考点一：三角形三边的关系
考点二：三角形的内角和或外角的性质
考点三：三角形内角、外角与角平分线
考点四：利用多边形内角和与外角和求多边形的边数
考点五：利用不等式或整除求多边形的边数
考点六：构造多边形利用多边形内角和求角度
考点七：镶嵌
考点八：全等三角形的性质
考点九：全等三角形的判定
考点十：全等三角形与角平分线
考点十一：等腰三角形的性质
考点十二：等腰三角形的判定
考点十三：等边三角形的性质
考点十四：等边三角形的判定
考点一：三角形三边的关系
⑴已知三角形中两边长为和，若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_________．
⑵一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A.11 B.11或13 C.13 D.9
现有、、、长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么组成三角形的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如图，点是内一点，求证：
考点二：三角形的内角和或外角的性质
如图，已知中，，是边上的高，则的大小________
如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A. B. C. D.
如图，直线，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
考点三：三角形内角、外角与角平分线
⑴如图①，若点是和的角平分线的交点，则
⑵如图②，若点是和外角的角平分线的交点，则
⑶如图③，若点是外角和的角平分线的交点，则
上述说法中正确的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
⑴如图，点是与的角平分线的交点，若，，则
⑵如图，点是与的角平分线的交点，若，，则
【五个图形结论的证明】：
考点四：利用多边形内角和与外角和求多边形的边数
已知一个多边形的每一个内角均为，则它的边数是
已知一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_________
考点五：利用不等式或整除求多边形的边数
⑴一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，那么这个多边形的边数是_________，除去的内角为________度
⑵多边形的内角和与其某一个外角的度数的总和为，则多边形的边数为________
考点六：构造多边形利用多边形内角和求角度
如图，的值
如图，求的值
考点七：镶嵌
现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等。同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
如图，某中学的地面图案是用正方形和一种边长相等，但角不全相等的六边形材料铺成的，那么这种六边形的最大内角为__________
我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里角平面密铺(镶嵌)。某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用个正三角形、个正六边形进行平面密铺，可得，化简得，因为、都是正整数，所以只有当，或，时上式才成立，即个正三角形和个正六边形或个正三角形和个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图
⑴请你依照上面的方法研究用边长相等的个正三角形和个正方形进行平面密铺的情形，并按照图示中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图(只要画出一种图形即可)
⑵如用形状、大小相同的（如方格纸中）的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请再方格纸中画出密铺的设计图
考点八：全等三角形的性质
如图，已知≌，且，，，则，
如图，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点落在边上，若，则
考点九：全等三角形的判定
如图，在正五边形中，连接对角线、和、交于
⑴请列出图中两对全等的三角形(不另外添加辅助线)
⑵请选择所列举的一对全等三角形加以证明
两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形
如图，在筝形中，，，、相交于点
⑴求证：①≌；②，
⑵如果，，求筝形的面积
如图，已知，，，，，。
求证：
考点十：全等三角形与角平分线
如图①，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题：
⑴如图②，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点。请你判断并写出与之间的数量关系；
⑵如图③，在中，如果不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
考点十一：等腰三角形的性质
如图，在等腰中，，为边上一点，且，，则
如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点
⑴若，则的周长为_______；
⑵若，则的度数为__________
如图，为等腰三角形的底边上的任意一点，于点，于点，点，求证：．
如图，点为等腰三角形的底边的延长线上的一点，的延长线于点，于点，于点．、、之间存在着怎样的数量关系?
考点十二：等腰三角形的判定
两个全等的含、角的三角板和三角板按如图所示放置，、、三点在一条直线上，连接，取的中点，连接、
试判断的形状，并说明理由
考点十三：等边三角形的性质
如图，已知、都是等边三角形，并且、、三点在同一条直线上。
求证：
已知为正三角形，点是线段上任意一点，点是线段上任意一点，且，、相交于点，猜测的度数，并证明你的结论
操作：如图①，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以点为顶点作一个角，角的两边分别交、边于、两点，连接
⑴探究：线段、、之间的关系，并加以证明。
⑵若点、分别是线段、的延长线上的点，其他条件不变，再探究线段、、之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由
考点十四：等边三角形的判定
如图，等边和等边的边长均为1，是上异于、的任意一点，是上一点，满足。当、移动时，试判断的形状并证明你的结论
如图，点是线段上一点，、都是等边三角形，与交于点，与交于点。
求证：⑴；⑵为等边三角形
三角形
考点汇总
考点精讲
考点一：二次函数的定义
考点二：根据二次函数的定义确定参数的值
考点三：二次函数的对称轴及对称性
考点四：求二次函数的顶点坐标及最值
考点五：二次函数与x轴的交点个数及两点间距离
考点六：二次函数的增减性
考点七：二次函数与方程、不等式
考点八：二次函数图象性质的综合考察
考点九：函数图象的分布及交点个数
考点十：待定系数法求函数的解析式
考点十一：二次函数图象的平移
考点十二：二次函数图象的旋转
考点十三：二次函数图象的翻折
考点一：二次函数的定义
下列函数是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
考点二：根据二次函数的定义确定参数的值
函数．当，它为二次函数；当，它为一次函数．
若函数是二次函数，则
若抛物线开口向下，则
考点三：二次函数的对称轴
二次函数的对称轴为_________
二次函数的对称轴是直线__________
二次函数的对称轴为________
二次函数的对称轴为________
若二次函数的图象的对称轴为轴，此图象的顶点和它与轴两个交点所构成的三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.
