2.5.2等比数列的前n项和(2)教案
教材分析:本节知识是必修5第二章第5节的学习内容,是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。
●教学目标
知识与技能:掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思
教学目标:
知识与技能:会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的/中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力
过程与方法:通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
情感态度与价值观:通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度.
●教学重点
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
●教学难点
灵活使用公式解决问题
学情分析:在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上,进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。
●教学过程
一.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容:等比数列的前n项和公式:
当/时,/ ① 或/ ②
当q=1时,/
当已知/, q, n 时用公式①;当已知/, q, /时,用公式②
二.讲授新课
1、等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别是Sn,S2n,S3n,
求证:/
2、设a为常数,求数列a,2a2,3a3,…,nan,…的前n项和;
(
三.例题讲解
例1已知等比数列/中, /,求/.
设问1:能否根据条件求/和q ? 如何求? 一定要求q吗?(基本量的确定)
设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列? (探究等比数列内在的联系)
设问3:若题变: 数列/是等比数列,且/求/
/
引导学生归纳:若/是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为/,公比为/的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)
[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量/然后再求和,其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广,注意培养学生思维的严谨性.
例2.某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定,购买时先支付货款的/,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%
到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?
假设货主每月还商店/元,写出在第i(i=1,2,/36)个月末还款后,货主对商店欠款数的表达式.
每月的还款额为多少元(精确到0.01)?
引导学生,认真阅读题目,理解题意,
月底等额还款,即每月末还款数一样,
月底还款后的欠款数/与第i-1个月底还款后的欠款数/的关系是第/,(学生分析)
三年内还清转化为数学语言是: /
解(1)因为购买电脑时,货主欠商店/的货款,即6000/=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.
(2)设第i个月底还款后的欠款数为y/,则有
y/=4000(1+0.5%)-/
y/=y/(1+0.5%)-/
=4000(1+0.5%)/-/(1+0.5%)-/
y/=y/(1+0.5%)-/
y/=y/(1+0.5%)-/
=4000(1+0.5%)/-/(1+0.5%)/-/(1+0.5%)-/
/
y/=y/(1+0.5%)-/=4000(1+0.5%)/-/(1+0.5%)/
-/(1+0.5%)/- / -/,
整理得
y/ =4000(1+0.5%)/-/.(/=1,2,/36)
(3)因为y/=0,所以
4000(1+0.5%)/-/=0
即每月还款数
/=/(元)
所以每月的款额为121.69元.
[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等;
理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答.
例3.求Sn=(x+/)+(x2+/)+…+(xn+/)(y/)。
解:当x/1,y/1时,
Sn=(x+x2+…+xn)+(/+/)=/
当x=1,y/1时 Sn=n+/
当x/1,y=1时 Sn=/
当x=y=1时 Sn=2n
四 反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测:
1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额/将是多少?
2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的/,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元)
数学建模的方法;
关注学生解题的规范性,准确度及速度.
五.课后小结 (引导学生归纳,教师提炼)
(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题;
(2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.
六.教学反思 :
本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。
板书:略
2.5.2等比数列的前n项和(2)学案
课前预习学案
一.预习目标:会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的/中知道三个数求另外两个数的一些简单问题;提高分析、解决问题能力
二.预习内容:课本64——65的例2,例3
三、提出疑惑
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标:1.通过公式的灵活运用,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
2.通过公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度.
重点:进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
难点:灵活使用公式解决问题
学习过程:自主学习:首先回忆一下前一节课所学主要内容:等比数列的前n项和公式:
合作探究:1、等比数列前n项,前2n项,前3n项的和分别是Sn,S2n,S3n,
求证:/
2、设a为常数,求数列a,2a2,3a3,…,nan,…的前n项和;
反思:
当堂检测:
1.设{an}为等比数列,Sn=a1+…an,则在数列{Sn} 中 ( )
(A)任何一项均不为零 (B)必有一项为零
(C)至多有一项为零 (D)或有一项为零,或有无穷多项为零
2.数列{an}是正项等比数列,它的前n项和为80,其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560,求它的前100项的和。
课后练习与提高:
选择题:
1. 已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.
[ ]
A.是等比数列
B.当p≠0时是等比数列
C.当p≠0,p≠1时是等比数列
D.不是等比数列
2.设等比数列的前n项和为/,若/:/=1:2,则/:/
= ( )
A. 3:4 B. 2:3 C. 1:2 D. 1:3
3.设数列{an}是公比为a,首项为的等比数列,是其前项和,对任意的自然数n,点(/)所在直线方程是
A. y=ax-b B. y=ax+b C. y=bx+a D.y=bx-a
二。填空题:
4 . 三个正数a,b,c成等比数列,且a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为
5.. 设等比数列/的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为——
三.解答题:
已知数列{an}满足a1=1,a2=-/,从第二项起,{an}是以/为公比的等比数列,{an}的前n项和为Sn,试问:S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列?为什么?
参考答案:
当堂检测: 1.D
2. S2n>Sn, ∴q/1 // ②/①,得qn=81 ③∴q>1,故前n项中an最大。③代入①,得a1=q-1
又由an=a1qn-1=54,得81a1=54q ∴a1=2,q=3 ∴S100=
§2.5 等比数列的前n项和(二)
课时目标
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
2.能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
1.等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn==;当q=1时,Sn=na1.
