2.4等比数列教案（二）
授课类型：新授
教学目标
知识与技能目标
进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；
过程与能力目标
利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质
方法与价值观
培养学生应用意识．
教学重点，难点
（1）等比数列定义及通项公式的应用；
（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．
教学过程
二．问题情境
1．情境：在等比数列中，（1）是否成立？是否成立？
（2）是否成立？
2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？
三．学生活动
对于（1）∵，，∴，成立．
同理 ：成立．
对于（2），，，
∴，成立．
一般地：若，则．
四．建构数学
1．若为等比数列，，则．
由等比数列通项公式得：，，
故且，
∵，∴．
2．若为等比数列，则．
由等比数列的通项公式知：，则 ．
五．数学运用
1．例题：
例1．（1）在等比数列中，是否有（）？
（2）在数列中，对于任意的正整数（），都有，
那么数列一定是等比数列．
解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列是等比数列，∴，即（）成立．
（2）不一定．例如对于数列，总有，但这个数列不是等比数列．
例2． 已知为，且，该数列的各项都为正数，求的通项公式。
解：设该数列的公比为，由得，又数列的各项都是正数，故，
则 ．
例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
解：由题意可以设这三个数分别为，得：
∴，即得或，
∴或，
故该三数为：1，3，9或，3，或9，3，1或，3，．
说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为．
例4． 如图是一个边长为的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第个图形的边长和周长．
解：设第个图形的边长为，周长为．
由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴数列是等比数列，首项为，公比为．
∴．
要计算第个图形的周长，只要计算第个图形的边数．
第一个图形的边数为，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的倍，
∴第个图形的边数为．
．
2．练习：
1．已知是等比数列且，，
则 ．
2．已知是等比数列，，，且公比为整数，则 ．
3．已知在等比数列中，，，则 ．
五．回顾小结：
1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．
六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．
七板书设计
课内探究学案
（一 ）学习目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
（二）学习过程
1、自主学习、合作探究
1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。
2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。
3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。
4.注意巧用等比数列的主要性质，特别是（）和（）。
5. 三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。
2、精讲点拨
三、典型例题
例1 数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。
解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：
得即
得或（舍去），。
由知，数列的前项中最大，得。
将代入（1）得 （3），
由得，即 （4），
联立（3）（4）解方程组得。
例2 （1）已知为等比数列，，，求的通项公式。
（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。
解：（1）设等比数列的公比为（），，则，
即也即，解此关于的一元方程得或。
，或。
（2）在等比数列中，有，又，联立解得
或，
由此知，而，从而解得
或。
例3 已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。
解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。
例4 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上
，，，又、，，数列不是等比数列。
3、反思总结
4当堂检测
1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )
2.已知是等比数列，，则
3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（ ）
无法确定
4. 在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（ ）
5.设数列满足（，，），且
，则__________。
6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。
7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。
8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。
9.设数列为等比数列，，已知，。
（1）求等比数列的首项和公比；
（2）求数列的通项公式。
10.设数列的前项和为，已知
（1）证明：当时，是等比数列；
（2）求的通项公式。
11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。
（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。
【当堂检测】
1. 解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。
2. 解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。
3. 解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。
4. ，，而，
，即，解得，而，故公比的取值范围为。
5.
解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。
6.
解析：的两根分别为和，，从而、，。。
7.
解析：，，
。
8.
解析：设该等比数列为、、、， ，
，从而、、，
。
9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。
（2），则 ①
①得 ②
②①得：
。
10.解：（1）证明：由题意知，且，
两式相减得，即 ①
当时，由①知，于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）当时，由（1）知，即；
当时，由①得
11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即
，矛盾。
所以不是等比数列.
（2）解：
。又，所以
当时，，这时不是等比数列；
当时，由上可知，。
故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。
（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。
，故知，可得
，
要使对任意正整数成立，即
，
得 ①
令，则
当为正奇数时，；当为正偶数时，。
所以的最大值为，最小值为。
于是，由①式得。
当时，由知，不存在实数满足题目要求；
当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。
§2.4 等比数列(二)
课时目标
1．进一步巩固等比数列的定义和通项公式．
2．掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．
1．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝a.
2．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
3．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
答案 C
解析 在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.
∵am＝a1qm－1＝qm－1，
∴m－1＝10，∴m＝11.
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2 C．1 D．－2
答案 B
解析 ∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.
又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.
3．若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则＋＝( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 设等比数列公比为q.
