§2.1 数列的通项公式与递推公式
课时目标
1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；
3．了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值．
3．一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫做递增数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数项 D．不能确定
答案 A
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
答案 B
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是( )
A．1 B. C. D.
答案 B
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 a1a2a3＝32，a1a2＝22，
a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2 010除以3能整除，所以a2 010＝a3＝.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
答案 C
解析 ∵an＝
＝＋1
∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上，
在直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象，
由图象易知
当x∈(0，)时，函数单调递减．
∴a9当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，
∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
答案 3·21－n
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．
答案 12
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N*)，则当n≥2时，an＝________.
答案
解析 ∵a1＝1，且＝(n∈N*)．
∴··…·
＝···…·，
即an＝.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．
答案 －3
解析 an≤an＋1?n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)
?λ≥－(2n＋1)，n∈N*?λ≥－3.
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N*)．
(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2 011.
(1)证明 an＋3＝1－＝1－
＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解 由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2 011＝a3×670＋1＝a1＝，∴a2 011＝.
12．已知an＝ (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
解 因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)
＝n＋1·＝n＋1·，则
当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，则通项公式an＝________.
答案 －
解析 ∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
… …
an－an－1＝；
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
∴an＋1＝1－，∴an＝－.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．
答案
解析 ∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，
∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，
∵an>0，∴an＋an＋1>0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0.
方法一 ＝.
∴····…·
＝····…·，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
方法二 (n＋1)an＋1－nan＝0，
∴nan＝(n－1)an－1＝…＝1×a1＝1，
∴nan＝1，an＝.
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增?an＋1>an对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{an}递减?an＋1课件33张PPT。【思考】【点拨】 由递推公式写出数列的项
【名师指津】由递推公式写出数列的项的方法.
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可;
(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【特别提醒】若递推公式涉及数列中相邻的两项，需知道一个具体的项；若递推公式涉及数列中相邻的三项，需知道两个具体的项.【例1】在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1）写出此数列的前六项.
【审题指导】通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.
【规范解答】a1=2，a2=3，
a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5，
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9，
a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,
a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.【变式训练】已知数列{an}的第一项是1，以后各项由公式
an-1=2an-2给出，写出这个数列的前五项.
【解题提示】可先将公式变形为an=1+ an-1.根据递
推公式写出数列的前几项，可由a1=1及a2=1+ a1，求出a2
这一步是解题的关键.
【解析】∵an-1=2an-2,
∴an=1+ an-1.又a1=1,∴a2= a3= a4= a5= 由递推公式求通项公式
1.由递推公式写出通项公式的步骤：
（1）先根据递推公式写出数列的前几项（至少是前3项）;
（2）根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；
（3）写出一个通项公式并证明.【名师指津】2．用“累加法”求数列的通项公式.
当an-an-1=f（n）（n≥2）满足一定条件时，常用an=
（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1累加来求通项an.
【特别提醒】求出通项公式后一定要验证首项是否满足此通项公式.【例2】已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+ （n≥2,
n∈N*），写出该数列的前五项以及它的一个通项公式.
【审题指导】由a1=1以及递推公式写出前五项，再观察前
五项的特点，总结规律，猜想归纳出一个通项公式,可结合
裂项相消法与累加法来证明.【规范解答】a1=1，a2=a1+ =1+
a3=a2+ a4=a3+
a5=a4+
故数列的前5项分别为1，
由于1=
∴数列{an}的一个通项公式为an=证明：由an=an-1+ （n≥2）得
an-an-1= （n≥2）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
又当n=1时,a1=2- =1也成立.
故an=2- （n∈N*）【互动探究】若本例中“an=an-1+ （n≥2,n∈N*）”
改为“an=an-1+2（n≥2,n∈N*）”，其余条件不变，又如
何求解？
【解题提示】由a1=1以及an=an-1+2（n≥2,n∈N*）写
出前五项，再观察前五项的特点，总结规律，猜想归纳出
一个通项公式，再用累加法来证明.【解析】a1=1，a2=a1+2=1+2=3，
a3=a2+2=3+2=5，a4=a3+2=5+2=7，a5=a4+2=7+2=9，
故数列的前5项分别为1，3，5，7，9，是连续的奇数，故数列的一个通项公式是an=2n-1（n∈N*）.
