2.2等差数列性质/
一、教学目标/
1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法；/
2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．/
3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用．/
二、教学重点、难点/
重点：等差数列的通项公式、性质及应用．/
难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题．/
三、教学过程/
（一）、复习/
1．等差数列的定义．/
2．等差数列的通项公式：/
/ (//或 /=pn+q (p、q是常数))/
3．有几种方法可以计算公差d:/
① d=/－/ ② d=/ ③ d=/ /
4. {an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670/
5. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( ) /
A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 /
二、新课/
1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq /
特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap/
例1. 在等差数列{an}中/
(1) 若a5=a, a10=b, 求a15;/
(2) 若a3+a8=m, 求a5+a6;/
(3) 若a5=6, a8=15, 求a14;/
(4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15./
解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a;/
(2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m/
(3) a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33/
/
2．判断数列是否为等差数列的常用方法：
（1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数)
例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式.
解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1; 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5;
∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5
首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)
∴数列{an}成等差数列且公差为6.
（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.
（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.
例3. 已知数列/的通项公式为/其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定/是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看/（n＞1）是不是一个与n无关的常数。
解：取数列/中的任意相邻两项/（n＞1），
求差得 /
它是一个与n无关的数.
所以/是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？
这个数列的首项/。由此我们可以知道对于通项公式是形如/的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.
如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。
[探究]
引导学生动手画图研究完成以下探究：
⑴在直角坐标系中，画出通项公式为/的数列的图象。这个图象有什么特点？
⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列/与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。
分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的/可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；
⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列/的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。
该处还可以引导学生从等差数列/中的p的几何意义去探究。
三、课堂小结：
1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法．
四、课外作业
1.阅读教材第110～114页； 2.教材第39页练习第4、5题．
作业：《习案》作业十二
§2.2 等差数列的性质
课时目标
1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．
2．熟练运用等差数列的常用性质．
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n)，则＝d.
3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与
ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq.
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
答案 C
解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)
＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
答案 D
解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan
＝tan＝－.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
答案 B
解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )
A．14 B．21
C．28 D．35
答案 C
解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，
∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.
5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
答案 D
解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )
A．p＋q B．0
C．－(p＋q) D.
答案 B
解析 ∵d＝＝＝－1，
∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.
二、填空题
7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
答案 24
解析 ∵a60＝a15＋45d，∴d＝，
∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
答案 1
解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.
∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
9．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
答案
解析 －＝－＝2d，即d＝.
所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.
10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
|m－n|＝________.
答案
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，
m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
三、解答题
11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
解 设an＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a＋11a1d＋24d2)－(a＋11a1d＋30d2)
＝－6d2<0，所以a4a9
12．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
解 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
∴a4＝5.
又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
能力提升
13．在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为( )
A．18 B．9
C．12 D．15
答案 D
解析 设这7个数分别为a1，a2，…，a7，
公差为d，则27＝3＋8d，d＝3.
故a4＝3＋4×3＝15.
14．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，{bn}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
解 在数列{an}中，a1＝5，公差d1＝8－5＝3.
∴an＝a1＋(n－1)d1＝3n＋2.
在数列{bn}中，b1＝3，公差d2＝7－3＝4，
∴bn＝b1＋(n－1)d2＝4n－1.
令an＝bm，则3n＋2＝4m－1，∴n＝－1.
∵m、n∈N*，∴m＝3k(k∈N*)，
又，解得0∴0<3k≤75，∴0∴k＝1,2,3，…，25
∴两个数列共有25个公共项．
1．在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2．等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
课件37张PPT。【思考】【点拨】 等差数列性质的应用
【名师指津】等差数列的“子数列”性质.若数列{an}是公差为d的等差数列，则
（1）{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
（2）奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；
（3）若{kn}成等差数列，则{ }也是等差数列.【特别提醒】数列{an}的子数列所具有以上性质的前提是：数列{an}是等差数列.【例1】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.
【审题指导】由题目可知3+7=4+6=2×5=2+8，结合等差数列的性质:m+n=p+q? am+an=ap+aq.可得a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8.
【规范解答】因为a3+a7=a4+a6=2a5，所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5，所以5a5=450，即a5=90.
又因为a2+a8=2a5，所以a2+a8=180.【互动探究】在本题中，若改为a2+a8=180，又如何求a3+a4+a5+a6+a7的值呢？
【解题提示】利用等差数列的性质.