2.等比数列前n项和的性质:
(1)连续m项的和(如Sm、S2m-Sm、S3m-S2m),仍构成等比数列.(注意:q≠-1或m为奇数)
(2)Sm+n=Sm+qmSn(q为数列{an}的公比).
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列,则=q.
3.解决等比数列的前n项和的实际应用问题,关键是在实际问题中建立等比数列模型.
一、选择题
1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于( )
A.33 B.72 C.84 D.189
答案 C
解析 由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3,得q+q2-6=0.∵q>0,∴q=2.∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.
2.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为( )
A.1.14a B.1.15a C.10a(1.15-1) D.11a(1.15-1)
答案 D
解析 注意去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=11a(1.15-1).
3.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{}的前5项和为( )
A.或5 B.或5 C. D.
答案 C
解析 若q=1,则由9S3=S6得9×3a1=6a1,
则a1=0,不满足题意,故q≠1.
由9S3=S6得9×=,
解得q=2.
故an=a1qn-1=2n-1,
=()n-1.
所以数列{}是以1为首项,为公比的等比数列,其前5项和为
S5==.
4.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A.300米 B.299米 C.199米 D.166米
答案 A
解析 小球10次着地共经过的路程为100+100+50+…+100×8=299≈300(米).
5.在等比数列中,S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于( )
A.90 B.70 C.40 D.30
答案 C
解析 q≠1 (否则S30=3S10),
由,∴,
∴,∴q20+q10-12=0.
∴q10=3,∴S20==S10(1+q10)
=10×(1+3)=40.
6.某企业在今年年初贷款a万元,年利率为γ,从今年年末开始每年偿还一定金额,预计五年内还清,则每年应偿还( )
A.万元 B.万元
C.万元 D.万元
答案 B
解析 设每年偿还x万元,则:x+x(1+γ)+x(1+γ)2+x(1+γ)3+x(1+γ)4=a(1+γ)5,
∴x=.
二、填空题
7.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为________.
答案
解析 由已知4S2=S1+3S3,即4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3).
∴a2=3a3,
∴{an}的公比q==.
8.在等比数列{an}中,已知S4=48,S8=60,则S12=
________________________________________________________________________.
答案 63
解析 方法一 ∵S8≠2S4,∴q≠1,
由已知得
由②÷①得
1+q4=,∴q4= ③
将③代入①得=64,
∴S12==64(1-)=63.
方法二 因为{an}为等比数列,
所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),
所以S3n=+S2n,
所以S12=+S8=+60=63.
9.一个蜂巢里有一只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了2个伙伴;第2天,3只蜜蜂飞出去,各自找回了2个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有________只蜜蜂.
答案 729
解析 每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列,a1=3,q=3,∴第6天所有蜜蜂归巢后,蜜蜂总数为a6=36=729(只).
10.某工厂月生产总值的平均增长率为q,则该工厂的年平均增长率为________.
答案 (1+q)12-1
解析 设第一年第1个月的生产总值为1,公比为(1+q),该厂第一年的生产总值为S1=1+(1+q)+(1+q)2+…+(1+q)11.
则第2年第1个月的生产总值为(1+q)12,
第2年全年生产总值S2=(1+q)12+(1+q)13+…+(1+q)23=(1+q)12S1,
∴该厂生产总值的平均增长率为=-1=(1+q)12-1.
三、解答题
11.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨,该矿区计划从2018年开始出口,当年出口a吨,以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2018年为第一年,设第n年出口量为an吨,试求an的表达式;
(2)因稀土资源不能再生,国家计划10年后终止该矿区的出口,问2018年最多出口多少吨?(保留一位小数)
参考数据:0.910≈0.35.
解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列,且首项a1=a,公比q=1-10%=0.9,∴an=a·0.9n-1 (n≥1).
(2)10年的出口总量S10==10a(1-0.910).
∵S10≤80,∴10a(1-0.910)≤80,
即a≤,∴a≤12.3.
故2018年最多出口12.3吨.
12.某市2008年共有1万辆燃油型公交车,有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%,试问:
(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车?
(2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的?(lg 657=2.82,lg 2=0.30,lg 3=0.48)
解 (1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an},其中a1=128,q=1.5,则在2015年应该投入的电力型公交车为a7=a1·q6=128×1.56=1 458(辆).
(2)记Sn=a1+a2+…+an,
依据题意,得>,
于是Sn=>5 000(辆),即1.5n>.
两边取常用对数,则n·lg 1.5>lg ,
即n>≈7.3,又n∈N+,因此n≥8.
所以到2016年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
能力提升
13.有纯酒精a L(a>1),从中取出1 L,再用水加满,然后再取出1 L,再用水加满,如此反复进行,则第九次和第十次共倒出纯酒精________L.
答案 8
解析 用{an}表示每次取出的纯酒精,a1=1,加水后浓度为=1-,a2=1-,加水后浓度为=2,a3=2,
依次类推:a9=8,a10=9.
∴8+9=8.
14.现在有某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元,两方案使用期都是10年,到期后一次性归还本息,若银行贷款利息均按本息10%的复利计算,试比较两种方案谁获利更多?(精确到千元,数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)
解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1,公比为1+30%的等比数列,其和为
1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9=≈42.63(万元),
到期时银行贷款的本息为
10(1+0.1)10≈10×2.594=25.94(万元),
∴甲方案扣除贷款本息后,净获利约为
42.63-25.94≈16.7(万元).