证明:由an=an-1+2（n≥2）得an-an-1=2，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+ （a2-a1）+a1
=2+2+2+…+2+1
上述式子中共有（n-1）个2，故an=2（n-1）+1（n≥2,n∈N*）,
又a1=1=2×（1-1）+1也成立，∴an=2n-1（n∈N*）. 用累乘法求数列的通项公式
【名师指津】累乘法的使用条件和方式.
（1）累乘法：当 =g（n）(n≥2)满足一定条件时，常
用an= 累乘.
（2）使用累乘法或迭代法要运用函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以用首项或前几项表示是解题的关键.【例】设{an}是首项为1的正项数列，且 求它的
通项公式.
【审题指导】由题目知 符合 =g（n）的形式
且a1=1，利用累乘法求通项即可.
【规范解答】
∵an=
∴an=【变式备选】已知数列{an}，a1=2，an+1=2an，写出数列的前五项，猜想an，并加以证明.
【解析】由a1=2，an+1=2an得
a2=2a1=2×2=4=22，
a3=2a2=2×4=8=23，
a4=2a3=2×8=16=24，
a5=2a4=2×16=32=25，
…
猜想an=2n（n∈N*）.证明如下：
由a1=2，an+1=2an得
∴an= =2×2×2×2×…×2×2
=2n(n∈N*). 【典例】（12分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+
ln（1+ ），写出该数列的前四项并求数列的通项公式.
【审题指导】题目中给出a1=2以及递推公式，逐次写出前四
项即可，由an+1= an+ln（1+ ）可得an+1-an=ln（1+ ），
利用累加法求通项.【规范解答】∵a1=2，an+1=an+ln（1+ ），
∴a2=a1+ln（1+1）=2+ln2, ……………………2分
a3=a2+ln（1+ ）=2+ln2+ln =2+ln3, …………………3分
a4=a3+ln（1+ ）=2+ln3+ln =2+ln4. …………………4分
可猜想an=2+lnn（n∈N*）. ……………………5分由an+1=an+ln（1+ ）可得：
an+1-an=ln（1+ ）=ln（ ） ……………………7分
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a3-a2）
+（a2-a1）+a1=ln +ln +ln +…+ln
+ln +2 …………………………………………9分
=ln（ ）+2=lnn+2，………………11分
∴该数列的通项公式为an=lnn+2（n∈N*）. …………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】数列{an}中，a1=1,an+1= (n∈N*),则a10=__________.
【解析】由an+1= 得
∴
累加得 ∴a10=
答案： 1.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（ ）
（A）-7 （B）-4 （C）-1 （D）2
【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.2.数列0，2，4，6，…的递推公式可以是（ ）
（A）an+1=an+2 （B）an+1=2an
（C）an+1=an,a1=0 （D）an+1=an+2,a1=0
【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小，故选项A、B不是；选项C中，a2=0, a3=0,a4=0,则选项C不是；选项D中，a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是.3.下列数列满足an+1= 的是（ ）
(A)1,1,1,1,… (B)2,2,2,2,…
(C)3,1,3,1,… (D)-1,1,-1,1,…
【解析】选A.因为选项A中, a1=1，an+1= 则能依次求出a2=a3=a4=1.4.已知数列{an}满足a1= an=(n-1) an-1（n≥2),则a4=_______.
【解析】a2=（2-1）a1= a3=（3-1）a2=1，
a4=（4-1）a3=3.
答案：35.已知f(1)=2,f(n+1)= (n∈N*),则f(4)=________.
【解析】∵f(1)=2,f(n+1)=
∴f(2)= f(3)= f(4)=
答案： 6.设数列{an}满足a1=2，an=2+ （n>1,n∈N*）,试写出这
个数列的前四项.
【解析】∵a1=2,an=2+ （n>1,n∈N*），
∴a2=2+
a3=2+
a4=2+教学设计
2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)?
从容说课
这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.?
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.?
教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.?
教具准备 多媒体??
三维目标
一、知识与技能?
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；?
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.??
二、过程与方法?
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.??
三、情感态度与价值观?
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.??
教学过程
导入新课
师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？?
生 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.?
师 你能举例说明吗？?
