课题: §2.5.1等比数列的前n项和（1）教案
教材分析：
本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n项和公式推导
●教学难点
灵活应用公式解决有关问题
学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。
●教学过程
一.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”
二.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。
等比数列的前n项和公式：
当时， ① 或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n项和是
由
得
论同上）∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。
由可得
==。
这个数很大，超过了。国王不能实现他的诺言。
三 例题讲解
例1．求下列等比数列的各项的和：
（1）； （2）
选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．
答案：（1）；（2）
例2．已知公比为的等比数列的前5项和为，求这个数列的及
选题目的：逆向应用公式．
答案：，
例3．已知等比数列，求使得大于100的最小的n的值.
选题目的：综合应用公式．
答案：使得大于100的最小的n的值为7.
例4．设数列的前n项和为．当常数满足什么条件时，才是等比数列？
选题目的：沟通与的关系，灵活应用公式．
答案：
四． 反思总结，当堂检测。：课本66页练习
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
五．课后小结
等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或
六． 教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。
●板书设计：略
2.5.1等比数列的前n项和（1）学案
课前预习学案
一．预习目标：了解等比数列的前n项和公式及公式证明思路
二 预习内容:等比数列前n项和公式的推导方法。. 三、 提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标: 1．掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列前n项和的一些简单问题．；
学习重、难点：1．等比数列的前n项和公式；等比数列的前n项和公式推导；
2．灵活应用公式解决有关问题。
二．学习过程：1.首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质．
（
2.探究：已知等比数列的首项a1，公比q，项数n(或n项an)，求它的前n项和Sn的计算公式．
一种推导思想:错位相减，Sn=a1＋a2＋…＋an-1＋an=a1＋a1q＋…＋a1qn-2＋a1qn-1．
在 等号两边乘以q，得
qSn=a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn． 将两式的两端分别相减，就可消去这些共同项，
． 得(1－q)Sn=a1－a1qn．
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
还有没有其他都推导方法？
三． 反思总结：
四 当堂检测：（1）求等比数列，，，…的前8项的和；
（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
课后练习与提高：
选择题：
1. 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( )
A 33 B 72 C 84 D 189
2． 等比数列中, 则的前项和为（ ）
A. B. C. D.
3．在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前项之和为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题：
1. 已知：a1=2，S3=26．则q=----------
2．已知三数成等比数列，若三数的积为125，三数的和为31，则三数为------
三解答题：
设数列，求这个数列的前项和。
参考答案: 当堂检测
§2.5 等比数列的前n项和(一)
课时目标
1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．
2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中
A＝.
3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( )
A．11 B．5
C．－8 D．－11
答案 D
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
答案 D
解析 由题意知公比q≠1，＝
＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5
＝1＋25＝33.
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( )
A．2 B．4
C. D.
答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
方法二 S4＝，a2＝a1q，
∴＝＝.
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，
∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋k)－(3n－1＋k)
＝3n－3n－1＝2·3n－1.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2，
∴k＝－1.
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513 C．512 D．510
答案 D
解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
得方程组，解得或.
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.
二、填空题
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
答案 －
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
答案 3
解析 S6＝4S3?＝?q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)．
∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
答案 10
解析 Sn＝，∴－341＝，
∴q＝－2，又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，
∴n＝10.
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
答案 2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
∴an＝2n－1，n∈N*.
三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组
得①
或②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
12．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
解 分x＝1和x≠1两种情况．
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得Sn＝
.
能力提升
13．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝54，S2n＝60，求S3n.
解 方法一 由题意Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴62＝54(S3n－60)，∴S3n＝.
方法二 由题意得a≠1，∴Sn＝＝54 ①
S2n＝＝60 ②
由②÷①得1＋qn＝，
∴qn＝，∴＝，
∴S3n＝＝(1－)＝.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， ①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2. ②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．
2.5 等比数列的前n项和?
2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用?
从容说课
师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.?
等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得,?
再由分式性质，得,整理得.?
教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.?