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列,
1+1.5+…+(1+9×0.5)
=
=32.50(万元),
而贷款本利和为
1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]
=1.1×
≈17.53(万元).
∴乙方案扣除贷款本息后,净获利约为
32.50-17.53≈15.0(万元),
比较得,甲方案净获利多于乙方案净获利.
1.准确理解等比数列的性质,熟悉它们的推导过程是记忆的关键.用好其性质也会降低解题的运算量,从而减少错误.
2.利用等比数列解决实际问题,关键是构建等比数列模型.要确定a1与项数n的实际含义,同时要搞清是求an还是求Sn的问题.
2.5.2 求数列前n项和知识的运用?
从容说课
上节课师生共同分析探究了等比数列的前n项和公式,从多种角度探索了等比数列前n项和公式的推导方法,在此基础上,这节课会进一步将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式综合在一起应用成为可能.?
等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量,将两个公式结合起来,已知其中三个量可求另两个量,即已知a1,an,q,n,Sn五个量中的任意三个,就可以求出其余的两个量,这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大,训练要控制难度和复杂程度,要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.?
求数列前n项和,不仅仅是数学中的数列知识的演绎,更主要的是实际生活中的许多等比数列问题需要用数列的知识加以解决.例如,教育储蓄问题、住房贷款问题等等,都是与数列求和有关的生活中的实际问题.通过数列知识在现实生活中广泛的应用,使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等比数列模型的过程,探索并掌握其中的一些基本的数量关系,感受数列这种特殊的数学模型的广泛应用,在运用它解决一些实际问题的过程中更多地体会数学的应用价值.同时,在解决问题的过程中也能对学生的价值观和世界观的培养有着积极的影响,充分发挥数学的教育功能.?
教材例题3设计了一个与计算机相呼应的空间,明确指出:计算机可以帮助我们求一般数列的和.教师要让学生体会到循环结构既可用于数列描述,又可用于数列求和.从这里我们应该认识到,教材的设计和安排给学生和教师都留下了一定的空间,这个空间需要我们把握好,充实好.因此,这里需要适当地安排对一般数列求和的习题和练习,使学生对一般数列的求和有个简单的认识.?
数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法的思想等),这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术,还应给予学生充分的探索空间.?
教学重点 1.求数列前n项和知识的灵活运用.?
2.运用数列这个特殊的数学模型解决生产实际和社会生活中的实际问题.?
教学难点 运用数列模型解决生产实际和社会生活中相应的问题.?
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等??
三维目标
一、知识与技能?
1.用方程的思想认识等比数列前n项和公式,利用公式知三求一;?
2.用等比数列前n项和公式和有关知识解决现实生活中存在着大量的数列求和的计算问题;
3.将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.??
二、过程与方法?
1.采用启发、引导、分析、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.给学生充分的独立思考、合作交流、自主探究的机会;?
3.进行严谨科学的解题思想和解题方法的训练.??
三、情感态度与价值观?
1.通过数学本身知识的演绎推理和运算,提高学生深化对知识的理解和运用的水平以及将知识融汇贯通的能力;?
2.在独立思考、合作交流、自主探究中提高解题技能;?
3.在研究解决生产实际和社会生活中的实际问题的过程中了解社会、认识社会,形成科学的世界观和价值观.??
教学过程
导入新课
师 你知道我国银行中有一种专门的储蓄业务叫做“教育储蓄”吗??
生 根据自己所知道的,说出自己对“教育储蓄”的理解.(很可能是很笼统的、见字释义的理解)?
师 出示投影胶片1:银行关于教育储蓄的管理办法(节选)
管理办法?
第七条 教育储蓄为零存整取定期储蓄存款.存期分为一年、三年和六年.最低起存金额为50元,本金合计最高限额为2万元.开户时储户应与金融机构约定每月固定存入的金额,分月存入,中途如有漏存,应在次月补齐,未补存者按零存整取定期储蓄存款的有关规定办理.?
第八条 教育储蓄实行利率优惠.一年期、三年期教育储蓄按开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计息;六年期按开户日五年期整存整取定期储蓄存款利率计息.?
第十一条 教育储蓄逾期支取,其超过原定存期的部分,按支取日活期储蓄存款利率计付利息,并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.?
第十二条 教育储蓄提前支取时必须全额支取,提前支取时,储户能提供“证明”的,按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税;储户未能提供“证明”的,按实际存期和支取日活期储蓄存款利率计付利息,并按有关规定征收储蓄存款利息所得税.
师 着重引导学生注意关键的内容.?
生 理解文件中的内容.?
师 这是一个关系到我国每一个家庭的社会生活中的实际问题,其中大部分的计算都是用数列的知识.现在我们就来一起探索其中的数学内容.??
推进新课
[例题剖析]?
师 出示投影胶片2:课本第70页B组题第4题:
例1 思考以下问题:?
(1)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元??
(2)依教育储蓄的方式,每月存a元,连续存3年,到期(3年)或6年时一次可支取本息共多少元??
(3)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期(3年)时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元??
(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元,每月应存入多少元??