由题意知：m＝，n＝，
则＋＝＋＝＋＝2.
4．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A．5 B．7
C．6 D．4
答案 A
解析 ∵a1a2a3＝a＝5，∴a2＝.
∵a7a8a9＝a＝10，∴a8＝.
∴a＝a2a8＝＝50，
又∵数列{an}各项为正数，
∴a5＝50.
∴a4a5a6＝a＝50＝5.
5．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A. B. C．2 D．3
答案 A
解析 ∵a4a6＝a，∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.
∵a1a9＝a2a8＝a，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)
＝log3a＝log33＝.
6．在正项等比数列{an}中，an＋1
A. B. C. D.
答案 D
解析 设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1由a2·a8＝6，得a＝6.
∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.
解得q＝，∴＝＝()2＝.
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
答案 4
解析 由题意知，q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.
8．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝________.
答案 －6
解析 由题意知，a3＝a1＋4，a4＝a1＋6.
∵a1，a3，a4成等比数列，
∴a＝a1a4，∴(a1＋4)2＝(a1＋6)a1，
解得a1＝－8，∴a2＝－6.
9．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
答案 8
解析 设这8个数组成的等比数列为{an}，
则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是________．
答案
解析 ∵－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1，
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2<0.
∴b2＝－2，∴＝＝.
三、解答题
11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，
则由题意得，
解得或.
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
12．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明 设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.
要证{cn}不是等比数列，只需证c≠c1·c3成立即可．
事实上，c＝(a1p＋b1q)2＝ap2＋bq2＋2a1b1pq，
c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)
＝ap2＋bq2＋a1b1(p2＋q2)．
由于c1c3－c＝a1b1(p－q)2≠0，因此c≠c1·c3，故{cn}不是等比数列．
能力提升
13．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．－4
答案 D
解析 依题意有
①代入③求得b＝2.
从而?a2＋2a－8＝0，
解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，c＝2，即a＝b＝c与已知不符，
∴a＝－4.
14．等比数列{an}同时满足下列三个条件：
①a1＋a6＝11 ②a3·a4＝ ③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式．
解 由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝
∴解得求
当时q＝2
∴an＝·2n－1
a2＋a4＋＝，2a＝
∴a2，a，a4＋成等差数列，
∴an＝·2n－1
当时q＝，an＝·26－n
a2＋a4＋≠2a，
∴不符合题意，
∴通项公式an＝·2n－1.
1．等比数列的基本量是a1和q，依据题目条件建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其它问题．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an，an＋1，an＋2，使a≠an·an＋2.
3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．
2.4.2 等比数列的基本性质及其应用?
从容说课
这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.?
教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.?
教学重点 1.探究等比数列更多的性质;?
2.解决生活实际中的等比数列的问题.?
教学难点 渗透重要的数学思想.?
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等??
三维目标
一、知识与技能?
1.了解等比数列更多的性质;?
2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;?
3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.??
二、过程与方法?
1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;?
3.当好学生学习的合作者的角色.??
三、情感态度与价值观?
1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?
2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.??
教学过程
导入新课?
师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.?
生 由学习小组汇报探究结果.?
师 对各组的汇报给予评价.?
师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：?
第3题解答：?
(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,?
则数列a k+1,ak+2,…,可视为b1,b2，….?
因为 (i≥1),所以，{bn}是等比数列，即a k+1，ak+2,…是等比数列.?
(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则?
(k≥1).?
所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.?
猜想：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.?
◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.?
第4题解答：?
(1)设{an}的公比是q，则?
a52=(a1q4)2=a12q8,?
而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,?
所以a52=a3·a7.?
同理,a52=a1·a9.?
(2)用上面的方法不难证明an2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证an2=a n-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0).?
师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.??
推进新课
［合作探究］?
师 出示投影胶片1
例题1 (教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？
师 注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？?
生 用等差数列1，2，3，…?
师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？?
生 在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)，则ak+as=ap+aq.?
师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？?
生 思考、讨论、交流.?
师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.?
［教师精讲］?
师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看出,?
根据等式的性质，有.?
所以ak+as=ap+aq.?
师 在等比数列中会有怎样的类似结论？?
生 猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则?
ak·as=ap·at.?
师 让学生给出上述猜想的证明.?
证明：设等比数列{an}公比为q，?
则有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,?
ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.?
因为k+s=p+t,?
所以有ak·as=ap·at.?
师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.?
即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则有ak·as=ap·at.?
