板块 考试要求
A级要求 B级要求 C级要求
全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
全等三角形的认识与性质
全等图形：
能够完全重合的两个图形就是全等图形．
全等多边形：
能够完全重合的多边形就是全等多边形．
相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
如下图，两个全等的五边形，记作：五边形≌五边形．
这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．
全等三角形：
能够完全重合的三角形就是全等三角形．
全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；
反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．
全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．
全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
板块一 全等三角形的认识
⑴ 考查下列命题：①有两边及一角对应相等的两个三角形全等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有_________个．
⑵ 已知中，，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个．
⑶ 如图，在中，，垂足为．分别是上的点，且．如果，那么__________．
⑷ 如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是______．
⑴ ，注：正确的是②③；⑵ ；⑶ ；⑷
如图所示，，下面四个结论中，不正确的是（ ）
A.和的面积相等 B.和的周长相等
C. D.，且
C
如图所示，，，在上，与相交于．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．
共10对全等三角形．
≌；≌；≌；
≌；≌；≌；
≌；≌；≌；
≌．
【补充】在、上各取一点、，使，连接、相交于再连结、，若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．
有对：≌；≌；≌；≌；≌；理由略．
板块二、三角形全等的判定与应用
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
判定三角形全等的基本思路：
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：
⑴ 平移全等型
⑵ 对称全等型
⑶ 旋转全等型
由全等可得到的相关定理：
⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．
⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)．
⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．
⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．
⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．
⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
如图，，，．求证：．
∵，∴
∵，∴
又∵
∴
∴
∴
即
【补充】如图所示：，．求证：．
连接，∵，∴，利用证明≌，
∴，∴．
已知：如图，、、、四点在同一条直线上，，，．求证：．
∵，∴，∴
在与中
∴ ∴，
∴ ∴ ∴
【补充】已知：如图，，，求证：．
连结
在与中
∴
∴
【补充】如图，在梯形中，，为中点，连结并延长交的延长线于点．求证：．
∵
∴
又∵
∴
∴
如图，相交于点，，、为上两点，，．求证：．
∵，∴
在和中
∴，∴
∵，∴
在和中
∴，∴，∴
【补充】已知，如图，，，，求证：．
在和
∴，．
另一方法：面积法．
，∵，∴．
等腰三角形两腰上的高相等．
如图，，垂足分别为，试说明
因为 (已知)，所以，因为，所以(直角三角形两锐角互余).所以 (同角的余角相等).因为，(已知)，所以 (垂直的定义).在和中，，所以,所以， (全等三角形的对应边相等)，所以
.所以
如图，设和都是正三角形，且，则 的度数是( )
A． B． C． D．
分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系．
解 易知，，于是，
从而．
注意到，，
，可算出，选B．
如图所示， 已知，，，证明：．
∵， ∴， 即．
在和中， ，∴≌()
∴，在和中，
∴≌()，∴．
、分别是正方形的、边上的点，且．求证：．
在和中
∴ ∴
∵ ∴ ∴
【补充】、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：．
显然，，
∴，
∴
在凸五边形中，，，，为中点．求证：．
延长，，交直线于，．
∵．
∴．
∵．
∴．
∴在与中
∴
∴．．
∴
∵
∴
∴在与中
∴
∴
∴
【补充】如图所示：，，，．求证：．
分别连接、、，利用证得≌，
∴，利用证得≌，
∴，∴．
可先讲解变式，通过此例体会添加辅助线的基本切入点．
（1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判
断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？
⑴△ABC与△AEG面积相等.理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC＝∠ANG＝90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴∠BAE＝∠CAG＝90°，AB＝AE，AC＝AG，∴∠BAC+∠EAG＝180°，∵∠EAG+∠GAN＝180°，∴∠BAC＝∠GAN，∴△ACM≌△AGN，∴CM＝GN.∵S△ABC＝AB×CM，S△AEG＝AE×GN，∴S△ABC＝S△AEG.
（2）解：由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，∴这条小路的面积为(a+2b)平方米.