(5)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元,每月应存入多少元??
(6)依教育储蓄方式,原打算每月存100元,连续存6年,可是到了4年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元??
(7)依教育储蓄方式,原打算每月存a元,连续存6年,可是到了b年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元??
(8)不用教育储蓄方式,而用其他的储蓄方式,以每月可存100元,6年后使用为例,探讨以现行的利率标准可能的最大收益,将得到的结果与教育储蓄比较.
[合作探究]?
师 要解决上面的这些问题,我们必须要了解一点银行的业务知识,据调查,银行整存整取定期储蓄存款利率计算公式是这样的:?
若每月固定存a元,连续存n个月,则计算利息的公式为×月利率.?
师 你能解释这个公式的含义吗??
生 独立思考、合作交流、自主探究.?
师 (在学生充分探究后揭示)设月利率为q,?
则这个公式实际上是数列:aq,2aq,3aq,…,naq,…的前n项和.?
这个数列的项不正是依次月数的利息数??
这个数列具有什么特征呢??
生 发现等差关系.?
师 用我们的数学语言来说,这是个首项为aq,公差为aq的等差数列,而不是一个等比数列.从这个公式中我们知道,银行整存整取定期储蓄存款利率计算不是按复利(利生息——利滚利)计算的.?
我们把这样的计算利息的方法叫做按单利(利不生息——利不滚利)计算.?
这是我们在计算时必须弄明白的,否则,我们计算的结果就会与银行计算的实际结果不一致.
师 我们还需要了解银行的三年期、五年期的整存整取的存款利率,以及三年期零存整取的存款利率和利息税率:?
三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%;?
五年整存整取存款年利率为2.79%,月利率为0.232 5%;?
三年期零存整取存款年利率为1.89%,月利率为0.157 5%;?
利息税率为20%.?
师 下面我们来看第一个问题的结果.?
生 计算,报告结果.?
师 生共同解答:?
(1)解:因为三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%,故依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期一次可支取本息共?
×0.21%+1 800=1 869.93(元).?
因为五年整存整取存款年利率为2.79%,月利率为0.232 5%,故依教育储蓄的方式,若每月存入每月存50元,连续存6年,到期一次可支取本息共?
×0.232 5%+3 600=3 905.50(元).?
(2)每月存入每月存a元,连续存3年,到期一次可支取本息共?
×0.21%+36a(元).?
若每月存入每月存a元,连续存6年,到期一次可支取本息共?
×0.232 5%+72a(元).?
(3)因为三年期零存整取存款年利率为1.89%,月利率为0.157 5%,故每月存50元,连续存3年,到期一次可支取本息共?
×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元).?
比教育储蓄的方式少收益27.97(元).?
(4)设每月应存入x元,由教育储蓄的计算公式得?
×0.21%+36x=10 000.?
解得x≈267.39(元),即每月应存入267.39(元).?
(5)设每月应存入x元,由教育储蓄的计算公式得?
×0.21%+36x=10 000a.?
解得x= =267.39a,即每月应存入267.39a(元).?
(6)根据银行出台的教育储蓄《管理办法》,需要提前支取的,在提供证明的情况下,按实际存期和开户日同期同档次整存整取定期储蓄存款利率计付利息,并免征储蓄存款利息所得税.故该学生支取时,应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.由计算公式得?
×0.21%+4 800=5 046.96(元).?
(7)与第6小题类似,应根据实际存期进行同档次计算.?
一到两年的按一年期整存整取计息.一年期整存整取存款年利率为1.98%,月利率为0.165?%,故当b=1或2时,由计算公式得?
×0.165%+12ab(元).?
当b=3或4或5时,应按照三年期整存整取存款年利率为2.52%,月利率为0.21%进行计算.根据计算公式得?
×0.21%+12ab(元).?
(8)此题可以选择多种储蓄方式,学生可能提供多个结果,只要他们计算方式符合规定的储蓄方式即可.教师可以组织学生讨论,然后选择一个最佳答案.?
[概括总结]?
师 在我们上述探究问题的过程中,我们学到了许多课本上没有的东西,增长了一些银行存款的知识.我们可以用这些知识去规划一下自己将来接受教育的存款计划,并与家长商量,看能不能付诸于现实;我们也可以为身边的亲朋好友当个小参谋,把你学到的知识讲解给他们听一听,看他们能不能接受你的意见和建议.?
从生产实际和社会生活中,我们还能寻找到更多的探究题材,只要我们做个有心人,我们学到的知识就能与生产实际与社会生活紧密的结合起来.?
说明:此例文字量大,阅读理解能力要求较高,但是弄通问题的基本含义后,因为其蕴含的数学知识和方法并不深奥,计算量也不大,所以可以说是一个非常好的探究性问题.可以猜想,这也是普通高中新课程标准推崇它作为一个典型例题的理由.?
师 下面的问题需要我们用更多的数学知识才能解决它.?
出示投影胶片3:
例2 你能估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积吗??
出示多媒体图片1:?
师 如图,为了估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积x,把x轴上的区间[0,3]分成n等份.从各分点作y轴平行线与图象相交,再从各交点向左作x轴平行线,构成(n-1)个矩形.下面用程序来计算这(n-1)个矩形的面积的和S.?
SUM?=0?
K?=1?
