2. 2.1等差数列导学案
一、课前预习：
1、预习目标：
①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；
②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；
③体会等差数列与一次函数的关系。
2、预习内容：
（1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母表示。
（2）、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的 ，
即 或 。
（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
（4）、等差数列的通项公式： 。
二、课内探究学案
例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项
解：由 得：
2、是不是等差数列、、… …的项？如果是，是第几项？
解：由 得
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：
成立
解得：即是这个数列的第100项。
例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km处的车费记为： 公差
当出租车行至目的地即14km处时，n=11 求
所以：
例3：数列是等差数列吗？
变式练习：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
（指定学生求解）
解：取数列｛｝中任意两项和
它是一个与n无关的常数，所以｛｝是等差数列？
并且：
三、课后练习与提高
在等差数列中，
已知求=
已知求
已知求
已知求
2、已知，则的等差中项为（ ）
A B C D
3、2000是等差数列4，6，8…的（ ）
A第998项 B第999项 C第1001项 D第1000项
4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ）
A第13项 B第14项 C第15项 D第16项
5、在等差数列中，已知则等于（ ）
A 10 B 42 C43 D45
6、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为
7、等差数列中，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是
8、在等差数列中，已知，求首项与公差d
9、在公差不为零的等差数列中，为方程的跟，求的通项公式。
10、数列满足，设
判断数列是等差数列吗？试证明。
求数列的通项公式
11、数列满足，问是否存在适当的 ，使是等差数列？
（2），
注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列的前几项，然后猜想通项公式，由于猜想的公式需要证明，所以这种解法在现阶段是有问题的。
11、解：假设存在这样的满足题目条件。
由已知 可得
即
，满足等差数列的定义，故假设是正确的。即存在适当的的值使数列为公差为的等差数列。
由已知条件，令
即，解得。
2.2.2等差数列的性质教案
市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济
一、教学目标：
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
二、教学重点、难点：
重点：等差数列的性质及推导。
难点：等差数列的性质及应用。
三、新课讲解：
等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：
①；
②；
③若（），则；
④。
证明：
①左边=，右边=左边
②由可得；由可得
③左边
右边
又因为，所以左边=右边，故得证。
④左边
右边=左边
等差数列的其它性质：
①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，
即。
②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。
③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。
④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。
四、例题讲解：
例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。
Key ：d=2，an=2n+1
【变式】已知是等差数列，
（1）已知：,求
（2）已知： ,求。
Key（1）=24（2）=185
例2、已知是等差数列，若,求。
Key：=180
【变式1】在等差数列中，已知则等于 （ ）
A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
Key ：B
【变式2】等差数列中，已知为（ ）
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
Key ：C
【变式3】已知等差数列中，，则的值为 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
Key ：A
五、小结：
本节课的主要内容是等差数列的性质，对这些性质我们应当熟练掌握，并能够在解题过程中灵活的运用，以便简化解题过程。
2.2.2等差数列的性质导学案
市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济
一、课前预习：
等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：
①；
②；
③若（），则；
④
用等差数列的定义证明：
二 、课内探究：
1、等差数列的其它性质：
①为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，
即。
②下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。
③若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。
④个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。
2、典例分析：
例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。
Key ：d=2，an=2n+1
【变式】已知是等差数列，
（1）已知：,求
（2）已知： ,求。
Key（1）=24（2）=185
例2、已知是等差数列，若,求。
Key：=180
【变式1】在等差数列中，已知则等于 （ ）
A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
Key ：B
【变式2】等差数列中，已知为（ ）
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51
Key ：C
【变式3】已知等差数列中，，则的值为 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
Key ：A
三、课后提高：
1、已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
2、已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________
3、三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
．
4、已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
答案
1、【解析】由,
所以【答案】 C
2、【标准答案】：１５
【试题解析】：由于为等差数列，故∴
3、解 设三个数分别为x－d，x，x＋d．
解得x＝5，d＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法
4、证 ∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明 如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．
§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案 C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52
答案 D
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( )
A. B.
C. D.
答案C
解析 ∴a＝，b＝x.
∴＝.
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1 B．2 C．4 D．6
答案 B
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N*)
B．an＝2n＋4 (n∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n∈N*)
D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
答案 D
解析 由??
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，
得an＝－2n＋10.
二、填空题
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是
________________________________________________________________________．
答案
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
答案 an＝n＋1
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
9．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________．
答案
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
答案
解析 设an＝－24＋(n－1)d，
由解得：三、解答题
11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N*.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
能力提升
13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．不确定
答案 B
解析 由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，
d＝为整数，且n≥3.
则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．
14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，
n∈N*.
(1)求证：数列{bn}为等差数列．
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
(1)证明 当n>1，n∈N*时，＝?＝
?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.
∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.
