第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第1课时
【授课类型】新授课
【教学目标】
1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学重点】同目标2
【教学难点】同目标3
【教学过程】
1、情境导入
在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。
2、展示目标
下面我们首先来看在本课时应掌握哪些东西，掌握到什么程度
（1）理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
（2）能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
（3）能用不等式（组）正确表示出不等关系。
3、检查预习
（1）用不等式表示不等关系
限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
4、合作探究
（2）用不等式表示不等关系
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
5、交流展示
引例：b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 。
6、精讲精练
例题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则。
例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解：设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
7、反馈测评
(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
(2)课本P82的练习1、2
8、课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
9、评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
【板书设计】
【授后记】
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系学案
第1课时
【教学目标】
1．理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；
2．能用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
3．能用不等式（组）正确表示出不等关系。
【教学重点】同目标2
【教学难点】同目标3
请同学们阅读课本内容，完成下列题目：
用不等式表示不等关系
1、限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：
2、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示
3、b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 。
精讲精练
例题1：设点A与平面的距离为d,B为平面上的任意一点，则————
例题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
例题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
反馈测评
(1)试举几个现实生活中与不等式有关的例子。
(2)课本P82的练习1、2
课时小结
用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。
评价设计
课本P83习题3.1[A组]第4、5题
答案：
精讲精练
例题1：
例题2：
解：设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
例题3：
解：假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负。
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第2课时
【授课类型】新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即若
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即若
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即若
2.讲授新课
1、不等式的基本性质：
师：同学们能证明不等式的基本性质吗？
证明：
，
∴．
实际上，我们还有，
证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．
根据两个正数的和仍是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0，即a－c＞0，∴a＞c．
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：
1）∵a＞b， ∴a+c＞b+c ①
∵c＞d， ∴b+c＞b+d ②
由①、②得 a＋c＞b＋d．
2）
3）反证法）假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、已知求证。
证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2
解：(x+5)(x+7)-(x+6)2
=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0
所以：(x+5)(x+7)<(x+6)2
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
【板书设计】
【教学后记】
第三章不等式
§3.1不等式与不等关系
第2课时
【授课类型】新授课
【教学目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【教学重点】
掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【教学难点】
利用不等式的性质证明简单的不等式。
【教学过程】
1.课题导入
在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；
即______________
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；
即______________
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
即______________
2.讲授新课
1、不等式的基本性质
请同学们证明下列不等式
(1)
(2)
于是，我们就得到了不等式的基本性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
2、探索研究
思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：
（1）；
（2）；
（3）。
证明：（1）
（2）
（3）
[范例讲解]：
例1、已知求证 。
3.随堂练习1
1、课本P82的练习3
2、在以下各题的横线处适当的不等号：
(1)（＋）2 ６＋2；
（2）（－）2 （－1）2；
（3） ；
(4)当a＞b＞0时，loga logb
[补充例题]
例2、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。
随堂练习2
比较大小：(x+5)(x+7)与(x+6)2
4.课时小结
本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论
5.评价设计
课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题
答案：
课题导入：
1、
2、
3、
（2）；
证明：
（3）。
反证法：假设，
则：若这都与矛盾，
∴．
[范例讲解]：
例1、证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
随堂练习1
答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜
[补充例题]
例2、解：由题意可知：
（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）
＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）
＝－７＜0
∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）
随堂练习2
解：(x+5)(x+7)-(x+6)2
=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0
所以：(x+5)(x+7)<(x+6)2
第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a
(2)符号表示
a－b>0?a>b；
a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b?b(2)a>b，b>c?a>c(传递性)；
(3)a>b?a＋c>b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(5)a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2?an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2?>.
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
答案 C
解析 对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )
A．a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
答案 D
解析 取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，
∴>>a.
3．已知a、b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
答案 C
解析 对于A，当a<0，b<0时，a2对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.
4．若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．aC．b答案 C
解析 ∵令t＝ln x，则－1∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b.
5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
答案 D
解析 由a>|b|得－a∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对．
可取特值，如a＝2，b＝－1，
a3＋b3＝7>0，故B错．
而a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．
6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
答案 A
解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，
又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A.
