
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等；
(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形；(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累；
(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位.
【特别提醒】画示意图时，一定要根据题目中的已知元素，准确地画出示意图. 【例2】如图，渔船甲位于岛屿A的南
偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距
12海里，渔船乙以10海里/小时的速度
从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船
甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追
赶渔船乙，刚好用2小时追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值.【审题指导】在△ABC中，利用余弦定理求出BC的值，即可求出速度；注意∠BCA=α，所以求sinα 的值可在△ABC中解决.
【规范解答】(1)依题意，∠BAC=120°，AB=12，
AC=10×2=20，∠BCA=α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC
=122+202-2×12×20×cos120°=784,
解得,BC=28,所以渔船甲的速度为 海里/小时.
答：渔船甲的速度为14海里/小时.(2)方法一：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α,
由正弦定理，得
即
方法二：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，
∠BCA=α，
由余弦定理，得即
因为α为锐角，所以 判断三角形的形状
【名师指津】判断三角形的形状应注意：
(1)根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式)判断三角形的形状时，需要灵活应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系；
(2)判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
【特别提醒】当“sinA=sinB”时，有“A=B或A+B=π”.【例3】在△ABC中，△ABC的面积 且
2sinBsinC=sinA，试判断△ABC的形状.
【审题指导】角化边，或边化角.【规范解答】由 得
∴2absinC=a2+b2-c2，
∴2absinC=2abcosC，∴sinC=cosC,
∵C∈(0,π)，∴
由2sinBsinC=sinA，得
2sinBsinC=sin(B+C)，∴sin(B-C)=0
∵-π＜B-C＜π，∴B-C=0，即B=C
故△ABC为等腰直角三角形. 正、余弦定理与三角函数的综合应用
【名师指津】关于正、余弦定理与三角函数的综合应用：
(1)以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中，除了熟练使用正、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.(2)解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题，即方程问题，所以利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简.
【特别提醒】注意函数思想、方程思想的应用.【例4】已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量
(1)求角A；
(2)若 求tanC的值.
【审题指导】先利用向量数量积的定义，找出sinA，cosA的关系，再求出A.【规范解答】(1)因为
所以
因为 所以
(2)因为
所以cosB≠0, 所以tanB=2,
所以tanC=tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)1.在△ABC中，a=λ， A=45°，则满足此条件的三角
形的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数个
【解析】选A.由
∴
∴B不存在，∴△ABC不存在.2.在△ABC中，三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则
( )
(A)18 (B)19 (C)36 (D)38
【解析】选B.∵
∴3.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，
正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
(A)2h米 (B) 米
(C) 米 (D) 米
【解析】选A.如图,BC= AC=h，
∴ （米）.4.在△ABC中，b2-bc-2c2=0， 则△ABC的面积
为( )
(A) (B) (C)2 (D)3
【解析】选A.∵b2-bc-2c2=0，
∴(b-2c)(b+c)=0，b=2c
∵a2=c2+b2-2bc·cosA.
∴6=c2+4c2- 解得：c=2，b=4
∴5.正在向北航行的轮船看见正东方向有两座灯塔，过15分钟后，再看这两座灯塔，分别在正东南和南偏东75°的方向，两座灯塔相距10海里，则轮船的速度是________.
【解析】如图：设轮船的速度为x海里/时，则答案： 海里/时6.在△ABC中，已知a-b=4，a+c=2b，最大角为120°，求三角形的边长.
【解析】∵a-b=4＞0，∴a＞b，2b=a+c＞b+c,
∴c＜b，∴最大边为a,∵a=b+4，∴c=b-4,
∴
∴ 解得，b=10,
∴a=14，c=6.7.如图所示，地面上有一旗杆OP，为了
测得它的高度，在地面上选一基线AB，
测得AB=20 m，在A处测得点P的仰角为
30°，在B处测得点P的仰角为45°，同
时可测得∠AOB=60°，求旗杆的高度
(保留整数).【解析】设旗杆的高度为h，由题意，知∠OAP=30°,∠OBP=45°.