若二次函数，当取、()时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ）
A. B. C. D.
若二次函数的部分图象，如图所示，则关于的一元二次方程的一个解为，另一个解为
考点四：求二次函数的顶点坐标及最值
抛物线的顶点坐标为_________
抛物线的顶点坐标为_________
抛物线的顶点坐标为__________
将抛物线化成的形式是_____________
将抛物线化成顶点式___________
已知二次函数的最小值为，则
已知矩形的长和宽分别为、，且矩形的周长为，则该矩形的面积（ ）
A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值
抛物线的顶点坐标在第三象限，则的值为（ ）
A.或 B.或 C. D.
考点五：二次函数与x轴的交点个数及两点间距离
二次函数因，故函数图象与轴________交点
抛物线与轴的交点坐标是___________
设、、分别为抛物线与轴的交点及与轴的两个交点，则的面积为__________
若抛物线与轴的一个交点是，则另一个交点的坐标是______，
已知二次函数
⑴求此函数图象的顶点和其与轴的交点的坐标；
⑵求此图象与轴的交点和的坐标（点在点的左侧）
⑶求的面积
已知二次函数
⑴求证：不论为何实数，函数的图象与轴总有两个交点
⑵为何值时，这两个交点间的距离最小？求出最小值
考点六：二次函数的增减性
已知二次函数，当自变量取值、、，若，则对应的函数值、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
二次函数中，已知当时，函数值随自变量的增加而增加，则的取值范围是_____________
已知二次函数图象上三点、、，则、、三者之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
考点七：二次函数与方程、不等式
?考点说明：二次函数与方程不等式的考察一般情况下以填空题为主，还会在综合题的第23题中涉及
抛物线如图所示，当时，；当时，满足的条件为_______；当时，满足的条件为_______；
根据函数图象，求出抛物线与双曲线的交点坐标为__________
抛物线()与双曲线的图象如图所示，
则不等式的解集为___________
考点八：二次函数图象性质的综合考察
抛物线()的图象如图所示，与轴的交于点、，且，，与轴交于，下列结论①；②；③；④；
⑤；其中结论正确的是__________
已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于轴的负半轴，则的取值范围是________
如下右图所示，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
个 个 个 个
考点九：函数图象的分布及交点个数
直线与抛物线交点的个数是：（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定
直线与抛物线的图象只有一个交点，则的值为________
在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
直线()不经过第三象限，那么的图象大致为（ ）
抛物线与抛物线最多有几个交点（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
考点十：待定系数法求函数的解析式
已知二次函数的图象过点、、，则二次函数的解析式为______
已知抛物线的顶点为，且过点，则抛物线的解析式为_____________
已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线与轴的两交点间距离为，则抛物线的解析式为___________
已知抛物线的顶点在直线上，则抛物线的解析式为___________
已知二次函数的图象过、、，则二次函数的解析式为__________
已知抛物线与轴交于两点、，且，则的值为_________
抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若，则的值为_______
考点十一：二次函数图象的平移
把抛物线向左平移个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是_______
抛物线可由抛物线向______平移_______个单位，再向______平移____个单位得到
将二次函数向左平移2个单位，再向下平移个单位得到的函数图象的解析式为，则
考点十二：二次函数图象的旋转
把抛物线绕顶点旋转，得到的新抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.以上都不对
把抛物线绕点旋转后得到新的抛物线的解析式为______________
考点十三：二次函数图象的翻折
与抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
与抛物线关于对称的抛物线的解析式为__________
考点一：二次函数与商品最大利润
考点二：二次函数与喷泉问题
考点三：二次函数与最短路程问题
考点四：二次函数与等腰三角形
考点五：二次函数与直角三角形
考点六：二次函数与相似三角形
考点七：二次函数与平行四边形
考点八：二次函数与梯形
考点九：二次函数与圆
考点十：二次函数与面积
考点一：二次函数与商品最大利润
某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数关系
⑴请写出商场卖这种商品每天的销售利润(元)与每件销售价(元)之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围
⑵试问当取何值时，该商场销售这种商品可获得最大利润？
考点二：二次函数与喷泉问题
如图所示，为一自动喷灌设备，设水管高出地面米，在处有一个自动旋转的喷头，一瞬间，喷头的水流呈抛物线状，喷头与水流最高点的连线与水平地面成角，水流的最高点比喷头高出米，在所建的坐标系中，求水流的落地点离点的距离是多少米？
考点三：二次函数与最短路程问题
已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点.