生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*);?
1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n≤3);?
1, , , ,…的通项公式为an= (n∈N*).?
［合作探究］?
数列的表示方法?
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？??
生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,,,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.?
师 说得很好，还有其他的方法吗？?
生 ……?
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法?
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.
生 模型一：自上而下?
第1层钢管数为4,即1?4＝1+3;?
第2层钢管数为5,即2?5＝2+3;?
第3层钢管数为6,即3?6＝3+3;?
第4层钢管数为7,即4?7＝4+3;?
第5层钢管数为8,即5?8＝5+3;?
第6层钢管数为9,即6?9＝6+3;?
第7层钢管数为10,即7?10＝7+3.?
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1≤n≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)?
生 模型二：上下层之间的关系?
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,?
即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.?
依此类推：an=a n-1+1(2≤n≤7).?
师
对于上述所求关系，同学们有什么样的理解??
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.?
师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.?
推进新课?
1.递推公式定义：?
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.?
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.?
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.?
递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).?
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.?
［例题剖析］?
【例1】 设数列{an}满足.写出这个数列的前五项.?
师 分析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢??
生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.?
师 请大家计算一下!?
生 解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=?
师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.?
【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.?
师 由例1的经验我们先求前5项.?
生 前5项分别为2，4，8，16，32.?
师 对，下面来猜想第n项.?
生 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得，我猜想an=2n.?
师 很好!?
生 老师，本题若改为求an是否还可这样去解呢??
师 不能.必须有求解的过程.?
生 老师，我由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n.?
师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.?
［知识拓展］?
已知a1=2，an+1=an-4,求an.?
师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求?解呢???
生1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，…?
观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).?
生2 他这种解法不行，因为不是猜出an，而是要求出an.?
我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,?
an-a n-1=-4?
an-1-an-2=-4?
an-2-an-3=-4?
……?
∴an=2-4(n-1).?
师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.?
［教师精讲］?
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.?
例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,….?
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.?
［学生活动］?
根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)?
(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；?
(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；?
(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).?
(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)?
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2.?
(2)a1＝1，a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴an＝.?
(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，?
a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1.?
注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.?
［合作探究］?
一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？?
析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.?
爬一级梯子的方法只有一种.?[来源:Z+xx+k.Com]
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.?
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种,?
则an=an-1+an-2+an-3(n≥4),?
则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.??
课堂小结?[来源:学§科§网Z§X§X§K]
师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？?
生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.?
生 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.?
(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)??
布置作业?
课本第38页习题2.1A组第4、6题.?
预习内容：课本P41～P 44.???
板书设计
数列的概念与简单表示法(二)
一、定义 ? 二、例题讲解 小结：
7.递推公式：?
例1? 通项公式与
例2 递推公式区别
习题详解
(课本第36页练习)?
1.?
n
1[来源:学科网ZXXK]
2
…
5
…
12
…
n
an
21
33
…
69
…
153
…
3(3+4n)
2.前5项分别是：1,0,-1,0,-1.?
3.例1 (1)an=
(2)an=
此题是通项公式形式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.?
4.（1）an=(n∈Z+);?
(2)an=(n∈Z+);?
(3)an=.?
(课本第38页习题2.1)?
?A组?
1.(1)2，3，5，7，11，13，17，19；?[来源:学#科#网]
(2)2,,,3,,,,,4,;?
(3)3精确到1，10 -1,10 -2,10 -3,…,10 -6的不足近似值构成的数列为1，1.7，1.73,1.732，…，1.732 050；?
3精确到1，10-1,10-2,10 -3,…,10 -6的过剩近似值构成的数列为2，1.8，1.74,1.733，…， 1.732 051.??
注意：应该与学生讲清什么叫质数、合数、不足近似值与过剩近似值.?
2.(1)1, , , ,;?
(2)2,-5,10,-17,26.?
3.(1)1,-4,9,-16,25,-36,49;?
an=(-1) n+1n2;?
(2)1,,,2,, ,;?
an=.?
4.(1),3,13,53,213.(2),5, , ,5.?
5.对应的答案分别是：?
（1）16,21;an=1+5n;(2)10,13;an=1+3n;(3)24,35;an=n2+2n.?
