2. 4等比数列教案（一）
授课类型：新授
教学目标
知识与技能目标
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
教学过程
一、情境导入：
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，263; ① 1，，，，…； ②
1，，…； ③ ④
对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．
对于数列③，= ; =20（n≥2）．
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．
二、检查预习
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式:
， ，
3．｛an｝成等比数列
4．求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….
三、合作探究
（1）等比数列中有为0的项吗？
（2）公比为1的数列是什么数列？
（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？
（4）常数列都是等比数列吗？
四交流展示
等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）
(2) 隐含：任一项
(3) q=1时，{an}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
2.等比数列的通项公式1:
观察法：由等比数列的定义，有：；
； ；… … … … … … …
．
迭乘法：由等比数列的定义，有：；；；…；
所以，即
等比数列的通项公式2:
五精讲精练
例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.
解：
点评：考察等比数列项和通项公式的理解
变式训练一：教材第52页第1
例2．求下列各等比数列的通项公式：
解：(1)
(2)
点评：求通项时，求首项和公比
变式训练二 ：教材第52页第2
例3．教材P50面的例1。
例4． 已知无穷数列，
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的；
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
证：（1）（常数）∴该数列成等比数列．
（2），即：．
（3），∵，∴．
∴且，
∴，（第项）．
变式训练三：教材第53页第3、4题．
六、课堂小结：
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式及变形式
七、板书设计
八、课后作业
阅读教材第48～50页；
等比数列学案
一、课前预习
（一）预习目标
1.理解等比数列的定义；
2.了解等比数列的通项公式
（二）自我探究
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，263; ① 1，，，，…； ②
1，，…； ③ ④
对于数列①，= ; =2（n≥2）．对于数列②， =；（n≥2）．
对于数列③，= ; =20（n≥2）．
共同特点：
(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q； ｛｝成等比数列=q（，q≠0．）
(2) 隐含：任一项
(3) q=1时，{an}为常数数列．
（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
（四）提出疑惑
（五）预习内容
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
1. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比，我们通常用字母（）表示。数学语言描述：对于数列，如果满足（、，为常数，），那么为等比数列。
2.当等比数列的公比时。该等比数列为常数列。
3.等比数列的通项公式：，对于等比数列的通项公式，我们有以下结论：
①；②（，此结论对于有意义时适用）。
4. 等比数列的增减性：若，当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。若，当时，等比数列为递减数列；当时，等比数列为递增数列；当时，等比数列的增减性无法确定（摆动数列）。
5. 如果在数和中间插入一个数，使得、、三数成等比数列，那么我们就称数为数和的等比中项，且。
6.等比数列的前项和公式
设数列是公比为的等比数列，那么该数列的前项和
。
7.等比数列的主要性质：
（1）在等比数列中，若，则；
（2）在等比数列中，若，则；
（3）对于等比数列，若数列是等差数列，则数列也是等比数列；
（4）若数列是等比数列，则对于任意实数，数列、也是等比数列；
（5）若数列是等比数列且，则数列也是等比数列；
（6）若数列是等比数列且，则数列为等差数列；
（7）若数列和都是等比数列，则数列也是等比数列；
（8）若是等比数列的前项和，则、、、…成等比数列，其公比为；
四、课堂同步训练
1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
2.已知是等比数列，，则
3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ）
无法确定
4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ）
5.设数列满足（，，），且
，则__________。
6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。
7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。
8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。
9.设数列为等比数列，，已知，。
（1）求等比数列的首项和公比；
（2）求数列的通项公式。
10.设数列的前项和为，已知
（1）证明：当时，是等比数列；
（2）求的通项公式。
11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
【同步训练参考答案】
1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。
2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。
3. 解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。
4. ，，而，
，即，解得，而，故公比的取值范围为。
5.
解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。
6.
解析：的两根分别为和，，从而、，。。
7.
解析：，，
。
8.