⑴求此抛物线的解析式；
⑵若点为线段的三等分点，求直线的解析式；
⑶若一个动点自的中点出发，先到达轴上得某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上得某点（设为），最后沿直线运动到点.求使得点运动的总路径最短的点的坐标，并求出这个最短总路径的长.
考点四：二次函数与等腰三角形
已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点的坐标为
⑴求该抛物线的解析式；
⑵若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为。问：是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
考点五：二次函数与直角三角形
?考点说明：二次函数与直角三角形问题，常结合的知识点有：勾股定理，相似三角形，圆
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线()经过、、三点．
⑴求过、、三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
⑵在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
考点六：二次函数与相似三角形
已知抛物线经过点、和原点.
⑴求抛物线的函数关系式；
⑵若过点的直线与抛物线相交于点，过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点. 直线与直线及两坐标轴围成矩形如图），是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
考点七：二次函数与平行四边形
如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．
⑴求该抛物线的解析式；
⑵若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
⑶若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．
考点八：二次函数与梯形
如图，平面直角坐标系中，己知，，抛物线经过、、三点
⑴求抛物线的函数表达式；
⑵在此抛物线上，是否存在一点，使得以点与点、、为顶点的四边形是梯形，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由。
考点九：二次函数与圆
如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点,连接、，过、、三点作抛物线
⑴求抛物线的解析式
⑵点是延长线上一点，的平分线交于点，连接，求直线的解析式
⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点,使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由
考点十：二次函数与面积
如图，已知抛物线经过点和
⑴求这条抛物线的解析式．
⑵设此抛物线与直线相交于点、（点在点的右侧），平行于轴的直线()与抛物线交于点，与直线交于点，交轴于点，求线段的长（用含的代数式表示）．
⑶在条件⑵的情况下，连接、是否存在的值，使的面积最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
考点一：反比例函数的定义
考点二：反比例函数的图象性质
考点三：待定系数法求反比例函数的解析式
考点四：反比例函数k的几何意义
考点五：反比例函数与一次函数
考点六：反比例函数与方程、不等式的联系
考点七：反比例函数的实际应用
考点八：反比例函数的综合探究
考点九：反比例函数中的几个经典结论
考点一：反比例函数的定义
已知是关于的反比例函数，则的值为________
考点二：反比例函数的图象性质
在下图中，反比例函数的图像大致是（ ）
若(，)，(，)是反比例函数图像上的两个点，且，则与的大小关系是( )
A． B． C． D．大小不确定
若点(，)、(，)、(，)都是反比例函数的图像上，试比较、、的大小关系 .
函数的图象上有三点，，，已知，则下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点三：待定系数法求反比例函数的解析式
点在反比例函数()的图象上，则的值是（ ）
A. B. C. D.
已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
已知：，与成正比例，与成反比例，且时，；时，。求时，的值
考点四：反比例函数k的几何意义
在反比例函数()的图象上任意一点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为、，那么四边形的面积为_____________
在第一象限内，点，是双曲线()上的两点，轴于点，轴于点，与交于点，则的面积为__________
如图，过反比例函数()的图象上任意两点、，分别作轴的垂线，垂足为、，连接、，设与的交点为，与梯形的面积分别为、，比较它们的大小有（ ）
A. B.
C. D.大小关系不确定
如图，在()的图象上有三点、、，经过三点分别向轴引垂线，交轴于，，三点，连接、、，记，，的面积分别为、、，则有（ ）
A. B.
C. D.
考点五：反比例函数与一次函数
函数与在同一坐标系内的图像可以是（ ）
函数与()在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
如图，直线与反比例函数的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为．
⑴ 试确定反比例函数的关系式；
⑵ 求的面积．
已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是
⑴求一次函数解析式
⑵求的面积
如图，顶点是一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的交点，且，求点的坐标
考点六：反比例函数与方程、不等式的联系
如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点．
⑴求反比例函数与一次函数的解析式；
⑵根据图像回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
如图，已知是一次函数的图象和反比例函数 的图象的两个交点．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求直线与轴的交点的坐标及的面积；
⑶求方程的解（请直接写出答案）；
⑷求不等式的解集（请直接写出答案）.
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点.
⑴求和的值；
⑵结合图象直接写出不等式的解集.
考点七：反比例函数的实际应用
水池内原有的水，如果从排水管中每小时流出的水，则经过就可以把水放完
⑴求出与的函数关系式；
⑵当时，求时间的值
考点八：反比例函数的综合探究
在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点 .
⑴求、的值；
⑵如图，点在轴上，在梯形中，，，
过点作于点，和反比例函数的图象交于点，
当梯形的面积为时，求的值.
两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，动点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．
⑴求证：四边形的面积是定值；
⑵当时，求的值；
⑶若点的坐标为，的面积分别记为、，设．
①求的值；
②当为何值时，有最大值，最大值为多少？
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限内交于点.
⑴求和的值；
⑵若将直线绕点顺时针旋转得到直线，求直线的解析式.