在Rt△AOP中，
在Rt△BOP中，
在△AOB中，由余弦定理，得
AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°
即
∴ h≈13 (m)
所以旗杆的高度约为13 m. 正余弦定理考点分析及例题讲解
考点回顾：
直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。
2．斜三角形中各元素间的关系：
如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
。（R为外接圆半径）
正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：
sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
＝＝＝＝2R；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
三角形面积公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或 .
（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，
如：
.
解三角形的问题一般可分为下面两种情形：
若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C = π；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：
典例解析
题型1：正弦定理
例1、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝
例2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
题型2：余弦定理
例1、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于( )
A．1 B．2 C.－1 D.
解析 由余弦定理得cosA＝，∴＝，
∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．
巩固练习：
1、在△ABC中，
(1)若a2＋b2－c2＝0，则C＝________；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________；
(3)若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝_______.
(4)在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A. B．3 C. D．5
2、在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于 ( )
A．60° B．45°或135° C．120° D．30°
题型3：正弦、余弦定理求角度
例1、(2013·湖南·文5)在锐角△ABC中,角A、B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( ).
3、在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则角C等于 ( )
A．30° B．120° C．60° D．150°
4、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
2．解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0<∠C<π，∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0<∠C<π，得cos C＝±.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得b2±b－12＝0(b>0)，解得b＝或2，
∴或
题型2：三角形面积
例1、在△ABC中，a＝10，b＝8，C＝30°，则△ABC的面积S＝ .
例2、在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则△ABC外接圆的面积是________．
例3、在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，求△ABC的面积．
题型3：正、余弦定理判断三角形形状
判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例1、在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
例2、在中，已知，那么一定是（ ）
直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
1、在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解 由余弦定理知
cos A＝，cos B＝，
cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
2、在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin2＝＝，
∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
3、已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析 ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
∴a2＋b2－c2＝－ab，
即＝－，
∴cos C＝－，∴∠C＝120°.
5、在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是 ( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
解析 ∵2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
6、在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为 ( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析 ∵a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，
不妨设a＝3，b＝5，c＝7，C为最大内角，则cos C＝＝－.
∴C＝120°.
∴最小外角为60°.
7、△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则( )
A．a>b B．a答案 A
解析 在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.
∵c＝a，∴2a2＝a2＋b2＋ab.
∴a2－b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b.
9、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
解析：设直角三角形三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所对的最大角变为锐角．
10、在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
11、在△ABC中，若＝＝，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：＝＝，∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
12、在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A. B．(10，＋∞) C．(0,10) D.
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C.∴013、在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.
14、在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( )
A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6
15、已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2 C. D．4
答案 A
解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
17、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，则c＝________.
解析 由正弦定理＝，得＝，∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
18、在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.
19、在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.
解析 ＝＝＝12.
∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
20、在△ABC中，求证：＝.
证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立，即＝.
22、在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，∴＝
＝＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.
23、在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝，cos ＝，
求△ABC的面积S.
解 cos B＝2cos2 －1＝，
故B为锐角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
解三角形复习课（一）
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题。
过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架，并通过练习、训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯，让学生在具体的实践中结合图形灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，有利地进一步突破难点。
情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验
●教学重点
1. 三角形的形状的确定（大边对大角，“两边和其中一边的对角”的讨论）；
2. 应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题（内角和的灵活运用）。
●教学难点
让学生转变观念，由记忆到理解，由解题公式的使用到结合图形去解题和校验。
●教学过程
【复习导入】近年广东高考中，解三角形的题目已填空、选择为主，难度要求每年有所不同，结合大题16题出题也不鲜见；关键是借三角形对于我们结合图形分析做题，以及锻炼严谨慎密的逻辑思维大有裨益。
1． 正弦定理: （2R可留待学生练习中补充）
.
