2. 3 .1等差数列的前n项和（一）
教学目标：
1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思
教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应
教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
内容分析：
?? ?本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法
教学过程：
一、复习引入：
首先回忆一下前几节课所学主要内容：
1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）
2．等差数列的通项公式：
(或=pn+q (p、q是常数))
3．几种计算公差d的方法：
① d=－ ② d= ③ d=
4．等差中项：成等差数列
5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n项和：
数列中，称为数列的前n项和，记.
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法
二、讲解新课：
如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?
这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？
这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.
1．等差数列的前项和公式1：
证明： ①
②
①+②：
∵
∴ 由此得：
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前项和公式2：
用上述公式要求必须具备三个条件：
但 代入公式1即得：
此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）
总之：两个公式都表明要求必须已知中三个
公式二又可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
三、例题讲解
例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得
答：V形架上共放着7260支铅笔
例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为，前n项为
则
由公式可得
解之得：（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.
例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.
解：由(n－2)·180＝100n＋×10，
求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9,
当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.
例4在等差数列中，已知，求前20项之和．
分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解．
解：法一 由.由
法二 由，而，所以，所以
小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．
四．巩固练习
1．求集合的元素个数，并求这些元素的和
3．等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：
5
10
10
?
?
?
-2
8
?
104
-38
?
?
-10
-360
4.在等差数列中，，，求.
五、小结 本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前项和公式1：
2.等差数列的前项和公式2：
3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
六、课后作业：
P46 . 4题, 6题
七、板书设计（略）
八、课后记：
2.3.1 等差数列的前n项和（一）（学案）
一、【学习目标】
1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，
学会观察、归纳、反思
二、【本节重点】 等差数列前项和公式的理解、推导及应用.
三、【本节难点】 灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题
四、【知识储备】
1、 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质
2、 (1)一般形式：
(2)通项公式：
(3)前n项和：
3、等差数列
(1)定义：
(2)通项公式：
推广：
(3)性质：
①
②
特别地：
③ 奇数项
偶数项
五、【自主学习】
1、学习等差数列前项和公式推导过程。
2、等差数列的公差为，首项为，前项和
公式（1） ，
公式（2） 。
3、 前n项和公式与n的关系:式变形:
六、 [小试身手]
1 等差数列中，
(1)已知 则=__________________
(2)已知， 则=___________________
2等差数列中，已知，， 则=______及n=_____________
3、等差数列中，若，则公差 .
七、[典型例析]
例1 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
例2 在等差数列{}中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20项之和
八、[当堂检测]
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1),, 求
2),求
3. ,,求
4. 在等差数列{}中，a2+a5=19 S5 =40 则a10为
(A)27 (B)28 (C)29 (D)30
5. 在等差数列{}中，d=2, =11, Sn =35 则a1为
(A)5或7 （B）3或5 （C）7或－1 （D）3或－1
6. 已知数列1,2,3,4，,2n, 则其和为 ，奇数项的和为 。
九、重点概念总结应用
等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：
5
10
10
?
?
?
-2
8
?
104
-38
?
?
-10
-360
检测答案：
1. =2n+1. 2. d=2 ,n=13 3.
4. C 5.A 6. ,
§2.3 等差数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其性质．
2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系．
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做Sn.例如a1＋a2＋…＋a16可以记作S16；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝Sn－1 (n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝na1＋n(n－1)d.
3．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 B．35
C．49 D．63
答案 C
解析 S7＝＝＝49.
2．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A. B．2
C. D．4
答案 A
解析 由题意得：
10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，
∴10a1＝5d，∴＝.
3．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
答案 D
解析 由a＋a＋2a3a8＝9得
(a3＋a8)2＝9，∵an<0，
∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝
＝＝＝－15.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665 C．763 D．663
答案 B
解析 ∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
6．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
答案 B
解析 由
得nd＝－18.
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.
二、填空题
7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.
答案 15
解析 设等差数列的公差为d，则
S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，
即a1＋d＝1，
S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，
即2a1＋5d＝8.