考点九：反比例函数中的几个经典结论
结论一：如图，
如图，、两点为反比例函数图象上两点，
分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为、，则
证明：∵ ∴ ∴
一次函数与反比例函数交于，两点，连接、，则
结论二：如图，直线与反比例函数交于，两点，连接，，在求的数值时，相信很多人都会采用下面两个方法。
方法一：利用；方法二：利用
方法三：（推荐）如图，延长交反比例函数于点，则可利用对称性，求出点坐标，连接，则为的中线，分别过，向轴作垂线，则易得
已知反比例函数和一次函数的图象交于、两点
⑴求、两点坐标
⑵求的面积
结论三：如图，矩形，交反比例函数图象于，两点，则
证明：∵ ∴ ∴，则
两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
①与的面积相等；
②四边形的面积不会发生变化；
③与始终相等；
④当点是的中点时，点一定是的中点．
其中一定正确的是
结论四：如图，直线与反比例函数图象交于，两点，分别过点、向轴，轴作垂线，垂足分别为，，连接，则①，且②
证明：连接，，，，
∵, ， ∴，∴---①
∴四边形，四边形为平行四边形，∴，∴
结论四的变型一：过点作轴，过点作轴，连接，则必有①且②
证明：连接
易证，， ∴, ∴--①
∴四边形、四边形为平行四边形 ∴
结论四的变形二，如图，，，连接，则①，②
证明：连接，、、、
易证， ，则 ∴ --①
∴四边形、四边形为平行四边形，∴，∴
如图，、为反比例函数图象上的两点，若轴于，轴于，连接
证明：①，②
结论五：如图，反比例函数解析式为（），，……均为等腰直角三角形，则，,,……
证明：设, 则，∴，∴
设，则，∴
∴， ∴ 即
下面同理可证
结论五变型：图中三角形均为等边三角形，则，，，…，证明同上
如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、、都在轴上，求点的坐标.
如图所示，，……，在函数的图象上，，，，…，，…都是等腰直角三角形，斜边都在轴上，则______________．
考点一：利用垂径定理进行证明或弦长的有关计算
考点二：垂径定理与方程思想的结合
考点三：图形与圆心位置的不确定性
考点四：垂径定理的实际应用
考点五：三角形的外接圆
考点六：圆的对称性
考点七：等量关系定理（圆心角、弧、弦、弦心距关系定理）
考点八：垂径定理与等量关系定理的综合应用
考点九：圆周角定理及推论的应用
考点十：圆内角与圆外角度数的求法
考点十一：圆内接四边形的性质
考点十二：点和圆的位置关系
考点十三：直线和圆位置关系的判定
考点十四：切线的性质及判定
考点十五：切线长定理
考点十六：三角形的内切圆
考点十七：圆与圆的位置关系
考点十八：正多边形与圆
考点十九：扇形有关计算
考点二十：圆柱和圆锥有关计算
考点一：利用垂径定理进行证明或弦长的有关计算
若圆的半径为厘米，圆心到弦的距离为厘米，则弦长为 厘米．
如图，点为圆弦的中点，，垂足为，求证：
如图，是的直径，弦和的交角,，，则=___
考点二：垂径定理与方程思想的结合
如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为___________
如图，半径为的圆内有两条互相垂直的弦和，它们的交点到圆心的距离等于，则
考点三：图形与圆心位置的不确定性
的半径是，、为的两条弦，且，，，求与之间的距离．
在半径为的中，弦、的长分别为和，则的度数为______
考点四：垂径定理的实际应用
某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为米，拱顶高出水面米，现有一艘宽米，船舱顶部为长方形并高出水平面米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
考点五：三角形的外接圆
若三角形的三边长为，，，其外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.无法确定
等边三角形的外接圆半径为，则此三角形边长为_________
考点六：圆的对称性
如图，是的直径，的度数为，的度数为，且，，则的度数为________
已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是________．
考点七：等量关系定理（圆心角、弧、弦、弦心距关系定理）
如图，在圆中，，为的中线，为中点，，则
如图所示，在圆中，，、交于点，试探究与间的数量关系
如图，中，，圆与各边相交，且，则的度数为______
考点八：垂径定理与等量关系定理的综合应用
如图所示，为中点，于，于，且为直径，若，求的长度
如图，已知圆的弦垂直于直径，点在上，且
⑴求证：
⑵若、，求的长
考点九：圆周角定理及推论的应用
如图，为⊙直径，为弦，，如果，那么的度数为( )
A. B. C. D.
如图, 的半径为，点为上一点，于点，,则________．
如图，是的外接圆，已知，则的度数是 ．
为的直径，它把圆分成上、下两个半圆，从上半圆上一点作弦，的平分线交于点，则当点在上半圆（不包括、）移动时，点（ ）
A.到的距离不变 B.位置不变
C. 等分 D.随点的移动而移动
如图所示，为锐角外接圆的直径，于，交外接圆于
求证：
考点十：圆内角与圆外角度数的求法
如图，的弦、交于点，的度数为，的度数为，则的度数为______
如图，的弦、的延长线交于点，的度数为，的度数为,则的度数为______
考点十一：圆内接四边形的性质
如图，已知是正的外接圆，为上一点，的延长线交的延长线于点，
求证：
圆内接四边形是一平行四边形，且一边长为，面积为，则该圆的面积为( )
