内容 要求层次 重难点
椭圆的定义与性质 椭圆的定义及标准方程 C 由定义和性质求椭圆的方程；由椭圆的标准方程探求几何性质．
椭圆的简单几何性质 C
1．椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程：
①，焦点是，，且．
②，焦点是，，且．
3．椭圆的几何性质（用标准方程研究）：
（1）范围：，；
（2）对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
（3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
（4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
（5）椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；
反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．
4．直线：与圆锥曲线：的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：
设直线：，圆锥曲线：，由
消去（或消去）得：．
若，，相交；相离；相切．
若，得到一个一次方程：①为双曲线，则与双曲线的渐近线平行；②为抛物线，则与抛物线的对称轴平行．
因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；
另外一种求法是如果直线的斜率为，被圆锥曲线截得弦两端点坐标分别为，则弦长公式为．
两根差公式：
如果满足一元二次方程：，
则（）．
6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：
①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．
②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．
椭圆的定义与方程
椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异． 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了两个新的定点——焦点． 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础．
若点到两定点，的距离之和为，则点的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．线段的中垂线．
【变式】设定点，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上． 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组．
已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程．
经过点，的椭圆的标准方程是 ；
【变式】若椭圆的离心率为，则 ．
已知椭圆上一点，、为椭圆的两个焦点，且，求椭圆的方程．
椭圆的性质与焦点三角形
设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（ ）
A． Ｂ． C． D．
已知为椭圆上动点，为椭圆的右焦点，点的坐标为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式】为椭圆上一点，分别是圆和上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 ．
椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则当取最大值时，点的坐标是___________．
【变式】已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，椭圆的短半轴长为，则三角形的面积为______
设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在直线上存在（其中），使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
椭圆上一点看两焦点的视角为直角，设的延长线交椭圆于，又，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为，则 ．
【变式】设为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于______．
设为椭圆的两个焦点，在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．
已知分别是椭圆的左右两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于，求的值．
如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且位于轴上方，．
（1）求点的坐标；
（2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求点的坐标．
（3）求椭圆上的点到点的距离的最小值．
特别注意：
一、右括号的地方就有考点．
1、椭圆的定义里括号中有，要明确分辨当时的曲线是两焦点中的线段．
2、椭圆的标准方程里，需要注意当时，是焦点在轴上的椭圆的标准方程，这里需要注意的是，椭圆的标准方程有两种情况，必要时，需要分类讨论．
二、 熟练使用椭圆的定义
1、与焦点有关的线段最短问题，在这里我们一定要注意到，椭圆的第一定义可以转化线段，而且可以与折线段之和的最短距离联合出题，很有初中只是里面的将军饮马问题之神韵．
2、焦点三角形．
焦点三角形的周长问题，或者长度问题，又或者是面积问题．只有熟练掌握椭圆的第一定义，与解三角形的相关知识，综合两方面内容才能够处理好这方面的题目，此处题目多出于选择填空题目，出题问法灵活，需要透过问题的本质，转化成我们已学过相关知识．如果使用解解答题的方法解决往往会事倍功半．
椭圆的焦点为，，过垂直于轴的直线交椭圆于一点，那么的值是_________．
已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的的离心率为（ ）
A． B． C． D．
椭圆的长轴为，为短轴的一个端点，若∠，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知，，是椭圆上一点，则的最大值为________．
已知是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．
（1）求椭圆的方程．
（2）椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围．
已知点在圆：上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．
已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．
内容 要求层次 重难点
双曲线 双曲线的定义及标准方程 A 由定义和性质求双曲线的方程； 由双曲线的标准方程探求几何性质
双曲线的简单几何性质 A
1．双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程：
①，焦点坐标为，，；
②，焦点坐标为，，；
3．双曲线的几何性质（用标准方程来研究）：