由解得
故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.
8．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则的值是________．
答案
解析 ＝＝＝.
9．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为________．
答案 10
解析 S奇＝＝165，
S偶＝＝150.
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，
∴n＝10.
10．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m的值是________．
答案 210
解析 方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
三、解答题
11．在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
解 由
得
解方程组得或
12．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
能力提升
13．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
答案 B
解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.
当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
14．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 ＝＝＝
＝＝7＋，
∴n＝1,2,3,5,11.
1．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
2．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用．
2.3 等差数列的前n项和
2.3.1 等差数列的前n项和(一)?
从容说课
“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前n项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段.?
通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成.?
教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.?
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.?
教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等??
三维目标
一、知识与技能?
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.?
二、过程与方法?
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.??
三、情感态度与价值观?
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.??
教学过程
导入新课
教师出示投影胶片1：
印度泰姬陵(?Taj Mahal?)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.?
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.?
师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.?
教师出示投影胶片2：
高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”?
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5 050.”?
教师问：“你是如何算出答案的？”?
高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050.
师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？??
生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.?
师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.?
高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.?
作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.?
师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？?
生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.
师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.??
推进新课?
［合作探究］?
师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢??
生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.?
师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢??
生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是.?
师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：?
1+2+3+…+21，?
21+20+19+…+1，?
对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)?
这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.?
现在我将求和问题一般化：?
(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)?
(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn??
生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，?
Sn=an+an-1+…+a2+a1，?
再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，?
所以.(Ⅰ)?
生2 对于问题(2)，我是这样来求的：?
因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，?
所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,?
即Sn=na1+ d.(Ⅱ)?
［教师精讲］?
两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.?
［方法引导］?
师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.?
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？?
生 每个公式中都是5个量.?
师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法??
生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).?
师 当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.?
［知识应用］?
【例1】 (直接代公式)计算：?
(1)1+2+3+…+n；?
(2)1+3+5+…+(2n-1)；?
(3)2+4+6+…+2n；?
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.?
(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.?
生 (1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+…+2n= =n(n+1).?
师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)?
生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.?
生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.?
师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.?
【例2】 （课本第49页例1)?
分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗??
生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.?
师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)?
【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？?
分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？?
生 必须要确定首项a1与公差d.?
师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？?
生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.?
(解答见课本第50页)?
师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.?
［合作探究］?
师 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.?
(给出一定的时间让学生对本题加以理解)?
师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么??
生 从所给的和的公式出发去求出通项.?
师 对的，通项与前n项的和公式有何种关系??
生 当n=1时，a1=S1，而当n＞1时，an=Sn-Sn-1.?
师 回答的真好!由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-S n-1，?
即an=S1(n=1),?
Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-，我们从中知它是等差数列，这时当n=1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时，an=Sn-Sn-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.?
生1 这题中当n=1时，S1=a1=p+q+r；当n≥2时，an=Sn-S n-1=2pn-p+q，由n=1代入的结果为p+q，要使n=1时也适合，必须有r=0.?
生2 当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列.?
生3 这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n≥2时，an=Sn-S n-1=q+r，则变为常数列了，r≠0也还是等差数列.?
师 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.??
课堂练习
等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？?
(学生板演)?
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn,?
则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,?
由公式可得-10n+×4=54.?
解之,得n1=9,n2=-3(舍去).?
所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.?
(教师对学生的解答给出评价)??
课堂小结
师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容??
生 ①等差数列的前n项和公式1：,?
②等差数列的前n项和公式2：.?
师 通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法??
生 ①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.?
②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.?
师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容??
生 如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.??
布置作业
课本第52页习题2.3 A组第2、3题.??
板书设计
等差数列的前n项和(一)
公式：?
推导过程 例
课件31张PPT。【思考】【点拨】 等差数列前n项和的有关计算
1.等差数列前n项和的应用
（1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解.
（2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：Sn= 或Sn=An2+Bn.【名师指津】2.依据等差数列的性质得到的结论.