A. B. C. D.
考点十二：点和圆的位置关系
中，平面内一点到圆的最大的距离为，最小距离为，求此圆的半径
如图，在中，，、，为斜边上的中线，以为直径作，设线段的中点为，则与的位置关系是（ ）
A.点在内 B.点在上
C.点在外 D.无法确定
如图，、为的两条高，求证：、、、四点在同一圆上
考点十三：直线和圆位置关系的判定
在中，，，，以点为圆心，为半径的圆和的位置关系是__________
圆半径为，在直线上，且，则直线与圆的位置关系是__________
考点十四：切线的性质及判定
如图，直角梯形中，,,为上一点，平分，平分，为直径，求证：与相切。
如图，等腰三角形,以腰为直径作交底边于点，于，
求证：为圆的切线
如图，圆与矩形的边、、分别相切于点、、，点为上的一点，则
如图，为圆的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点
⑴求证：点为的中点
⑵求证：为圆的切线
⑶若，圆半径长为，求的长
考点十五：切线长定理
?考点说明：切线长定理的考查方式多以选择和填空为主，如涉及三角形内切圆等问题。
如图，已知、、分别切于、、，,则
如图，、、分别切于、、,若，则的周长为_______
考点十六：三角形的内切圆
已知中，，，，则的内切圆半径为________
考点十七：圆与圆的位置关系
若两圆的半径分别是cm和cm，圆心距为cm，则这两圆的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
若两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系是 （ ）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
已知⊙与⊙相切，⊙的直径为，⊙的直径为，则的长是（ ）
A．5cm或13cm B．2.5cm C．6.5cm D．2.5cm或6.5cm
如图，点、在直线上，，圆，圆的半径为，圆以每秒的速度自左向右运动，与此同时，圆的半径也不断增大，其半径(厘米)与时间(秒)之间的关系式()
⑴试写出点、间的距离()与时间(秒)间的函数表达式
⑵问出发后多少秒两圆相切?
考点十八：正多边形与圆
边长为的正六边形的边心距为( )
A. B. C. D.
同一个圆的内接正方形与内接正六边形边长之比为( )
A. B. C. D.
考点十九：扇形有关计算
如图，是半径为的圆外一点，，为圆的切线，为切点，弦，连接，求阴影部分的面积
如图，中，，，，分别以、为直径画半圆，则图中阴影部分面积为________(结果保留)
已知：如图，直角中，，，的圆心为，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么的长是 （结果不取近似值）．
如图，是用边长为2cm的正方形和边长为2cm正三角形硬纸片拼成的五边形ABCDE．在桌面上由图1起始位置将图片沿直线不滑行地翻滚，翻滚一周后到图2的位置． 则由点A到点所走路径的长度为（ ）
A．cm B． cm C．cm D． cm
考点二十：圆柱和圆锥有关计算
如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A．6cm B．cm
C．8cm D．cm
圆锥的母线AB=6,底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角α的度数为（ ）
A．90 B．100 C．120 D．150
圆
考点汇总
考点精讲
考点一：象限内和坐标轴上点的坐标特征
考点二：特殊点坐标的特征
考点三：对称点坐标的特征
考点四：点的坐标与两点间距离
考点五：函数的唯一性
考点六：自变量的取值范围
考点七：函数图象信息题
考点八：正比例函数与一次函数的定义
考点九：正比例函数与一次函数的图象和性质
考点十：待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式
考点十一：两直线的位置关系
考点十二：一次函数与方程
考点十三：一次函数与不等式
考点十四：一次函数的实际应用
考点十五：一次函数与几何图形
考点一：象限内和坐标轴上点的坐标特征
如果点在第四象限，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
若点在轴上，则点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
若点在第三象限，则点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点二：特殊点坐标的特征
若点在第二，四象限的角平分线上，则点关于轴的对称点的坐标是__________
已知两点、，且轴，则、满足的条件为____________
已知点到轴的距离等于到轴的距离的倍，则的值为___________
考点三：对称点坐标的特征
点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 ．
已知点(，)关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围为___________．
如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
①由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别标明、关于直线的对称点、的位置，并写出他们的坐标: , ；
归纳与发现：
②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点（，）关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为 （不必证明）；
③点（，）在直线的下方，则，的大小关系为 ；若在直线的上方，则 ．
考点四：点的坐标与两点间距离
在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
已知点、，那么线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
已知直线与抛物线交于、两点，在线段上有一动点，过点作轴交抛物线于点，则线段的最大值为（ ）
A. B. C. D.
考点五：函数的唯一性
下列各选项中，不是函数的是（ ）
下列关于变量、的关系式：①；②；③，其中表示是的函数的个数是（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
考点六：自变量的取值范围
函数的自变量的取值范围是___________
函数的自变量的取值范围是___________
已知等腰三角形的周长为，设底边长为，腰长为，则与的函数关系式为________，自变量的取值范围是_________
考点七：函数图象信息题
某污水处理厂的一个净化水池设有个进水口和个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天点到点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：
⑴点到点只进水不出水；
⑵点到点不进水只出水，
⑶点到点不进水也不出水.
