2.3.2 等差数列的前n项和（二）
教学目标
1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
2.过程与方法：经历公式应用的过程；
3.情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。
教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式
教学难点
灵活应用求和公式解决问题
授课类型：新授课
教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1.等差数列的前 项和公式1：
2.等差数列的前 项和公式2：
Ⅱ.讲授新课
例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
求其前 项和的公式.
解：由题设：
得： ：
易得：
探究 1. 之间的关系
例2. 已知数列 是等差数列， 是其前n项和，
求证：⑴ ， - ， - 成等差数列；
⑵ （ ）成等差数列
证明：设 首项是 ，公差为d
则
∵
∵∴
∴ 是以36d为公差的等差数列
同理可得 是以 d为公差的等差数列.
例3. 已知数列 的前n项和为 ，求这个数列的通项公式.
解：根据 与
, (n>1) 得：
当n>1时，
⑴
当n=1 时，
也满足⑴式
所以数列 的通项公式为：
探究2. 课本P51的探究活动
一般地，如果一个数列 的前n项和为 ，其中p、q、r为常数，且 ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
分析： 由 ，得
当 时 = =
=2p
结论：通项公式是
探究3. 对等差数列的前 项和公式2： 可化成式子：
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？
例4. 已知等差数列 的前 n项和 ，求使得 最大的序号n的值.
解：由题意得，等差数列 的公差为 ，所以
于是，当n取与 最接近的整数即7或8时， 取最大值。
例 5. 在数列{ }中，已知 ， (n N*)，那么使其前n项和Sn取得最大值的n值等于 .
解：依题意知， >0 ... >0, <0,
易知 最大，即n取12时和最大.
小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
利用 :
当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值
当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值
利用 ：
由 利用二次函数配方法求得最值时n的值
Ⅲ.课堂练习
已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。
2.已知数列 的前n项和为 ，求这个数列的通项公式.
3. 等差数列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{ }的前n项和 的最小值.
4. 等差数列{ }的第10项为23，第25项为－22，求此数列
(1)第几项开始为负？
(2)前10项的和？
(3)从首项到第几项之和开始为负？
5. 在等差数列{ }中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。
Ⅳ.课时小结
1. 表示 ,
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值。
当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值。
(2)由 利用二次函数配方法求得最值时n的值
3. 是以 d为公差的等差数列.
Ⅴ.课后作业
课本P46 3题
2.3.2 等差数列的前n项和（二）
一．【学习目标】
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题..
二．【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式
三．【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题
四． 【知识储备】
1、 ＝
2、 前n项和公式 与n的关系:式变形:
五．【自主学习】
阅读并完成课本例2——例4
探究下列问题：
1. 是等差数列， 是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究 的关系（ （ ）仍成等差数列 ）
2. 完成例3，已知数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn与Sn-1之间的递推关系式是 .由此可推得，数列{an}的通项公式an= .
3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是 .，如何从中读出公差，求最值.
六．[小试身手]
1 数列 前 项和 ，且 ，则正整数 _____________
2 设等差数列 前 项和 ，若 ，则
3. 等差数列 前 项和为 ，若 ，则当n=___________时， 最大
七 [典型例析]
例1在等差数列{an}中， , ,求
例2已知数列 的前n项和为 ，求这个数列的通项公式.
例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．
.
八、[当堂检测]
1. 数列{ }是等差数列的一个充要条件是
（A）Sn=an2+bn+c （B）Sn=an2+bn
（C）Sn=an2+bn+c (D) Sn=an2+bn
2、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn= -n2，则（ ）
A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2
C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 2
3.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和
4.已知数列{an}的前n项和 ，判断数列{an}是否为等差数列，并证明你的结论；
5．在等差数列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{ }的前n项和 的最小值
6．设等差数列{ }的前n项和为 ，已知 ＝12， >0， <0，
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出 , , , ……, 中哪一个最大，说明理由
九．总结收获：
检测答案; 1.D 2.C 3. ＝－110. 4.是，
5. 当n＝8或n＝9时， ＝ ＝－108最小.
