第二章数列
课题 §2.1.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
4，5，6，7，8，9，10． ①
1，，，，，…. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③
1，1.4，1.41，1.414，…. ④
-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤
2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
[范例讲解] 例1 根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1）
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项
解：（1）
(2)
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7； （2）
（3）-，，-，.
解：
（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，
∴它的一个通项公式是： ；
（2）序号：1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是： ；
（3）序号
‖ ‖ ‖ ‖
这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：
Ⅲ.课堂练习
课本[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本习题2.1A组的第1题
2.1.1数列的概念与简单表示法
【课前预习】
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是
A、19 B、 20 C、 21 D 、22
2、观察下面数列的特点，用适当的数填空
（1） ，，，， ；
（2），， ，，， 。
3 .已知数列，，则 .
4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 .
（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 .
（3）数列的一个通项公式为 .
5.已知数列满足，，则 .
1 C 2 （1）1， （2） 3.29
4. （1）an=;（2）an=2+2·(-1)n+1 （3） 5.
【课内探究】
1 展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3 数列的表示方法
（1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？
（2）定义数列{an}的通项公式
（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？
（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，-1/2，1/3，-1/4；
（2）2，0，2，0．
【课后提高】
1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .
2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5= .
3.数列-1,，-，，…的一个通项公式是 .
4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）
5.若数列{an}的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.
6.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…
（3）联想=10n-1,
则an===(10n-1),
即an= (10n-1).
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则an=5sin.
（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1.
学校：二中 学科：数学 编写人：赵云雨 一审：李其智 二审：马英济
课题
§2.1.2数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为 ；
? 的通项公式为 ；
的通项公式为 ；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：14＝1+3
第2层钢管数为5；即：25＝2+3
第3层钢管数为6；即：36＝3+3
第4层钢管数为7；即：47＝4+3
第5层钢管数为8；即：58＝5+3
第6层钢管数为9；即：69＝6+3
第7层钢管数为10；即：710＝7+3
若用表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且≤n≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即；；
依此类推：（2≤n≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。
定义：
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
递推公式为：
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为 ．
[范例讲解]
例1 设数列满足写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：，
[补充例题]
例2已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
5．数列的前n项和：
数列中，称为数列的前n项和，记为.
表示前1项之和：=
表示前2项之和：=
……
表示前n-1项之和：=
表示前n项之和：=.
∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.
3．与之间的关系：
由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，
即=.
说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例3已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项
分析：题中已给出的第1项即，递推公式：
解：据题意可知：
例4已知数列中，≥3），试写出数列的前4项
解：由已知得
例5已知， 写出前5项，并猜想．
法一： ，观察可得
法二：由 ∴ 即
∴
∴
例6 已知数列的前n项和，求数列的通项公式：
⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1.
解：⑴①当n≥2时，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时，==1+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，
∴=2n+1为所求.
⑵①当n≥2时，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3；
②当n=1时，==1-2×1-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，
∴=为所求.
Ⅲ.课堂练习
课本P36练习2
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A组的第4、6题
2.1.2数列的概念与简单表示法
课前预习
1.数列的一个通项公式是 （ ）
A. B. C. D.
2.已知，则数列是 （ ）
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
3.数列的通项公式为，则数列各项中最小项是 （ ）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
4.已知数列的通项公式为，则3 （ ）
A. 不是数列中的项 B. 只是数列中的第2项
C. 只是数列中的第6项 D. 是数列中的第2项或第6项
5.数列中，由给出的数之间的关系可知的值是（ ）
A. 12 B. 15 C. 17 D. 18
6.下列说法正确的是 （ ）
数列1，3，5，7可表示为
数列1，0，与数列是相同的数列
数列的第项是
D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集的函数
7.数列的前n项和，则 。
1.B2.A3.B4.D5.B6.C7
课内探究
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).
解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝;
(3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2,
＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋2·3;
2． ．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式
(1) ＝2n－3n; (2) ＝－2.
解：(1) ＝－1,
=-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5,
又符合＝4·1－5, ∴ ＝4n－5;
(2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2·,
∴＝
∴
课后提高
1. 设数列则是这个数列的
A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项
2. 数列的前n项积为，那么当时，的通项公式为
A. B. C. D.
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A）an= 1－(－1)n （B）an=1＋(－1)n＋1
（C）an=2sin2 （D）an=(1－cosnπ)＋(n－1)(n－2)
4. 在数列中，，，则的值是
A. B. C. D.
5. 数列的一个通项公式是 。
6. 数列的前n项和，则 。
7. 数列满足，则 。
8. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
9. 已知数列的前n项和，数列的前n项和，
（1）若，求的值； （2）取数列中的第1项, 第3项, 第5项, 构成一个新数列, 求数列的通项公式.