余弦定理 ：
求角公式：
点评：文字语言有助于记忆， 符号语言方便应用。
2．思考：各公式所能求解的三角形题型？
正弦定理: 已知两角和一边或两边和其中一边的对角球其他边角，或两边夹角求面积。
余弦定理 ：已知两边和夹角求第三边，或已知三边求角。
点评：由公式出发记忆较为凌乱，解题往往由条件出发。
【合作探究】
1．结合图形记忆解三角形的题型和应用到的公式：（利用初中三角形全等的证明考虑确定形状）
已知条件
图形表示
简化条件
题目类型（求什么）
应用公式
3A
AAA相似
（大小不确定）
2A+S
AAS（全等）
ASA（全等）
求余边（注意边角对应，利用内角和可求得第三个角）
正弦定理
A+2S
SAS（全等）
求对角
正弦定理
求第三边
余弦定理
SSA（？）
求对角（注意讨论边角关系）
正弦定理
求余边（设X，解方程）
余弦定理
3S
SSS（全等）
求角
余弦定理
注：尽量让学生投影导学案演示说明。
思考：（1）还有没有其他的题型和解题办法？（HL直角三角形，简单；海伦公式，直接算）
（2）让你感到有难度的题型是哪个，有什么好的解决途径？（用几何画板动态演示）
点评：画图（先画教）可直接得出可能性，再去写正弦定理后续的边角关系讨论；如果图形理解有苦困难的，可设未知数利用余弦定理列方程解决。
【随堂练习】
1．配套练习：（主要要求学生说解题思路，然后才是校对答案）
（1）已知中， ，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
选题原因：中规中矩的题目，正弦定理两种形式的使用都考查了。
（2）已知中，且，则（ ）
A．2 B．4＋ C．4— D．
选题原因：考察画图，看上去是正弦定理的题目，实质上是两边夹角求第三边。
（3）已知中，，，，那么角等于（ ）
A． B．或 C． D．
选题原因：还是考察画图，大边对大脚基本可直接出答案。
（4）已知中，若,则角的大小是（ ）
A． B． C． D．
选题原因：纯粹边之间的关系，考虑余弦定理的变形使用。
（5）在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，则三角形的形状为 钝角三角形 。
选题原因：简单题目，可考察余弦定理及边角对应关系，但如果学生画图由6、8、10勾股数关系考虑变形，直接可得答案。
2．思维火花：
在△ABC中，已知A＝， b＝10， a为小于15的整数，则三角形有两解的概率是 。
（如果取消整数的限制呢?）
原创题：考虑学习的承前启后，佛山教材的必修顺序是一、四、五、三；刚学完概率统计，趁机复习古典概型和几何概型。（答案分别为2/5和1/2，学生多在数字的取舍和开闭区间当中迷糊）
【归纳小结一】 (注：学生导学案中有这些文字，主要留意学生能否点处当中的关键地方)
1．一般的解三角形的问题可归纳为“知三求其它”的问题，做题中注意结合画图和正余弦定理的使用条件可较快的得出解题思路。
2．已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理；解三角形时可能有一解、两解和无解三种情况）．
【达标测评】让学生分析今年试题考察的知识点及隐含的“陷阱”
（1）（2018广东文）设△的内角,,的对边分别为，，．若，，， 且，则（ ）
A． B． C． D．
点评：考察了三角函数(同角三角函数关系)和角三角形（正弦定理、边角关系），陷阱在于求得sinC为后，由，限定了C不能取，之后由等腰三角形轻松得答案，如果不画图，则易错且增加了运算的难度。（由余弦定理列方程求解是较为直接的办法，也要注意b（2）（2018广东理）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a =，sinB=，C=，则b = 。
点评：与文科考查基本一致，注意sinB=只能取（内角和限制），画图用初中直角三角形可轻松得答案，用正弦定理稍慢。
补充：(2018广东文)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝( )
A．4 B．2 C. D.