6.（1）－
（2） ＝13 <0, ∴ <0, 由 ＝6( ＋ )>0, ∴ ＋ >0,
∴ >0, 最大.
§2.3 等差数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用．
2．掌握等差数列前n项和的最值问题．
3．理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝
2．等差数列前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
一个有用的结论：
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
一、选择题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则an等于( )
A．n B．n2
C．2n＋1 D．2n－1
答案 D
2．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案 B
解析 等差数列前n项和Sn的形式为：Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 由an＝，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.54．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 方法一 ＝＝?a1＝2d，
＝＝＝.
方法二 由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3?S9＝6S3，
S12－S9＝S3＋3S3＝4S3?S12＝10S3，所以＝.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.
答案 A
解析 由等差数列的性质，＝＝＝，
∴＝＝×＝1.
6．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 C
解析 由S50.又S6＝S7?a7＝0，所以d<0.
由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9
＝2(a7＋a8)<0即S9二、填空题
7．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n，(n∈N*)，则通项an＝________.
答案 2n－2
8．在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，则前n项和Sn的最大值是________．
答案 169
解析 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，
所以Sn＝25n＋(n－1)×(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由 得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
9．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
答案 10
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，即a1＋an＝31.
由Sn＝＝＝155，得n＝10.
10．等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列在n＝k时，前n项和Sn取到最小值，则k的值是________．
答案 10或11
解析 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，由，得
，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．
三、解答题
11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
解 (1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得
可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.
因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
12．已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解 由S2＝16，S4＝24，得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
能力提升
13．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1
答案 C
解析 方法一 由an＝，
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，
∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.
方法二 ∵an＝5－4n，
∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，
∴na1>Sn>nan.
14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解 (1)根据题意，有： 整理得：
解之得：－(2)∵d<0，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，
∴a6>0.
∴数列{an}的前6项和S6最大．
1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
2.3.2 等差数列的前n项和(二)?
从容说课
“等差数列的前n项和”第二节课的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步去了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；学会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值，学会其常用的数学方法和体现出的数学思想.从而提高学生分析问题、解决问题的能力.通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻.?
通过本节例题的教学，使学生能活用求和公式解题，并进一步感受到数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成，通过探究一些特殊数学求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用.?
在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容，学会学习并能积极地发展自己的能力.?
教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式.?
教学难点 灵活应用求和公式解决问题.?
教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等??
三维目标
一、知识与技能?
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；?
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；?
3.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值.??
二、过程与方法?
1.经历公式应用的过程，形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；?
2.学会其常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展.??
三、情感态度与价值观?
通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题.??
教学过程
导入新课
师 首先回忆一下上一节课所学主要内容.?
生 我们上一节课学习了等差数列的前n项和的两个公式：?
(1)；(2).?
师 对，我们上一节课学习了等差数列的前n项和的公式，了解等差数列的一些性质.学会了求和问题的一些方法，本节课我们继续围绕等差数列的前n项和的公式的内容来进一步学习与探究.??
推进新课?
［合作探究］?
师 本节课的第一个内容是来研究一下等差数列的前n项和的公式的函数表示，请同学们将求和公式写成关于n的函数形式.?
生 我将等差数列{an}的前n项和的公式整理、变形得到：n.(*)?
师 很好!我们能否说(*)式是关于n的二次函数呢??
生1 能，(*)式就是关于n的二次函数.?
生2 不能，(*)式不一定是关于n的二次函数.?
师 为什么??
生2 若等差数列的公差为0，即d=0时，(*)式实际是关于n的一次函数!只有当d≠0时，(*)式才是关于n的二次函数.?
师 说得很好!等差数列{an}的前n项和的公式可以是关于n的一次函数或二次函数.我来问一下：这函数有什么特征??
生 它一定不含常数项，即常数项为0.?
生 它的二次项系数是公差的一半.?
……?
师 对的，等差数列{an}的前n项和为不含常数项的一次函数或二次函数.问：若一数列的前n项和为n的一次函数或二次函数，则这数列一定是等差数列吗??
生 不一定，还要求不含常数项才能确保是等差数列.?
师 说的在理.同学们能画出(*)式表示的函数图象或描述一下它的图象特征吗??