INPUT?请输入将[0,3]分成的份数n:”;N?
WHILE k<=N-1?
AN?=(9-(k*3/n)^2)*3/N?
SUM=SUM=AN??
PRINT k,AN,SUM??
K=k=1??
WEND?
END??
阅读程序,回答下列问题:?
(1)程序中的AN,SUM分别表示什么,为什么??
(2)请根据程序分别计算当n=6,11,16时,各个矩形的面积的和(不必在计算机上运行程序).
师 你能回答第一个问题吗??
生 AN表示第k个矩形的面积,SUM表示前k个矩形面积的和.?
生 当把x轴上的区间[0,3]分成n等份时,各等份的长都是.?
理由是:各分点的横坐标分别是?
, ,…,.?
从各分点作y轴平行线与y=9-x2图象相交,交点的纵坐标分别是?
, ,…,.?
它们分别是各个相应矩形的高,所以各个矩形面积分别是?
,,…, .?
师 对学生的思考给予高度的赞扬.?
师 当我们把x轴上的区间[0,3]分成n等份时,按照上面的作图方法,我们得到了函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域内的n-1个矩形.?
师 想一想,这个由各个矩形面积组成的数列的前n-1项和如何求.?
生 自主探究.?
列式:?
=
=.?
师 引导学生整理所列出的式子,得到上述最后一道式子.?
师 求和时遇到了12+22+…+n2的计算问题,这也是一个求数列前n项和的问题.?
关于这个问题,我们只要求大家知道,这是求数列:12,22,32,…,n2,…的前n项和的问题.由于这个数列不是等差数列,也不是等比数列,因此不能用已经推导出来的等差数列前n项和公式与等比数列前n项和公式.而这个和的计算,要求同学们记得它的计算公式.?
即要求记住:12+22+…+n2=.?
关于这个公式的推导过程,我们可以作为知识拓展的材料,放在课外进行探究性学习.?
师 运用这个公式,请把上面的n-1个矩形面积的和计算出来.?
生 继续运算.?
Sn-1= {9(n-1)-( )2[12+22+…+(n-1)2]}?
=[9(n-1)-( )2]?
=.?
师 明确一下计算结果,再继续带领学生一起理解第2小题的含义并得出结果.?
师 根据程序,当n=6时,5个矩形的面积的和就是输入N=6,SUM的最后一个输出值,?SUM?=15.625.?
那么当n=11时,10个矩形的面积的和就是N=11时,SUM的最后一个输出值,即?SUM=16.736;?
当n=16时,我们就得到15个矩形面积的和SUM=17.139.?
当n=17时,SUM的最后一个输出值是多少??
生 n=17时,SUM的最后一个输出值SUM=17.190.?
师 你是怎么计算n=17时,SUM的最后一个输出值的呢??
生 是用上面推导出来的计算公式:.?
当n=500时,SUM的最后一个输出值SUM=??
当n=1 000时,SUM的最后一个输出值SUM=??
生 用公式,不难算出n=500时,SUM=17.973;n=1 000时,SUM=17.986.
师 在计算n=500与n=1 000时的最后一个输出值SUM时,为什么用上面推导出来的公式而不用程序中的步骤呢??
师 这是因为公式用起来很方便,只要给出上一个n的值,就可以代入公式,一下子得出结果.另一方面,程序设计的是一个递推的循环结构.它在上机运行时,对于每个给定的n,都要从k=1依次循环到k=N-1,这是同学们在没有上机条件时很难做到而又没有必要做到的事.?
师 至此,你能估计出函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积了??
生 由n=500与n=1 000时的最后一个输出值SUM,可以估计,这个面积大约是18.?
师 一个非常准确的结果!?
[教师精讲]?
师 通过本例的探索,我们来归纳一下收获:?
1.本例中,程序使用了Sn的递推公式,即
这个递推公式的推导,同学们可以自己去思考一下;?
2.需要同学们必须想到的是,这个公式还有一个非常重要的作用,那就是:它给我们提供了求数列的首项和第n项的办法,即?
3.关于估计函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积,这里采用的是无限逼近的思想,即[0,3]区间分得越细,前k个矩形面积的和SUM就越接近函数y=9-x2在第一象限的图象与x轴、y轴围成的区域的面积.教材中已经在用旁白告诉我们,用微积分的知识可得x=18,而我们的估计值也是18,可见我们的估计非常准确.??
课堂小结?
本节学习了如下内容:?
1.教育储蓄中的有关计算.?
2.用计算机程序计算数列的和.??
布置作业?
课本第69页习题2.5第4、5题.??
板书设计
求数列前n项和知识的运用
问题情境导引 例1 例2
课件37张PPT。2.5等比数列的前n项和练习(二) 求数列的通项公式
【名师指津】累加法求数列的通项公式.
对于数列{an},若an+1-an=f(n+1),则
a2-a1=f(2)
a3-a2=f(3)
a4-a3=f(4)
… …
an-an-1=f(n)各等式相加得:
an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+…+f(n)
∴an=f(2)+f(3)+f(4)+…+f(n)+a1.
此方法称为累加法.若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和.
【特别提醒】应用累加法的最终目的是求an,因此要注意n的取值范围,防止出现累加相消后求an+1或an-1的情况.【例1】已知数列{an}中,a1=7,a2=9,前n项和Sn满足Sn+
Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),试求数列{an}的通项公式.