（1）当n为奇数时，Sn=
（2） =a1+（n-1）
【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.【例1】已知等差数列{an}.
(1)a1= a15= Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15= +(15-1)d= ∴d=
又Sn=na1+ ·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
（2）由已知，得S8= 解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8.
【解析】方法一：设公差为d,
∵a6=10，S5=5，
∴ 解得 ∴a8=a6+2d=16.
方法二：设公差为d,
∵S6=S5+a6=15，∴15= 即3（a1+10）=15.
∴a1=-5，d= =3.∴a8=a1+（8-1）d=16. 等差数列前n项和的性质的应用
等差数列前n项和的性质.
(1)项数（下标）的“等和”性质：
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d：
①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）；
S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；【名师指津】②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；
S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）；
③“片段和”性质：
等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，
求S110.
【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100，S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和
为Sn,则Sn=na1+
由已知得
①×10-②,整理得d= 代入①,得a1=
∴S110=110a1+ =-110.
故此数列的前110项之和为-110.方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差
数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ ·D=S100=10
D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22)=-120.
∴S110=-120+S100=-110.【变式训练】等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13.
【解题提示】利用等差数列的性质
Sn=
【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以
a7=8，所以S13= =13×8=104.【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，
前n项和为286，求项数n.
【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数
列项数（下标）的“等和”性质：
Sn= 来求得.【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，
an-3+an-2+an-1+an=63.
而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，
所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，
所以Sn= =11n=286，所以n=26.
故所求的项数为26.【变式备选】已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇
数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项.
【解题提示】在等差数列{an}中，若共有2n+1项，
则S2n+1=（2n+1）an+1；
S偶∶S奇=n∶（n+1）.
【解析】因为n为奇数，所以 所以n=13，所以
13·a7=S13=377，所以a7=29，
故所求的中间项为29. 【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值.
【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项.【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得
25×17+ =25× …………………3分
解得d=-2，………………………………………………6分
∴Sn=25n+ ×（-2）=-（n-13）2+169， ………9分
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. ……12分方法二：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由 得
解得 ……………………9分
即 又n∈N*
∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×25+ ×（-2）
=169. …………………………………………12分方法三：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，
故a13+a14=0 …………………………………………9分
∵d=-2＜0,a1＞0,∴a13＞0,a14＜0.
故n=13时，Sn有最大值169. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：【即时训练】在等差数列{an}中，a1=50，d=-0.6.
（1）从第几项起以后各项均小于零？
（2）求此数列前n项和的最大值.
【解题提示】（１）实质上是解一个不等式，但要注意
ｎ为正整数；（２）转化为求二次函数的最大值的问题．
【解析】（1）∵a1=50，d=-0.6,
∴an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6.
令-0.6n+50.6≤0，则n≥ ≈84.3.
由n∈N*,故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项均小于0.(2)方法一：∵a1=50＞0，d=-0.6＜0，
由（1）知a84＞0，a85＜0，
∴S1＜S2＜S3＜…＜S84，且S84＞S85＞S86＞….
∴（Sn）max=S84=50×84+ ×（-0.6）=2 108.4.
方法二：Sn=50n+ ×（-0.6）=-0.3n2+50.3n
=-0.3（n- ）2+
当n取最接近于 的自然数，即n=84时，Sn取得最大值
S84=2 108.4.1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝ ＝30．2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
S19＝（ ）
（Ａ）55 （Ｂ）95
（Ｃ）100 （Ｄ）不能确定
【解析】选Ｂ．S19＝ ＝95．3.已知数列{an}的通项an＝-５n＋２，则其前ｎ项和
Sn＝_______．
【解析】an+1-an＝-５，∴{an}是等差数列．a1＝-３，
ｄ＝-５，∴Sn＝-３ｎ＋ ×（-５）＝
答案： 4.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a2＝１，a3＝３，则
S4＝___________．
【解析】∵a2=1，a3＝３，∴ｄ＝２，a1＝-１，
∴S4＝８．
答案：８5.已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝９，a6＝９，求此数列前６项的和．
【解析】设公差为d,
∵a1＋a3＋a5＝9，a6＝９，∴3a3=9,a3=3，
∴a6=a3+(6-3)d，∴d=2,解得a1=a6-5d=-1.