生 当d=0时，(*)式是关于n的一次函数，所以它的图象是位于一条直线上的离散的点列，当d≠0时，(*)式是n的二次函数，它的图象是在二次函数的图象上的一群孤立的点.这些点的坐标为(n,Sn)(n=1，2，3，…).?
师 说得很精辟.?
［例题剖析］?
【例】 (课本第51页例4)?
分析:等差数列{an}的前n项和公式可以写成，所以Sn可以看成函数 (x∈N *)当x=n时的函数值.另一方面，容易知道Sn关于n的图象是一条抛物线上的点.因此我们可以利用二次函数来求n的值.(解答见课本第52页)?
师 我们能否换一个角度再来思考一下这个问题呢？请同学们说出这个数列的首项和公差.
生 它的首项为5，公差为.?
师 对，它的首项为正数，公差小于零，因而这个数列是个单调递减数列，当这数列的项出现负数时，则它的前n项的和一定会开始减小，在这样的情况下，同学们是否会产生新的解题思路呢？?
生 老师，我有一种解法：先求出它的通项，求得结果是an=a1+(n-1)d=.?
我令≤0，得到了n≥8，这样我就可以知道a8=0，而a9＜0.从而便可以发现S7=S8，从第9项和Sn开始减小，由于a8=0对数列的和不产生影响，所以就可以说这个等差数列的前7项或8项的和最大.?
师 说得非常好!这说明我们可以通过研究它的通项取值的正负情况来研究数列的和的变化情况.?
［方法引导］?
师 受刚才这位同学的新解法的启发，我们大家一起来归纳一下这种解法的规律：?
①当等差数列{an}的首项大于零，公差小于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值??
生Sn有最大值，可通过求得n的值.?
师 ②当等差数列{an}的首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和有怎样的最值?可通过什么来求达到最值时的n的值??
生 Sn有最小值，可以通过求得n的值.?
［教师精讲］?
好!有了这种方法再结合前面的函数性质的方法，我们求等差数列的前n项的和的最值问题就有法可依了.主要有两种：?
(1)利用an取值的正负情况来研究数列的和的变化情况；?
(2)利用Sn：由利用二次函数求得Sn取最值时n的值.??
课堂练习
请同学们做下面的一道练习：?
已知：an=1 024+lg21-n(lg2=0.3 01 0)n∈*.问多少项之和为最大？前多少项之和的绝对值最小？(让一位学生上黑板去板演)?
解：1°
+13 401＜n＜3 403.所以n=3 402.?
2°Sn=1 024n+ (-lg2)，当Sn=0或Sn趋近于0时其和绝对值最小，?
令Sn=0，即1 024+ (-lg2)=0,得n =+1≈6 804.99.?
因为n∈N*，所以有n=6 805.?
(教师可根据学生的解答情况和解题过程中出现的问题进行点评)?
［合作探究］?
师 我们大家再一起来看这样一个问题：?
全体正奇数排成下表：?
1?
3 5?
7 9 11?
13 15 17 19?
21 23 25 27 29?
…… ……?
此表的构成规律是：第n行恰有n个连续奇数;从第二行起，每一行第一个数与上一行最后一个数是相邻奇数，问2 005是第几行的第几个数??
师 此题是数表问题，近年来这类问题如一颗“明珠”频频出现在数学竞赛和高考中，成为出题专家们的“新宠”，值得我们探索.请同学们根据此表的构成规律，将自己的发现告诉我.
生1 我发现这数表n行共有1+2+3+…+n个数，即n行共有个奇数.?
师 很好!要想知道2 005是第几行的第几个数，必须先研究第n行的构成规律.?
生2 根据生1的发现，就可得到第n行的最后一个数是2×-1=n2+n-1.?
生3 我得到第n行的第一个数是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.?
师 现在我们对第n行已经非常了解了，那么这问题也就好解决了，谁来求求看??
生4 我设n2-n+1≤2 005≤n2+n-1，?
解这不等式组便可求出n=45，n2-n+1=1 981.再设2 005是第45行中的第m个数，则由2 005=1 981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2 005是此表中的第45行中的第13个数.??