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．
答案 [－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．
答案 f(x)>g(x)
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
∴f(x)>g(x)．
9．若x∈R，则与的大小关系为________．
答案 ≤
解析 ∵－＝＝≤0，
∴≤.
10．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
答案 A>B
解析 A＝，B＝.
∵＋<＋，并且都为正数，∴A>B.
三、解答题
11．设a>b>0，试比较与的大小．
解 方法一 作差法
－＝
＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
答案 A
解析 方法一 特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二 作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a－b，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a＋b－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)
＝2>0，
∴a1b1＋a2b2>.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解 ∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．
3.1 不等关系与不等式
3.1.1 不等关系与不等式（一）??
从容说课
通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的基础，也是不等关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的基础.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感基础.?
根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行启发式教学并使用投影仪辅助.?
教学重点 1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；?
2.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；?
3.理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.?
教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；?
2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.?
教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺??
三维目标
一、知识与技能?
1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；?
2.了解不等式或不等式组的实际背景；?
3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.??
三、情感态度与价值观?
1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课?
师 日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？?
生 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.?
生 实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xa＜xb.?
(老师协助画出数轴草图)
生 实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.?
实例4:两点之间线段最短.?
实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.?
(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)??
推进新课
师 同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.?
(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)
实例6:限时40 km/h?的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.?
实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.
［过程引导］?
师 能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢??
生 可以用不等式或不等式组来表示.?
师 什么是不等式呢??
生 用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.?
（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）?
师 能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.?
（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）?
［合作探究］?
生 我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来.?
师 说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢??
（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）?
生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.?
生 可以表示为x≥0.?
（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）?
（老师顺便画出三角形草画）?
生 |AC|+|BC|＞|AB|
(只需结合上述三角形草图).?
生 |AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.?
生 |AB|-|BC|＜|AC|、|AC|-|BC|＜|AB|、|AB|-|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.?
生 如果用v表示速度，则v≤40 km/h.?
生 f≥2.5%或p≥2.3%.?
(此时,一片安静,同学们在积极思考)?
生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，即可以表示为
生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.?
师 同学们看这两位同学的观点是否正确??
生 (齐答)大家齐声说，都可以.?
师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.??
课堂练习?
教科书第83页练习1、2.?
(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）?
【问题1】 设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.?
［活动与探究］?
师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.?
(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)?
［方法引导］?
师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以??
(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A作AC⊥平面α于点C，则d=|AC|≤|AB|.?
师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.?
师 请同学们继续来处理问题2.?
［合作探究］?
【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢??
生 可设杂志的定价为x元，则销售量就减少万本.?
师 那么销售量变为多少呢？如何表示？?
生 可以表示为万本，则总收入为万元.?
〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为x≥20〕?
师 是否有同学还有其他的解题思路？?
生 可设杂志的单价提高了0.1n元，(n∈N *)，?
（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）?
师 为什么可以这样设？?
生 我只考虑单价的增量.?
师 很好，请继续讲.?
生 那么销售量减少了0.2n万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.?
师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.?
（留下让学生思考的时间）?
师 请同学们继续思考第三个问题.?
［合作探究］?
【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式??
师 假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？?
生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.?
生 截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.?
生 截得两种钢管的数量都不能为负.?
师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？?
生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.?
生 由实际问题的意义，还应有x,y∈N.?
师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？?
生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：?
师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.??
课堂练习?
练习：若需在长为4 000 mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组??
分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学化地表示出来就是：?
（练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y∈N）??
课堂小结
师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？?
生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.?
生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.?
生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.?
师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.?
（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力）???
布置作业
第84页习题3.1A组4、5.??
板书设计
不等关系与不等式（一）
实例? 方法引导 方法归纳
如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结
实际问题中不等量关系？ 示范解题
备课资料
一、备用习题?
1.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.现有库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.?
分析：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则
2.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用.若每人承担12元人民币，则多余84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上.问该班共有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来，不必解答.?
分析：设该班共有x人，这笔开学费用共y元，则.?
3.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.?
分析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，?
由题意，知
4.某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在两个车间都需经过1.6 h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.?
分析：设该企业分别生产A产品x件、B产品y件，则
二、课外探究?
开放性问题?
已知：不等式组你能举出符合此不等式组的实际问题吗？
3.1.2 不等关系与不等式（二）??