如图，中，，，是上一点，且，交于点．求证：．
解法一：如图，连结．
∵，
∴．
∵，∴．
在与中，，公共，，
∵，．
∵，．
∴．∴．
解法二：连结．
∵，
∴．
∵，．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，∴．
∵，
∴．
∴．
中，，为上一点，使得，为上一点，使得，连、交于点．试求的度数，并写出你的推理证明的过程．
的度数为
证明过程如下：
如图过点作的垂线，使，连接、，
于是因为且，所以四边形是平行四边形．
从而，
又因为，得到，进而在与中，
，
所以，
这样，而，
所以．
又因为，
所以得到是一个等腰直角三角形，
所以，利用，从而得到．
如图，是的内心，且．若，求和的大小．
因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题容易解决．
如图，在上取点，使，连接．
因为，
所以．
在和中，
，，．
所以．
于是．
所以．
因为，
所以，．
又是等腰的外角，
所以，．
在中，，，
所以．
已知：是的高，点在的延长线上，，点在上，，求证：⑴；⑵．
如图，设交于．
⑴ 由，，知
．
而，
故．
由已知，有，，从而，
即有．
⑵ 由⑴可得，而
．
．
从而可得，即．
⑴ 如左下图，在矩形中，为延长线上一点且，为的中点．求证：．
⑵ 如右下图，在中，、分别为边、的高，为的中点，于．求证：．
⑴ 如图，连结．
∵，为的中点
∴
∴
∵四边形是矩形
∴，，
∵为的中点
∴
∴
∴，即
∵，
∴
∴
∴
∴．
⑵ 如图，连结、．
∵、分别为边、上的高
∴
又∵为上的中点
∴
∵，
∴
又∵，∴．
如图，已知，且．求证：是等腰三角形．
延长到，使得，连接．
∵，∴，
即．
∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形．
如图，为边长是的等边三角形，为顶角是的等腰三角形，以为顶点作一个角，角的两边分别交于，于，连接，形成一个．求的周长．
分析 考虑特殊情况，，此时不难计算出的周长为，于是可考虑证明：，即证 ．采用截长补短法可解之．
解 延长到，使，连接．
易知在与中有，，，从而．
∴，．
于是在与中有：，，
．
从而，故．
∴
．
说明 本题通过考虑特殊情况得到可能的结论，然后进行一般的证明．从特殊性看问题，从极端情况考虑问题，从特殊到一般是数学中常用的思想方法．
我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？
⑴ 阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等(证明略)．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，
可证明如下：已知：、均为锐角三角形，，，．
求证：．
(请你将下列证明过程补充完整．)
证明：分别过点，作于，于．则，
∵，，
∴
∴
⑵ 归纳与叙述：
由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
⑴ 又∵，，∴∴，
又∵，，∴．
⑵ 若、均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，且，
，，则．
???
已知：如图，，，． 求证：．
∵，∴
∵，∴
∵，∴即
∴，∴．
已知：△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：∠P的度数及DE的长.
∵△DEF≌△MNP，∴DE＝MN，∠D＝∠M，∠E＝∠N，∠F＝∠P，∴∠M＝48°，∠N＝52°，
∴∠P＝180°－48°－52°＝80°，DE＝MN＝12cm.
【习题3】如图，矩形中，是上一点，交于点，若，矩形周长为，且，求的长．
∵，∴．
∵，
∴．
在三角形与中，，，
，
∴．
∴．
∵矩形周长为，
∴．
∵，
∴且．∴．
即．
【习题4】在四边形中，，的平分线交于．求证：当是的角平分线时，有．
在上截取，使，连，则可得
．
∴．
∵，知
．
∵．
∴．
注意到平分，公用，
∴，∴．
∴．
如图所示：，，、相交于点．求证：平分．
利用证得≌，∴，
根据已知可得，利用证得≌，
∴，利用证得≌，
∴，∴平分．
如图所示，在中，于点，．求证：．
由已知，知如果我们在上截取，连接，就可以构造出两个等腰三角形和．
如图，在上截取，连接．
因为，，
所以，于是，
又因为，，
所以，
于是，
故．
如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG＝CF.
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.
（1）∵AC∥BG，∴∠GBD＝∠C，在△GBD与△FCD中，∠GBD＝∠C，BD＝CD，∠BDG＝∠CDF，
∴△GBD≌△FCD，∴BG＝CF.
（2）BE+CF＞EF，又∵△GBD≌△FCD(已证) ，∴GD＝FD，在△GDE与△FDE中，GD＝FD，∠GDE＝∠FDE＝90°，DE＝DE，∴△GDE≌△FDE(SAS) ，∴EG＝EF，∵BE+BG＞GE，∴BE+CF＞EF.