∴an＝＝，n∈N*.
∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，
∴n＝11.
即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
2.2 等差数列?
2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式?
从容说课
本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.?
在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.?
教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.?
教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;?
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.
教具准备 多媒体课件，投影仪
三维目标
一、知识与技能?
1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;?
2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.??
二、过程与方法?
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；?
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.??
三、情感态度与价值观?
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.??
教学过程
导入新课?
师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)?
(1)0，5，10，15，20，25，…;?
(2)48，53，58，63，…;?
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;?
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….?
请你们来写出上述四个数列的第7项.?
生 第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.?
师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.?
生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.?
师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.?
生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.?
师 作差是否有顺序，谁与谁相减？?
生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.?
师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.?
这就是我们这节课要研究的内容.??
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).?
（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；?
（2）对于数列{an}，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.?
师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)?
生 从“第二项起”和“同一个常数”.?
师 很好！?
师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生 数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….
师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.?
［合作探究］?
等差数列的通项公式?
师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么??
生 a2-a1=d,即a2=a1+d.?
师 对，继续说下去!?
生 a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;?
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;?
……?
师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗??
生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.?
师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗??
生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：?
因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.?
师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.?
［教师精讲］?
由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d,?
即a1=am-(m-1)d.?
则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,?
即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)?
由此我们还可以得到.?
［例题剖析］?
【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;?
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？?
分析（1）?
师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗??
生1 这题太简单了!首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.?
师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.?
分析（2）?
生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).?
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项.?
师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).?
说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立.?
【例2】 已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？?
例题分析：?
师 由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要根据什么??
生 只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.?
师 说得对，请你来求解.?
生 当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕?
an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,?
所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.?
师 这里要重点说明的是：?
(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….?
(2)若p≠0，则an是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，an)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.?
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习
(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.?
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所?求项.
解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.?
评述：关键是求出通项公式.?
(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.?
解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.?
所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.?
评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.?
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.?
分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得an等于这个数.?
解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.?
令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.?
(4)-20是不是等差数列0， ，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.?
解：由题意可知a1=0，,因而此数列的通项公式为.?
令，解得.因为没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.??
课堂小结
师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)?
生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n-a n-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1).?
师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.??
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题.??
板书设计
等差数列的概念、等差数列的通项公式
1.定义?
2.数学表达式? 例1.(略)?
3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习
课件32张PPT。【点拨】【思考】 等差数列的判定与证明
1.判断一个数列是等差数列的常用方法
(1)an+1-an=d（常数）（n∈N*）?{an}是等差数列.
(2) 2an+1=an+an+2（n∈N*）?{an}是等差数列.
(3)an=kn+b(k,b是常数，n∈N*)?{an}是等差数列.【名师指津】2．定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤：
（1）作差an+1-an，将差变形；
（2）当an+1-an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an+1-an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列.
【特别提醒】作差an+1-an,是指数列中的任意相邻两项，不是指数列中的特殊两项.若an-an-1，需强调n≥2.【例1】已知数列{an}满足a1=4，an=4- （n＞1, n∈N*），
记bn= 试判断数列{bn}是否为等差数列？说明理由.
【审题指导】题目中给出了数列{an}的递推关系式以及bn和an的关系，欲判断数列{bn}是否为等差数列，只需说明bn+1-bn为常数是否成立.【规范解答】∵bn+1-bn= =
又b1=
∴数列{bn}是以 为首项， 为公差的等差数列.【互动探究】在本例中若an= （n＞1,n∈N*），能否
判定数列{ }是等差数列？
【解题提示】利用等差数列的定义判断.
【解析】∵an= （n＞1,n∈N*）,
∴ 即
∴ （常数）.
又 ∴数列{ }是以 为首项，4为公差的等差数列.【变式训练】已知数列{an}满足an=3-2n，试判断其是否为
等差数列.
【解析】∵an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,
∴数列{an}是等差数列. 等差数列的通项公式及其应用
【名师指津】等差数列的通项公式及其应用.
（1）从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），当d≠0时，an是关于n的一次函数.（2）由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.
（3）等差数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.【例2】在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求通项公式an.
【审题指导】本题给出了等差数列{an}中的两项，可利用等差数列的通项公式，列出方程组，求解即可.
【规范解答】设公差为d,由题意a5=10，a12=31，可知，
∴an=-2+(n-1)×3=3n-5.【互动探究】若本例条件不变，求a20.
【解题提示】利用等差数列的通项公式列出方程组求得a1和d，然后求出a20.
【解析】由原题解析可知an=3n-5,
∴a20=3×20-5=55.【例】已知等差数列{an}的前三项分别为a，2a，2a+1.试写出此数列的通项公式，并判断此数列的增减性.