10.（1）已知数列的前n项和公式，求的通项公式
①；
②
1—4、BDDA 5、 6、 7、161 8、8、
9、（1）36 （2） 10 (1) (2)
第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
课时目标
1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3．对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项．
2．数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}．
3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
答案 B
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为( )
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
答案 A
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
答案 D
解析 令n＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
答案 C
解析 n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
答案 C
解析 令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.
6．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么an＋1－an等于( )
A. B.
C.＋ D.－
答案 D
解析 ∵an＝＋＋＋…＋
∴an＋1＝＋＋…＋＋＋，
∴an＋1－an＝＋－＝－.
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为____________．
答案 4,7,10,15
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第______项．
答案 10
解析 ∵＝，
∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
答案 an＝2n＋1
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1.
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
答案 55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，…
(5)0,1,0,1，…
解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，
(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N*)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N*)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝(n∈N*)．
(5)an＝或an＝(n∈N*)
或an＝(n∈N*)．
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，∴0<<1，∴0
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令即.∴又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是______________________．
答案 an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N*.
课件41张PPT。【思考】【点拨】 数列的概念及分类
【名师指津】1.对数列概念的认识
（1）{an}与an是不同的概念.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an仅表示数列{an}的第n项.
(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数集有本质的区别.2.数列分类的判断
（1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列；
（2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列；
（3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列；
（4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，则是摆动数列.【特别提醒】集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按顺序排列的，项与项可以是相同的.【例1】已知下列数列：
(1)2 003，2 006，2 009，2 012；
(2)1，
(3)1,0,-1,…, …;
(4)1, …, …；
(5)0, …, ….
其中，_______是有穷数列，_______是无穷数列，______
是递增数列,_______是递减数列，_______是摆动数列.【审题指导】题目中给出了各个数列的表达形式，注意观察数列的项的变化趋势与规律，注意省略号“…”及其位置，利用数列的通项公式，紧扣数列的有关概念完成判断.【规范解答】（1）是有穷递增数列；
（2）是无穷递减数列；
（3）是摆动数列，也是无穷数列；
（4）是摆动数列，也是无穷数列；
（5）是无穷递增数列（因为 ）.
答案：(1) (2)(3)(4)(5) (1)(5) (2) (3)(4)【变式训练】1.下列叙述正确的是（ ）
(A)数列1，3，5，7和数列3，1，5，7是同一数列
(B)同一个数在数列中可能重复出现
(C)数列的通项公式是定义域为正整数集N*的函数
(D)任何数列的通项公式都存在【解析】选B.根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，A是错误的；数列的通项公式的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，4,……,n}，因此C是错误的；有时一个数列不存在通项公式，故D是错误的；对于一个数列，可以有重复的数，故B正确.2.已知数列：
(1)0，1，2，3，…
(2)1, …
(3)-1,1,-1,1,-1,1,…
(4)5,5,5,5,5,…
其中，________是递增数列，________是递减数列，______
是摆动数列，_________是常数列（填序号）.
【解析】根据数列的定义，观察数列中的项随序号变化的情况.
答案：(1) (2) (3) (4) 用观察法求数列的通项公式
【名师指津】1.用观察法求数列的通项公式的一般规律.
（1）(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用
（-1）k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.“基本数列”的通项公式.
(1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n；
(2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n；
(3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1；
(4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n；
(5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；(6)数列1，4，9，16，…的通项公式是an=n2.
(7)数列1，3，6，10，…的通项公式是an=
(8)数列 …的通项公式是an=
【特别提醒】有些数列的通项公式并不惟一.【例2】写出下列数列的一个通项公式：
（1） 2， 8， …；
（2）9，99，999，9 999，…；
（3） …；
（4）2， …
【审题指导】题目中给出了各数列的表达形式，经过观
察，分析寻找每一项与其项数的统一规律,结合“基本数列”
的通项公式来求解.【规范解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可
将各项都统一成分数再观察： …,所以，它的
一个通项公式为an= (n∈N*).
(2)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…此数列
的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an=10n-1.（3）数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数
列，可用2n-1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的
平方，可用（n+1）2表示，分子的后一部分是减去一个自然
数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an=
(n∈N*).（4）数列的符号规律是（-1）n+1，使各项分子为4，变
为 …，再把分母分别加1，又变为
…，∴数列的通项公式为an= (n∈N*).【互动探究】若本例（4）中，数列变为-2，
…，又如何求其通项公式呢？
【解题提示】首先观察符号的规律，再观察分子的特点.