其中正确的是( )
A．⑴ B．⑶ C．⑴⑶ D．⑴⑵⑶
小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点，再走上坡路到达点，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
考点八：正比例函数与一次函数的定义
已知是正比例函数，则的值是__________
已知函数是一次函数，则、需要满足的条件为__________
下列函数：①；②；③；④；⑤。其中一次函数的个数是（ ）
A. B. C. D.
考点九：正比例函数与一次函数的图象和性质
如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，
，的图像分别是，，，；
那么，，，的大小关系是 .
已知正比例函数，且随的增大而减小，则的值为__________
已知函数的图象过点，，且时，，下列说法错误的是（ ）
A.图象经过第一、三象限 B.图象经过二、四象限
C.随着的增大，也增大 D.
如果直线经过第一、二、三象限，那么（填“”、“”或“”）
一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____________
下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象是（ ）
下列图形中，表示一次函数与正比例函数（、为常数且)的图像是下图中的( )
考点十：待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式
一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为（ ）
A. B. C. D.
已知与成正比例，且时，，则与之间的函数关系式为_________
已知与成正比例，且时，，则与之间的函数关系式为_____________
已知一次函数图象经过和两点，则，
考点十一：两直线的位置关系
已知直线：与直线：平行，且经过点，则直线的解析式为________
已知直线经过点、，将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的解析式为__________
将直线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到图象的解析式为______
考点十二：一次函数与方程
一次函数的图象如图所示，则方程的解是（ ）
A. B.
C.或 D.
如图是在同一坐标系内作出的一次函数和，设，，则方程组的解是（ ）
A. B.
C. D.
已知直线与相交于点，的函数表达式为，点的横坐标为，且交轴于点，则直线的函数表达式为____________
考点十三：一次函数与不等式
若一次函数的图象交坐标轴于、两点，、，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
已知函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
已知一次函数的图象经过、，那么不等式的解集为_____
用图象的方法解不等式
考点十四：一次函数的实际应用
甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价为元，乒乓球每盒定价为元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价折优惠，某班级需购球拍付，乒乓球若干盒(不少于盒)。设购买乒乓球盒数为(盒)，在甲店购买的付款数为，在乙店购买的付款数为
⑴分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数之间的函数关系式；
⑵就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算
某水产品养殖加工厂有名工人，每名工人每天平均捕捞水产品千克，或将捕捞的水产品千克进行精加工，已知每千克水产品直接出售可获利润元，精加工后再出售，可获得利润元。设每天安排名工人进行水产品精加工。
⑴求每天做水产品精加工所得利润元与的函数关系式
⑵如果每天精加工的水产品和未来得及加工的水产品全部出售，那么如何安排生产可使一天所获利润最大？最大利润是多少？
考点十五：一次函数与几何图形
如图，平面直角坐标系中，一条直线与轴交于点，与轴交于点,与正比例函数的图像交于点
⑴求直线的解析式；⑵求的面积
如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，轴于，连接
⑴求的值；
⑵是直线上异于的一点，且在第一象限内，过点作轴的
垂线，垂足为点，若的面积与面积相等，求点的坐标。
已知正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数图象与轴交于点，且，求这两个函数的解析式
直线与轴交于点，与轴交于点.
⑴求、两点的坐标；
⑵过点作直线与轴交于点，且使，求的面积.
如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点、，以为边在第二象限内作矩形，使
⑴求点、的坐标，并求边长的长
⑵过点作轴，垂足为，求证：
⑶求点的坐标。
如图，矩形的边在轴上，的中点与原点重合，，，点的坐标为．
⑴求直线的解析式；
⑵点在边上运动，若过点、的直线将矩形的周长分成两部分，求出此时的值．
考点一：相反数、倒数、绝对值的概念
考点二：科学计数法及有效数字
考点三：有理数的大小比较
考点四：绝对值的化简
考点五：整式的运算
考点六：乘法公式
考点七：因式分解
考点八：有意义或值为零的条件
考点九：二次根式的运算及化简
考点十：二次根式的大小比较
考点十一：非负性的应用
考点十二：有理数、二次根式、三角函数混合运算
考点十三：分式的化简求值
考点十四：数与式的探究规律
考点一：相反数、倒数、绝对值的概念
有理数－2的相反数是（ ）
A.2 B.－2 C. D.