∴S6=6×(-1)+30=24.课时训练9 等差数列的前n项和
/
一、等差数列前n项和公式及应用
1.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1为( )
A.5或7 B.3或5 C.7或-1 D.3或-1
答案:D
解析:a1+(n-1)×2=11 ①,Sn=na1+
??(??-1)
2
×2=35 ②,由①②解得a1=3或a1=-1.
经检验,a1=3与a1=-1均符合题意,故选D.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于( )
A.18 B.36 C.54 D.72
答案:D
解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.
∴S8=
8(
??
1
+
??
8
)
2
=4(a1+a8)=4(a4+a5)=72.
3.(2018河北邯郸三校联考,2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
答案:B
解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20).
∴a1+a20=18.∴S20=
20(
??
1
+
??
20
)
2
=180.故选B.
4.设Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和.若S9=3a8,则
??
15
3
??
5
=( )
A.15 B.17 C.19 D.21
答案:A
解析:由S9=3a8,得
9(
??
1
+
??
9
)
2
=
3
2
(a1+a15),即9a5=
??
15
5
,所以
??
15
3
??
5
=15.
5.有一个凸n边形,各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小角为100°,则边数n= .?
答案:8
解析:n×100°+
??(??-1)
2
×10°=(n-2)×180°,解得n=8或n=9.又an=100°+(n-1)×10°<180°,∴n=8.
6.已知等差数列{an}的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn.设Sk=2 550,求a和k的值.
解:设{an}的公差为d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a.
又2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3,
∴a1=2,d=a2-a1=2.
由Sk=ka1+
??(??-1)
2
d,得2k+
??(??-1)
2
×2=2 550,
即k2+k-2 550=0,解得k=50或k=-51(舍去),∴a=3,k=50.
二、由Sn求解数列的通项公式
7.设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 .?
答案:an=
2,??=1,
2??-1,??≥2
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式.
∴数列{an}的通项公式为an=
2,??=1,
2??-1,??≥2.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-2,求数列{an}的通项公式.
解:当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而2×31-1=2≠1.
故数列{an}的通项公式为an=
1,??=1,
2×
3
??-1
,??≥2.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2).
(1)求证:数列
1
??
??
是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.
∵Sn≠0,两边同除以SnSn-1,得
1
??
??-1
?
1
??
??
+2=0,即
1
??
??
?
1
??
??-1
=2(n≥2),
∴数列
1
??
??
是等差数列.
(2)解:∵a1=1,
1
??
1
=
1
??
1
=1,
∴
1
??
??
=1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=
1
2??-1
.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1
2??-1
?
1
2(??-1)-1
=-
2
(2??-1)(2??-3)
.
而-
2
(2×1-1)(2×1-3)
=2≠1,故{an}的通项公式an=
1,??=1,
-
2
(2??-1)(2??-3)
,??≥2.
/
(建议用时:30分钟)
1.在等差数列{an}中,若a1-a4+a8-a12+a15=2,则S15等于( )
A.28 B.30 C.31 D.32
答案:B
解析:∵a1-a4+a8-a12+a15
=(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2.
∴S15=
15(
??
1
+
??
15
)
2
=
15×2
??
8
2
=30.
2.在等差数列{an}中,公差d≠0,首项a1≠d.如果这个数列的前20项的和S20=10M,则M应是( )
A.a5+a15 B.a2+2a10
C.2a1+19d D.a20+d
答案:C
解析:∵S20=20a1+
20×19
2
d=10(2a1+19d)=10M,
∴M=2a1+19d.
3.已知数列{an}为等差数列,其前n项的和为Sn,若a3=6,S3=12,则公差d=( )
A.1 B.2 C.3 D.
5
3
答案:B
解析:在等差数列中,S3=
3(
??
1
+
??
3
)
2
=
3(
??
1
+6)
2
=12,解得a1=2,所以解得d=2,选B.