【解析】数列的符号规律是（-1）n,使各项分子为4，变为
…,再把分母分别加1,又变为 …,
∴数列的通项公式为an= (n∈N*). 数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应.
对于任意数列如：1， …，每一项的序号与该
项都有对应关系，见下表： (2)从函数的观点看数列.
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…，
f（n），….（3）数列的图象表示.
以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的.【例】已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n.求
数列{an}的通项公式.
【审题指导】题目中给出了函数的表达式以及数列满足的条
件，欲求数列的通项公式，可建立关于an的一元二次方程求解.
【规范解答】∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
=-2n,an- =-2n,
∴ +2nan-1=0,解得an=-n±
∵an>0,∴an= -n，n∈N*.【变式备选】写出数列1， …的通项公式，并判断它的
增减性.
【解题提示】观察得到数列的通项公式，判断an与an+1之间的
关系，用作差法.
【解析】通过观察归纳得数列的通项公式为an= (n∈N*).
又∵an+1-an= ＜0,∴an+1＜an.
∴该数列是递减数列.【典例】(12分)数列{an}的通项公式是an=n2-8n+12.
（1）这个数列的第3项是多少？
（2）32是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）求an的最小值，并求此时n的值.
【审题指导】题目中给出了数列{an}的通项公式，此通项公式是关于n的二次函数，可结合二次函数的性质及图象特点，利用方程求解即可.【规范解答】(1)∵an=n2-8n+12，
∴a3=32-8×3+12=-3. ……………………………3分
(2)令n2-8n+12=32，即n2-8n-20=0，
解得n=-2(舍去)或n=10.
∴n=10，即32是该数列的第10项 ……………………7分
(3)∵an=n2-8n+12=（n-4）2-4，∴当n=4时，an最小，故
（an）min=a4=-4. …………………………………… 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.
【解析】已知-2n2+9n+3=-2（n- ）2+ 由于n为正整
数，故当n=2时，取得最大值为13，所以数列{-2n2+9n+3}
中的最大项为第二项，为13.1.下列说法错误的是（ ）
（A）数列4，7，3，4的第一项是4
（B）数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
（C）数列-1，0，1，2与数列0，1，2，-1不相同
（D）-1,1,2,0,-3是摆动数列
【解析】选B.由数列的概念及表示来判断.2.数列{an}中，an=3n-1，则a2等于（ ）
（A）2 （B）3 （C）9 （D）32
【解析】选B.把n=2代入an=3n-1，得a2=32-1=3.3.已知数列{an}中，an+1=an+3,则数列{an}是( )
（A）递增数列 （B）递减数列
（C）常数列 （D）摆动数列
【解析】选A.∵an+1=an+3,∴an+1-an=3>0,即an+1>an.4.数列-1， …的一个通项公式是_______.
【解析】分母为正奇数，故分母为2n-1,分子为1，又奇数
项为负，偶数项为正，所以an=
答案：an=5.已知数列{an}的通项公式an= 则 a3+a4=________.
【解析】a3+a4=
答案：6.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则-49是否是该数
列的一项？如果是，应是哪一项？
【解析】令3n2-28n=-49，解得n=7或n= （舍去）,
所以-49是该数列的第7项.课时训练5 数列的概念与简单表示法
/
一、数列的概念及分类
1.下列叙述正确的是( )
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列
??
??+1
是递增数列
答案:D
解析:数列中的项是有序的,故A错;B中通项为{n-1};C中数列为摆动数列,故选D.
2.数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是( )
A.(-∞,3) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案:A
解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,所以m的取值范围是(-∞,3).
3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是0( )
A.1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,…
B.sin
π
7
,sin
2π
7
,sin
3π
7
,…
C.-1,-
1
2
,-
1
4
,-
1
8
,…
D.1,
2
,
3
,…,
21
答案:C
4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?
(1)1,2,3,4,5,6,7,…;
(2)10,8,6,4,…;
(3)1,0,1,0,1,0,…;
(4)a,a,a,a,….
解:(1)递增数列,因为从第2项起,每一项都大于它的前一项;
(2)递减数列,因为从第2项起,每一项都小于它的前一项;
(3)摆动数列,因为从第2项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项;
(4)常数列.
二、数列的通项公式及应用
5.(2018河南南阳高二期中,1)已知数列
5
,
11
,
17
,
23
,
29
,…,则5
5
是它的第( )项.