教学重点 1.等比数列前n项和公式的推导;?
2.等比数列前n项和公式的应用.?
教学难点 等比数列前n项和公式的推导.?
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等??
三维目标
一、知识与技能?
1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；?
2.探索并掌握等比数列前n项和公式；?
3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；?
4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.??
二、过程与方法?
1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.??
三、情感态度与价值观?
1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；?
2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；?
3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？
生 知道一些，踊跃发言.?
师 “请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.??
师 假定千粒麦子的质量为40 g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？?
生 各持己见.动笔，列式，计算.?
生 能列出式子：麦粒的总数为?
1+2+22+…+263=??
师 这是一个什么样的问题？你们计算出结果了吗？让我们一起来分析一下.
课件展示：?
1+2+22+…+2 63=?
师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.?
现在我们来思考一下这个式子的计算方法：?
记S=1+2+22+23+…+2 63，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
课件展示：?
S=1+2+22+23+…+2 63,①?
2S=2+22+23+…+263+264,②?
②-①得?
2S-S=2 64-1.?
264-1这个数很大，超过了1.84×10 19，假定千粒麦子的质量为40 g，那么麦粒的总质量超过了7 000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.?
推进新课
［合作探究］?
师 在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？?
师 这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.?
生 观察、独立思考、合作交流、自主探究.?
师 若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？?
生 q+q2+…+qn+q n+1.?
生 每一项就成了它后面相邻的一项.?
师 对上面的问题的解决有什么帮助吗？?
师 生共同探索：?
如果记Sn=1+q+q2+…+qn,?
那么qSn=q+q2+…+qn+q n+1.?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn.?
师 提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.?
生 如果q≠1，则有.?
师 当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.?
生 如果q＝1，那么Sn=n.?
师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？
课件展示：?
a1+a2+a3+…+an=？
［教师精讲］?
师 在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.?
师 在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.?
如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,?
那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.?
师 再次提醒学生注意q的取值.?
如果q≠1，则有.?
师 上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：?
如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,?
那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,?
要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.?
如果q≠1，则有.?
师 上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.
形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.
值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.?
师 现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？
生 独立思考、合作交流.?
生 如果q＝1，Sn=na1.?
师 完全正确.?
如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？怎么解释？?
生 正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.?
师 对了，这就是认清了问题的本质.?
师 等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：??
［合作探究］?
思路一：根据等比数列的定义，我们有：,?
再由合比定理，则得,?
即,?
从而就有(1-q)Sn=a1-anq.?
(以下从略)?
思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得?
Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an),?
从而得(1-q)Sn=a1-anq.?
(以下从略)?
师 探究中我们们应该发现，Sn-S n-1?=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？?
生 n＞1.?
师 对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-S n-1=an，n＞1.?
师 综合上面的探究过程，我们得出：?
或者
［例题剖析］?
【例题1】 求下列等比数列的前8项的和：?
(1),,,…；?
(2)a1=27,a9=,q＜0.?
［合作探究］?
师生共同分析：?
由(1)所给条件，可得，,求n＝8时的和，直接用公式即可.?
由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而?a9=a1q8，所以由条件可得q8= =，再由q＜0，可得，将所得的值代入公式就可以了.?
生 写出解答：?
(1)因为,，所以当n＝8时，.?
(2)由a1=27,，可得，?
又由q＜0，可得,?
于是当n＝8时，.?
【例题2】 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)？?
师 根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.?
生 理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.?
解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.?
于是得到,?
整理得1.1n=1.6,?
两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,?
用计算器算得≈≈5(年).?
答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.?
练习：?
教材第66页，练习第1、2、3题.??
课堂小结
本节学习了如下内容：?
1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.?
2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.?
在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业
课本第69页习题2.5 A组第1、2、3题.??
板书设计
等比数列前n项和公式的推导与应用
等比数列的前n项和公式?
情境问题的推导 一般情形的推导? 例1
练习：(学生板演) 例2
练习：(学生板演)
课件41张PPT。【思考】【点拨】 等比数列的前n项和公式的基本运算
【名师指津】等比数列的前n项和公式的应用.