（1）范围：或；如图．
（2）对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．
（3）顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
（4）实轴与虚轴：
两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图，为顶点，线段为双曲线的实轴．
在轴上作点，，线段叫做双曲线的虚轴．
（5）渐近线：直线；
（6）离心率：叫做双曲线的离心率，．
双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
<教师备案>
1．渐近线的理解：
过双曲线上的一点（考虑对称性，不妨设是第一象限内的点）作平行于轴的直线，设它与直线相交于点，（见上图）
则，
当时，随着的增大而增大，从而越来越接近于．
这说明，当点以双曲线的顶点开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点时，点和直线就越来越接近，而且，故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交．
其它象限内的情况与此类似．
2．双曲线的开口大小：
渐近线的斜率的绝对值，因此越大，也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．
3．画双曲线的草图时，一般都是先画出以为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．
4．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线，它的渐近线方程即为，即直线．
考点一、双曲线的定义
已知F1、F2为双曲线C：的左、右两个焦点，点在上，，则＝（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
已知双曲线，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|，F2为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为（ ）
A．8 B．9
C．16 D．20
△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C （其中，且m为常数），且满足条件，则动点A的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
设双曲线的两焦点为、，点Q为双曲线左支上除顶点外的任一点，过作的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．圆的一部分
如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若且实轴长为，则的周长为 ．
已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F（－2,0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|，求直线l的方程．
考点二、双曲线的性质
已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是 （ ）
A． B．
C． D．
过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．
C． D．
已知F1、F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．4＋2 B．－1
C． D．＋1
已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞） B．（1，2）
C．（1，1＋） D．（2，1＋）
已知点在双曲线（）的右支上（与不重合），分别为双曲线的左、右顶点，且，则（ ）
A． B． C． D．
考点三、双曲与其他曲线
中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆都相切，则双曲线C的离心率是（ ）
A．或 B．2或
C． 或 D． 或
已知椭圆＋＝1和双曲线－＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x＝ B．y＝
C．x＝ D．y＝
过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为，则双曲线的离心率e的值是（ ）
A． B．
C． D．
已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（－12，－15），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
下列有四个命题：
①若m是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率小于4的概率为．
②若双曲线的一条渐近线方程为，且其一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为2；
③将函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象；
④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；类比到空间，若三棱锥S－ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S－ABC的外接球的半径R＝．
其中真命题的序号为________．（把你认为是真命题的序号都填上）
已知二次曲线Ck的方程：＋＝1．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且m
已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1（a>0，b>0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1,3）
（1）求C的离心率；
（2）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
本节的重点是双曲线的定义、方程、几何性质．难点是理解参数a、b、c、e的关系及渐近线方程．关键是准确理解和掌握有关概念，灵活地运用数形结合、函数与方程的思想及等价转化的思想．为此建议在复习中注意以下几点：
1．双曲线中有一个重要的Rt△OAB（如下图），它的三边长分别是a、b、c．易见c2=a2+b2，若记∠AOB=θ，则e==．
2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||=2a，其中2a＜|F1F2|，这里要注意两点：
（1）距离之差的绝对值．
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同．
当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在．
3．参数a、b是双曲线的定形条件，两种标准方程中，总有a＞0，b＞0；双曲线焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2+b2；在方程Ax2+By2=C中，只要AB＜0且C≠0，就是双曲线的方程．