师 下面有两个结论：?
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；?
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.?
你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？?
生 思考、列式、合作交流，得到：?
结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；?
结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.?
师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.?
师 上述性质有着广泛的应用.?
师 出示投影胶片2：例题2
例题2?
（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;?
（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；?
（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.
例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.?
解答：?
(1)在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.?
解：∵a1a 18=a9a 10，∴a 18= =20.?
(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积.?
解：b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.?
∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187.?
(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.?
解：.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).?
∴a8=-1 458.?
另解：a8=a5q3=a5·=-1 458.?
［合作探究］?
师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.?
例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.?
an
bn
an·bn
判断{an·bn}是否是等比数列
例
-5×2n-1
是
自选1
自选2
师 请同学们自己完成上面的表.?
师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？?
生 得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列.?
证明如下：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1p n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为?
,?
它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.?
［教师精讲］?
除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：?
证法二：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项(n＞1,n∈N *)分别为a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为?
(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),?
(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),?
即有(anbn)2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n＞1,n∈N *),?
所以{an·bn}是一个等比数列.?
师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：?
证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为?
anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,?
设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq) n-1,?
所以{an·bn}是一个等比数列.??
课堂小结?
本节学习了如下内容：?
1.等比数列的性质的探究.?
2.证明等比数列的常用方法.??
布置作业?
课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.??
板书设计
等比数列的基本性质及其应用
例1 例2 例3
课件28张PPT。【思考】【点拨】 等比数列性质的应用
【名师指津】巧用等比数列的性质简化运算
在等比数列的有关运算中,常涉及到次数较高的指数运算,若按常规解法,往往是建立a1和q的方程(组),这样解起来较麻烦.而采用等比数列性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
【特别提醒】运用性质时要注意各项下标的关系.【例1】若{an}为等比数列，且a1·a9=64，a3+a7=20，求a11.
【审题指导】题目中给出了数列{an}为等比数列，欲求a11，可利用等比数列的性质.由a1·a9=64可知a3·a7=64，然后构造方程求解即可.【规范解答】∵{an}为等比数列，
∴a1·a9=a3·a7=64，又∵a3+a7=20，
∴
当a3=4，a7=16时，a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5，∴q4=4,
当a3=16，a7=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4= ∴q4= ∴a11=a1q10=a3q8=64或1.【互动探究】若在本例已知条件中去掉“a3+a7=20”，其他条件不变，又如何求a3a4a5a6a7的值呢？
【解题提示】利用等比数列的性质.在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k，则有aman=apaq=
【解析】∵a3a7=a4a6= =a1·a9=64,
∴a5=±8,∴a3a4a5a6a7=±32 768.
【误区警示】题中易忽略a5的正负两种情况而漏解.【例】已知{an}为等比数列，若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6 =36，求a3+a5的值.
【审题指导】由题目中an>0，可知此等比数列的公比q>0，应用等比数列的性质：a2a4= a4a6= 化简已知，可求解.
【规范解答】∵a2a4+2a3a5+a4a6=36，
∴ +2a3a5+ =36,∴(a3+a5)2=36，
又∵an>0，∴a3+a5=6.【变式备选】若a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求等比数列{an}的通项公式.
【解题提示】应用等比数列的性质，a1a3= 代换求得a2，再利用已知条件求a1,q.
【解析】∵a1a3= 代入已知，得 =8，∴a2=2.
设公比为q，则前三项为 2,2q，则有 +2+2q=7.整理，得2q2-5q+2=0，
∴q=2或q=
∴
故可得an=2n-1或an=23-n(n∈N*). 等比数列的判定
【名师指津】判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法
=q(q为常数且不为零) {an}为等比数列.
(2)等比中项法
=anan+2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列.
(3)通项公式法
an=a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列.【特别提醒】判定一个数列是否为等比数列，首先要检验它是否满足等比数列的前提条件：每项均不为零.【例2】已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4也成等差数列，又bn= n=1,2,3,……
求证：数列{bn}为等比数列.
【审题指导】由题目知首先明确数列{an}各项均为正数，利用lga1，lga2，lga4也成等差数列以及对数的有关运算，结合条件bn= 分情况讨论来判定.【规范解答】∵lga1，lga2，lga4成等差数列,
∴2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4),∴ =a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1·(a1+3d)，∴d2=a1d,∴d(a1-d)=0.