(1)已知a1,an,n或a1,q,n都可求得等比数列的前n项和Sn.
(2)在等比数列的前n项和公式中，共有a1，an，q，n，Sn这五个量，已知其中任何三个量，都可以求其余两个量.(3)关于等比数列的前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q，从而求出通项公式，此类问题中经常使用整体代换的思想.
【特别提醒】凡涉及等比数列的前n项和问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.【例1】在等比数列{an}中，
（1）S2=30,S3=155,求Sn；
（2）a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q.
【审题指导】由题目可知（1）中S2=30,S3=155，可利用等比数列的前n项和公式列出方程组求出a1和q.对于（2），由a1+an =66，a2an-1=128，可利用等比数列的性质转换，列出方程组，求得a1和an，从而求得q.【规范解答】（1）由题意知
解得
从而Sn= ×5n+1- 或Sn= （2）因为a2an-1=a1an=128，所以a1，an是方程x2-66x+128=0
的两根.从而
又Sn= =126，所以
所以q为2或【互动探究】若本例（1）中的条件不变，如何求数列{an}
的通项公式呢？
【解题提示】由S2=30,S3=155，利用等比数列的前n
项和公式列出方程组，求出a1和q即可得出通项公式.
【解析】由题意知
解得
从而an=5n或an=180×（ ）n-1.【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1=3，an=96，Sn=189，求n.
【解析】由a1=3,an=96,知q≠1,所以由Sn=
可得189= 解得q=2.又an=a1qn-1，
∴96=3·2n-1，即2n-1=32，∴n-1=5，即n=6. 等比数列前n项和的性质应用
【名师指津】等比数列前n项和的性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇=q;
②若共有2n+1项，则S奇-S偶= (q≠1且q≠-1).（2）数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和（且Sn≠0），则：Sn，S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列，其公比为qn(q≠-1).
（3）若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn-A（A≠0, q≠0且q≠1），则数列{an}是等比数列.【例2】各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，求S4n的值.
【审题指导】题目中给出了等比数列中的Sn=2，S3n=14等已知量，欲求S4n的值，可充分利用等比数列前n项和的性质求解.【规范解答】方法一：设等比数列的公比为q，因为S3n=14
≠3Sn，所以q≠1，由题意得：
Sn= =2 （1）
S3n= =14 （2），
得q2n+qn+1=7，即q2n+qn-6=0，变形得
（qn+3）（qn-2）=0，由于数列各项均为正数，所以qn+3＞0，
所以qn-2=0，从而qn=2，解得q= 所以a1=
所以S4n= =2×15=30.方法二:由方法一知qn=2.又因为S4n= =
=Sn+qnS3n =2+2×14=30.
方法三：由于S3n=（a1+a2+a3+…+an）+(an+1+an+2+…+a2n)
+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）=Sn+qnSn+q2nSn=Sn（1+qn+q2n）,
所以q2n+qn-6=0.因为an＞0，所以qn=2，所以S4n=Sn+qnS3n
=2+2×14=30.方法四：∵{an}为各项均为正数的等比数列，
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比数列，
又Sn=2，S3n=14，∴（S2n-Sn）2=Sn·（S3n-S2n），即
（S2n-2）2 =2×（14-S2n），解得S2n=6，同理可解得S4n=30.【变式训练】已知等比数列{an}中，前10项和S10=10，前20项和S20=30，求S30.
【解题提示】利用等比数列前n项和的性质.
【解析】方法一:设等比数列的公比为q，易知q≠1,则
得1+q10=3，
∴q10=2，∴S30=
∴S30=10×（1+2+4）=70.方法二：∵数列{an}为等比数列，∴S10，S20-S10，S30-S20仍成等比数列，又S10=10，S20=30，
∴S30-S20=S30-30= 即S30=70. 等比数列前n项和公式的实际应用
1.“零存整取”的计算.