4．给定了双曲线方程，就可求得确定的两条渐近线．但已知渐近线方程，只是限制了双曲线张口的大小，不能直接写出双曲线方程．但若已知渐近线方程是±=0，则可把双曲线方程表示为－=（≠0），再根据已知条件确定的值，求出双曲线的方程．
双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为．若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
经过定点，实轴长为，且焦点在轴上的双曲线的标准方程为 ，焦点坐标为__________，渐近线方程为_________．
若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是 ______．
如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，且，，则设双曲线方程是 ．
舰在舰的正东千米处，舰在舰的北偏西且与相距千米，它们准备捕海洋动物，某时刻发现动物信号，秒后、同时发现这种信号，发射麻醉炮弹．设舰与动物均为静止的，若不计空气阻力与舰高，问舰发射炮弹的方位角应是多少？
已知双曲线的离心率，
（1）求该双曲线的方程；
（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标．
内容 要求层次 重难点
抛物线的定义与性质 抛物线的定义及标准方程 C 由定义和性质求抛物线的方程；由抛物线的标准方程探求几何性质
抛物线的简单几何性质 C
1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程：，焦点在轴正半轴上，坐标是，
准线方程是，其中是焦点到准线的距离．
3．抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程研究性质）：
⑴范围：抛物线在轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．
⑵对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
⑶顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．
⑷离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，．
4．设抛物线的焦点到准线的距离为，抛物线方程的四种形式如下：
标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程
轴
轴
5．抛物线
标准方程：；
焦点：，通径；准线：；
焦半径：，
过焦点弦长，
6．直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．
7．弦长公式同椭圆和双曲线．
在抛物线中与焦点弦有关的常见模型与性质：
过抛物线的焦点F作直线交抛物线于，两点，求证：
（2）
常见模型一：以焦半径为直径的圆与轴相切
为抛物线上任一点，为焦点，则以为直径的圆与轴（ ）
A．相交 B．相切 相离 位置由确定
【变式】已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限．求证：以线段为直径的圆与轴相切；
常见模型二：以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
常见模型三：设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1 B1的中点，则PA⊥PB；
过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为、，则__________．
A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°
设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点
常见模型四：若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线．
证明：抛物线的焦点弦，过点做准线的垂线交准线于点，求证：，，三点共线．
常见模型五：抛物线的切线方程与切点弦方程
证明：过抛物线上一点的切线方程是：
证明：过抛物线外一点的切线方程是：
【典型例题】
动圆经过定点且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程是________．
抛物线与过焦点且垂直于对称轴的直线交于，两点，则（ ）
A． B．
C． D．
设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）
A． 直线 B． 圆 C． 双曲线 D． 抛物线
⑴以双曲线的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为_______．
⑵双曲线的离心率为，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为 ．
设是抛物线上的一动点，
(1)求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值；
(2)若，求的最小值．
已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图所示，线段过轴正半轴上一定点，端点到轴的距离之积为以轴为对称轴，过三点作抛物线．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求的取值范围．
抛物线是历年来高考的重点和难点，复习时应注意以下几点：
(1)抛物线的标准方程有四种类型，所以首先判断类型是解决抛物线问题的关键；
(2)抛物线线的点、准线、焦点这三者通常与抛物线的定义相联系，在解题中，应注意相互转化；
(3)在抛物线的几何性质中，应用广泛的有范围、对称性、顶点坐标等，在解题时，应首先注意开口方向，焦点位置，以便选择抛物线的标准形式，便于求解；
(4)要特别注意关注焦点弦所在直线方程及焦点弦有关的一些常用性质和结论，注意直线与抛物线相交的问题，提高借助方程处理问题的能力．
若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情形都有可能
已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A． B．
C． D．
双曲线－＝1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y2＝2px(p>0)过点A，则该抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝4x
C．y2＝x D．y2＝x
已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A． B．3
C． D．
已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3?1，则点A的坐标为( )
A．(2,2) B．(2，－2)
C．(2，±) D．(2，±2)
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|＝3，则抛物线的方程是________．
已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．
(文)若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________．