6.第5项为15，第6项为21，第7项为28,递推公式为an=a n-1+n(这递推公式的答案可不尽相同).?
?B组?
1.该数列的递推公式是：an+1=1+8an,a1=1,通项公式是：an=.?
此题是观察图形特征，给出数列通项公式的题目.教学中要注意引导学生对图形表示数字规律的认识和发现,要培养从整体上去认识图形规律的意识和能力.本题中第一个正方形块中着色正方形个数是1,第二个着色正方形个数是第一个着色正方形个数的8倍加1,第三个着色正方形个数是第二个着色正方形个数的8倍加1,依次类推,可以得出第n个正方形块中着色正方形的个数的递推公式,进而推导出数列的通项公式,也可鼓励学生用其他方法发现该数列通项公式.?
2.a1=10×(1+0.72%)=10.007 2;?
a2=10×(1+0.72%)2≈10.144 518;?
a3=10×(1+0.72%)3≈10.217 559;?
an=10×(1+0.72%)n.?
3.(1)1,2,3,5,8;(2)2, , , ,.??
备课资料
一、数列通项公式的求法介绍?
求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例.?
1.观察法?
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而?
根据规律写出此数列的一个通项.?
【例1】 已知数列, , , , , ,…,写出此数列的一个通项公式.?
解：观察数列前若干项可得通项公式为an=(-1)n.
2.公式法?
已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an=,?
Sn-Sn-1,n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达式.?
【例2】 已知数列{an}的前n和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,求此数列的通项公式.?
解:由条件可得Sn=2n+1-1，?
当n=1时，a1=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.?
所以an=3,n=1,?2n,n≥2.
3.累差迭加法?
若数列{a n}满足a n+1=an+f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项.?
【例3】 已知数列6，9，14，21，30，…，求此数列的通项.?
解：∵a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…，an-an-1=2n-1,?
各式相加得an-a1=3+5+7+…+(2n-1),?
∴an=n2+5(n∈N).
4.连乘法?
若数列{a n}能写成an=a n-1+(n)(n≥2)的形式，则可由an=a n-1f(n),a n-1=a n-2f(n-1),an-2=a n-3f(n-2),…,a2=a1f(2)连乘求得通项公式.?
【例4】 已知数列{an}满足a1=1,Sn= (n∈N)，求{a n}的通项公式.?
解:∵2Sn=(n+1)an(n∈N)，?
2S n-1=na n-1(n≥2,n∈N)，?
两式相减得2an=(n+1)an-na n-1，∴ (n≥2,n∈N).?
于是有, ,，…, (n≥2,n∈N)，?
以上各式相乘，得an=na1=n(n≥2,n∈N).又a 1?=1，∴an=n(n∈N).
5.求解方程法?
若数列{a n}满足方程f(an)=0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式.?
【例5】 已知函数f(x)=2x-2 -x,数列{an}满足f(log2an)=-2n,求数列{an}的通项公式.??
解:由条件f(log2an)=2 log2an-2-log2?an=-2n,即.?
∴an2+2nan-1=0,又an＞0，∴an=-n.
6.迭代法?
若数列{an}满足an=f(an-1)，则可通过迭代的方法求得通项公式.??
二、阅读材料?
愚公的子子孙孙?
《愚公移山》中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽……”愚公的话，不但表达了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列.?
设愚公的儿子，即第一代的人数为a1；?[来源:学|科|网]
愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a2；?
孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a3；?
一般地，第n代子孙的人数为an.?
这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a 1，a2，a3，an.（1)?
这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它前面的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确定(1)的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列：?
an+1=2an.(2)?
如果愚公有3个儿女，即a1=3，就得到下面这个数列：?
3，6，12，24，48，96，（3)?
这个数列(3)，就是一个满足an+1=2an的数列.?
课时训练6 数列的通项公式与递推公式
/
一、数列的单调性
1.已知数列an<0,且2an+1=an,则数列{an}是( )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.无法判断
答案:A
解析:∵an<0,∴an+1-an=
1
2
an-an=-
1
2
an>0.
∴数列{an}是递增数列.
2.在数列{an}中,若an=-n2+12n-7,则此数列的最大项的值为 .?
答案:29
解析:an=-(n-6)2+29,所以当n=6时,an最大,解得a6=29.