【审题指导】由题目中给出的Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),可得出an与an-1的关系式,再进一步求an即可.
【规范解答】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)得
Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3).
∵an=Sn-Sn-1
∴an=an-1+2n-1(n≥3).即an-an-1=2n-1(n≥3).又a2-a1=9-7=2
∴an-an-1=2n-1(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)
+a1=2n-1+2n-2+…+21+7
= +7=2n+5.
故数列{an}的通项公式为an=2n+5.【互动探究】在本例中若条件改为a1=9,a2=11,其他条件不变,又该如何求通项公式呢?
【解题提示】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),得出an与an-1的关系式,再进一步求an.
【解析】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)得
Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3).
∵an=Sn-Sn-1,
∴an=an-1+2n-1(n≥3).即an-an-1=2n-1(n≥3).又a2-a1=11-9=2,∴an-an-1=2n-1(n≥2).
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+21+9
= +9=2n+7.
故数列{an}的通项公式为an=2n+7. 等比数列的证明
【名师指津】等比数列证明的常用方法.
(1)定义法
(2)等比数列的性质和常用结论
(3)构造新数列法【例2】若数列{an}首项为1,且2an+1-an=2,求证:数列{an-2}是等比数列.
【审题指导】题目中给出了a1的值以及2an+1-an=2这一关系式,欲证明数列{an-2}是等比数列,需利用2an+1-an=2进行适当变形,构造出an+1-2=k(an-2)的形式.【规范解答】由2an+1-an=2,得an+1= an+1,
∴an+1-2= (an-2),而a1=1,故an-2≠0,
∴ 又a1-2=-1,
∴数列{an-2}是首项为-1,公比为 的等比数列. 【变式训练】设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n=
(b-1)Sn.当b=2时,试证明数列{an-n·2n-1}是等比数列.
【证明】由题意得a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,ban+1-2n+1=
(b-1)Sn+1,两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)·an+1,
即an+1=ban+2n ①
当b=2时,由①知an+1=2an+2n.于是an+1-(n+1)·2n
=2an+2n-(n+1)2n=2(an-n·2n-1),又因为a1-1×21-1 =1≠0,
即 所以数列{an-n·2n-1}是首项为1,公比为
2的等比数列. 有关分期付款问题
【名师指津】解决分期付款问题的两种处理办法.
(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n项,并由此归纳出数列的通项的一般表达式;
(2)以贷款和存款的增值两条线索分别计算,并由它们的相对平衡(或大小)建立方程(或不等式)求解.【例】陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元,一次性国家
财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,陈老师已有现金28 800
元,尚缺10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷.陈老师
从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,试问每月应支付
多少元?
(不满百元凑足百元,lg1.01≈0.004 3,lg1.061≈0.025 7, lg1.07≈0.029 4)【审题指导】由题目知陈老师以复利借贷10 000元,且月利率为1%,可以以陈老师的欠款为主线计算,也可以假设陈老师是每个月将一固定数目的金额以相同的条件存入银行,最后一次还清贷款.
【规范解答】方法一:设每个月还贷a元,第1个月后欠款为a0元,以后第n+1个月还贷a元后,还剩下欠款an元(1≤n≤6),则a0=10 000,a1=1.01a0-a,
a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a, ……
a6=1.01a5-a=1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a.由题意可知a6=0,
即1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a=0,
a= 又因为lg1.016=6lg1.01≈0.025 8,
所以1.016≈1.061,a= ≈1 800.
答:每月应支付1 800元.
方法二:一方面,借款10 000元,将此借款以相同的条件
存储6个月,则它的本利和为
S1=104(1+0.01)6=104×1.016(元).另一方面,设每个月还贷a元,分6个月还清,到贷款还清
时,其本利和为
S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a
= =a(1.016-1)×102.
由S1=S2,得a=
以下解法同方法一,得a≈1 800.
答:每月应支付1 800元.【变式备选】某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?
【解题提示】由题目可知张教授以复利贷款2万元且年利率为10%,可以等额分10次存入银行,最后一次还清贷款;也可以以张教授的欠款为主线计算.【解析】方法一:设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下:
第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清;
第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;
第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;
…第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和
为x(1+10%)9元.
依题意得:
x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20 000(1+10%)10
解得x= ≈3 255(元).
答:每年应还3 255元.方法二:第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
20 000(1+10%)-x=20 000×1.1-x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行
[20 000(1+10%)-x](1+10%)-x=20 000×1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后,还欠银行
20 000×1.110-1.19x-1.18x-…-x,依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得
20 000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,
解得x= ≈3 255(元).
答:每年应还3 255元. 【典例】(12分)(2011·山东高考)等比数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.
【审题指导】由题目表中的数据,可确定数列{an}的首项和公比,故可求数列{an}的通项公式;欲求数列{bn}的前n项和Sn,需从bn=an+(-1)nlnan入手,利用拆项分组求和的方法进行即可.【规范解答】(1)当a1=3时,不合题意;
当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;
当a1=10时,不合题意; ……………………2分
因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3.