选题原因：画好图，搞好边角对应关系用正弦定理可轻松解决。
【巩固练习】
△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．
解：在△ABC中，
∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．
在△ACD中，
AC2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．
又∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝．
选题原因：简单考察画图，边角关系和正、余弦定理的简单分析应用。
（2）已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝∶2∶3，那么最大角与最小角之和是（ ）
A．135° B．90° C．120° D．150°
选题原因：正、余弦定理的简单组合应用，顺带考查了边角关系（画图可轻松获解）。
（3）①已知△ABC中，，试判断△ABC的形状。（等腰）
②已知△ABC中， ，试判断△ABC的形状。（等腰或直角）
选题原因：前面已经练习过的题目，担心学生只记答案（后面作业5、6题也有此警醒作用）其中第二小题中的sin2B=sian 2C需要注意2B、2C并不是三角形的内角。
【归纳小结二】
应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化问题，要注意公式及题目的隐含条件。
解三角形问题要注意结合图形，特别是三角形的相关性质( 内角和、边角关系)
【课后作业】（难度取舍不同，各班可按实际情况安排）
1.△ABC中,∠A、∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°,,那么满足条件的△ABC（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
2.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°
3.已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为 （ ）
A． B． C． D．
4.锐角△ABC中，，则 （ ）
A．Q>R>P B．P>Q>R C．R>Q>P D．Q>P>R
5.在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形
C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形
6.若则△ABC为 （ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形
7.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟
8.飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）
A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D． 米
9.设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a≥3 B．a＞1 C． 1＜a≤3 D．a＞0
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4
最后任务：1、我们在解三角函数的练习过程中，还需要注意什么细节？（把小组收集的错题展示，这是得分落后小组反超的机会）
2、在完成课后练习的同时，每人根据自己的薄弱环节（或易错点）进行命题。（端午回来进行小组间互测——基础分3分，出错题扣一分，对方出错加一分）
第一章解三角形过关检测
(时间:90分钟 满分:100分)
知识点分布表
知识点
利用正、余弦定理
解三角形
判断三角
形的形状
与三角形面积
有关的问题
三角形中的
有关计算
综合应用
实际应用问题
相应题号
1,7,11,15
5,16
2,3,17
6,8,12
4,9,14
10,13,18
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为( )
A.A>B
B.AC.A≥B
D.A,B的大小关系不能确定
答案:A
解析:∵sin A>sin B,∴2Rsin A>2Rsin B,
即a>b.∴A>B.
2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16
2
,则三角形的面积为( )
A.2
2
B.8
2
C.
2
D.
2
2
答案:C
解析:∵
??
sin??
=
??
sin??
=
??
sin??
=2R=8,∴sin C=
??
8
,
∴S△ABC=
1
2
absin C=
1
16
abc=
1
16
×16
2
=
2
.
3.在△ABC中,A=60°,AC=16,面积S=220
3
,则BC长为( )
A.20
6
B.75 C.51 D.49
答案:D
解析:由S=
1
2
AC·AB·sin A=
1
2
×16×AB·sin 60°=4
3
AB=220
3
,解得AB=55.再用余弦定理求得BC=49.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若
??
sin??
+
??
sin??
=2c,则A的大小是( )
A.
π
2
B.
π
3
C.
π
4
D.
π
6
答案:C
解析:∵
??
sin??
+
??
sin??
=2c,∴由正弦定理得2sin C=
??
??
+
??
??
≥2
??
??
·
??
??
=2,当且仅当
??
??
=
??
??
时等号成立,∴sin C=1,C=
π
2
,A=
π
4
.
5.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,则△ABC一定是0( )
A.等腰三角形但不是直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形但不是等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案:D
解析:由c=acos B得,c=a×
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
,
∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,
∴b=asin C=a×
??
??