第一讲
全等三角形的
性质及判定
中考要求
知识点睛
重、难点
重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点
难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
例题精讲
图2
家庭作业
月测备选
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板块 考试要求
A级要求 B级要求 C级要求
全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
版块一 倍长中线
在△中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？
中线倍长，
【点评】此题很好的运用中线倍长的方法，若运用其他的方法将会更加麻烦
【补充】已知：中，是中线．求证：．
如图所示，延长到，使，连结，
利用证得≌，∴
中，，∴
∴
已知：如图，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：．
∵点是中点
∴
又∵，在延长线上
∴，
在与中
∴
如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，．求证：．
∵，∴．
又∵，，
∴．
如图，中，，是中线．求证：．
延长到，使，连结．
在和中
∴
∴，
在中，∵，∴
∴，∴．(如果取中点用中位线也可证，目前还不能)
如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．
延长到，使，连结
∵，，
∴
∴．
又∵，∴
∴
∴，∴．
如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，，，求证．
如图所示，分别延长、至、，使，．
连接、，则，．
因为，所以．
在和中，，，，
故，从而，．
同理，，则，．
因为，所以．
在和中，，，，
所以，从而，，故，则．
在和中，，，，故．
如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．
延长到点，使，连结．
在和中
∴
∴，
∴，而
∴
又∵
∴，
∴
∴为的角平分线．
已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．
延长到，使，连结、．
易证≌，∴，
又∵，的平分线分别交于、交于，
∴，
利用证明≌，∴，
在中，，∴．
在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？
延长到点，使，连结、．
在和中
∴
∴，
∵
∴
∴
在和中
∴
∴
故以线段、、为边能构成一个直角三角形．
如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证．
延长至，使，连接、、．
因为，，，则．
从而，．
而，，故，因此，
即，则，即．
因为，故，则．
为Rt斜边上的中线，故．
由此可得．
在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．
如图、延长至点，使得，联结、．
由，有
．
又，
．
如图所示，，是的中点，，，求证．
如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点．
容易证明
则，，从而，
而，，故
从而，故
而
故，亦即．
版块二、中位线的应用
是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．
取的中点，连接易得，
为的中点，所以，从而可证得：．
如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．
解法一：如图所示，延长到，使．
容易证明，从而，而，故．
注意到，
，
故，而公用，故，
因此．
解法二：如图所示，取的中点，连接．
因为是的中点，是的中点，
故是的中位线，从而，
由可得，故，
从而，．
已知：ABCD是凸四边形，且AC∠GNM．
取AB中点H，连接EH、FH．
∵AE=ED，AH=BH
∴EH∥BD，EH=BD
∴∠GNM=∠HEF
∵AH=BH，BF=CF
∴FH∥AC，FH=AC
∴∠GMN=∠HFE
∵AC∴FH∴∠HEF<∠HFE
∴∠GMN>∠GNM
在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．
过作交于
∵
∴
又∵，，
∴，
∴
∴
又∵
∴
故
∴且．
如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．
取中点，中点．连结、、、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，，，，
∴，∵，∴．
∴．同理可证．
∵，∴．
∴，
即，∴，∴．
如图所示，是内的一点，，过作于，于，为的中点，求证．
如图所示，取、的中点、，连接、、、，
则有且，且．
因为和都是直角三角形，
故，，从而，．
又因为，，
而，且，所以，
从而，故．
如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：
(1) ；
(2) ．
⑴ 如图所示，根据题意可知且，
且，
所以．
而、分别是直角三角形、的斜边的中点，
所以，，
又已知，
从而．
(2) 由(1)可知，
则由可得．
而、均为等腰三角形，
所以．
已知，如图四边形中，，、分别是和的中点，、、的延长线分别交于、两点． 求证：．
连接，取中点，连接、．
∵，，∴，，同理，，
∵，∴，∴
∵，
∴，，∴
【点评】“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．
已知：在中，，动点绕 的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．
⑴ 如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明)．
⑵ 当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