故an=2·3n-1. ………………………………………4分(2)因为bn=an+(-1)nlnan=2·3n-1+(-1)nln(2·3n-1)
=2·3n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]
=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3, …………6分
所以Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n]
(ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3 ……………8分
所以当n为偶数时,Sn=2× + ln3=3n+ ln3-1;当n为奇数时,Sn=2× -(ln2-ln3)+( -n)ln3
=3n- ln3-ln2-1. ……………………………………10分
综上所述,
Sn= ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:【即时训练】在本例条件不变的情况下,求数列{bn}的前
2n项和S2n.
【解析】由典例解答可知,bn=2·3n-1+(-1)n(ln2-ln3)
+(-1)nnln3,
所以S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+
(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln3
=2× +nln3=32n+nln3-1.1.设等比数列的前三项依次为 则它的第四项是
( )
(A)1 (B) (C) (D)
【解析】选A.a4=a3q=a3 =1.2.等比数列{an}中, a2=2, a5= 则公比q=( )
(A) (B)-2 (C)2 (D)
【解析】选D.∵a5=a2q3,∴ =2q3,∴q= 3.等比数列{an}中,已知前4项和为1,前8项和为17,则此等比数列的公比为( )
(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)2或-1
【解析】选C.由 得 =16,q=±2.4.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 =______.
【解析】
答案: 5.在1和128之间插入6个数,使它们与这两个数成等比数列,则这6个数的和为_________.
【解析】由a8=a1q7,得128=q7,
∵27=128,∴q=2,S6= =27-2=126.
答案:1266.设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn,已知a3=2,
S4=5S2,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0且q≠1,Sn= 则
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0.(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,
因为q<1,解得q=-1或q=-2.
当q=-1时,代入①得a1=2,通项公式an=2×(-1)n-1;
当q=-2时,代入①得a1=
通项公式an= ×(-2)n-1,
综上,当q=-1时,an=2×(-1)n-1,
当q=-2时,an= ×(-2)n-1.课时训练14 数列求和
/
一、分组求和
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12 C.-12 D.-15
答案:A
解析:∵an=(-1)n(3n-2),
则a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),则an为( )
A.
??(??-1)
2
+2n-1-1 B.
??(??-1)
2
+2n-1
C.
??(??+1)
2
+2n+1-1 D.
??(??-1)
2
+2n+1-1
答案:B
解析:∵an+1=an+n+2n,∴an+1-an=n+2n.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]
=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)
=1+
(??-1)??
2
+
2(1-
2
??-1
)
1-2
=
??(??-1)
2
+2n-1.
3.(2018广东湛江高二期末,19)已知数列{an}为等差数列,a5=5,d=1;数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式an,bn;
(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)∵数列{an}为等差数列,a5=5,d=1,
∴a1+4=5,解得a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n.
∵数列{bn}为等比数列,b4=16,q=2,
∴b1·23=16,解得b1=2,∴bn=2×2n-1=2n.
(2)∵cn=an+bn=n+2n,
∴Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)
=
??(??+1)
2
+
2(1-
2
??
)
1-2
=
??
2
+??
2
+2n+1-2.
二、裂项相消法求和
4.数列{an}的通项公式an=
1
1+2+3+…+??
,则其前n项和Sn=( )
A.
2??
??+1
B.
??+1
2??
C.
(??+1)??
2
D.
??
2
+??+2
??+1
答案:A
解析:∵an=
1
1+2+3+…+??
=
2
??(??+1)
=2
1
??
-
1
??+1
,
∴Sn=a1+a2+…+an
=2
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
??
-
1
??+1
=2
1-
1
??+1
=
2??
??+1
.
5.
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2??-1)(2??+1)
= .?
答案:
??
2??+1
解析:∵
1
(2??-1)(2??+1)
=
1
2
1
2??-1
-
1
2??+1
,
∴
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
(2??-1)(2??+1)
=
1
2
1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2??-1
-
1
2??+1
=
1
2
1-
1
2??+1
=
??
2??+1
.
6.(2018山东省潍坊四县联考,17)等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn.等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求数列
1
??
??
的前n项和Tn.
解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,
由已知可得
??+3+3+??=12,
??
2
=3+2??,
又q>0,∴
??=3,
??=3,
∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.
(2)由(1)知数列{an}中,a1=3,an=3n,
∴Sn=
??(3+3??)
2
,∴
1
??
??
=
2
??(3+3??)
=
2
3
1
??
-
1
??+1
,
∴Tn=
2
3
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
??
-
1
??+1
=
2
3
1-
1
??+1
=
2??
3(??+1)
.
三、错位相减法求和
7.数列
2
2
,
4
2
2
,
6
2
3
,…,
2??
2
??
,…前n项的和为 .?
答案:4-
??+2
2
??-1
解析:设Sn=
2
2
+
4
2
2
+
6
2
3
+…+
2??
2
??
,0①
1
2
Sn=
2
2
2
+
4
2
3
+
6
2
4
+…+
2??
2
??+1
,0②
①-②得
1-
1
2
Sn=
2
2
+
2
2
2
+
2
2
3
+
2
2
4
+…+
2
2
??
?
2??
2
??+1
=2-
1
2
??-1
?
2??
2
??+1
.∴Sn=4-
??+2
2
??-1
.
8.(2018湖北高考,文19)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=
??
??
??
??
,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)由题意有,
10
??
1
+45??=100,
??
1
??=2,
即
2
??
1
+9??=20,
??