解析：设该等比数列为、、、， ，
，从而、、，
。
9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。
（2），则 ①
①得 ②
②①得：
。
10.解：（1）证明：由题意知，且，
两式相减得，即 ①
当时，由①知，于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）当时，由（1）知，即；
当时，由①得
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。
，故知，可得
，
要使对任意正整数成立，即
，
得 ①
令，则
当为正奇数时，；当为正偶数时，。
所以的最大值为，最小值为。
于是，由①式得。
当时，由知，不存在实数满足题目要求；
当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。
§2.4 等比数列(一)
课时目标
1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．
3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.
3．等比中项的定义
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
答案 B
解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81 C．128 D．243
答案 A
解析 ∵{an}为等比数列，
∴＝q＝2.
又a1＋a2＝3，∴a1＝1.故a7＝1·26＝64.
3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
答案 B
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，
∴b＝－3，且a，c必同号．
∴ac＝b2＝9.
5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
∴这三个数45,75,125，公比q为＝.
6．若正项等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D．不确定
答案 A
解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，
∴q3－2q2＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0 (q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝ (q＝<0舍)
∴＝＝.
二、填空题
7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.
答案 4·()n－1
解析 由已知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
得a＝5，则a1＝4，q＝＝，
∴an＝4·()n－1.
8．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则
a6＋a7＝________.
答案 18
解析 由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.
∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝(＋)×32＝18.
9．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
答案 5
解析 设公比为q，
则??q2＝4，
得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
答案
解析 设三边为a，aq，aq2 (q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝.
较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.
三、解答题
11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，
∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.
当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，
∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；
当q＝3时，an＝2×3n－3.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
能力提升
13．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
答案 －9
解析 由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，
四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.
14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．
公比为2，首项a1＋1＝2.
∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.
∴an＝2n－1.
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q (与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2 (n∈N*)．
2．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量．已知其中三个量可求得第四个．
2.4 等比数列?
2.4.1 等比数列的概念及通项公式?
从容说课
本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.?
教学中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性.?
准备丰富的阅读材料，为学生提供自主学习的可能，进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的.?
教学重点 1.等比数列的概念;?
2.等比数列的通项公式.?
教学难点 1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;?
2.等比数列与指数函数的关系.?
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等
三维目标
一、知识与技能?
1.了解现实生活中存在着一类特殊的数列;?
2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;?
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题;
4.体会等比数列与指数函数的关系.??
二、过程与方法?
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动;?
3.密切联系实际，激发学生学习的积极性.??
三、情感态度与价值观?
1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的?兴趣.???
教学过程
导入新课?
师 现实生活中，有许多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗？
生 一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…??
师 非常好的一个例子！?
现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.?
教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.?
师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？?
生 通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：?
1，2，4，8，…①?
教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”?
师 这是《庄子·天下篇》中的一个论述，能解释这个论述的含义吗？?
生 思考、讨论，用现代语言叙述.?
师 (用现代语言叙述后)如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，，，，，… ②?
教师出示投影胶片2：计算机病毒传播问题.
一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?
师 (读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？?
引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.?
生 发现等比关系，写出一个无穷等比数列：?
1，20，202，203，204，… ③?
教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.?
师 介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.?
给出计算本利和的公式：?
本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.?
生 列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.?
师 生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：?
10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④?
师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？?
师 引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.?
引入课题：板书课题 2.4等比数列的概念及通项公式??
推进新课
［合作探究］?
师 从上面的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？?
生 回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：?
一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.?
［教师精讲］?
师 同学们概括得很好，这就是等比数列(?geometric sequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.P.(Geometric Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).
请同学们想一想，为什么q≠0呢？?
生 独立思考、合作交流、自主探究.?
师 假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？?
生 分母为0了.?
师 对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.?
师 那么，等比数列的首项能不能为0呢？?
生 等比数列的首项不能为0.?
师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.?
［合作探究］?
师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.?
生 如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.
师 想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？?
生 一起探究,a、b是同号的，G=±，G2=ab.?
师 观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.?
补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k+a n+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？?
生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-k·a n+k=an2.?
［合作探究］?
探究：?
(1)一个数列a1,a2,a3,…,an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？?
(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？?
(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？?
(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？?
(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？?
师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.?
生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.?
［教师精讲］?
概括总结对上述问题的探究，得出：?
(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列.?