师 很好!由这解法可以看出，只要我们研究出了第n行的构成规律，则可由此展开我们的思路.从整体上把握等差数列的性质，是迅速解答本题的关键.??
课堂小结?
本节课我们学习并探究了等差数列的前n项和的哪些内容??
生1
我们学会了利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值的方法：?
①利用an：当an＞0，d＜0，前n项和有最大值.可由an≥0，且a n+1≤0，求得n的值；当an≤0，d＞0，前n项和有最小值.可由an≤0，且a n+1≥0，求得n的值.?
②利用Sn：由Sn= n2+(a1-)n利用二次函数求得Sn取最值时n的值.?
生2 我们还对等差数列中的数表问题的常规解法作了探究，学习了从整体上把握等差数列的性质来解决问题的数学思想方法.?
师 本节课我们在熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式的基础上，进一步去了解了等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.学会了一些常用的数学方法和数学思想，从而使我们从等差数列的前n项和公式的结构特征上来更深刻地认识等差数列.???
布置作业?
课本第52页习题2.3 A组第5、6题.?
预习提纲：?
①什么是等比数列？?
②等比数列的通项公式如何求？??
板书设计
等差数列的前n项和(二)
Sn与函数的联系 ? 例4
求Sn最值的方法 学生练习?
数表问题
课件33张PPT。第2课时 等差数列的前n项和（二） 已知Sn求通项公式an
【名师指津】数列前n项和Sn与通项公式an的关系.
已知数列{an}的通项公式an就可以求数列{an}的前n项和Sn；反过来，若已知数列{an}的前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公式an.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an,∴Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2),
在n≥2的条件下，把上面两式相减可得：
an=Sn-Sn-1(n≥2)，当n=1时，a1=S1，所以an=【特别提醒】an=Sn-Sn-1只对n≥2的正整数成立.由Sn求通项公式an时，要分n=1和n≥2两种情形，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且当n∈N*时满足Sn=-3n2+6n，求数列{an}的通项公式an.
【审题指导】题目中给出了数列的前n项和Sn的表达式，欲求此数列{an}的通项公式an，可利用an=Sn-Sn-1（n≥2)，然后再验证当n=1时是否成立，可否用统一解析式表示，即可求解.【规范解答】当n=1时，a1=S1=3,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-[-3(n-1)2+6(n-1)]=9-6n，
a1=3符合此式.
∴an=9-6n(n∈N*).【互动探究】若本例中“Sn=-3n2+6n”改为“Sn=-3n2 +6n +1”,其他条件不变，又如何求通项公式an呢？
【解题提示】利用an与Sn的关系，即an=Sn-Sn-1(n≥2)求解即可,注意验证n=1时是否成立.
【解析】当n=1时，a1=S1=4.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]=9-6n,a1=4不符合此式.
故an= 求数列{｜an｜}的前n项和
【名师指津】求数列{｜an｜}的前n项和的方法策略.
等差数列各项取绝对值后组成的数列{｜an｜}的前n项和，可分为以下情形：
(1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解.
(2)等差数列{an}中，a1>0,d<0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理.(3)等差数列{an}中，a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.
总之，解决此类问题的关键是找到数列{an}的正负界点.
【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列{an}，一定要明确从哪项开始为正或从哪项开始为负.【例2】已知等差数列{an}中，S2=16，S4=24，求数列{｜an｜}的前n项和An.
【审题指导】题目中给出的数列{an}是等差数列，且S2=16，S4=24，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式an，欲求数列{｜an｜}的前n项和An，关键是先判断出{an}中哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.【规范解答】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,
由已知列方程组
解得a1=9，d=-2，∴an=11-2n.
令an<0，得11-2n<0，即n>5.5.
设Sn表示数列{an}的前n项和，
∴当n≤5时，an>0，An=Sn=-n2+10n；当n≥6时，an<0，
An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-…-an
=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+an)
=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+an)
=2S5-Sn=2×(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
∴An=【变式训练】在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}
的前n项和.
【解题提示】由a1=-60，a17=-12，可先求得公差d，分
清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.