图2：
图3：
证明：在图2中，取的中点，连结、
∵是的中点，是的中点
∴，
∴
同理，，
∴
∵
∴，
∴
∴
证明图3的过程与证明图2过程相似．
如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：FM=AC．
过点E、D、B分别作AC的垂线，垂足分别为H、K、N．
由基本图可知，△AEH≌△BAN，△BCN≌△CDK，故AH=BN=CK，EH=AN，DK=CN．
又EF=DF，FM⊥AC，EH⊥AC，DK⊥AC，故FM=(EH+DK)=(AN+NC)=AC
已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN
证明：取AB中点Q，AC中点R
连结PQ，PR，MQ，NR
PQ∥AC，PQ＝AC＝NR
PR∥AB，PR＝MQ
∠PQM＝∠PRN(两边分别垂直)
∴△PQM△NRP， PM＝PN
如图，在等腰中，，是的中点，过作，，且．
求证：．
本题相对例题简单一些．
连结，则．
∵，，∴
∴，∴．
如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？
延长到，使，连结
∵，，
∴．
∴．
又∵，∴
∴，而
∴，故．
如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．
如右下图，则取边中点，连结、．
由中位线可得，且．为斜边上的中线，∴．
∴，又∵，即，
∴，∴，∴．
【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．
求证：∠E=∠F
(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，过而△EOD≌△FOB，故∠E=∠F)
【备选2】如图，中，，，是中点，，与交于，与 交于．求证：，．
方法一：连结．
∵，
∴
∵是中点
∴且
∵
∴
∵
∴
在与中，，，
∴
∴．∴．
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板块 考试要求
A级要求 B级要求 C级要求
全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质：
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
它们具有互逆性．
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，
3． ，这种对称的图形应用得也较为普遍，
如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，求的面积．
∵点为中角平分线的交点，
∴点到三边距离相等．
∴
如图所示：，，、相交于点．求证：平分．
利用证得≌，∴，
根据已知可得，利用证得≌，
∴，利用证得≌，
∴，∴平分
已知中，，、分别是及平分线．求证：．
∵
∴
∵平分，∴．
同理．
在与中，，，
∴，∴．
点评：其实就是等腰三角形底角平分线相等．
在中，为边上的点，已知，，求证：．
延长到，使，连结，
在和中
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴．
已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
理由是：在上截取，连结
利用证得≌
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
利用证得≌
∴
∴
【点评】此题老师在证明角度相等的时候，可以不用讲义给的方法，而是根据来证明
如图，已知是上的一点，又，．求证：．
∵，，
∴
∴
∴，
∴
∴
如图所示，是和的平分线，，．求证：．
∵是和的角平分线
∴，
∴
在和中
∴(SAS)，∴．
如图，在中，，、分别平分、，且与的交点为．求证：．
在上截取，连结，，
，，可推出，
进而证明，，进而得．
长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．
由AB=4，AE平分∠BAD可知BE=AB=CD=4． 由基本图可知△BEF≌△CDE，故EF=DE
又BC=7，BE=4，故CE=3． 由勾股定理可知，DE=5． 从而可知EF=5．
如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥
延长到，使，连结，利用证明≌，
∴，，又，∴，∴，∴，
∵平分，∴，∴，∴∥．
【补充】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．
延长到点，使，连结．
在和中
∴
∴，
∴，而
∴
又∵
∴，
∴
∴为的角平分线．
如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°．求AD的长．
在AB上取点E，使得AE=AC=3，连接CE，过点B作CE的平行线，交AC的延长线于点F，延长AD交BF于点M．
∵∠CAD=∠EAD，AC=AE
∴点C、E关于AD对称
∴AD⊥CE，EP=CP
∵CE∥BF
∴AM⊥BF，BM=FM
∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC
∴∠BAD=60°
∴AM=AB=3
∵
∴
∴AD=AM
∴AD=2
如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．
，理由如下．
如图所示，在的延长线上截取，连接．
因为是的外角平分线，
故．
在和中，，，公用，
因此，
从而．
在中，，
而，
故．
【补充】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．
在上截取，连结，根据证得≌，∴，
又中，，，∴
如图所示，AD是的角平分线，DE、DF分别是的高，，则等于________．
方法一：易证，△DEF为等腰三角形．又由，则∠EDF＝180－40＝140度，则∠BAC＝360－90－90－140＝40度．
方法二：在三角形中，，
【点评】此题老师可以采用第二种方法，但是第一种方法旨在让学生更加熟悉角平分线的性质