概括学生对(2)(3)(4)的解答.?
(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.?
(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；?
(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；?
(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.?
(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)?
［合作探究］?
师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？?
生 推导等比数列的通项公式.?
［方法引导］?
师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式.?
具体的，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：?
a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1，?
即an=a1qn-1.?
师 根据等比数列的定义，我们还可以写出?
,?
进而有an=an-1q=a n-2q2=a n-3q3=…=a1q n-1.?
亦得?
an=a1qn-1.?
师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特征吗？
生 把an看成anq0，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的和都是n.?
师 非常正确，这里不仅给出了一个由an倒推到an与a1，q的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.?
师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子?
,再思考.?
如果我们把上面的式子改写成.?
那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是,于是，得an=a1q n-1.?
师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？?
师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.?
师 让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.?
生 a1，q都不能为0.?
［知识拓展］?
师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？?
教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.
某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；?
（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.?
生 比较两种方法，思考它们的异同.?
［教师精讲］?
通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.
(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？?
(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？?
生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.?
师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.?
观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.?
师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格：?
等差数列
等比数列
定 义
从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数
从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制
没有任何限制
首项、公比都不能为0
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1q n-1
相应图象的特点
直线y=a1+(x-1)d上孤立的点
函数y=a1qx-1图象上孤立的点
［例题剖析］?
【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？?
师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.?
【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？?
师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，….?
可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.?
于是，可得递推公式?
.?
由于，因此，这个数列是等比数列.?
生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.?
练习：?
1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.?
师 启发、引导学生列方程求未知量.?
生 探究、交流、列式、求解.?
2.课本第59页练习第1、2题.??
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的定义.?
2.等比数列的通项公式.?
3.等比数列与指数函数的联系.??
布置作业
课本第60页习题2.4 A组?第1、2题.??
板书设计
等比数列的概念及通项公式
1.等比数列的定义? 实例剖析
2.等比数列的通项公式? 从三个角度类比等差数列表? 例1
练习：1.(学生板演) 例2
课件33张PPT。【思考】【点拨】【点拨】 等比数列的定义
【名师指津】有关等比数列定义的理解的四个注意点
(1)“从第2项起”这一条件有两层含义.其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商.(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个:其一,强调作商的顺序，其二，强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列.
(4)利用定义 =q(q为常数且不为零) {an}为等比数列，这是判断一个数列是等比数列的常用的方法.【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，试判断数列{an}是否是等比数列？
【审题指导】要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an-1之比为一常数，已知Sn=2an+1，以此来寻找an与an-1的关系.【规范解答】∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1，
∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)，
∴an+1=2an， ①
又∵S1=a1=2a1+1,
∴a1=-1≠0，由①式可知，an≠0,
由 =2知{an}是等比数列.【变式训练】已知数列{an}的通项公式为an=3n，
求证:{an}是等比数列.
【解题提示】利用等比数列的定义.
【证明】∵an=3n,∴an+1=3n+1
∴ =3(为一个不为零的常数).
∴｛an｝是等比数列. 等比数列的通项公式的应用
【名师指津】巧用通项公式求等比数列的基本量
(1)在已知a1和q的前提下,可以利用通项公式,求出等比数列中的任意一项.
(2)在等比数列中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,就可以求出另一个.(3)在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m,可求出等比数列中的任何一项,这也是等比数列中任意两项之间的关系.
【特别提醒】要确定一等比数列的通项公式，求出a1，q是关键，而它们往往可用与之有关的式子来求出.【例2】在等比数列{an}中，
(1)a4=2，a7=8，求an；
(2)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n.
【审题指导】由题目可知等比数列中的某些量之间的关系，求其他量，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1与q，再表示其他量.【规范解答】(1)因为 所以
由 得q3=4，从而q= 而a1q3=2，
于是a1= 所以an=a1qn-1=
(2)因为
由 得q= 从而a1=32.
又an=1，所以32( )n-1=1，
即26-n=20，所以n=6.【互动探究】若在本例(2)中，去掉“an=1”，其他条件不变，又如何求等比数列{an}的通项公式呢？
【解题提示】由已知条件列出关于a1，q的方程组，求出a1与q，再写出an.