【解析】设数列{an}的公差为d，则d= =3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an＜0,得3n-63＜0，即n＜21.当n=21时，a21=0.
∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，
当n≤20时，
Sn′=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an
=-Sn=-［-60n+ ×3］=
当n＞20时，
Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+ ×3-2×(-60×20+ ×3)∴数列{|an|}的前n项和
Sn′= 等差数列在实际问题中的应用
【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略.
利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑： 【例】从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件.
(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1≤n≤30,求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过10天？说明理由.【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}.
由题意知，数列a1,a2,…,a12是首项为10，公差为15的等差数列，∴an=15n-5(1≤n≤12且n∈N*).
而a13,a14,a15，…,a30是首项为a13=a12-10=165,
公差为-10的等差数列，
∴an=165+(n-13)×(-10)=-10n+295(13≤n≤30且n∈N*).
∴an=(2)4月份该款服装的总销售量为
+18a13+
=2 550(件).
(3)4月1日至4月12日的销售总量为
=1 110<1 200,
∴4月12日前该款服装在社会上还没有流行.
由-10n+295<100,得n>
∴第20天该款服装在社会上不再流行.
∴该款服装在社会上流行没有超过10天.【变式备选】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h开始，每隔2 s速度提高20 km/h，如果测试时间是30 s，测试距离是多长？
【解析】由于每隔2 s速度提高20 km/h，所以该赛车在每个2 s内的速度构成等差数列{an}且a1=10,d=20.如果测试时间是30 s，则最后一个2 s内的速度是a15，测试
距离
S=(a1+a2+…+a15)× =(15×10+ ×20)×
=1.25(km).
答：若测试时间是30 s，则测试距离为1.25 km. 【典例】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分
别为Sn和Tn，若 求
【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n
项和Sn和Tn的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前
n项和公式及等差中项的关系转化为 的关系.【规范解答】方法一：
…………………………………………3分
……………………………………6分
………………………………………… 9分
…………………………………………12分方法二：因为 …………………3分
所以设Sn=(7n+2)kn，Tn=(n+3)kn,k≠0, …………………6分
∴a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k, ………………… 9分
∴ ……………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别
为Sn和Tn，若 求
【解析】由等差数列的性质得1.设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为( )
(A)15 (B)16 (C)49 (D)64
【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.2.已知数列{an} 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于
( )
(A)33 (B)34 (C)35 (D)36
【解析】选D.Sn=na1+ =0,
∴35n-n(n-1)=0,得n=36.3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7 (B)3或5
(C)7或-1 (D)3或-1
【解析】选D.由已知得
从而a1=3或a1=-1.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
【解析】S5= =15.
答案：155.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
求 的值.
【解析】方法一：
方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn，
Tn=(3n-1)kn，k≠0,∴a9=S9-S8=37k.
b9=T9-T8=50k.∴课时训练10 等差数列前n项和的性质与应用
/
一、等差数列前n项和性质的应用
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于( )
A.12 B.18 C.24 D.42
答案:C
解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.
2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案:C
解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组
5
??
1
+20??=15,
5
??
1
+25??=30
求得d=3,故选C.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2 015,
??
2 015
2 015
?
??
2 013
2 013
=2,则S2 015=( )
A.2 015 B.-2 015 C.0 D.1
答案:B
解析:由等差数列前n项和性质可知,数列
??
??
??
是等差数列,设公差为d,
则
??
2 015
2 015
?
??
2 013
2 013
=2d=2,所以d=1.
所以
??
2 015
2 015
=
??
1
1
+2 014d=-2 015+2 014=-1,
所以S2 015=-2 015.
二、等差数列前n项和中的最值问题
4.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中错误的是( )
A.若d<0,则数列{Sn}有最大项
B.若数列{Sn}有最大项,则d<0
C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0
D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
答案:C
解析:由等差数列的前n项和公式Sn=na1+
1
2
n(n-1)d=
??
2
n2+
??
1
-
??
2
n知,Sn对应的二次函数有最大值时d<0.
故若d<0,则Sn有最大值,A,B正确.
又若对任意n∈N*,Sn>0,则a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D正确.
而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但S1=-1<0.C不正确.