二、由递推公式求数列中的项
3.若a1=1,an+1=
??
??
3
??
??
+1
,则给出的数列{an}的第7项是( )
A.
1
16
B.
1
17
C.
1
19
D.
1
25
答案:C
解析:由数列的首项和递推公式可以求出a2=
1
4
,a3=
1
7
,…,观察得到通项公式an=
1
3??-2
,所以a7=
1
19
.
4.在数列{an}中,a1=-2,an+1=
1+
??
??
1-
??
??
,则a2 012=( )
A.-2 B.-
1
3
C.-
1
2
D.3
答案:D
解析:∵a1=-2,an+1=
1+
??
??
1-
??
??
,
∴a2=-
1
3
,a3=
1
2
,a4=3,a5=-2.
∴该数列是周期数列,周期T=4.
又2 012=503×4,∴a2 012=a4=3.
5.已知数列{an},a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n≥3),则a5=/.
答案:8
解析:由题知a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=5,
∴a5=a4+a3=8.
6.已知数列{an}满足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 013= ;a2 014= .?
答案:1 0
解析:a2 013=a504×4-3=1,a2 014=2a1 007=2a4×252-1=0.
7.数列{an}满足an+1=
1
1-
??
??
,a8=2,则a1= .?
答案:
1
2
解析:a8=
1
1-
??
7
=2,∴a7=
1
2
.
又a7=
1
1-
??
6
,∴a6=-1.
又a6=
1
1-
??
5
,∴a5=2.
以此下去,可推出a1=
1
2
.
三、由递推关系求通项公式
8.已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+1(n≥2),则通项公式为( )
A.an=1 B.an=2n-1
C.an=n D.an=n+1
答案:C
解析:由an=an-1+1知an-an-1=1,
∴数列的相邻两项中后项比前项大1.∴通项公式为an=n.
9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2n-1 B.an=2n-1
C.an=
1
2
??-1
D.an=1+
1
2
??
答案:A
解析:方法一:由已知a1=1=21-1,a2=2×1+1=3=22-1,a3=2×3+1=7=23-1,…,
由此归纳得an=2n-1.
方法二:∵an+1+1=2(an+1),
∴
??
??+1
+1
??
??
+1
=2,用累乘法可得an+1=2n.
∴an=2n-1.
10.(2018温州高二检测)已知数列{an},a1=1,以后各项由an=an-1+
1
??(??-1)
(n≥2)给出.
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)a1=1;a2=a1+
1
2×1
=
3
2
;
a3=a2+
1
3×2
=
5
3
;a4=a3+
1
4×3
=
7
4
;
a5=a4+
1
5×4
=
9
5
.
(2)由已知得an-an-1=
1
??(??-1)
=
1
??-1
?
1
??
,
∴a2-a1=1-
1
2
,a3-a2=
1
2
?
1
3
,a4-a3=
1
3
?
1
4
,……,an-an-1=
1
??-1
?
1
??
.
左右分别累加得an-a1=1-
1
??
,
所以an=a1+1-
1
??
=2-
1
??
.
/
(建议用时:30分钟)
1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2).则a6等于( )
A.7 B.11 C.16 D.17
答案:C
解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.
2.已知数列{an}中,a1=2,an=-
1
??
??-1
(n≥2),则a2 015等于( )
A.-
1
2
B.
1
2
C.2 D.-2
答案:C
解析:∵an+2=-
1
??
??+1
=an,∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 015=a1=2.
3.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于( )
A.
25
9
B.
25
16
C.
61
16
D.
31
15
答案:C
解析:由已知得
??
1
??
2
??
3
=
3
2
??
1
??
2
=
2
2
?a3=
9
4
,
??
1
??
2
??
3
??
4
??
5
=25
??
1
??
2
??
3
??
4
=16
?a5=
25
16
,∴a3+a5=
61
16
.
4.已知数列{an}的通项公式为an=
4
9
??-1
?
2
3
??-1
,则数列{an}( )
A.有最大项,没有最小项
B.有最小项,没有最大项
C.既有最大项又有最小项
D.既没有最大项也没有最小项
答案:C
解析:数列{an}的通项公式为an=
4
9
??-1
?