如图，在中，，的平分线交与．求证：．
方法一：在上取一点，使得
连结．
在和中
，
∴
∴，
又∵
，∴．
方法二：在的延长线上取一点
使得，连结．
在和中，
，
∴，∴
又∵
∴∴，∴．
方法三：延长到点
使得，连结
则有
又∵，∴
又∵
∴，∴
方法四：如图，作平分交、于、点
延长到，使，连结
∴
∵，∴．∴
∵，∴
∵，又
即．∴
∴．∴
∵
且
∵，∴．∴
同理
∵，，∴．∴
【补充】如图，中，，，平分交于点．求证：．
方法一：在上截取点使，连结．
∵平分，∴．
在与中
∵，，
∴，∴
∵， ∴，∴．
又∵
∴
∴
∴
∵，∴
方法二：如图，延长到，使，连结．
∵，且，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．又∵
∴．
∴．∴．
【补充】已知等腰，，的平分线交于，则．
解法一：如图，在上截取，连接，
过作，交于，于是，．
又∵，
∴，故．显然是等腰梯形．
∴，．
∵，
，
∴，∴，∴，．
又∵，∴．
解法二：如图，延长到，使，在上截取．
∵，为公共边，∴，，．
∵，
∴．
∴，故，．
∵，∴．∴，．
∵，
∴．
∵，∴，故．
∴，故．
∵，∴．
解法三：如图，延长到，使．延长到，使．连接、、．
∵，公共，
∴．
∴，．
又∵，，
∴．
∵，．
∴，
∴．
而．
∴．
又公共，∴．∴．
∴
如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．
题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰，之后再证明是的中位线即可．
如图所示，延长、相交于点，
在和中，，，，
故，
从而，．
而，
故是的中位线，
从而．
【补充】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且．
如图所示，延长到，使，连接．
在和中，，，，故，
从而、、三点共线，且是的中点，是的中位线，
故，且
【补充】如图所示，在中，平分，，于，求证．
如图所示，延长、相交于．
取的中点，连接，则，
故，则．
容易证明，故．
因此．
如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．
如图所示，延长到，使，连接、．
因为，故，则．
因为，故．
因为，，故．
因为，故．
因为平分，故．
在和中，，，，
故，从而，因此．
点评：实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．
如图，中，，、分别为两底角的外角平分线，于，于．求证：．
∵，∴
∵，
∴，∴．
∵、是角平分线
∴．
在与中，，
，，，
∴，∴．
【补充】已知：和分别是的和的外角平分线，，，求证：⑴ ；⑵ ．
大凡涉及角平分线的问题，常常隐含着全等三角形的问题，从而获得等边、等角，以助证题．
如图所示，延长、分别交直线于、两点，
则易证得，．
于是可得、分别为、的中点．至此，命题容易获证．
在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，
延长、相交于点，延长、相交于点，易证
，，
∴，，，
∴，且．
【补充】在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，
延长、相交于点，延长、相交于点，
易证，，
∴，，，
∴
且．
在中，、分别为、边上的高，，求证：．
取、的中点，连结，∵，∴．
从而得，，，．
又因，故．
【补充】如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？
作交的延长线于，可推出，易证△≌△，
∴
如图，，平分，平分，点在上．
探讨线段、和之间的等量关系．
探讨线段与之间的位置关系．
① ；②
在线段上取点，使，连结．
在和中
∴
∴，
∵
而
∴
在和中
∴
∴，
∴，
如图所示，在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，FG平行于BC交AB于G． AE=4，AB=14，则BG=______．
角平分线、直角．
过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；
由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE＝AF；则有EH＝EA＝AF；
又可证△AGF≌△BHE，则AG＝EB＝14－4＝10，则BG＝10－6＝4．
【补充】如图所示，在Rt三角形ABC中，于H，AG平分，交CH于D，交BC于G，在BC上取BE=CG，连接ED，证明：是直角三角形．
直角三角形、角平分线
过G做GF垂直AB于F；由角的关系易得∠CDG=∠CGD，即CG＝CD；
易证△ACG≌△AFG；CG＝GF＝CD；CE＝GB，∠HCB=∠FGB；
综合得到，△CGE≌△GFB，得证．
在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．
解法一：如图．，4点共圆，．
又，，，故．
解法二：如图，连接
是的平分线，，，
，．
，，
，，，
，四边形是菱形．
．
解法三：如图．
，，公共，
．，．
是的中垂线，故．
解法四：如图，延长交于，连接．
，，，
．
显然，．
又，4点共圆，
为等腰梯形，为等腰三角形．
，．
而，．
如图所示，，是的中点，，，求证．
如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点．容易证明，则，，从而，．
而，，故，
从而，故．
而，故，亦即．
【补充】⑴在中，，延长到，与 的角平分线相交于点，与的角平分线交于，…，依次类推与的角平分线交于，求大小．
⑵(初二第届希望杯试)如右上图，是的角平分线，是角的平分线，与 交于，若，，求的度数．
⑴在此教师帮助学生回忆补充第2讲的几个重要结论．
根据结论易得：，同理，，，
⑵延长交于，则
∵
∴①
∵，
∴
∴
即②
②－①得
∴
如图，在中，，、分别是、的平分线，，．求证：．
如图，作，交于，交于．
∵为等腰三角形，且平分
∴为中点，且
∵平分，且
∴为等腰三角形，且为的中点
又∵
∴，且为中点，即
可以发现四边形为矩形，于是
∴
???