“零存整取”是单利计算，属于等差数列求和问题.其本利和为S=p（1+nr），其中p代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，简称本利和.【名师指津】2.“定期自动转存”的问题.
“定期自动转存”是复利计算，属于等比数列求通项问题，到期后的本利和为S=p（1+r）n，其中p代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.3.应用数列知识解决实际问题的步骤.
(1)根据实际问题提取数据；
(2)建立数据关系,对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；
(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合要修改关系；
(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论.
【特别提醒】注意复利计算是求等比数列的第n项，而不是求和.【例】某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2011年起，每年年初到银行存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2021年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
【审题指导】由题目可知每年年初存入a元，年利率为p，应按复利计算，由此可先建立递推关系，再进一步求本利和.【规范解答】从2011年年初到2012年年初有本利和
b1=a(1+p)元，设第n年年初有本利和bn元，第n+1年年初有
bn+1元，则有bn+1=(bn+a)(1+p).将之变形为
bn+1+ =(1+p)［bn+ ］,其中b1+
∴ 是以 为首项，（1+p）为公比的等
比数列，于是bn＝ ［(1+p)n+1-(1+p)］.
即这个家庭到2021年年初本利可达
［(1+p)11-(1+p)］元.【变式备选】现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按利率10%的复利计算，试比较两种方案哪种获利更多？（精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)【解析】甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为
1+30%的等比数列，其和为
1+（1+30%）+(1+30%)2+…+(1+30%)9= ≈42.63(万元),
到期时银行贷款的本利和为
10（1+0.1）10≈10×2.594=25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42.63-25.94≈16.7(万元).乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，其和为
1+1.5+…+(1+9×0.5)= =32.50(万元)，
而贷款本利和为1.1×［1+(1+10%)+…+（1+10%）9］
=1.1× ≈17.53(万元).
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32.50-17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利. 【典例】（12分）求数列1,3a,5a2,7a3，…,(2n-1)an-1的前n项和（a≠0）.
【审题指导】由题目可知数列的通项公式an=(2n-1)an-1，每一项可分为两个因式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可利用错位相减法求数列的和.【规范解答】当a=1时,数列变为1,3,5,7，…，2n-1，则
Sn= ………………………………………4分
当a≠1时，有
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+ (2n-1)an-1， （1）
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+ (2n-1)an （2）
………………………………………………………………6分(1)-(2)得：
Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2a4+…+ 2an-1-（2n-1）an， ……8分
即（1-a）Sn=1+ -（2n-1）an
∴Sn= ………………………10分
综上 ………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】求和：1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1（x≠0）.
【解析】令Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1(x≠0),
若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=
若x≠1，则Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1 （1）
两边同乘以x得：
xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn （2）（1）-（2）得（1-x）Sn= 1+x+x2+x3+…+xn-1-nxn=
-nxn.
∵x≠1，∴1-x≠0,∴Sn=
综上，Sn=1.等比数列{an}的公比q=2，首项a1=1，则Sn等于（ ）
（A）2n+1 （B）2n-1
（C）n2+n （D）n2
【解析】选B.Sn= =2n-1.2.在等比数列{an}中，公比q=-2，S5=22，则a1的值等于
（ ）
（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2
【解析】选D. ∵q=-2，S5=22,∴22= 解得a1=2.3.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则公比q等于（ ）
（A）2 （B）-2 （C）3 （D）-3
【解析】选A.由题意得S3=21≠3a1，所以公比q≠1,
∴ =21，解得q=2或q=-3，由于等比数列{an}的各项都为正数，∴q=2.4.等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=4，S4=40，则S6=______.
【解析】∵数列{an}为等比数列，
∴S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，
则（S4-S2）2=S2（S6-S4），
∴（40-4）2=4（S6-40），解得S6=364.
答案：3645.在等比数列{an}中，公比q是正整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则S5=__________.
【解析】由题意得 解得q1=2,q2= （舍去）,
q3=-1（舍去），∴q=2，a1=2，
∴S5= =62.
答案：626.求x+x2+x3+…+xn(x≠0).