【解析】因为
由 得q= 从而a1=32.
∴an=a1qn-1=32×( )n-1=( )n-6.【例】数列{an}的前n项和为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
【审题指导】本题给出了数列{an}的an与Sn的关系，可充分利用由Sn求an的方法，寻找数列{an}的递推关系，进一步求得通项公式.
【规范解答】∵Sn=a1+a2+…+an
∴an=又由an=5Sn-3，得an-1=5Sn-1-3(n≥2)，
于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an.
∴an= an-1，
由a1=5S1-3，得a1= 知an≠0，
∴
∴数列{an}是以a1= 为首项，q= 为公比的等比数列，
其通项公式为an=【变式备选】若数列{an}满足关系a1=2，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式.
【解题提示】利用递推公式变形，构造新数列.
【解析】∵an+1=3an+2,两边加1，∴an+1+1=3an+3,
即an+1+1=3(an+1).
又a1=2，∴an+1≠0,∴
∴数列{an+1}是以a1+1为首项，3为公比的等比数列.
∴１+an=(a1+1)·3n-1=3·3n-1.∴an=3n-1. 【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及a2-a5=42，由此列出方程组解得公比q和首项a1，利用定义求a5，a7的等比中项，注意解的个数.【规范解答】设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2-a5=42，所以q≠1，由已知，得
……………………3分
因为1-q3=(1-q)(1+q+q2)，
所以由 ② 除以① ，得q(1-q)= 所以q= …………6分
所以a1= …………………………………………8分令G是a5，a7的等比中项，则应有G2=a5a7=a1q4·a1q6= =962×( )10=9， …………………………………………10分
所以a5，a7的等比中项是±3. ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值.
【解题提示】利用等比中项的定义.
【解析】因为a,2a+2,3a+3成等比数列.
所以(2a+2)2=a(3a+3).解得a=-1或a=-4.
因为当a=-1时，2a+2,3a+3均为0，故应舍去.
故a的值为-4.1.下面有四个结论：
①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；
②常数列b, b, b，…,b一定为等比数列；
③等比数列{an}中，若公比q=1,则此数列各项相等；
④等比数列中，各项与公比都不为零.
正确说法的个数为（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保证各项及公比不为0,所以错误.2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是( )
(A)0 (B)１或2
(C)-1或2 (D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝q2－q，所以q＝-1或2.3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 的
值为( )
(A) (B) (C) (D)1
【解析】选A. 4.若等比数列的首项为１，末项为５12，公比为2，则这个数列的项数为__________.
【解析】512=1×2n-1，n=10.
答案：105.若 是b-1，b+1的等比中项，则b=________.
【解析】因为 是b-1，b+1的等比中项，
所以( )2=(b-1)(b+1),即8=b2-1，
故b2=9，b=±3.
答案：±36.等比数列{an}中，已知a2=3,a5=24，求a8的值.
【解析】设公比为q,a2=3，a5=24，∴q3=8,a8=a2q6, ∴a8=3×64=192.课时训练11 等比数列
/
一、等比数列中基本量的运算
1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
1
4
,则公比q等于0( )
A.-
1
2
B.-2 C.2 D.
1
2
答案:D
解析:
??
5
??
2
=
??
1
??
4
??
1
??
=q3=
1
4
2
=
1
8
,∴q=
1
2
.
2.已知等比数列{an}中,a1=32,公比q=-
1
2
,则a6等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.
1
2
答案:B
解析:由题知a6=a1q5=32×
-
1
2
5
=-1,故选B.
3.(2018福建宁德五校联考,7)已知等比数列{an}中,
??
2
+
??
3
??
1
+
??
2
=2,a4=8,则a6=( )
A.31 B.32 C.63 D.64
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由
??
2
+
??
3
??
1
+
??
2
=2,a4=8,得
??(
??
1
+
??
2
)
??
1
+
??
2
=2,
??
1
??
3
=8,
解得
??
1
=1,
??=2.
所以a6=a1q5=25=32.故选B.