【习题1】在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．
延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为之中点，故易得．
【习题2】如图，在中，，的平分线交与．求证：．
方法一：在上取一点，
使得，
连结．
在和中，
，，
．
∴，
∴，
又∵，∴
．
其他方法参考例题．
【习题3】是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：．
由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形．
延长交的延长线于点，易证得，
所以为的中点，又，所以为的中位线，故．
这道题目是典型的“补图”，凸显题目中的条件．
【习题4】如图所示，AD平行于BC，，，AD=4，BC=2，那么AB=________．
过E做EF交AB于F，使AF＝AD，易证ADEAFE；EFBEBC则AB＝AD＋BC＝6．
【习题5】中，为中点，交的平分线于点，于 于．求证：．
连接、．
垂直平分，∴，
平分，，，∴，
又，∴≌()，∴，
【备选1】在中，平分，．求的值．
在上截取，连结
根据证得≌，∴，，
结合已知可得，∴，∴，
【备选2】如图，已知在中，，，．求证：．
延长交于．
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴
∴
∴．
【备选3】如图所示，在四边形中，，的平分线交于，求证：当是的平分线时，有．
如图所示，在上截取，使．
连接，则可得，于是．
由可知．
而，从而．
注意到平分，公用，
由角边角公理的推论可知，
从而，故．
第三讲
全等三角形中的角平分线
中考要求
知识点睛
重、难点
重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点
难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
例题精讲
A
D
O
C
B
家庭作业
月测备选
- 2 -
板块 考试要求
A级要求 B级要求 C级要求
全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题
基本知识
把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形．
很明显，旋转变换具有以下基本性质：
①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；
②对应直线的交角等于旋转角．
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演．
如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是( )．
A
如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )．
A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到
D
已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：．
∵、是等边三角形，
∴，，
∴，∴
【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形．
如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( )．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
C
【补充】已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．求证：平分．
过点作于，于，由，
利用进而再证，可得到，故平分．
【补充】如图，点为线段上一点，、是等边三角形．
请你证明：
⑴；
⑵；
⑶平分．
此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．
与三角形各内角相等，
及平行线所形成的内错角及同位角相等；
全等三角形推导出来的对应角相等…
推到而得的：；
，，，；
，；
，，；
为等边三角形．
⑴∵、是等边三角形，
∴，，
∴，∴
⑵由易推得，所以，又，
进而可得为等边三角形．易得．
⑶过点作于，于，由，
利用进而再证，可得，故平分．
如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结，分别交，于，点．求证：．
∵与都是等边三角形
∴，及
∵，，三点共线
∴，
∴
在与中
∴，
∴
∵，
∴
在与中
∴，∴．
如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：．
∵
∴
在和中
∴ ∴
【补充】如下图，在线段同侧作两个等边三角形和()，点与点分别是线段和的中点，则是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．非等腰三角形
易得．所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的．又为线段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得．所以且，，故是等边三角形，选C．
如图，等边三角形与等边共顶点于点．求证：．
∵是等边三角形，∴，．
∴，同理，．∴
在与 中，
∴，∴．
如图，点为线段上一点，、是等边三角形，是中点，是中点，求证：是等边三角形．
∵，∴，
又∵、分别是、的中点，
∴，∴，
∴
∴是等边三角形
如图，是等边内的一点，且，，，问的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．
连接，将条件，这两个条件，易得()，得，由，，(公共边)，知()，∴．故的度数是定值．
如图，等腰直角三角形中，，，为中点，．求证：为定值．
连结由上可知，，，，而，．
∴，∴，∴．
【补充】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．
正方形中，，
而，
∴，∴
∴，∴
(2004河北)如图，已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且． 求证：．
证明：因为四边形是正方形，所以，
．因为，
所以，所以
，故≌，故．
【补充】如图所示，在四边形中，，，于，若四边形 的面积是16，求的长．
如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把逆时针旋转，得到正方形)
正方形的面积等于四边形面积为，∴．
在等腰的斜边上取两点、，使，记，，，则以、、为边长的三角形的形状是( )．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随、、的变化而变化
如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，
则，，，
∴．
∴，∴
又易得，∴在中，有，故应选(B)
【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．
⑴求证：．