从容说课
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.为了利用不等式更好地研究不等关系，也能够让学生在以后的解不等式以及对不等式的证明奠定一定的理论基础.在本节课的学习过程中将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.了解不等式的一些基本性质并能给出严格的理论证明，能用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明，进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.这是学习本节课的目的也是本节课的内容安排在本章的地位与作用.对实数基本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴数形结合，做好归纳总结.对不等式的基本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的基本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学生体会研究不等式基本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感基础.?
根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、交流、探究，得出不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质进行一些简单的不等式证明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
教学重点 1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小；?
2.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些基本性质；?
3.能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.?
教学难点 1.用实数的基本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；?
2.利用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式.?
教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺??
三维目标
一、知识与技能?
1.利用数轴，数形结合回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小与用实数的基本理论来证明不等式的一些性质;?
2.通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些基本性质;?
3.在了解不等式一些基本性质的基础之上能利用它们来证明一些简单的不等式.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学;??
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用;?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.??
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯;?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量;?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课
师 上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要对不等式的性质有必要的了解.??
推进新课
师 我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？?
生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.?
师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？?
（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习）?
师 一般地说，不等式的基本性质有三条：?
性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）
性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）?
性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）?
［过程引导］?
师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演）??
性质1：a＜b?a+c＜b+c（或a-c＜b-c）；a＞b?a+c＞b+c（或a-c＞b-c）.?
性质2：a＜b且c＞0ac＜bc(或)；a＞b且c＞0?ac＞bc(或).?
性质3：a＜b且c＜0ac＞bc(或)；a＞b且c＜0?ac＜bc(或).?
（用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）?
师 性质2、性质3两条性质中，对a、b、c有什么要求？?
生 对a、b没什么要求，特别要注意c是正数还是负数.?
师 很好，c可以为零吗？?
生 c不能为零.因为c为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.?
师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.?
师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.?
（学生已迫不及待）?
生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.?
（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位）?
师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质.?
（此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）?
［教师精讲］?
师 若点Ａ对应的实数为a，点Ｂ对应的实数为b，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a＞b.a＞b表示a减去b所得的差是一个大于０的数即正数，即a＞ba-b＞0.它的逆命题是否正确？
生 显然正确.?
师 类似地，如果a＜b，则a减去b是负数，如果a=b，则a减去b等于０，它们的逆命题也正确.一般地,?
a＞ba-b＞0;a=ba-b=0;a＜ba-b＜0.?
师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.?
师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？?
生 只要考察它们的差就可以了.?
师 很好.请同学们思考下面这个问题.?
(此时，老师用投影仪给出问题)?
［合作探究］?
【问题1】 已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.?
（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识)??
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：(x2+1)2－x4-x2-1=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2，?
由x≠0，得x2＞0，从而(x2+1)2＞x4+x2+1.?
（学生对x≠0，得x2＞0在说理过程中往往会忽略）?
师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
【例1】 比较下列各组数的大小（a≠b）.?
(1)与 (a＞0,b＞0);?
（2）a4－b4与4a3（a－b）.?
师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.?
解：（1），?
∵a＞0,b＞0且a≠b,∴a+b＞0,(a-b)2＞0.?
∴.?
（2）a4-b4-4a3(a-b)?
=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)?
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)?
=(a-b)［(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)］?
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)?
=-(a-b)2［2a2+(a+b)2］,?
∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号),?
又a≠b,∴(a-b)2＞0,2a2+(a+b)2＞0.?
∴-(a-b)2［2a2+(a+b)2］＜0.?
∴a4-b4＜4a3(a-b).?
师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.??
(此时，老师用投影仪给出下列问题)?
［合作探究］?
【问题2】 求证：（1）a＞b且c＞0ac＞bc；?
（2）a＞b?a+c＞b+c.?
师 请同学们思考第一小问该如何证明？?
生 可用实数的基本性质，∵a＞b,∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，即ac＞bc.?
师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？?
生 ac-bc=(a-b)c，∵a＞b，∴a-b＞0.又∵c＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a-b)c＞0，所以得证.?
师 这位同学证明得是否正确？?
生 正确.?
师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.?
生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.?
师
回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路.?
（按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）?
师 请同学继续思考第二小问该如何证明？?