【审题指导】欲写出等差数列的通项公式，只需求出该数列的首项和公差，利用等差数列的定义求解.【规范解答】∵a，2a，2a+1为等差数列{an}的前三项，
∴2a-a=2a+1-2a.
解得a=1.∴公差d=2a-a=a=1.
∴an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n.
∴通项公式an=n.由于公差d=1＞0，所以该数列为递增数列.【变式备选】已知等差数列1，8，15，…，那么134是不是该数列的项？若是，是第几项？
【解析】因为a1=1，公差d=8-1=7，
所以an=1+（n-1）×7=7n-6.
令7n-6=134，得n=20，故134是这个数列的第20项.【典例】(12分)已知三个数成等差数列，它们的和为9，积为-21，求这三个数.
【审题指导】题目中已知三个数成等差数列，可采用对称的设法，设这三个数分别为a-d，a，a+d，利用和为定值，先求得a的值，再利用积为-21，依次求得三个数.【规范解答】设这三个数为a-d，a，a+d ……………3分
由题意得：
……………………6分
解得a=3，
d=4或d=-4 ………………………………………… 9分
当d=4时，三个数分别为-1，3，7.
当d=-4时，三个数分别为7，3，-1. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
【解题提示】可充分利用等差中项的定义求解未知量.
【解析】方法一:设这三个数为a-d，a，a+d，由已知得：
由①得a=6，代入②得d=±2，∵该数列是递增的，
∴ d=-2(舍去)，
∴这三个数为4，6，8.方法二：设这三个数为a，b，c，
则由题意得
解得a=4，b=6，c=8.1.下列说法正确的是（ ）
(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列
(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
(C)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
【解析】选D.等差数列的定义:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列.2.等差数列1,-1,-3,…,则-89的项数是（ ）
（A）92 (B)47 (C)46 (D)45
【解析】选C.设an=-89，由an=a1+(n-1)d，得-89=1+(n-1) ×（-2）,解得n=46.3.已知等差数列{an}中，首项为4,公差d=-2,则通项公式an等
于（ ）
(A)4-2n (B)2n-4
(C)6-2n (D)2n-6
【解析】选C.通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=6-2n.4.等差数列{an}中, a2=9, a3=7,则公差d=________.
【解析】d=a3-a2=7-9=-2.
答案：-25.一个等差数列的第五项a5=10，且a1+a2+a3=3，则a1=______,
d=________.
【解析】∵a5=a1+4d=10, a1+（a1+d）+(a1+2d)=3,
∴a1=-2，d=3.
答案：-2 36.已知等差数列{an}中，a1=-a9=24,求a10.
【解析】设等差数列的公差为d.
由a9=a1+（9-1）d=24+8d=-24,得d=-6, a10=a1+9d=24+9 ×(-6)=-30.课时训练7 等差数列
一、等差数列通项公式的应用
1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则a5为( )
A.-4 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4.
2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
答案:D
解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1=an+12.
∴an+1-an=12.
∴数列{an}是首项为2,公差为12的等差数列.
∴a101=a1+(101-1)d=2+1002=52.
3.(2018福建厦门高二期末,2)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+3(n≥2),则a100等于( )
A.297 B.298 C.299 D.300
答案:B
解析:由an=an-1+3(n≥2),得an-an-1=3(n≥2),
即数列{an}是以3为公差的等差数列.
又a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298.
4.若等差数列{an}的公差为整数,首项为19,从第6项开始为负值,则公差为( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
答案:B
解析:设等差数列{an}的公差为d(d∈Z),
依题意得a6=a1+5d=19+5d<0,
即d<-195,a5=a1+4d=19+4d≥0,
即d≥-194,所以-194≤d<-195,
又d∈Z,所以d=-4.
5.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则a1= .?
答案:8
解析:由a4=a6+6,得2d=a6-a4=-6,∴d=-3.
又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.
二、等差中项的应用
6.(2018福建宁德五校联考,1)已知实数m是1和5的等差中项,则m等于( )
A.5 B.±5 C.3 D.±3
答案:C
解析:因为实数m是1和5的等差中项,
所以2m=1+5=6,则m=3.故选C.
7.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案:B
解析:依题意可得m+2n=8,2m+n=10,故3m+3n=18?m+n=6,故m和n的等差中项是3.
8.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值为 ( )
A.1 B.0或32 C.32 D.log25
答案:D
解析:由题意得lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1),
所以2(2x+3)=(2x-1)2,
解得2x=5或2x=-1(舍去),所以x=log25.
三、等差数列的判断与证明
9.(2018山东威海高二期中,21)数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*).令bn=a2n,求证{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式.
解:当n≥2时,bn-bn-1=a2n-a2n-2=2,
∴{bn}是等差数列,且b1=a2=2,
∴bn=2n.
10.已知1b+c,1c+a,1a+b成等差数列,求证:a2,b2,c2成等差数列.