A.19 B.20 C.21 D.22
答案:C
解析:数列
5
,
11
,
17
,
23
,
29
,…中的各项可变形为
5
,
5+6
,
5+2×6
,
5+3×6
,
5+4×6
,…,∴通项公式为an=
5+6(??-1)
=
6??-1
,令
6??-1
=5
5
,得n=21.故选C.
6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).
/
则第7个三角形数是( )
A.27 B.28 C.29 D.30
答案:B
解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以此规律得a6-a5=6,∴a7-a6=7.
∴a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28.
7.数列{an}的通项公式an=
1
??
+
??+1
,则
10
-3是此数列的第 项.?
答案:9
解析:an=
1
??
+
??+1
=
??+1
?
??
,
令n=9,则a9=
10
?
9
=
10
-3.
∴
10
-3是数列中第9项.
8.已知数列的通项公式为an=2n2-n.
(1)求这个数列的第8项,第10项;
(2)试问:45是否是{an}中的项?3是否是{an}中的项?
解:(1)∵an=2n2-n,
∴当n=8时,a8=2×82-8=120;
当n=10时,a10=2×102-10=190.
(2)an=2n2-n,令an=45,则有2n2-n-45=0,
解得n=5或n=-
9
2
(舍去),
∴45是该数列的第5项.
令an=3,则有2n2-n-3=0.
该方程不存在正整数解,故3不是该数列中的项.
9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.
(1)a,b,a,b,…;
(2)
2
2
-1
2
,
3
2
-1
3
,
4
2
-1
4
,
5
2
-1
5
,…;
(3)-
1
1×2
,
1
2×3
,-
1
3×4
,
1
4×5
,…;
(4)
1
2
,2,
9
2
,8,
25
2
,….
解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=
??,??为奇数,
??,??为偶数,
也可记为an=
??+??
2
+(-1)n+1·
??-??
2
.
(2)这个数列的前4项分别为
2
2
-1
2
,
3
2
-1
3
,
4
2
-1
4
,
5
2
-1
5
,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=
(??+1
)
2
-1
??+1
.
(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=
(-1
)
??
??(??+1)
.
(4)该数列的项中有的是分数,有的是整数,将各项都统一成分数为
1
2
,
4
2
,
9
2
,
16
2
,
25
2
,…,观察可知各项分母都是2,分子都是序号的平方,所以an=
??
2
2
.
/
(建议用时:30分钟)
1.数列
2
,
5
,2
2
,
11
,…,则2
5
是该数列的( )
A.第6项 B.第7项
C.第10项 D.第11项
答案:B
解析:由an=
3??-1
=2
5
,解得n=7.
2.数列0,
1
3
,
1
2
,
3
5
,
2
3
,…的通项公式为( )
A.an=
??-2
??
B.an=
??-1
??
C.an=
??-1
??+1
D.an=
??-2
??+2
答案:C
解析:原数列可变形为
0
2
,
1
3
,
2
4
,
3
5
,
4
6
,…,
∴an=
??-1
??+1
.
3.已知数列的通项公式an=
3??+1,??为奇数,
2??-2,??为偶数,
则a2a3等于( )
A.70 B.28 C.20 D.8
答案:C
解析:由an=
3??+1,??为奇数,
2??-2,??为偶数,
得a2a3=2×10=20.∴选C.
4.已知数列{an}满足:a1>0,
??
??+1
??
??
=
1
2
,则数列{an}是0( )
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.不确定
答案:B
解析:由已知数列各项为正,且从第二项起每一项是前一项的
1
2
,则数列{an}是递减数列.
5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( )
A.2 B.6 C.7 D.8
答案:C
解析:数字为1的有1个,数字为2的有2个,数字为3的有3个,∴按照此规律.
当数字为6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,当数字为7时,共有1+2+3+4+5+6+7=28项.
∴第25项为7.
6.已知数列{an},an=an+m(a<0,n∈N*),满足a1=2,a2=4,则a3= .?
答案:2
解析:∵
2=??+??,
4=
??
2
+??,
∴
??=-1,
??=3,
∴an=(-1)n+3,∴a3=(-1)3+3=2.
7.下列叙述中正确的为 .?
①数列an=2是常数列;
②数列
(-1
)
??
·
1
??
是摆动数列;
③数列
??
2??+1
是递增数列;
④若数列{an}是递增数列,则数列{anan+1}也是递增数列.
答案:①②③
解析:①中每一项均为2,是常数列.②中项的符号由(-1)n调整,是摆动数列.③
??
2??+1
可变形为
1
2+
1
??
,为递增数列.④中若an=n-3,则anan+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列.