(文)若椭圆C1：＋＝1(00)的焦点在椭圆C1的顶点上．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
已知P(x，y)为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1．
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．
内容 要求层次 重难点
圆锥曲线与方程 曲线与方程的对应关系 B 轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法
直线与圆锥曲线的位置关系 C
中点弦问题
1．1 点差法
对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么
两式相减，得
（注意，这里连结与是减号）
当时，两边同除，得
于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：
特别的，当时，我们经常使用以下结论：
在这里，于是上式也即．
需要注意的是：
当与轴平行（没有斜率）时，，此时，；
当与轴平行（斜率为0）时，，此时，．
类似的，对于双曲线，有
；
对于抛物线，有
；
对于抛物线，有
．
1．2 中点弦问题中的直线与圆锥曲线的位置关系
在实际应用中，由于关系式不依赖于弦端点的具体坐标，所以需要事先确定直线与圆锥曲线有两个不同的交点（这与利用弦心距和半径求圆的弦长时，需要首先保证弦的存在性类似）．下面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．
设直线，将其与椭圆方程联立得，
其判别式
于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于．
另一方面，若此时我们将与椭圆联立，可以得到“中点”满足的式子：
解得，
于是
因此利用中点弦问题的解法求出的点在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．
类似的，我们可以得到，在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价；在椭圆外与直线与圆锥曲线相离等价．
定点弦问题
2．1 直线参数方程的引入与推广
2．1．1 直线参数方程的引入
在这一小节，我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念，利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的直线，并将这一做法推广至空间．
平面上的直线可以由直线上的一点与表征该直线方向的方向向量（其中）确定．容易知道，平面上一点在直线上的充分必要条件就是向量与平行（共线），也即
（其中为实数）
根据平面向量的坐标运算法则，我们有
整理有
这就是平面上直线的参数方程，其中参数．
为了方便应用，我们经常取单位方向向量，其中为直线的倾斜角．这样做的好处在于此时，也就是说参数有鲜明的几何意义（参数所对应的点到定点的距离为），缺点在于不方便使用和运算．
在实际解题中，我们对直线方向的信息往往来自于直线的斜率，于是我们也经常取直线的方向向量为，此时参数所对应的点到定点的距离为，并且可以很方便的进行与圆锥曲线的联立．
2．1．2 直线参数方程的推广
平面上的直线方程还可以通过直线上的一点和直线的法向量引入．容易知道，平面上一点在直线上的充分必要条件就是向量与垂直，也即
根据平面向量的坐标运算法则，我们有
整理有
记，那么就得到直线的一般形式．利用这一引入过程，我们可以很方便的推导出平面上点到直线的距离公式．事实上，（向量在向量方向上的投影长度）
而，，代入得
与利用方向向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间直线的方程
其中为空间直线的方向向量，为该直线上的一点．
与利用法向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间平面的方程
其中为空间平面的法向量，，为该空间平面上的一点．
而平面上点到直线的距离公式也可以类似的推广到空间上点到平面的距离公式
其中点坐标为，平面方程为．
2．2 利用直线参数方程解定点弦问题
直线的参数方程为我们解决通过某定点的直线与圆锥曲线相交时出现的弦长或定比问题提供了解题途径．尤其是当这类问题不方便转化为、中的任何一个方向上研究时（当定点的横纵坐标均不为时），利用直线的参数方程与圆锥曲线方程联立往往可以起到大大简化运算的效果．
下面我们通过对第二节中的焦点弦长公式的推导展示这种联立过程．
对于通过定点（椭圆的左焦点）、倾斜角为的直线，我们写出直线的参数方程
将该方程代入椭圆方程可得
整理得
于是焦点弦长
在实际应用中，一定要特别注意参数的正负（这取决于参数对应的点与定点的位置关系）．另外，应该在重视熟练应用韦达定理化简问题的同时，掌握应用求根公式对问题进行化简的方法．
顶点弦问题
顶点弦问题的提出来源于圆锥曲线（除抛物线外）的一个重要性质：
圆锥曲线上的点与圆锥曲线的一对顶点、（对于圆，取直径的两端点）的连线斜率的乘积为定值．
对于椭圆，取其左右顶点，，那么对于
将椭圆方程变形，有
代入上式，有
．
类似的，我们可以得到对于双曲线，有；
对于圆，有．
题型一：中点弦问题
已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程．
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值．
已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率．
⑴求椭圆的方程；
⑵求的角平分线所在直线的方程；
⑶在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在．请找出；若不存在，说明理由．
题型二：定点弦问题
已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于A，B两点．
⑴写出抛物线的标准方程；
⑵若，求直线的方程；
⑶若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．
如图，是抛物线：上一点，直线过点且与抛物线交于另一点．
⑴若直线与过点的切线垂直，求线段中点的轨迹方程；
⑵若直线不过原点且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围．
题型三：顶点弦问题
已知点在双曲线（）的右支上（与不重合），分别为双曲线的左、右顶点，且，则（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 求线段的长度的最小值；
⑶ 在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．
如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点．
⑴ 若，求直线的方程；
⑵ 设直线的斜率分别为，若，求的值．
如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点、，其中，，．
⑴ 设动点满足，求点的轨迹；
⑵ 设，，求点的坐标；
⑶ 设，求证：直线必过轴的一定点（其坐标与无关）．
在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
高考数学的圆锥曲线题型变化多端，主要有几类题型，我们本讲主要说：
（1）中点弦问题