证明:∵1b+c,1c+a,1a+b是等差数列,
∴1b+c+1a+b=2c+a.
∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c).
∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c).
∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2.
∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2成等差数列.
(建议用时:30分钟)
1.数列{an}的通项公式an=4n-7,则此数列是( )
A.公差为4的等差数列
B.公差为-7的等差数列
C.首项为-7的等差数列
D.公差为n的等差数列
答案:A
解析:an+1-an=4(n+1)-4n=4.故选A.
2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )
A.45 B.46 C.47 D.92
答案:B
解析:由题可知,等差数列的首项a1=1,公差d=-2,且an=-89.
由an=a1+(n-1)d,解得n=46.故选B.
3.{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d= ( )
A.-2 B.-12 C.12 D.2
答案:B
解析:a1+6d-2(a1+3d)=-1,a1+2d=0,即a1=1,d=-12.
4.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值分别是( )
A.2,7 B.1,6
C.0,5 D.无法确定
答案:A
解析:由等差中项知识得2a+6=a+b+1,2b=2a+b+3,解得a=2,b=7.
5.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围为( )
A.d>83 B.d<3
C.83≤d<3 D.83答案:D
解析:设公差为d,an=-24+(n-1)d,
∴a9≤0,a10>0,-24+8d≤0,-24+9d>0,
∴836.已知等差数列{an}中,a1答案:an=2n-4
解析:由题意得a3+a6=10,a3a6=16,
又a1所以a1+2d=2,a1+5d=8,a1=-2,d=2.
从而an=-2+2(n-1),即an=2n-4.
7.已知a,b,c成等差数列,那么二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴的公共点的个数是 .?
答案:1或2
解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
二次函数y=ax2+2bx+c的判别式Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,
∴图象与x轴有一个或两个公共点.
8.若x≠y,且x,a1,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自都成等差数列,则a2-a1b2-b1= .?
答案:43
解析:由题知a2-a1=d1=y-x3,b2-b1=d2=y-x4,
∴a2-a1b2-b1=43.
9.某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
解:由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,…,每年获利构成等差数列{an},且当an<0时,该公司会出现亏损.
设从第1年起,第n年的利润为an,则a1=200,an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an},且公差d=-20,
从而an=a1+(n-1)d=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,
所以由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.
(1)设数列{an}是公方差为p的等方差数列,求an和an-1(n≥2)的关系式;
(2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.
解:(1)由等方差数列的定义可知:an2?an-12=p(n≥2).
(2)∵{an}是等差数列,设公差为d,
则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).
又{an}是等方差数列,
∴an2?an-12=an+12?an2(n≥2),
∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),
即d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0.
∴d=0,即{an}是常数列.
课件42张PPT。2．2 等差数列
第1课时 等差数列 自主学习 新知突破1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系．
2．理解等差数列的概念．
3．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．观察以下这四个数列：
0,5,10,15,20，…
48,53,58,63
18,15.5,13,10.5,8,5.5
10 072,10 144,10 216,10 288,10 360
[问题] 这些数列有什么共同特点呢？
[提示] 以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)．如果一个数列从第____项起，每一项与它的________的差等于_________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的______，通常用字母____表示．等差数列的定义2前一项同一常数常数公差d1．等差数列的定义的理解
(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．如果a，A，b成_____数列，那么A叫做a与b的等差中项．
事实上，若a，A，b成等差数列，即A＝________，则A就是a与b的等差中项；若A＝ ________ ，即A－a＝b－A，则a，A，b成等差数列．等差中项等差已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 等差数列的通项公式an－an－1a1＋(n－1)d3．等差数列通项公式的应用
在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个变量an，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为：
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；
(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49 B．50
C．51 D．52答案： D答案： B3．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.
答案： 12－n
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数．合作探究 课堂互动 等差数列的通项公式 已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a5＝11，a8＝5；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
[思路点拨] 先确定数列的首项a1与公差d，然后代入an＝a1＋(n－1)d即可． 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；
(2)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n. 等差中项 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路点拨] 方法一：由前三项的和为18，前三项的积为66，列关于a1和d的方程，求出a1和d，进而求出an，再令an＝－34，求n值进行判断即可．
方法二：可以设前三项为a－d，a，a＋d，求出a和d的值，再求出an，下同方法一．
2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________；
(2)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
解析： (1)因为数列8，a,2，b，c是等差数列，
所以2a＝8＋2，所以a＝5，
因为公差d＝5－8＝－3，
所以b＝2＋(－3)＝－1，c＝－1＋(－3)＝－4.答案： (1)5 －1 －4等差数列的判定[思路点拨] 先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数． 判断一个数列是否为等差数列有以下方法：
【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明“a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．答案： D谢谢观看！