【解析】令S=x+x2+…+xn,当x=1时，S=nx=n;
当x≠1时，S=
∴S=课时训练13 等比数列的前n项和
一、等比数列前n项和公式的应用
1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( )
A.31 B.33 C.35 D.37
答案:B
解析:∵S5=1,∴a1(1-25)1-2=1,即a1=131.
∴S10=a1(1-210)1-2=33.
2.设首项为1,公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
答案:D
解析:Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an,
故选D.
3.(2018福建厦门高二期末,7)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若27a2-a5=0,则S4S2等于( )
A.-27 B.10 C.27 D.80
答案:B
解析:设等比数列{an}的公比为q,
则27a2-a2q3=0,解得q=3,
∴S4S2=a1(1-q4)1-q·1-qa1(1-q2)=1+q2=10.故选B.
4.(2018课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n= .?
答案:6
解析:∵an+1=2an,即an+1an=2,
∴{an}是以2为公比的等比数列.
又a1=2,∴Sn=2(1-2n)1-2=126.
∴2n=64,∴n=6.
5.设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= .?
答案:15
解析:由数列{an}首项为1,公比q=-2,则an=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15.
二、等比数列前n项和性质的应用
6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )
A.180 B.108 C.75 D.63
答案:D
解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).
又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.
7.已知数列{an},an=2n,则1a1+1a2+…+1an= .?
答案:1-12n
解析:由题意得:数列{an}为首项是2,公比为2的等比数列,由an=2n,得到数列{an}各项为:2,22,…,2n,所以1a1+1a2+…+1an=12+122+…+12n.所以数列1an是首项为12,公比为12的等比数列.则1a1+1a2+…+1an=12+122+…+12n=121-12n1-12=1-12n.
8.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,Sn=126,求n和q.
解:∵a2an-1=a1an,∴a1an=128.
解方程组a1an=128,a1+an=66,得a1=64,an=2,①或a1=2,an=64.②
将①代入Sn=a1-anq1-q=126,可得q=12,
由an=a1qn-1,可得n=6.
将②代入Sn=a1-anq1-q=126,可得q=2,
由an=a1qn-1可解得n=6.
综上可得,n=6,q=2或12.
三、等差、等比数列的综合应用
9.已知数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,设cn=abn,Tn=c1+c2+…+cn,当Tn>2 013时,n的最小值为 ( )
A.7 B.9 C.10 D.11
答案:C
解析:由已知an=2n-1,bn=2n-1,
∴cn=abn=2×2n-1-1=2n-1.
∴Tn=c1+c2+…+cn=(21+22+…+2n)-n=2×1-2n1-2-n=2n+1-n-2.
∵Tn>2 013,
∴2n+1-n-2>2 013,解得n≥10,
∴n的最小值为10,故选C.
10.已知公差不为0的等差数列{an}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.
(1)求an;
(2)若bn=2an,求{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由S7=7(a1+a7)2=77可得7a4=77,则a1+3d=11 ①.
因为a1,a3,a11成等比数列,所以a32=a1a11,整理得2d2=3a1d.
又d≠0,所以2d=3a1 ②,
联立①②,解得a1=2,d=3,所以an=3n-1.
(2)因为bn=2an=23n-1=4·8n-1,所以{bn}是首项为4,公比为8的等比数列.
所以Tn=4(1-8n)1-8=23n+2-47.
(建议用时:30分钟)
1.在等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,则n的值为( )
A.5 B.4 C.6 D.7
答案:C
解析:显然q≠1,由an=a1·qn-1,得96=3×qn-1.
又由Sn=a1-anq1-q,得189=3-96q1-q.
∴q=2.∴n=6.
2.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1,S3,S2成等差数列,则{an}的公比等于( )
A.1 B.12 C.-12 D.1+52
答案:C
解析:设等比数列{an}的公比为q,
由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,
解得q=-12或q=0(舍去).故选C.
3.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( )
A.2 B.12 C.4 D.14
答案:C
解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.