⑵设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．
⑴ 证明： 如图，延长至点，使得，连结．
因为是正方形，所以在和中，，
，．
∴，
∴，．
又 ∵ 是的平分线．
∴，
∴．
即．
∵，∴，
∴，∴．
即．
∴，得证．
⑵ ． (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)
∵，
∴
由⑴知，，
所以．
在中，，，
∴，∴．
由上式可知，当达到最大值时，最大．而，
所以，当时，
最大值为．
、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．
延长至，使，连结，易证，，．
再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有．
请阅读下列材料：
已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴ 猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵ 当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
⑴
证明：根据绕点顺时针旋转得到
∴
∴，，，
在中
∵
∴
∴
即
∴
又∵
∴
∴
即
∴
∴
∴
⑵ 关系式仍然成立
证明：将沿直线对折，得，连
∴
∴，
，
又∵，∴
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴在中
即
【补充】(1)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF＝BEFD;
(2) 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．
证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG．
∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝， AB＝AD，
∴．
∴AG＝AF， ．
∴．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE＝AE，
∴．
∴EG＝EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF= BE＋FD
(2) (1)中的结论仍然成立．
如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
如图所示，延长到使．
在与中，因为，，，
所以，故．
因为，，所以．
又因为，所以．
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为．
在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．
⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=__________
⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)
BM+NC=MN;
(2)猜想：仍然成立
证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE
由是等边三角形，，
，
在与中
的周长==
而等边的周长
(3)
平面上三个正三角形，，两两共只有一个顶点，求证：与平分．
连接与
∵，
∴，
∴在与中
∴
∴
在与中
∴
∴
∴为平行四边形，
∴，互相平分．
已知：如图，、、都是等边三角形，且、、共线，．求证：也是等边三角形．
连结，∵，，，
所以，并且与的夹角为，
延长交于，
则
．
又因为，．
所以．
所以，
．
如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：(1);(2)
证明△≌△;(2)作，，先证△≌△，△≌△，再证△≌△
【补充】以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG．
易证，故，又，，故．
如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积．
我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积并不容易，至此思路中断．
我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的“截长补短法”，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)？据此，连接，则发现≌，且，，，是底、高各为的三角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为．
在五边形中，已知，，，连接．求证：平分．
连接．由于，．
我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而，
所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，．
所以．
在与中，
因为，，，
故≌，
因此，即平分．
???
如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与相等的理由．
∵，，
∴
∴
又∵
∴
已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：．
∵
∴
在和中
∴
∴
在梯形中，，，，，，是中点，试判断与的位置关系，并写出推理过程．
延长交延长线于点．
是中点，，
，，，
在和中，
，
又，
在和中，
，
已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．、分别是、 的高．求证：．
由，利用进而再证，可得到．
在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化．
连接．因为且，所以．
因为是的中点，所以，且，则．
因为，所以，所以，
所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．
的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；
当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．
如图，正方形中，．求证：．
延长至，使得，连接．
易证得：，从而可得：，
，故．
等边和等边的边长均为1，是上异于的任意一点，是上一点，满足，当移动时，试判断的形状．
由条件，且，得．
因为，，所以，
因此，．
因为，
所以为等边三角形．
第四讲
全等三角形与旋转问题
中考要求
知识点睛
重、难点
重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点
难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化
例题精讲
家庭作业
月测备选
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