在韦达定理横行于圆锥曲线的解答题中，我们其实还有一种非常优秀的方法---点差法。对于什么样的中点弦，我们会使用点差法，而点差法中我们需要注意的问题，比如斜率本身的限制等，我们需要特殊关注
（2）定点弦问题
弦上定比分点，或者定点分比问题，是我们常见的问题。我们的目标就是避过复杂的运算方法，转化成横坐标或者纵坐标之间的比例，利用韦达定理处理的更加轻松。
（3）顶点弦问题
顶点似乎在圆锥曲线并不是那么实际的几何意义，其实并非如此，关于顶点很多问题都是在解析几何中需要讨论出来的，让我更加清晰的认识到顶点的重要．
已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
B． C． D．
设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于，两点．若的中点为，则直线的方程为_____________．
设，两点在抛物线上，是的垂直平分线．当直线的斜率为时，在轴上截距的取值范围为_________．
已知椭圆：，试确定的取值范围，使得对于直线：，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称．
椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点、，且
⑴求椭圆方程；⑵若的取值范围．
设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足．记动点的轨迹为，
⑴求轨迹的方程；
⑵若点的坐标为，、是曲线上的两个动点，且，求实数的取值范围．
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．过点的直线与椭圆相交于不同的两点．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 是否存在直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点．
⑴求椭圆的方程；
求的值．
已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点．椭圆的右顶点为．点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵求线段的长度的最小值．
⑶当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数；若不存在，说明理由．
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
内容 要求层次 重、难点
圆锥曲线 椭圆的定义及标准方程 C 掌握只限于圆锥曲线圆锥曲线的位置关系． 熟练运用所学知识解决弦长、终点弦、对称问题． 理解属性结合思想 了解圆锥曲线的简单应用
椭圆的简单几何性质 C
抛物线的定义及标准方程 C
抛物线的简单几何性质 C
双曲线的定义及标准方程 A
双曲线的简单几何性质 A
直线与圆锥曲线的位置关系 C
直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离．
从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交．
弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．
焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；
通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径．
①当直线的斜率存在时，弦长公式：
=或当存在且不为零时
，（其中（），（）是交点坐标．
②抛物线的焦点弦长公式|AB|=，其中α为过焦点的直线的倾斜角．
在计算圆锥曲线内接三角形面积时，我们常常用到下面这些计算公式：
由三角形的面积容易推出圆锥曲线内接四边形的计算公式：
（其中为对角线夹角）
特别地，对角线互相垂直的四边形的面积为
．
其他重要公式
正弦定理：（其中为三角形外接圆的直径）；
余弦定理：，；
三角形重心坐标公式：；
三角形垂心坐标公式：；
到角公式：斜率为的直线到斜率为的直线的角满足．
中点弦问题------ 点差法
对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么
两式相减，得
（注意，这里连结与是减号）
当时，两边同除，得
于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：
特别的，当时，我们经常使用以下结论：
在这里，于是上式也即．
需要注意的是：
当与轴平行（没有斜率）时，，此时，；
当与轴平行（斜率为0）时，，此时，．
类似的，对于双曲线，有
；
对于抛物线，有
；
对于抛物线，有
．
考点一、直线与曲线的交点
已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值．
【变式】对于抛物线，称满足的点有抛物线的内部．若点在抛物线的内部，试求直线与抛物线的公共点的个数．
直线与曲线 （ ）
A．没有交点 B． 只有一个交点 C． 有两个交点 D． 有三个交点
【变式】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．
【巩固】（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2 条 C．3条 D．4条
（2）与直线平行的抛物线的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
（3）直线与椭圆相交于两点，椭圆上的点使的面积等于12，这样的点C共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点二：弦长与面积
抛物线截直线所得弦长的中点坐标为_______，弦长为______．
【变式】点在直线上，若存在过的直线交抛物线于，两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ ）
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”
【巩固】已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、．
（1）若与轴相交于点，且是的中点，求直线的方程；
（2）设为椭圆上一点，且（为坐标原点），求当时，实数的取值范围．
已知椭圆的左右焦点分别为．在椭圆中有一内接三角形，其顶点的坐标，所在直线的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积最大时，求直线的方程．
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
考点三、韦达定理与点差法
过点作直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，求直线所在的直线方程和线段的长度．
【变式】椭圆与直线相交于两点，是的中点．若，直线的斜率为，求椭圆的方程．
设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值．
【变式】已知椭圆 经过点其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点．求的取值范围．
1．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习