5.(2018河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若
??
11
??
10
<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为( )
A.21 B.20 C.19 D.18
答案:C
解析:由
??
11
??
10
<-1,可得
??
11
+
??
10
??
10
<0,
由它们的前n项和Sn有最大值可得数列的公差d<0,∴a10>0,a11+a10<0,a11<0,
∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.
∴使得Sn>0的n的最大值n=19.故选C.
6.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为( )
A.22 B.21 C.20 D.19
答案:C
解析:对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.
因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,
所以a4=33,a5=31,
故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,
则n=1时,a1=39,
所以Sn=
??
2
n2+
??
1
-
??
2
n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时Sn取得最大值,从而满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 014>0,S2 015<0,则当n= 时,Sn最大.?
答案:1 007
解析:由等差数列的性质知,S2 015=2 015a1 008<0,
所以a1 008<0.
又S2 014=
2 014(
??
1
+
??
2 014
)
2
=1 007(a1 007+a1 008)>0,
所以a1 007+a1 008>0,而a1 008<0,故a1 007>0.
因此当n=1 007时,Sn最大.
8.已知数列{an},an∈N*,前n项和Sn=
1
8
(an+2)2.
(1)求证:{an}是等差数列;
(2)设bn=
1
2
an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.
(1)证明:由已知得8Sn=(an+2)2,
则8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2),
两式相减,得8an=(an+2)2-(an-1+2)2,
即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
因为an∈N*,所以an+an-1>0,
所以an-an-1=4(n≥2),
故数列{an}是以4为公差的等差数列.
(2)解:令n=1,得S1=a1=
1
8
(a1+2)2,解得a1=2.
由(1)知an=2+(n-1)×4=4n-2,
所以bn=
1
2
an-30=2n-31.
由bn=2n-31<0,得n<
31
2
,
即数列{bn}的前15项为负值,n≥16时bn>0.
设数列{bn}的前n项和为Tn,
则T15最小,其值为T15=15×(-29)+
15×14
2
×2=-225.
三、与数列{|an|}前n项和有关的问题
9.已知数列{an}的通项公式an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16时,n= .?
答案:8
解析:由an=5-n,可得n<5时,an>0;
n=5时,a5=0;
n>5时,an<0,
而a1+a2+…+a5=10,
∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16.
∴20+
??
2
-9??
2
=16,解得n=8.
10.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且5a3·a1=(2a2+2)2.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
解:(1)因为5a3·a1=(2a2+2)2,所以d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4.故an=-n+11或an=4n+6.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0,所以由(1)得d=-1,an=-n+11.
则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-
1
2
n2+
21
2
n;
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=
1
2
n2-
21
2
n+110.
综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
-
1
2
??
2
+
21
2
??,??≤11,
1
2
??
2
-
21
2
??+110,??≥12.
/
(建议用时:30分钟)
1.若等差数列{an}的前3项和S3=9,则a2等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:A
解析:S3=
3(
??
1
+
??
3
)
2
=9,
∴a1+a3=2a2=6.∴a2=3.故选A.
2.设{an}是公差为-2的等差数列,如果a1+a4+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于( )
A.-182 B.-78 C.-148 D.-82
答案:D
解析:由a1+a4+a7+…+a97=50,0①
令a3+a6+a9+…+a99=x,0②
②-①得2d×33=x-50,而d=-2,
∴x=-132+50=-82.故选D.
3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
答案:C
解析:a2+a4+a15=a1+d+a1+3d+a1+14d
=3(a1+6d)
=3a7=3×
??
1
+
??
13
2
=
3
13
×
13(
??
1
+
??
13
)
2
=
3
13
S13.
于是可知S13是常数.
4.设{an}为等差数列,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )
A.11 B.12 C.13 D.14
答案:B
解析:∵a6+a7=a1+a12,
∴S12=
12(
??
1
+
??
12
)
2
=6(a6+a7)>0.
由已知得a6>0,a7<0,又S13=13a7<0,
∴使Sn>0成立的最大自然数n为12,故选B.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=1,S3n-Sn=5,则S4n=( )
A.4 B.6 C.10 D.15
答案:C
解析:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等差数列,设公差为d,
则S2n-Sn=Sn+d,S3n-S2n=Sn+2d.