4.将含有k项的等差数列插入4和67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和是781,则k的值为( )
A.20 B.21 C.22 D.24
答案:A
解析:由数列前n项和公式可得
(??+2)(4+67)
2
=781,解得k=20.
5.(2018江西吉安联考,5)在等差数列{an}中,a9=
1
2
a12+6,则数列{an}的前11项和S11等于( )
A.24 B.48 C.66 D.132
答案:D
解析:∵数列{an}为等差数列,设其公差为d,
∵a9=
1
2
a12+6,
∴a1+8d=
1
2
(a1+11d)+6,
∴a1+5d=12,即a6=12.
∴数列{an}的前11项和S11=a1+a2+…+a11
=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6
=11a6=132.故选D.
6.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=
1
2
,S2=a3,则a2= ,Sn= .?
答案:1
1
4
n2+
1
4
n
7.若一个等差数列前3项和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有 项.?
答案:13
解析:∵
??
1
+
??
2
+
??
3
=34,
??
??
+
??
??-1
+
??
??-2
=146,
∴3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn=
??(
??
1
+
??
??
)
2
=390.∴n=13.
8.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=5a3,则
??
9
??
5
= .?
答案:9
解析:
??
9
??
5
=
9(
??
1
+
??
9
)
2
5(
??
1
+
??
5
)
2
=
9
??
5
5
??
3
,又∵a5=5a3,∴
??
9
??
5
=9.
9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,a3+a5=38.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
则由已知得
??
1
=25,
2
??
1
+6??=38,
解得d=-2.
∴通项公式an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2,
由已知a3n-2=-6n+31.
∴数列{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
∴Sn=
??(
??
1
+
??
3??-2
)
2
=-3n2+28n.
10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24 min可注满水池.如果开始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多长时间?
解:设共有n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为x1,x2,…,xn.
由已知可知x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1,
∴数列{xn}成等差数列,
每个水龙头1 min放水
1
24??
(这里不妨设水池的容积为1),
∴
1
24??
·(x1+x2+…+xn)=1,即Sn=24n.
∴
??(
??
1
+
??
??
)
2
=24n.∴x1+xn=48.
又∵xn=5x1,∴6x1=48.
∴x1=8(min),xn=40(min).
故最后关闭的水龙头放水40 min.
课件40张PPT。2．3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列前n项和 自主学习 新知突破1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．
2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．
3．能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想．如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？
[提示] 六层 等腰梯形 [问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？
[提示] (4＋9)×6＝78.
[问题3] 原来有多少根钢管？
[问题4] 能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?等差数列的前n项和公式
对等差数列前n项和公式的理解
(1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝( )
A．8 B．7
C．6 D．5
答案： D2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7 B．15
C．20 D．25
答案： B3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝____________.
答案： 104．在等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5，求a8和S8.合作探究 课堂互动 与前n项和有关的基本量的运算 在等差数列{an}中，
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
[思路点拨] 将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法． 一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便． 1．已知等差数列{an}中，
(1)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n；
(2)a2＋a5＝19，S5＝40，求a10. 与前n项和有关的最值问题 已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．
[思路点拨] 求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：
2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取得最小值时，n＝( )
A．26 B．25
C．24 D．23
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．答案： (1)C (2)120求数列{|an|}的前n项和 在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
[思路点拨] 本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和．由绝对值的意义知我们应首先分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数．由于已知数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有多少项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和． 已知等差数列{an}的项先负后正，求数列{|an|}的前n项和Tn，步骤如下：
(1)求an：即{an}的通项公式；
(2)判号：利用通项公式，判断前多少项为负数(假设前m项为负数)；
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－4，S8＝a8，求数列{|an|}的前n项和Tn.◎在等差数列{an}中，an＝3n－31，记bn＝|an|，求数列bn的前30项和．【错因】 错把{bn}也当作等差数列，实际上解此题的关键是搞清绝对值符号内的an的正负，易知当n≤10时，an<0，当n≥11时，an>0.谢谢观看！