由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点．这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设．而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决．这样就加强了对数学各种能力的考查；
2．关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法．利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法．有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；
3．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；
4．当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；
抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是（ ）
A． B．
C． D．3
已知椭圆x2＋2y2＝4，则以为中点的弦的长度为（ ）
A．3 B．2
C． D．
直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
直线y＝x与抛物线y2＝4x交于A、B两点，P为抛物线上的点，使△ABP的面积等于2的点P有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
已知抛物线y2＝8x，过动点M（a,0），且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．
若抛物线y＝ax2－1上总存在关于直线x＋y＝0对称的两点，则实数a的取值范围为________．
已知双曲线C的一个焦点为F，过F且垂直于实轴的直线被双曲线C截得的弦长等于双曲线C的焦距，则双曲线C的离心率为________．
已知椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
内容 要求层次 重、难点
圆锥曲线 椭圆的定义及标准方程 C 掌握只限于圆锥曲线圆锥曲线的位置关系。 熟练运用所学知识解决弦长、终点弦、对称问题。 理解属性结合思想 了解圆锥曲线的简单应用
椭圆的简单几何性质 C
抛物线的定义及标准方程 C
抛物线的简单几何性质 C
双曲线的定义及标准方程 A
双曲线的简单几何性质 A
直线与圆锥曲线的位置关系 C
（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：
设圆锥曲线C∶与直线相交于、两点，则弦长为：
或
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。
（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
（3）解析几何与向量
圆锥曲线经常与平面向量、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。平面向量做为平面几何中的工具知识点，在解析几何中，无论是夹角，平行，垂直，数量积等都具有非常重要的作用。
考点一、圆锥曲线中的最值问题、范围问题
设是椭圆．．短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
已知点分别是直线和的动点（在轴的同侧），且的面积为，点满足．
（1）试求点的轨迹的方程；
（2）已知，过作直线交轨迹于两点，若，试求的面积．
若直线与双曲线的右支有两个相异公共点，是弦长关于的函数，
⑴求并指出函数的定义域；
⑵若已知，求的值域．
一束光线从点出发，经直线：上一点反射后，恰好穿过点，
⑴求点关于直线的对称点的坐标；
⑵求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
⑶设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，且不为、，求点到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线
交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值．
考点二：对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题
已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离的和为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）试用表示△的面积，并求面积的最大值．
已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程．
已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值．
已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于A，B两点．
⑴写出抛物线的标准方程；
⑵若，求直线的方程；
⑶若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．
考点三、解析几何与向量
已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有．
⑴求椭圆的方程；
⑵设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值．
设，分别是直线，和上的两个动点，并且动点满足记动点的轨迹为；
⑴ 求轨迹的方程；
⑵ 若点的坐标是，，是曲线上的两个动点，且，求实数的取值范围．
在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、．也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且．
⑴ 求的方程；
⑵ 平面上的点满足，直线，且与交于、两点，若，求直线的方程．
如图，设抛物线方程为，为 直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，．
⑴ 求证：，，三点的横坐标成等差数列；
⑵ 已知当点的坐标为时，，求此时抛物线的方程；
⑶ 是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等．要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关．
2、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明．
3 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法
4当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍
5以向量,导数为载体或联系相关学科知识,构成知识交汇的问题,综合考查分析和解决问题的能力．
抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有( )
A．x3＝x1＋x2 B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1A．3 B．
C． D．