4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=( )
A.11 B.5 C.-8 D.-11
答案:D
解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,
则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.
∴S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=-11.
5.设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是 ( )
A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)
答案:D
解析:Sn=X,S2n-Sn=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,
不妨取等比数列{an}为an=2n,
则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,
∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.
6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于 .?
答案:6
解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=2(1-2n)1-2=2(-1+2n)≥100,
∴2n≥51,
∴n≥6.
7.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列1an的前5项和为 .?
答案:3116
解析:易知公比q≠1.
由9S3=S6,得9×a1(1-q3)1-q=a1(1-q6)1-q,
解得q=2.
∴1an是首项为1,公比为12的等比数列.
∴其前5项和为1-1251-12=3116.
8.在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4,则公比q= ;|a1|+|a2|+…+|an|= .?
答案:-2 2n-1-12
解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=12×2n-1,
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=12(1+2+22+…+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,a3+a4=17.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=2an+2,证明数列{bn}是等比数列并求其前n项和Tn.
(1)解:设等差数列{an}的公差为d.
由题意知a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,a2=a1+d=4,
解得a1=1,d=3,
∴an=3n-2(n∈N*).
(2)证明:由题意知,bn=2an+2=23n(n∈N*),
bn-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),
∴bnbn-1=23n23n-3=23=8(n∈N*,n≥2),
又b1=8,∴{bn}是以b1=8,公比为8的等比数列.
∴Tn=8×(1-8n)1-8=87(8n-1).
10.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),且1a1,1a2,1a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N*,试比较1a2+1a22+1a23+…+1a2n与1a1的大小.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意可知1a22=1a1·1a4,
即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,
因为d≠0,∴d=a1=a.
故通项公式an=na.
(2)记Tn=1a2+1a22+…+1a2n,
因为a2n=2na,
所以Tn=1a12+122+…+12n
=1a·121-12n1-12=1a1-12n.
从而,当a>0时,Tn<1a1;
当a<0时,Tn>1a1.
课件33张PPT。2．5 等比数列的前n项和 自主学习 新知突破1．理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程．
2．掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用．
3．能够运用错位相减法对数列求和．等比数列的前n项和公式1．等比数列前n项和公式推导的方法是什么？
教材中用错位相减法推导出等比数列的前n项和公式．错位相减法是数列求和的一种基本方法．它适用于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和．1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前6项的和为( )
A．63 B．64
C．127 D．128
答案： A
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析： 3S3－3S2＝3a3＝a4－a3?a4＝4a3?q＝4.
答案： B
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40.求公比q，a1及n.合作探究 课堂互动 等比数列前n项和的基本运算 在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn； 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 等比数列前n项和性质的运用 在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30.
[思路点拨] 本题解题的基本方法是用方程思想列式求解，还可用等比数列前n项和的性质求解． 等比数列前n项和有关的性质应用
(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)，这一性质可直接应用．
2．(1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4可为________；
(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求公比q.
解析： (1)S2，S4－S2，S6－S4是公比为q2的等比数列，
∴(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，
即(S4－7)2＝7×(91－S4)，
解得S4＝28或S4＝－21.
∵S4＝S2·(1＋q2)>0.
∴S4＝28.答案： (1)28用错位相减法求数列的和 求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn. (1)一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
(2)①运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论．
②在写Sn和qSn表达式时，应特别注意“错项对齐”，以便于下一步准确写出Sn. 3．求数列{(2n－1)an－1}(a≠0)的前n项和．◎已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S7＝10，S21＝70，则S28＝________.【错因】 将等比数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m(Sm≠0)成等比数列，误记为Sm，S2m，S3m成等比数列．
【正解】 因为{an}为等比数列，所以S7，S14－S7，S21－S14，S28－S21也为等比数列．则(S14－S7)2＝S7·(S21－S14)
即(S14－10)2＝10(70－S14)
解得S14＝30或S14＝－20.
当S14＝30时，S28＝150；
当S14＝－20时，S28＝－200.
答案： －200或150谢谢观看！