=c,
∴△ABC是等腰直角三角形.
6.钝角三角形的三边为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围是( )
A.03
2
≤a<3
C.25
2
答案:B
解析:∵三角形为钝角三角形,
∴
??+??+1>??+2,
0>
??
2
+(??+1
)
2
-(??+2
)
2
2??(??+1)
≥-
1
2
?
3
2
≤a<3.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-bc=a2,且
??
??
=
3
,则角C的值为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
答案:C
解析:由b2+c2-bc=a2,
得b2+c2-a2=bc,
∴cos A=
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
=
1
2
.
∴A=60°,又
??
??
=
3
,∴
sin??
sin??
=
3
.
∴sin B=
3
3
sin A=
3
3
×
3
2
=
1
2
.
∴B=30°,∴C=180°-A-B=90°.
/
8.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=
3
BD,BC=2BD,则sin C的值为( )
A.
3
3
B.
3
6
C.
6
3
D.
6
6
答案:D
解析:设BD=a,则BC=2a,AB=AD=
3
2
a.
在△ABD中,由余弦定理,得
cos A=
??
??
2
+??
??
2
-??
??
2
2????·????
=
3
2
??
2
+
3
2
??
2
-
??
2
2×
3
2
??·
3
2
??
=
1
3
.
又∵A为△ABC的内角,∴sin A=
2
2
3
.
在△ABC中,由正弦定理得,
????
sin??
=
????
sin??
.
∴sin C=
????
????
·sin A=
3
2
??
2??
·
2
2
3
=
6
6
.
9.设a,b,c是△ABC的三条边长,对任意实数x,f(x)=b2x2+(b2+c2-a2)x+c2,有( )
A.f(x)=0 B.f(x)>0
C.f(x)≤0 D.f(x)<0
答案:B
解析:由余弦定理可得f(x)=b2x2+2bccos A·x+c2,
∵Δ=(2bccos A)2-4b2c2=4b2c2·(cos2A-1)<0,且b2>0,∴f(x)>0.
10.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )
/
A.30(
3
+1) m B.120(
3
-1) m
C.180(
2
-1) m D.240(
3
-1) m
答案:B
解析:如图,∠DAB=15°,
/
∵tan 15°=tan(45°-30°)=
tan45°-tan30°
1+tan45°tan30°
=2-
3
.
在Rt△ADB中,又AD=60,
∴DB=AD·tan 15°=60×(2-
3
)=120-60
3
.
在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,
∴DC=AD·tan 60°=60
3
.
∴BC=DC-DB=60
3
-(120-60
3
)=120(
3
-1)(m).
∴河流的宽度BC等于120(
3
-1) m,故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.设△ABC的外接圆半径为4,且sin Bsin C+sin2B+sin2C=sin2A,则a= .?
答案:4
3
解析:依题意,得bc+b2+c2=a2,
即cos A=
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
=-
????
2????
=-
1
2
,
∴cos A=-
1
2
,A=120°.又∵
??
sin??
=2R,
∴a=2Rsin A=2×4×sin 120°=4
3
.
12.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则
????
cos??
= ,AC的取值范围为 .?
答案:2 (
2
,
3
)
解析:由正弦定理得
????
sin??
=
????
sin??
.
∵B=2A,BC=1,∴
????
sin2??
=
1
sin??
.
∴
????
cos??
=2.
∵△ABC是锐角三角形,
∴0°<2A<90°且A+B=3A>90°,
∴30°又AC=2cos A,
∴AC∈(
2
,
3
).
13.如图,在山底测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为 m.?
/
答案:1 000
解析:如图,∠SAB=45°-30°=15°,
/
又∠SBD=15°,∴∠ABS=30°.
又AS=1 000 m,由正弦定理知
????
sin15°
=
1 000
sin30°
,
∴BS=2 000sin 15°.