过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点M(x0，y0)(y0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则等于( )
A．－2 B．2
C．4 D．－4
已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
A．5 B．8
C．－1 D．＋2
已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．
若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是?1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；
(3)在(2)的条件下，求△PAB面积的最大值．
已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线与方程 内容 要求层次 重难点
曲线与方程的对应关系 B 轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法
直线与圆锥曲线的位置关系 C
1．坐标法：在直角坐标系中确定曲线的方程，并用方程研究曲线的性质，这种研究几何的方法称为坐标法．
2．轨迹方程：一条曲线可以看成动点的运动轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
3．在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系：
⑴曲线上点的坐标都是方程的解；
⑵以方程的解为坐标的点都在曲线上．
那么，曲线叫做方程的曲线，方程叫做曲线的方程．
即：．
曲线用集合的特征描述为．
4．曲线的交点：
已知两条曲线和的方程分别为：，，则交点坐标对应方程组的实数解．
5．由曲线求它的方程：
①建立直角坐标系；
②设动点的坐标为；
③把几何条件转化为坐标表示．
④证明所求的就是曲线的方程．（一般省去证明，只通过验证除去或补上相关的点）
6．利用方程研究曲线的性质：
①曲线的组成；
②曲线与坐标轴的交点；
③曲线的对称性质；
④曲线的变化情况；
⑤画出方程的曲线．
7．求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立之间的关系；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足其中，且，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
到直线和的距离相等的动点的轨迹方程是 ．
在中，，，且的面积为1，建立适当的坐标系，求以M、N为焦点，且过点P的椭圆的方程.
【变式】如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
【变式】求过点所作椭圆的弦的中点的轨迹方程.
如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
【变式】已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
给出定点A（）和直线l：.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
【变式】已知两点，且点P使成公差小于零的等差数列，
（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？
（Ⅱ）若点P坐标为为与的夹角，求。
如图所示，已知抛物线y2＝4px（p＞0），O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.
【变式】已知椭圆C的方程为x2+=1，点的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。
【变式】已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足.
(1)当点在轴上移动时，求点的轨迹；
(2)过点作直线与轨迹交于两点，若轴上存在一点，使得是等边三角形，求的值。
曲线问题常见误区：
1．求曲线的方程注意以下三个问题：
（1）要适当建立坐标系，坐标系建得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算量. 在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性. 如中心对称图形、可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中有直角、可考虑将两直角边作为坐标轴等等.
（2）根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环. 应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式．
2．在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解的错误，为此解题时应注意以下三点：①注意动点应满足的某些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论．
3．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程．
到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．AB所在的直线
C．线段AB D．无轨迹
方程x2＋xy＋x＝0表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条曲线 B．两条曲线
C．两个点 D．以上答案都不对
在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1(x≠±)
C.＋＝1 D.＋＝1(x≠±2)
已知点F(，0)，直线l：x＝－，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．抛物线 D．圆
一个动点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x－)2＋y2＝
如图与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是( )
A．y2＝8x B．y2＝8x(x>0)和y＝0
C．y2＝8x(x>0) D．y2＝8x(x>0)和y＝0(x≤0)
自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM和PN，若∠MPN＝，则动点P的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1
已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
已知抛物线y2＝nx(n<0)与双曲线－＝1有一个相同的焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是________．
在直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程为________．
如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．
求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程．