的倒数是（ ）
A. B. C. D.
的倒数的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
考点二：科学计数法及有效数字
流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156 m，用科学记数法表示这个数（保留两位有效数字）是（ ）
A．0.16×m B．0.156×m C．1.6×m D．1.56×m
上海世博会开园第一个月共售出门票664万张，664万用科学计数法表示为( )
A.664×104 B.66.4×l05 C.6.64×106 D.0.664×l07
在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是cm，个这样的细胞排成的细胞链的长是( )
A．cm B．cm C．cm D．cm
考点三：有理数的大小比较
已知有理数与在数轴上的位置如图所示，那么，，，的大小顺序为
已知，则，，的大小顺序为
设，，，若则（ ）
A. B. C. D.
考点四：绝对值的化简
若a＜1，化简（ ）
A． B． C． D．
若化简绝对值的结果为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
若，则的取值范围是
如果有理数、、在数轴上的位置如图所示，则的值为______.
考点五：整式的运算
下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
若实数a满足，则 。
若，，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
已知，求的值．
考点六：乘法公式
如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（）,将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于、的恒等式为（ ）
A. B.
C. D.
若，且，则_______．
若是完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
代数式的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
用配方法把代数式变形，所得结果是（ ）
A． B． C． D．
已知，则（ ）
A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值
考点七：因式分解
把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A． B． C． D．
因式分解：_______________
因式分解：___________
考点八：有意义或值为零的条件
分式的值为０，则 ( )
A． B． C． D．
要使分式有意义，则须满足的条件为 ．
要是代数式有意义，则须满足的条件为____________
考点九：二次根式的运算及化简
下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
的平方根是_________
已知，则化简的结果是_______________.
把根号外的因式移到根号内后，其结果是。
已知二次根式与是同类二次根式，则的值为_________
考点十：二次根式的大小比较
比较大小
①_____ ②_____
考点十一：非负性的应用
若，则的值为( )
A． B． C． D．
若，则的平方根为__________
若，则的值为_________
若，则的值为___________
考点十二：有理数、二次根式、三角函数混合运算
计算：
计算：.
考点十三：分式的化简求值
先化简，再求值：，其中.
已知：，求代数式的值．
已知，求的值．
考点十四：数与式的探究规律
观察下列单项式：按此规律第个单项式是______．(是正整数)
观察下列计算：，，……
从计算结果中找规律，利用规律计算… ．
观察分析下列数据，寻找规律：0，，，，……那么第10个数据应是 。
考点一：等式的基本性质
考点二：不等式的基本性质
考点三：方程的概念（一元一次方程，二元一次方程）
考点四：方程的解（一元一次方程，二元一次方程，分式方程）
考点五：解方程（一元一次方程，二元一次方程，分式方程）
考点六：不等式的解集
考点七：解不等式
考点八：含参数方程
考点九：含参数不等式
考点十：绝对值方程
考点十一：实际应用题
考点一：等式的基本性质
若，那么下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
考点二：不等式的基本性质
若，则下列各式不正确的是（ ）
A. B. C. D.
如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
若，那么下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
考点三：方程的概念（一元一次方程，二元一次方程）
已知下列方程①，②，③，④，⑤，⑥，其中是一元一次方程的个数是（ ）
A. B. C. D.
已知是一元一次方程，则的值为_________
下列方程①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程的个数为（ ）
A. B. C. D.
【例10】已知方程是关于、的二元一次方程，则、需要满足的条件为_______
考点四：方程的解（一元一次方程，二元一次方程，分式方程）
【例11】不是哪一个方程的解( )
A. B. C. D.
【例12】若是方程的解，则也是方程（ ）的解
A. B. C. D.
【例13】已知是方程的解，则
【例14】二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【例15】方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【例16】方程的解是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【例17】分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【例18】分式方程有增根，则的值为 ．
考点五：解方程（一元一次方程，二元一次方程，分式方程）
【例19】解方程：
【例20】用加减消元法解方程组
【例21】用代入消元法解方程组
【例22】解方程组：
【例23】已知、满足方程组，则的值为_________．
【例24】解分式方程
【例25】解分式方程：
考点六：不等式的解集
【例26】下列说法中错误的是（ ）
A.不等式的解集是 B.是不等式的一个解
C.不等式的整数解有无数多个 D.不等式的正整数解有无限个
【例27】在数轴上表示的解集正确的是（ ）
【例28】不等式的负整数解为_____________
考点七：解不等式
【例29】解不等式组
【例30】不等式组的所有整数解之和是（ ）
A．9 B．12 C．13 D．15
【例31】不等式的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例32】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
【例33】解不等式：
考点八：含参数方程
【例34】若关于的方程的解为正整数，则整数的值为 ．
【例35】若和是关于的同解方程，则的值是 ．
【例36】解关于的方程：
【例37】在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【例38】已知方程组与有相同的解，求、的值
【例39】若方程有增根，则的值为（ ）
A. B. C.或 D.或
【例40】若方程，那么、的值为（ ）
A., B., C. , D.,
【例41】已知关于x的分式方程－=0无解，则a的值为 ．
【例42】已知关于的方程有一个正数解，则的取值范围是___________
考点九：含参数不等式
【例43】若不等式的解都能使关于的一次不等式成立，则的取值范围是（ ）
A．1＜≤7 B．≤7 C．＜1或≥7 D．=7
【例44】如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例45】已知是关于的不等式的解，则的取值范围是_____________。
【例46】已知关于的不等式的解集是，解不等式．
【例47】已知不等式组
⑴若它的解集是，求的取值范围。
⑵若，且上述不等式无解，求的取值范围。
考点十：绝对值方程
【例48】解方程
【例49】解方程
考点十一：实际应用题
【例50】把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生
A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人
【例51】某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．
（1）设敬老院有名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含的代数式表示）．
（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？
【例52】随着人们节能意识的增强，节能产品进入千家万户，今年1月小明家将天燃气热水器换成了太阳能热水器．去年12月份小明家的燃气费是96元，从今年1月份起天燃气价格每立方米上涨25%，小明家2月份的用气量比去年12月份少10立方米，2月份的燃气费是90元．问小明家2月份用气多少立方米．
【例53】“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表． 爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200 分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件?