1
??=2,
解得
??
1
=1,
??=2,
或
??
1
=9,
??=
2
9
.
故
??
??
=2??-1,
??
??
=
2
??-1
,
或
??
??
=
1
9
(2??+79),
??
??
=9·
2
9
??-1
.
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=
2??-1
2
??-1
,
于是Tn=1+
3
2
+
5
2
2
+
7
2
3
+
9
2
4
+…+
2??-1
2
??-1
,0①
1
2
Tn=
1
2
+
3
2
2
+
5
2
3
+
7
2
4
+
9
2
5
+…+
2??-1
2
??
.0②
①-②可得
1
2
Tn=2+
1
2
+
1
2
2
+…+
1
2
??-2
?
2??-1
2
??
=3-
2??+3
2
??
,故Tn=6-
2??+3
2
??-1
.
/
(建议用时:30分钟)
1.数列{an}的通项公式是an=
1
??
+
??+1
,若前n项和为10,则项数为( )
A.11 B.99 C.120 D.121
答案:C
解析:∵an=
1
??
+
??+1
=
??+1
?
??
,
∴Sn=a1+a2+…+an=(
2
-1)+(
3
?
2
)+…+(
??+1
?
??
)=
??+1
-1,令
??+1
-1=10,得n=120.
2.已知数列{an}的通项公式an=
2
??
-1
2
??
,其前n项和Sn=
321
64
,则项数n等于( )
A.13 B.10 C.9 D.6
答案:D
解析:an=
2
??
-1
2
??
=1-
1
2
??
.
∴Sn=n-
1
2
1-
1
2
??
1-
1
2
=n-1+
1
2
??
=
321
64
=5+
1
64
,
∴n=6.
3.数列{an}的通项公式an=ncos
??π
2
,其前n项和为Sn,则S2 012等于( )
A.1 006 B.2 012 C.503 D.0
答案:A
解析:∵函数y=cos
??π
2
的周期T=
2π
π
2
=4,
∴可分四组求和:
a1+a5+…+a2 009=0,
a2+a6+…+a2 010=-2-6-…-2 010=
503×(-2-2 010)
2
=-503×1 006,
a3+a7+…+a2 011=0,
a4+a8+…+a2 012=4+8+…+2 012=
503×(4+2 012)
2
=503×1 008.
故S2 012=0-503×1 006+0+503×1 008
=503×(-1 006+1 008)=1 006.
4.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则
??
1
2
+
??
2
2
+…+
??
??
2
等于( )
A.(2n-1)2 B.
1
3
(2n-1)
C.4n-1 D.
1
3
(4n-1)
答案:D
解析:根据前n项和Sn=2n-1,可求出an=2n-1,
由等比数列的性质可得{
??
??
2
}仍为等比数列,且首项为
??
1
2
,公比为q2,
∴
??
1
2
+
??
2
2
+…+
??
??
2
=1+22+24+…+22n-2
=
1
3
(4n-1).
5.已知数列{an}:
1
2
,
1
3
+
2
3
,
1
4
+
2
4
+
3
4
,
1
5
+
2
5
+
3
5
+
4
5
,…,那么数列{bn}=
1
??
??
??
??+1
前n项的和为( )
A.4
1-
1
??+1
B.4
1
2
-
1
??+1
C.1-
1
??+1
D.
1
2
?
1
??+1
答案:A
解析:∵an=
1+2+3+…+??
??+1
=
??(??+1)
2
??+1
=
??
2
,
∴bn=
1
??
??
??
??+1
=
4
??(??+1)
=4
1
??
-
1
??+1
.
∴Sn
=4
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
??
-
1
??+1
=4
1-
1
??+1
.
6.如果lg x+lg x2+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x= .?
答案:2 046
解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,
∴55lg x=110.∴lg x=2.
∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.
7.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81.若数列{bn}满足bn=log3an,则数列
1
??
??
??
??+1
的前2 013项的和为 .?
答案:
2 013
2 014
解析:
??
4
??
1
=q3=27,∴q=3.
∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.∴bn=log3an=n.
∴
1
??
??
·
??
??+1
=
1
??(??+1)
=
1
??
?
1
??+1
,
∴数列
1
??
??
·
??
??+1
的前2 013项的和为:
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2 013
-
1
2 014
=1-
1
2 014
=
2 013
2 014
.
8.已知等比数列{an}的各项都为正数,且当n≥3时,a4·a2n-4=102n,则数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an的前n项和Sn等于 .?
答案:1+(n-1)·2n
解析:∵{an}是等比数列,∴a4a2n-4=
??
??
2
=102n.
∴an=10n,∴2n-1lg an=n·2n-1.
利用错位相减法求得Sn=1+(n-1)2n.
9.正项数列{an}满足:
??
??
2
-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=
1
(??+1)
??
??
,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)由
??
??
2
-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正项数列,所以an=2n.
(2)由an=2n,bn=
1
(??+1)
??
??
,
则bn=
1
2??(??+1)
=
1
2
1
??
-
1
??+1
,
Tn=
1
2
1-
1
2
+
1
2
?
1
3
+…+
1
??-1
?
1
??
+
1
??
?
1
??+1
=
1
2
1-
1
??+1
=
??
2(??+1)
.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.
当n=1时,4×1-1=3.
所以an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.