【解析】因为a2+a8=2a5=180，
所以a5=90.
又因为a3+a7=a4+a6=2a5.
所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=5×90=450.【变式训练】在等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=_______.
【解题提示】利用等差数列的性质:m+n=p+q?am+an=ap+aq.
【解析】∵在等差数列{an}中，a2+a11=a3+a10=a6+a7，
∴a2+a3+a10+a11=2（a6+a7）=48，∴a6+a7=24.
答案：24 等差数列的有关运算
【名师指津】等差数列有关运算的技巧
（1）当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;
（2）当等差数列{an}的项数为偶数项时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d,a-d,a+d, a+3d,…,这样可减少运算量.【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.
【审题指导】由题目可知
（1）根据三个数的和为9，成等差数列，可设这三个数为a-d，a，a+d（d为公差）；（2）四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）;
也可以设出等差数列的首项和公差，建立基本量的方程组求解.
【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d（d为公差）,则（a-d）+a+（a+d）=9，（a-d）·a=6（a+d），
解得：a=3,d=-1,故所求三个数为4，3，2.方法二：设数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知得：a+（a+d）+（a+2d）=9,
a（a+d）=6（a+2d）解得：a=4,d=-1,故这三个数分别为4,3,2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d），
依题意，2a=2，且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2=
-8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d
＞0，∴ d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.方法二：若设数列的首项为a，公差为d，则这四个数为a，a+d，a+2d，a+3d,依题意，2a+3d=2，且a（a+3d）=-8，把a=1- d代入a（a+3d）=-8，得（1- d）（1+ d）=-8，
即1- =-8，化简得d2=4，所以d=2或-2.又四个数成递增
等差数列，所以d＞0，所以d=2，所以a=-2,故所求的四个数为-2，0，2，4.【变式训练】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方
和为 求这5个数.
【解题提示】等差数列{an}的项数5为奇数，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：a-2d，a-d，a，a+d，a+2d.【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a-2d,
a-d，a，a+d，a+2d.由已知有：
由①得，5a=5,∴a=1,代入②整理得10d2= ∴d2=
∴d=±
当d= 时，这5个数分别为
当d=- 时，这5个数分别为 等差数列的综合应用
【名师指津】
1.等差数列综合问题的类型：
等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数函数），常与单调性、参数的取值范围以及解三角形等问题相结合考查.2.解决数列综合问题的方法策略
（1）结合等差数列的性质或利用等差中项.
（2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
（3）利用函数或不等式的有关方法解决. 【例】在△ABC中，若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，且三个内角A,B,C也成等差数列，试判断三角形的形状.
【审题指导】题目中的两个数列都是等差数列，并且都有三项，可充分利用等差中项构造出角的关系式，根据角的关系判断三角形的形状.【规范解答】由A,B,C成等差数列，得2B=A+C，
又A+B+C=π，∴3B=π，B=
∵lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，
∴2lgsinB=lgsinA+lgsinC，
即sin2B=sinAsinC,∴sinAsinC=又∵cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC，
cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC,
∴sinAsinC=- ［cos（A+C）-cos（A-C）］,
∴- ［cos -cos（A-C）］=
∴ cos（A-C）= ∴cos（A-C）=1.
∵（A-C）∈（ ）,∴A-C=0,即A=C= ∴A=B=C.
故△ABC为等边三角形.【变式备选】在△ABC中，a,b，c分别为A,B,C的对边，如果a,b，c成等差数列，B=30°，且△ABC的面积为 则b=________.
【解题提示】利用等差数列的性质以及余弦定理求解.
【解析】由a,b，c成等差数列，得a+c=2b，所以a2+2ac+c2=4b2.由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac·cosB.
即a2+c2=b2+2accosB.由△ABC的面积为 B=30°，得 acsinB= 所以2ac=12.综
合以上式子可得b2+12×cos30°+12=4b2，整理得b2= +4，
又因为b＞0，所以解得b= +1.