积分兑换礼品表
兑换礼品 积分
电茶壶一个 7000分
保温杯一个 2000分
牙膏一支 500分
【例54】为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
成本价（万元/辆） 售价（万元/辆）
A型 30 32
B型 42 45
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0．65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．
考点一：识别轴对称图形
考点二：轴对称作图
考点三：轴对称与最短路程
考点四：轴对称与镜面问题
考点五：利用对称变换解决函数问题
考点六：利用对称变换添加辅助线进行证明与计算
考点七：折叠----勾股定理问题（方程思想的应用）
考点一：识别轴对称图形
下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ）
下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．圆 B．正方形 C．等腰三角形 D．线段
考点二：轴对称作图
将一个正方形纸片依次按图1，a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图2中的（ ）
图1
图2
下列为边长为1的小正方形组成的网格图．
①请画出△ABC关于直线a对称的图形（不要求写作法）；
②求△ABC的面积（直接写出即可）．
已知：如图，及两点、。求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等。
考点三：轴对称与最短路程
如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小，最小值为多少？
如图，，角内有点，且，在角的两边有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为 ．
已知：、两点在直线的同侧，在上求作一点，使得最大。
求在直线上找一点，使得直线为的角平分线
如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，线段(点在点的左侧)在轴上运动，且满足，连接、，则四边形的周长是否存在最小值，若存在请求出这个最小值，并求出此时点的坐标。
如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点是轴上的一动点，点是轴上一动点，试问当点、在什么位置时，的值最小，最小值为多少？
考点四：轴对称与镜面问题
如图，是从平面镜中看到一钟表的时针和分针(图中实线)，此时的实际时刻是（ ）
A. B. C. D.
考点五：利用对称变换解决函数问题
已知二次函数的部分图象，如图所示，则关于的一元二次方程的解是__________
已知二次函数()的图象上有三个点、、，则、、的大小关系为__________
考点六：利用对称变换添加辅助线进行证明与计算
如图，在中，以边的中点为顶点，作，两边分别交于点，交于点。
求证：
如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A、110° B、120° C、140° D、150°
如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ．
小贝遇到一个有趣的问题：在矩形中，，。现有一动点按下列方式在矩形内运动：它从点出发，沿着边夹角为的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点碰到边，沿着边夹角为的方向作直线运动，当点碰到边，再沿着与边夹角为的方向作直线运动，…，如图1所示，问点第一次与点重合前与边相碰几次，点第一次与点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形沿直线折迭，得到矩形，由轴对称的知识，发现，。
请你参考小贝的思路解决下列问题：
⑴点第一次与点重合前与边相碰 次；
点从点出发到第一次与点重合时所经过的路径的总长是 ；
⑵近一步探究：改变矩形中、的长，且满足，动点从点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形相邻的两边上。若点第一次与点重合前与边相碰次，则的值为 。
问题：已知中，，点是内的一点，且，。
探究与度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
⑴当时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，与的数量关系为 ；
当推出时，可进一步推出的度数为 ；
可得到与度数的比值为 ；
⑵当时，请你画出图形，研究与度数的比值
是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形对折，折痕为，如图①；
第二步：再把点叠在折痕线上，折痕为，点在上的对应点为，得，如图②
第三步：沿线折叠得折痕，如图③
利用展开图④探究：
⑴是什么三角形？证明你的结论
⑵对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由
已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．
⑴若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积；
⑵实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．
⑴重叠三角形的面积为 ；
⑵用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为 ．
我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
⑵如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
⑶在中，如果是不等于的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
考点七：折叠----勾股定理问题（方程思想的应用）
如图，正方形纸片的边长为，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使落在上，落点记为，折痕交于点,若、分别是、边的中点，则; 若、分别是、边的上距最近的等分点（,且为整数），则（用含有的式子表示）
问题解决
如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．
类比归纳
在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）
联系拓广
如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）