8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖 块.?
/
答案:4n+2
解析:第1个图案有白色地面砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖.
∴第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)(块).
9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)
4
5
,
1
2
,
4
11
,
2
7
,…;
(2)1,3,6,10,15,…;
(3)7,77,777,….
分析:(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为
4
5
,
4
8
,
4
11
,
4
14
,…,于是它们的分母依次相差3,因而有an=
4
3??+2
.
(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即
1×2
2
,
2×3
2
,
3×4
2
,
4×5
2
,
5×6
2
,…,因而有an=
??(??+1)
2
.
(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有an=
7
9
(10n-1).
解:(1)an=
4
3??+2
;
(2)an=
??(??+1)
2
;
(3)an=
7
9
(10n-1).
10.已知数列{an}的通项公式an=
??+6
??
.
(1)求a10.
(2)
53
50
是否是这个数列中的项?
(3)这个数列中有多少整数项?
(4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由.
解:(1)a10=
10+6
10
=
8
5
.
(2)令
??+6
??
=
53
50
,得n=100,故
53
50
是这个数列的第100项.
(3)∵an=1+
6
??
,
∴当n=1,2,3,6时,an为整数,
故这个数列中有4项是整数项.
(4)令
??+6
??
=n得n2-n-6=0,
解得n=3或n=-2(舍去),
故该数列中有等于序号的项,即a3=3.
课件45张PPT。第 二 章数 列2．1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法 自主学习 新知突破1．了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法来表示数列．
2．理解数列是一种特殊的函数．
3．掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式．[问题1] 按顺序分别写出满足下列条件的数．
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数；
(2)－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂；
(3)正整数1,2,3,4,5,6，…的平方．
[问题2] 从1984年到2008年我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,52.这几个数有顺序吗？
[提示] 这几个数有顺序．数列及其有关概念顺序每一个数{an}数列的分类有限无限从第2项起大于从第2项起 小于各项相等从第2项起大于小于(1)通项公式
如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)图象法
数列的图象是以__________ 为坐标的一系列无限或有限的__________．数列的简单表示法项数n(n，f(n))孤立的点(3)列表法
列表法就是列出表格来表示___________的关系．例如：数列1,1,2,3,5,8,13,21.序号与项数列表示方法的深层次理解
(1)图象法：①数列是特殊的函数，因此，数列也可以根据某通项公式画出其对应图象，这就是图象法．在画图时，为了方便，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同．
②图象法的优点：直观明了，能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
(2)列表法：运用列表法给出数列，优点是内容具体、方法简单，不需要计算就可以直接看出与序号相对应的项，但要确切表示一个无穷数列或一个项数比较多的有穷数列则比较困难，这与集合的列举法表示效果相似．
(3)通项公式法：用通项公式表示数列，简单明了，便于计算，是常用的方法．
1．下列说法正确的是( )
A．数列是一种特殊的函数，定义域是N*
B．数列1,2,8,16与数列1,8,2,16是同一个数列
C．同一个数在同一个数列中可以重复出现
D．数列1,4,9，…，n2是无穷数列
解析： 对于A，因为数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集，故A错；对于B，根据数列的定义可知，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列，故B错；根据数列的定义，C正确；对于D，因为它的项数有限，应该是有穷数列，故D错．
答案： C
解析： A选项中的数列是递减数列，B选项中的数列是摆动数列，D选项中的数列是有穷数列，只有C选项中的数列是无穷数列且是递增数列，故选C.
答案： C答案： 23合作探究 课堂互动 数列的概念及分类 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；
(3)所有无理数；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(5)6,6,6,6,6.
[思路点拨] 由题目可获取的主要信息是五种数学表达式．解答本题要紧扣数列的概念和数列分类标准．
[边听边记] (1)是集合，不是数列．(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来．(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列． 解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含项数的多少与项的变化情况确定． 解析： (1)是无穷数列，递减数列；
(2)是无穷数列，递增数列；
(3)是无穷数列，常数列；
(4)是无穷数列，递减数列；
(5)是有穷数列，递减数列；
(6)是无穷数列，摆动数列．
故有穷数列有(5)，无穷数列有(1)(2)(3)(4)(6)，递增数列有(2)，递减数列有(1)，(4)，(5)，摆动数列有(6)，常数列有(3)．求数列的通项公式 根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
[思路点拨] 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见的数列来求．
解析： (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． 用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号；
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 数列通项公式的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 判断某数是否为数列的项的步骤
(1)将所给某数代入通项公式中；
(2)解关于n的方程；
(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项． 答案： D谢谢观看！