4.(2018山东潍坊四县联考,3)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
答案:B
解析:∵等差数列{an}的公差为2,a1,a3,a4成等比数列,
∴(a1+4)2=a1(a1+6),
∴a1=-8,
∴a2=-6.故选B.
5.(2018江西吉安联考,2)已知等比数列{an}的公比q=-
1
3
,则
??
1
+
??
3
+
??
5
+
??
7
??
2
+
??
4
+
??
6
+
??
8
等于( )
A.-3 B.-
1
3
C.3 D.
1
3
答案:A
解析:∵等比数列{an}的公比q=-
1
3
,
∴
??
1
+
??
3
+
??
5
+
??
7
??
2
+
??
4
+
??
6
+
??
8
=
??
1
+
??
3
+
??
5
+
??
7
(
??
1
+
??
3
+
??
5
+
??
7
)??
=
1
??
=-3.故选A.
二、等比中项及应用
6.2+
3
和2-
3
的等比中项是 .?
答案:±1
解析:设A为等比中项,则A2=(2+
3
)(2-
3
)=1,
∴A=±1.
7.已知等比数列{an}的各项均为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式an= .?
答案:3n-1
解析:由题意,知(a+1)2=2a+5,∴a2=4.
∵{an}的各项均为正数,∴a+1>0且2a+5>0.
∴a=2.∴a+1=3.∴q=
??+1
1
=3.∴an=3n-1.
三、等比数列的判定
8.给出下列数列:
①2,2,4,8,16,32,…;
②在数列{an}中,
??
2
??
1
=2,
??
4
??
3
=2;
③常数列c,c,c,c,….
其中等比数列的个数为 .?
答案:0
解析:①不是等比数列,因为
??
2
??
1
≠
??
3
??
2
;
②不一定是等比数列,因为不知道
??
3
??
2
的值,即使
??
3
??
2
=2,数列{an}也未必是等比数列;
③不一定是等比数列,当c=0时,数列不是等比数列.故填0.
9.设{an}是公比为q的等比数列,设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.
证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
??
??+1
2
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
??
1
2
q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
因为a1≠0,所以2qk=qk-1+qk+1.
因为q≠0,所以q2-2q+1=0,解得q=1,这与已知矛盾.
所以假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
/
(建议用时:30分钟)
1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=
5
4
,则该等比数列的公比为( )
A.
1
4
B.
1
2
C.2 D.8
答案:B
解析:因为(a1+a3)q3=a4+a6,
所以q3=
??
4
+
??
6
??
1
+
??
3
=
5
4
10
=
1
8
,即q=
1
2
,选B.
2.若等比数列的首项为
9
8
,末项为
1
3
,公比为
2
3
,则这个数列的项数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:B
解析:∵a1=
9
8
,an=
1
3
,q=
2
3
,∴
9
8
×
2
3
??-1
=
1
3
,则n=4.
3.已知等比数列{an}中,a1=3,8
??
??
2
=an+1·an+2,则a3=0( )
A.48 B.12 C.6 D.2
答案:B
解析:设数列{an}的公比为q,
则由8
??
??
2
=an+1an+2,得8
??
1
2
=a2a3,即8
??
1
2
=
??
1
2
q3,
∴q=2.∴a3=a1q2=3×4=12.
4.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么( )
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
答案:B
解析:∵-1,a,b,c,-9成等比数列,
∴b2=(-1)×(-9)=9.
又∵a2=-1×b=-b,∴b=-3.
又b2=ac,∴a与c同号.∴ac=9.
5.已知1既是a2与b2的等比中项,又是
1
??
与
1
??
的等差中项,则
??+??
??
2
+
??
2
的值是( )
A.1或
1
2
B.1或-
1
2
C.1或
1
3
D.1或-
1
3
答案:D
解析:由题意得,a2b2=(ab)2=1,
1
??
+
1
??
=2,
∴
????=1,
??+??=2
或
????=-1,
??+??=-2.
又
??+??
??
2
+
??
2
=
??+??
(??+??
)
2
-2????
,∴其值为1或-
1
3
.
6.设a1=2,数列{1+2an}是公比为2的等比数列,则a6等于 .?