(1)当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.(2)当d=a1≠0时， =a1+(2n-1)d=2nd，
∴bn=
∴ (n≥1,n∈N*),此时数列{bn}是首项为
b1= 公比为 的等比数列.
综上可知，数列{bn}为等比数列.【变式训练】已知等比数列{an}中，a1=1，公比为
q(q≠0)，且bn=an+1-an.试判断数列{bn}是否为等比数列.
【解题提示】先求得数列{an}的通项，再分公比q=1
和q≠1两种情况讨论判断.
【解析】∵等比数列{an}中，a1=1,公比为q，∴an=a1qn-1
(q≠0)，若q=1，则an=1，bn=an+1-an=0，
∴{bn}是各项为0的常数列，不是等比数列;
若q≠1，由于
∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1，公比为q的等比数列. 【典例】(12分)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数.
【审题指导】四个数成等比数列可设为a，aq，aq2，aq3.又这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，根据这些条件列出方程组，求出未知量，得出这四个数的值.【规范解答】设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3 ………3分
则a-1，aq-1，aq2-4，aq3-13成等差数列，据题意得：
……………………6分
整理得 解得 ……………………9分
因此这四个数分别为3,6,12,24. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有四个数，前三个数依次成等比数列，它们的积
是-8，后三个数依次成等差数列，它们的积为-80，求出这四个
数.
【解析】由题意设此四个数分别为 b,bq,a,
则有 解得
所以这四个数分别为1，-2,4,10或 -2，-5，-8.1.已知a,b,c,d成等比数列，且抛物线y=x2-2x+3的顶点为（b,c),则ad=( )
(A)3 (B)2 (C)1 (D)-2
【解析】选B.∵抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为（1，2），
∴b=1,c=2,
又∵a，b,c,d成等比数列，∴ad=bc=2.2.在等比数列{an}中，a5＝３，则a2a8等于( )
(A)3 (B)6 (C)8 (D)9
【解析】选Ｄ.a2a8＝ =32＝９.3.在等比数列{an}中，a2 011=a2 013＝5，则a2 012＝( )
(A)5 (B)-5 (C)±5 (D)25
【解析】选Ｃ.∵ =a2 011a2 013,
∴ =25，故a2 012＝±5.4.公差不为０的等差数列第二、三、五项构成等比数
列，则公比为______.
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则 =a2a5，
即(a1+2d)2＝(a1+d)·(a1+4d)，得a1d=0，∵d≠0,
∴a1=0,则a2=d,a3=2d.所以q= ＝2.
答案：25.三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加
上1，3，9就成为等比数列，求此三个数.
【解析】设这三个数分别为a-d，a，a+d，则由题意得：
解此方程组，得
又∵a-d,a,a+d为正数，
∴ 不合题意,∴ ∴所求的三个数分别为3,5,7.课时训练12 等比数列的性质
一、等比数列性质的应用
1.若{an}是等比数列,那么( )
A.数列1an是等比数列 B.数列{an}是等比数列
C.数列{2an}是等比数列 D.数列{nan}是等比数列
答案:A
解析:由等比数列的定义判断即可.
2.在等比数列{an}中,a2 013=8a2 010,则公比q的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案:A
解析:∵a2 013=8a2 010,∴a2 010q3=8a2 010.
∴q3=8.∴q=2.
3.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为q1,q2(q1,q2≠1),则数列①{3an};②2an;③{3an};④{2an-3bn};⑤{2an·3bn}中等比数列的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:C
解析:在①中,3an+13an=q1,是等比数列;在②中,2an+12an=1q1,是等比数列;在③中,令an=2n-1,则数列{3an}为3,32,34,…,因为323≠3432,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,2an+1·3bn+12an·3bn=q1·q2,是等比数列.
4.(2018山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.52 B.7 C.6 D.42
答案:A
解析:a1a2a3=5?a23=5;
a7a8a9=10?a83=10.
a52=a2a8,∴a56=a23a83=50,
∴a4a5a6=a53=52.故选A.
5.(2018河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,则2a7+a11的最小值为( )
A.16 B.8 C.22 D.4
答案:B
解析:∵各项为正的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为22,
∴a4·a14=(22)2=8,
∴a7·a11=8,
∵a7>0,a11>0,
∴2a7+a11≥22a7·a11=22×8=8.故选B.
二、等差、等比数列的综合问题
6.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1) C.n(n+1)2 D.n(n-1)2
答案:A
解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以a42=a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+n(n-1)2d=n(n+1).