∴S3n-Sn=2Sn+3d=5.
又∵Sn=1,∴d=1.
∴S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)
=1+2+3+4=10.
6.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= .?
答案:10
解析:S9=S4,∴a5+a6+a7+a8+a9=0,
∴a7=0,从而a4+a10=2a7=0,∴k=10.
7.等差数列前12项和为354,在前12项中的偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则公差d= .?
答案:5
解析:由已知
??
奇
+
??
偶
=354,
??
偶
??
奇
=
32
27
,
解得
??
偶
=192,
??
奇
=162.
又∵此等差数列共12项,
∴S偶-S奇=6d=30.∴d=5.
8.等差数列{an}与{bn},它们的前n项和分别为An,Bn,若
??
??
??
??
=
2??-2
??+3
,则
??
5
??
5
= .?
答案:
4
3
解析:
??
5
??
5
=
9
??
5
9
??
5
=
??
9
??
9
=
2×9-2
9+3
=
4
3
.
9.在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn有最大值,并求出它的最大值.
解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=20,S10=S15,
∴10a1+
10×9
2
d=15a1+
15×14
2
d.
解得d=-
5
3
.
解法一:由以上得an=20-
5
3
(n-1)=-
5
3
n+
65
3
.
由an≥0得-
5
3
n+
65
3
≥0,∴n≤13.
所以数列前12项或前13项的和最大,其最大值为S12=S13=12a1+
12×11
2
d=130.
解法二:由以上得Sn=20n+
??(??-1)
2
×
-
5
3
=-
5
6
n2+
5
6
n+20n=-
5
6
n2+
125
6
n
=-
5
6
(n2-25n)=-
5
6
??-
25
2
2
+
3 125
24
.
∴当n=12或13时,Sn最大,最大值为S12=S13=130.
10.等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解:等差数列{an}的公差d=
??
17
-
??
1
17-1
=
-12-(-60)
16
=3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0,得3n-63<0,即n<21.
∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,Sn'分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,
当n≤20时,Sn'=-Sn
=-
-60??+
??(??-1)
2
×3
=-
3
2
n2+
123
2
n;
当n>20时,
Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+
??(??-1)
2
×3-2×
-60×20+
20×19
2
×3
=
3
2
n2-
123
2
n+1 260.
∴数列{|an|}的前n项和为
Sn'=
-
3
2
??
2
+
123
2
??(??≤20),
3
2
??
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课件37张PPT。第2课时 等差数列前n项和习题课 自主学习 新知突破1．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一些问题．
2．能应用等差数列解决一些实际问题．教材是怎样推导等差数列{an}的前n项和的？试写出推导过程．
[提示] 等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导，
具体过程如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，等差数列前n项和的主要性质
对等差数列前n项和性质的理解
(1)等差数列的前n项和是所有奇数项与所有偶数项的和，我们可以根据等差数列的性质，得出结论．
(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．1．在等差数列{an}中，S15＝90，则a8等于( )
A．3 B．4
C．6 D．12
答案： C2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N*)，则数列{an}为( )
A．首项为1，公差为2的等差数列
B．首项为3，公差为2的等差数列
C．首项为3，公差为4的等差数列
D．首项为5，公差为3的等差数列
解析： 当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又a1＝4×1－1＝3.∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4.∴{an}是首项为3，公差为4的等差数列，故选C.
答案： C
3．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝____________.
解析： ∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0.
又a3＋a6＝a4＋a5，
∴2(a4＋a5)＝0，∴a5＝－a4＝－1.
答案： －1
4．在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求它的前3m项的和．合作探究 课堂互动 等差数列前n项和的性质应用 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等差数列前n项和的性质求解．
1．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．等差数列的性质在前n项和中的应用
已知Sn求an的问题 已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式an.
(1)Sn＝－3n2＋6n；
(2)Sn＝－3n2＋6n＋1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋1求数列的通项公式an.◎已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？
【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，
∴{an}是等差数列．
【错因】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．谢谢观看！