答案:79.5
解析:∵1+2an=(1+2a1)×2n-1,
∴1+2a6=5×25,∴a6=
5×32-1
2
=79.5.
7.已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1,5,17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是 .?
答案:3
解析:由已知
??
5
2
=a1·a17,
∴(a1+4d)2=a1(a1+16d).∴a1=2d.
∴公比q=
??
5
??
1
=
??
1
+4??
??
1
=
6??
2??
=3.
8.某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的 倍.?
答案:1.259
解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an×25%=1.25an.
则
??
??+1
??
??
=1.25.
则数列{an}是公比q=1.25的等比数列.
则a10=a1q9=1.259m.所以
??
10
??
1
=1.259.
9.等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.
解:由题意知
??
1
+
??
1
??+
??
1
??
2
=168, ①
??
1
??·(1-??)(1+??+
??
2
)=42,②
②÷①得q(1-q)=
42
168
,
∴q=
1
2
.
∴a1=
168×4
7
=96.
又∵a6=a1q5,
∴a6=96×
1
2
5
=3,
∴a5,a7的等比中项a6=3.
10.已知数列{an}满足a1=
7
8
,且an+1=
1
2
an+
1
3
,n∈N*.
(1)求证:
??
??
-
2
3
是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:∵an+1=
1
2
an+
1
3
,
∴an+1-
2
3
=
1
2
an+
1
3
?
2
3
=
1
2
??
??
-
2
3
.
∴
??
??+1
-
2
3
??
??
-
2
3
=
1
2
.
∴
??
??
-
2
3
是首项为
5
24
,公比为
1
2
的等比数列.
(2)解:∵an-
2
3
=
5
24
×
1
2
??-1
,
∴an=
5
24
×
1
2
??-1
+
2
3
.
课件37张PPT。2．4 等比数列
第1课时 等比数列自主学习 新知突破1．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．
3．掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．分析下面几个数列．
(1)－1,1，－1,1，…；
(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；
(3)某人年初投资100 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
100 000×1.05,100 000×1.052，…，100 000×1.055.
[问题1] 上面数列是等差数列吗？
[提示] 不是．
[问题2] 以上数列中后项与前项的比有何特点？
[提示] 后项与前项的比值都相同．等比数列的定义及通项公式1．等比数列通项公式的理解
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．定义：一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫做a与b的等比中项．这三个数满足关系式__________.等比中项等比数列G2＝ab1．数列a，a，a，…，a，…(a∈R)必为( )
A．等差数列但不是等比数列
B．等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．以上都不正确
解析： 当a≠0时，该数列是等差数列，也是等比数列，当a＝0时，是等差数列，但不是等比数列，故选D.
答案： D2．在等比数列{an}中，a2 010＝8a2 007，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
答案： A3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.合作探究 课堂互动 等比数列通项公式的运用 在等比数列{an}中，
[思路点拨] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量． 等比数列基本量的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法． 1．在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
解析： (1)方法一：由a4＝a1·q3，
得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，
所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729. 等比数列的判定 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？
[思路点拨] 要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an－1之比为一常数，已知Sn＝2an＋1，以此来寻找an与an－1的关系．
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由．
解析： 数列{an－1}是等比数列．
证明如下：
∵a1＝2，an＋1＝2an－1，
∴an＋1－1＝2(an－1)
∴数列{an－1}是以1为首项，公比为2的等比数列． 等比中项的应用 等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
答案： (1)B (2)D ◎下面关于等比数列{an}和公比q的叙述中，正确的是( )
A．q>1?{an}为递增数列
B．{an}为递增数列?q>1
C．q>1?{an}为递增数列
D．q>1?{an}为递增数列，且{an}为递增数列?q>1【错解】 在等差数列中，公差d的符号决定了数列的单调性，即d>0时{an}是递增数列，d<0时{an}是递减数列，d＝0时{an}是常数列．
类似地，在等比数列中，公比q与1的相对大小也决定了数列的单调性，故选C.
【错因】 等比数列的单调性不但与q有关，还与a1有关．
【正解】 当a1>0，q>1或a1<0,0答案： D谢谢观看！