7.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q= .?
答案:1
解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,故q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=1.
8.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则a1+a2b2的值为 .?
答案:2.5
解析:∵a1+a2=1+4=5,
b22=1×4=4,且b2与1,4同号,∴b2=2,
∴a1+a2b2=52=2.5.
9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数.
解:设前三个数分别为a-d,a,a+d,
(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.
再设后三个数分别为bq,b,bq,
则有bq·b·bq=b3=8 000,即b=20.
∴四个数分别为m,16,20,n.
∴m=2×16-20=12,n=20216=25,
即这四个数分别为12,16,20,25.
10.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
(1)求a1和d的值;
(2)b16是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
解:(1)由题意得a1+3d=a1d3,a1+9d=a1d9,
所以3d=a1·(d3-1),9d=a1·(d9-1).
两式相除,得3=d9-1d3-1=d6+d3+1,
解得d3=-2或d3=1(舍去).
所以d=-32,代入得a1=-d=32.
(2)b16=a1d15=32×(-32)15=-3232,
an=a1+(n-1)d=32+(n-1)×(-32)
=-32n+232.
令an=-3232,得-32n+232=-3232,解得n=34∈N*,故b16是数列{an}中的第34项.
(建议用时:30分钟)
1.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值为( )
A.48 B.72 C.144 D.192
答案:D
解析:∵a6a7a8a3a4a5=q9=8(q为公比),
∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192.
2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
答案:A
解析:∵a3a11=a72=16,且an>0,∴a7=4.
又a7=a5·q2=4a5,∴a5=1.
3.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a4+a5等于( )
A.33 B.84 C.72 D.189
答案:B
解析:由条件得,4a1+(a1q2)=2×(2a1q),
即(q-2)2=0,∴q=2.
∴a3+a4+a5=3×(22+23+24)=84.
4.等比数列{an}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为( )
A.216 B.-216 C.217 D.-217
答案:D
解析:∵数列{an}为等比数列,∴a1a2a3…a17=a917.
又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.
5.已知1A.成等差数列 B.成等比数列
C.各项倒数成等差数列 D.以上都不对
答案:C
解析:由已知b2=ac.∴lognb2=lognac.
∴2lognb=logna+lognc.
∴2logbn=1logan+1logcn,
即1logan,1logbn,1logcn成等差数列.
6.已知数列{an}是等比数列,公比q>1,且a1+a6=8,a3a4=12,则a11a6= .?
答案:3
解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,
又∵a1+a6=8.当q>1时,解得a1=2,a6=6.
又∵a1a11=a62,∴a11a6=a6a1=3.
7.在等比数列{an}中,若an>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100= .?
答案:100
解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.
8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8= .?
答案:16
解析:∵2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,
∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b72=16.
9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.
解:设这三个数为a-d,a,a+d,
则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.
所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.
①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).
此时,这三个数是-8,4,16.
②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).
此时,这三个数是16,4,-8.
③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),
解得d=0(舍去),
综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.
10.已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
解:(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+2,q2=2-2.
∴{an}的通项公式为an=(2+2)n-1或an=(2-2)n-1.
(2)设{an}的公比为q,
则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),
得aq2-4aq+3a-1=0(*).
由a>0得Δ=4a2+4a>0,
故方程(*)有两个不同的实根.
由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,
代入(*)得a=13.
课件39张PPT。第2课时 等比数列的性质自主学习 新知突破1．了解等比数列的性质的由来．
2．掌握等比数列的性质并能综合运用．等比数列的性质等差数列与等比数列的联系与区别1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列答案： B答案： A3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
答案： 74．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.合作探究 课堂互动 等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，
(1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式；
(2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值．
[思路点拨] 运用等比数列下标与项的运算关系，也可以利用通项公式计算． 等比数列常用性质
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝ap·aq.
1．(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝________.
(2)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．答案： (1)72 (2)－213等比数列中项的设法 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． (1)本类题目与等差数列中的形式基本类似，但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的讨论和说明．
(2)对于方法二不难发现，如果采用这样的设法，可轻松的求出中间的数，大大减少了运算量．对于这类问题的解答，我们探究出如下技巧：
2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．等比数列的综合题 在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；
当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N*). 12分 (1)本题属于“运算数列”是否为等比数列的判定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨论十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是逻辑思维严谨性的具体要求．
(2)若数列{an}为等比数列，则下列结论仍能成立．
◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，试求a7.谢谢观看！