答案： +1 【典例】（12分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11=-26，a51=54，求a14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗？
【审题指导】题目中给出了等差数列中的两项，列出方程组可先求出a1和d，再求a14.也可利用等差数列的性质求d，再求a14的值.要判断从第几项为正数，可令an＞0解不等式求解.【规范解答】方法一：由等差数列an=a1+（n-1）d列方程
组： …………………………………………3分
解得 …………………………………………6分
∴a14=-46+13×2=-20 …………………………………8分
∴an=-46+(n-1)×2=2n-48 ………………………10分
令an≥0，即2n-48≥0 n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数 ………………………12分方法二：在等差数列{an}中，根据an=am+（n-m）d，
∴a51=a11+40d， …………………………………………3分
∴d= ×（54+26）=2 ……………………………6分
∴a14=a11+3d=-26+3×2=-20 ……………………8分
∴an=a11+（n-11）d=-26+2(n-11),∴an=2n-48 ………10分
由an≥0得：2n-48≥0,∴n≥24.
显然当n≥25时，an＞0.
即从第25项开始,各项为正数. ………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知等差数列{an}的首项a1= 第10项是第一个
大于1的项，求公差d的取值范围.
【解题提示】由第10项是第一个大于1的项,则a9≤1，a10＞1,列出不等式组，确定d的范围.
【解析】由a1= 则an= +（n-1）d.
由题意知 即 解得
即公差d的取值范围是 1.等差数列{an}的公差d=2,a1=2,则an等于（ ）
(A)2 (B)2n-2
(C)2n (D)2n+2
【解析】选C.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.2.x+1与y-1的等差中项为10，则x+y等于（ ）
(A)0 (B)10 (C)20 (D)不确定
【解析】选C.(x+1)+(y-1)=2×10=20,所以x+y=20.3.等差数列{an}中,a2 010+a2 011=888,则a2 009+a2 012=________.
【解析】a2 009+a2 012=a2 010+ a2 011=888.
答案：8884.等差数列{an}中，a2=5,a4=a6+6,则a1=________.
【解析】∵2d=a6-a4=-6,∴d=-3.
∴a1=a2-d=5-(-3)=8.
答案：85.已知等差数列{an}中，a5+a8=18，求a2+a3+a10+a11.
【解析】∵{an}是等差数列，
∴a2+a3+a10+a11=(a2+a11)+(a3+a10)=2(a5+a8)=2×18=36.课时训练8 等差数列的性质
/
一、等差数列性质的应用
1.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=0( )
A.12 B.16 C.20 D.24
答案:B
2.等差数列{an}中,若a2+a4 024=4,则a2 013=( )
A.2 B.4 C.6 D.-2
答案:A
解析:2a2 013=a2+a4 024=4,∴a2 013=2.
3.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则a3+a13-a8等于( )
A.24 B.22 C.20 D.-8
答案:A
解析:根据等差数列的性质可知a3+a13=2a8,所以已知等式可变为2a8+3a8=120,解得a8=24,所以a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24.
4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3=6,则数列{2an-3}是公差为 的等差数列.?
答案:4
解析:设数列{an}的公差为d,则a3-a1=2d=4,
∴d=2.∴数列{2an-3}的公差为4.
5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6= .?
答案:13
解析:设等差数列{an}的公差为d.
∵a5=a2+6,∴a5-a2=6,即3d=6,d=2.
∴a6=a3+3d=7+3×2=13.
6.(2018河南郑州高二期末,14)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= .?
答案:
7
2
解析:由等差数列的性质可得2b=2+9,解得b=
11
2
.
又可得2a=2+b=2+
11
2
=
15
2
,解得a=
15
4
,
同理可得2c=9+
11
2
=
29
2
,解得c=
29
4
,
故c-a=
29
4
?
15
4
=
14
4
=
7
2
.
二、等差数列的综合应用
7.已知等差数列{an}中,a7=
π
4
,则tan(a6+a7+a8)等于0( )
A.-
3
3
B.-
2
C.-1 D.1
答案:C
解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7=
3π
4
,
∴tan(a6+a7+a8)=tan
3π
4
=-1.
8.已知数列{an}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( )
A.4 B.
1
4
C.-4 D.-
1
4
答案:A
解析:由数列{an}是等差数列,知an是关于n的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),因此过点P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率k=
27-15
7-4
=4.
9.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=90,则a10-
1
3
a14的值为( )
A.12 B.14 C.16 D.18
答案:A
解析:由等差数列的性质及a4+a6+a8+a10+a12=90得5a8=90,即a1+7d=18,∴a10-
1
3
a14=a1+9d-
1
3
(a1+13d)=
2
3
(a1+7d)=
2
3
×18=12,故选A.