∴BD=BS·sin 75°=2 000sin 15°·cos 15°=1 000sin 30°=500(m),
且DC=ST=1 000sin 30°=500(m),
从而BC=DC+DB=1 000(m).
14.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,向量m=(
3
,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B= .?
答案:
π
6
解析:由m⊥n,得
3
cos A-sin A=0,即A=
π
3
.
由余弦定理及acos B+bcos A=csin C,有a·
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
+b·
??
2
+
??
2
-
??
2
2????
=csin C,
即2c2=2c2sin C,∴sin C=1,
解得C=
π
2
,∴B=π-
π
2
?
π
3
=
π
6
.
三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)
15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=
3
acos B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
解:(1)由bsin A=
3
acos B及正弦定理
??
sin??
=
??
sin??
,得sin B=
3
cos B,
所以tan B=
3
,所以B=
π
3
.
(2)由sin C=2sin A及
??
sin??
=
??
sin??
,得c=2a.
由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accos B,
得9=a2+c2-ac.
所以a=
3
,c=2
3
.
16.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.
(1)求A的大小;
(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.
解:(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,则a2=b2+c2+bc.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得cos A=-
1
2
.
又A∈(0°,180°),∴A=120°.
(2)由(1)中a2=b2+c2+bc,结合正弦定理,
可得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=
3
4
.
又sin B+sin C=1,∴sin B=sin C=
1
2
.
∵0°∴△ABC是等腰钝角三角形.
17.已知a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,B=
π
3
,c=8,cos C=-
1
7
.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)∵cos C=-
1
7
,∴sin C=
1-co
s
2
??
=
4
3
7
.
∵
??
sin??
=
??
sin??
,B=
π
3
,∴
8
4
3
7
=
??
3
2
,即b=7.
(2)∵sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C
=
3
2
×
-
1
7
+
1
2
×
4
3
7
=
3
3
14
,
∴S△ABC=
1
2
bcsin A=
1
2
×8×7×
3
3
14
=6
3
.
/
18.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=
12
13
,cos C=
3
5
.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)在△ABC中,因为cos A=
12
13
,cos C=
3
5
,
所以sin A=
5
13
,sin C=
4
5
.
从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=
5
13
×
3
5
+
12
13
×
4
5
=
63
65
.
由正弦定理得
????
sin??
=
????
sin??
,
得AB=
????
sin??
×sin C=
1 260
63
65
×
4
5
=1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距离A处130t m,
所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×
12
13
=200(37t2-70t+50),
因为0≤t≤
1 040
130
,即0≤t≤8,
故当t=
35
37
(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理
????
sin??
=
????
sin??
,
得BC=
????
sin??
×sin A=
1 260
63
65
×
5
13
=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min,
由题意得-3≤
500
??
?
710
50
≤3,
解得
1 250
43
≤v≤
625
14
,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在
1 250
43
,
625
14
(单位:m/min)内.
课件43张PPT。知识整合提升
1．深化对正、余弦定理的理解
正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形．
2．剖析斜三角形的类型与解法
正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c)：3.解读判断三角形形状的两种方法
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：
(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状；
(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状．
注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当a2＋b2c2，b2＋c2>a2，c2＋a2>b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．4．细解正、余弦定理解实际应用题的步骤
实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解．解三角形应用题的一般步骤是：
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3)选择正弦定理或余弦定理求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求．热点考点例析【点拨】 一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类有通过边来判断与通过角来判断两种．利用正、余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
[思维点击] 结合正弦定理将边角关系转化为角的关系或结合余弦定理将边角关系转化为边的关系加以判断． 1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．【点拨】 正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据． 正、余弦定理的综合应用[思维点击] (1)利用正弦定理将边化为角，然后进行三角恒等变换求解．
(2)利用余弦定理将角化为边，利用方程组求解．答案： B答案： D
3．在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定解析： 如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，
在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，
AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°
＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/时．
故选B.
答案： B二、填空题
5．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________.谢谢观看！