2
3
??-1
,令t=
2
3
??-1
(0则an=t2-t=
??-
1
2
2
?
1
4
(0故数列{an}有最大项和最小项,选C.
5.下图是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两黑点间的“短线”表示化学键,按图中结构第n个图有化学键( )
/
A.6n个 B.(4n+2)个
C.(5n-1)个 D.(5n+1)个
答案:D
解析:各图中的短线依次为6,6+5,6+5+5,…,若视6为5+1,则这个数列为1+5,1+5+5,1+5+5+5,…,于是第n个图的化学键个数应为an=5n+1.
6.数列{an}满足an+1=
2
??
??
,0≤
??
??
<
1
2
,
2
??
??
-1,
1
2
≤
??
??
<1.
若a1=
6
7
,则a9等于 .?
答案:
3
7
解析:a1=
6
7
∈
1
2
,1
,∴a2=2a1-1=
5
7
,
∴a3=2a2-1=
3
7
∈
0,
1
2
,∴a4=2a3=
6
7
,
同理a5=
5
7
,a6=
3
7
,a7=
6
7
,a8=
5
7
,a9=
3
7
.
7.数列{an}中a1=1,a2=3,
??
??
2
-an-1·an+1=(-1)n-1(n≥2),那么a4= .?
答案:33
解析:令n=2得
??
2
2
-a1·a3=-1,∴a3=10.
令n=3代入,得
??
3
2
-a2a4=(-1)2,∴a4=33.
8.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 014= .?
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
答案:1
解析:x1=f(x0)=f(5)=2,
x2=f(x1)=f(2)=1,
x3=f(x2)=f(1)=4,
x4=f(x3)=f(4)=5=x0,
从而数列{xn}是周期为4的数列,于是x2 014=x4×503+2=x2=1.
9.已知递增数列{an}的通项公式是an=n2+λn,求实数λ的取值范围.
解:∵数列{an}是递增数列,∴an+1>an对n∈N*恒成立.
∵an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ,
∴2n+1+λ>0对n∈N*恒成立,
即λ>-2n-1对n∈N*恒成立,
又当n∈N*时-2n-1≤-3,∴λ>-3.
10.设数列{an},a1=0,an+1=
1+
??
??
3-
??
??
,写出数列的前4项,并归纳出该数列的一个通项公式.
解:a1=0,a2=
1+
??
1
3-
??
1
=
1
3
,a3=
1+
??
2
3-
??
2
=
1+
1
3
3-
1
3
=
1
2
,a4=
1+
??
3
3-
??
3
=
1+
1
2
3-
1
2
=
3
5
.
直接观察可以发现a3=
1
2
可写成a3=
2
4
,
这样可知an=
??-1
??+1
(n∈N*,n≥2).
当n=1时,
1-1
1+1
=0=a1,所以an=
??-1
??+1
.
课件39张PPT。第2课时 数列的通项公式与递推公式自主学习 新知突破1．了解递推公式是给出数列的一种方法．
2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．
3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．
[问题1] 写出前五排座位数．
[提示] 20,22,24,26,28.
[问题2] 第n排与第n＋1排座位数有何关系？
[提示] 第n＋1排比第n排多2个座位．
[问题3] 第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
[提示] 能．an＋1＝an＋2.如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．数列的递推公式数列通项公式和递推公式各有什么作用？
(1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最大值或最小值．
(2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
拓展： 通项公式与递推公式的关系示意图
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
解析： a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋5，….
∴an＝an－1＋n(n≥2)．
答案： B
2．已知数列{an}中，an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
解析： an＋1＝an＋3>an(n∈N*)，
∴数列为递增数列．
答案： A
3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值是________．
解析： ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，
∴当n＝3时，an有最小值－9.
答案： －9合作探究 课堂互动 由递推公式写数列的项并求通项公式 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明． (1)根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算．
(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键． 数列的单调性问题[思路点拨] 用序号代替通项公式中的n，就可求出相应的项，比较an＋1与an的大小来判断数列的单调性． 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋13．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析： (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数．◎设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1方法二：直接根据定义来处理．
∵数列{an}是单调递增数列，
∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)，
又n∈N*，∴λ>－3，
即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．
答案： (－3，＋∞)谢谢观看！