10.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ与a3的值;
(2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由.
解:(1)由条件得a2=(2-λ)a1,又a1=1,a2=-1,所以λ=3,从而a3=(22+2-3)a2=-3.
(2)假设数列{an}是等差数列,由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an得a2=2-λ,
a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
由假设知2a2=a1+a3,
即2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得λ=3,
于是a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以a2-a1=-2,而a4-a3=-24,与数列{an}是等差数列矛盾,故数列{an}不可能是等差数列.
/
(建议用时:30分钟)
1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案:C
解析:由等差数列性质得a2+a8=2a5=12,所以a5=6.
2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则3a9-a11的值为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
答案:D
解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8.
∴5a8=120,a8=24.
而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.
∴选D.
3.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q为( )
A.p+q B.0 C.-(p+q) D.
??+??
2
答案:B
解析:公差d=
??-??
??-??
=-1,∴ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.
4.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an,…组成一个数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( )
A.该新数列不是等差数列
B.是公差为d的等差数列
C.是公差为2d的等差数列
D.是公差为3d的等差数列
答案:C
解析:∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,
∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
5.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为( )
A.
3
2
B.-
3
2
C.
1
2
D.-
1
2
答案:D
解析:∵{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π,
∴a5=
8
3
π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos
16
3
π=-
1
2
.
6.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= .?
答案:-6
解析:由题知d=
??
8
-
??
3
8-3
=
-30
5
=-6.
7.在等差数列{an}中,已知a8+m=10,a8-m=6,其中m∈N*,且1≤m≤7,则a8= .?
答案:8
解析:∵a8+m+a8-m=2a8,∴a8=8.
8.如果有穷数列a1,a2,…,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,则称其为“对称”数列.例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,c2= .?
答案:19
解析:因为c11,c12,…,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,又{cn}为21项的对称数列,所以c2=c20=c11+9d=1+9×2=19.
9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5.
又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.
即(a4-2d)(a4+2d)=9,
即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.
若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3;
若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n.
10.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:解法一:因为{an}为等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,则a60为其第4项,∴a60=a15+3d,得d=4.
∴a75=a60+d=20+4=24.
解法二:设{an}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,
∴
??
1
+14??=8,
??
1
+59??=20,
解得
??
1
=
64
15
,
??=
4
15
.
故a75=a1+74d=
64
15
+74×
4
15
=24.
课件36张PPT。第2课时 等差数列的性质自主学习 新知突破1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．
2．理解等差数列的性质．
3．掌握等差数列的性质及其应用．等差数列中项与序号的关系(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为___的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列． 等差数列的性质dcd2dpd1＋qd2对等差数列的性质的理解
(1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项．特别地，当m＋n＝2r时(m，n，r∈N*)am＋an＝2ar.
(2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．
(3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为等差数列，公差为kd.
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上是3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于每2项，4项，5项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6.
答案： C
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40 B．42
C．43 D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
3．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.
答案： 15
4．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.合作探究 课堂互动 等差数列性质的应用 在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
[思路点拨] 由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a2＋a3＋a10＋a11＝36；③求a5＋a8.解答本题可利用性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，也可引入公差d和首项a1对已知和所求进行化简求解．
解析： 方法一：根据等差数列的性质可得：
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
方法二：根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.
答案： 18 法一运用了等差数列的性质，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n∈N*)，则ap＋aq＝am＋an；法二设出了a1，d但并没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想.
1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析： 方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由a7＋a9＝16得2a1＋14d＝16，由a4＝1，得a1＋3d＝1.∴两式相减得a1＋11d＝15，即a12＝15.
方法二：∵7＋9＝4＋12，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝a7＋a9－a4＝15.
答案： A等差数列的运算 (1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[思路点拨] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；
(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
[边听边记] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． 2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 综合运用题 (1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是利用整体代换的思想方法．
(2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可． 3．梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度．
解析： 用{an}表示题中的等差数列．由已知条件得a1＝33，a12＝110，n＝12.设公差为d，则a12＝a1＋(12－1)d，
即110＝33＋11d，解得d＝7.
因此，a2＝33＋7＝40，a3＝33＋2×7＝47，…，a11＝33＋10×7＝103.
∴中间各级的宽度分别为40 cm,47 cm,54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：
an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N*)，
令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.
所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．高效测评 知能提升 谢谢观看！