生 可由结论到条件，a+c-(b+c)=a-b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴a+c＞b+c.?
师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？
生（齐声）没问题.?
师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.?
师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.?
（此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）?
(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)?
［例题剖析］?
已知a＞b＞0,c＜0，求证：.?
师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？?
生 可由条件到结论.∵a＞b＞0，两边同乘以正数，得＞，即＜b.又∵c＜0，∴.?
师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.??
课堂小结?
常用的不等式的基本性质及证明：?
（1）a＞b,b＞c a＞c;?
a＞b,b＞c a-b＞0,b-c＞0 (a-b)+(b-c)＞0a-c＞0?a＞c.?
（2）a＞b?a+c＞b+c;?
a＞ba-b＞0 (a-b)+(c-c)＞0 (a+c)-(b+c)＞0a+c＞b+c.?
（3）a＞b,c＞0ac＞bc;?
a＞b,c＞0a-b＞0,c＞0 (a-b)c＞0ac-bc＞0ac＞bc.?
（4）a＞b,c＜0ac＜bc.?
a＞b,c＜0a-b＞0,c＜0 (a-b)c＜0ac-bc＜0ac＜bc.
布置作业
课本第84页习题3.1?A组3,?Ｂ组1.（3）（4）、2.??
板书设计
不等关系与不等式（二）
引入? 方法引导 方法归纳
不等式和实数的基本性质 实例剖析（知识方法应用） 小结
示范解题
课件31张PPT。【思考】【点拨】 用不等式(组)表示不等关系
【名师指津】1.从数学意义上看,不等关系体现在以下几个方
面:
（1）常量与常量之间的不等关系,如50 g砝码的质量大于10 g砝码的质量;
（2）变量与常量之间的不等关系，如某儿童的身高hm小于或等于1.4m；（3）变量与变量之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于销售成本g(x)；
（4）一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题.
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示.
【特别提醒】在用不等式（组）表示实际问题时一定要注意单位统一.【例1】某厂使用两种零件A、B，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4个A、2个B；组装一件乙需要6个A、8个B.某个月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个.写出满足上述所有不等关系的不等式组.
【审题指导】解答本题可先设出甲、乙两种产品产量分别为x件，y件，然后由不等关系列出不等式组.【规范解答】设甲、乙两种产品产量分别为x件、y件，由
题意列不等式组如下:
即【变式训练】某人有一幢楼房，室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅客客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5人,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3人,每名游客每天住宿费50元;装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修.写出满足上述所有不等关系的不等式组.【解析】设装修大、小客房分别有x间、y间，则
即 比较两数(式)的大小
1.实数的两个特征:
（1）任意实数的平方不小于0，即任意a∈R,则a2≥0;
（2）任意两个实数都可以比较大小.
2.实数比较大小的依据：
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.【名师指津】3.两实数(式子)比较大小的常用方法
(1)作差法（作商法），其主要步骤是:
作差(作商)——变形——判断差的符号（商与1的大小关系）——得出结论，其中变形是关键，通常用配方、因式分解等办法处理，同时注意每一步变形必须是等价变形.作商法适用于要比较的两个数是同号的.
(2)利用函数单调性比较大小,通常要先构造一个函数,再利用单调性.【例2】已知x＞1,比较x3+6x与x2+6的大小.
【审题指导】解答本题可先作差,然后再因式分解进行变形,最后得出结论.
【规范解答】∵(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6
=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6).
又∵x＞1,∴x-1＞0,
又∵x2+6＞0,∴(x-1)(x2+6)＞0.
∴x3+6x＞x2+6.【互动探究】将题目中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3+6x与x2+6的大小.
【解题提示】应对x-1的符号进行讨论.
【解析】(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6
=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6)
∵x2+6＞0.∴当x＞1时,(x-1)(x2+6)＞0,即x3+6x＞x2+6.
当x=1时，(x-1)(x2+6)=0,即x3+6x=x2+6.
当x＜1时，(x-1)(x2+6)＜0,即x3+6x＜x2+6.【例】已知a＞0,b＞0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
【审题指导】因为a＞0,b＞0,而且都是以幂的形式给出，故可考虑利用作商法比较大小.
【规范解答】
①当a＞b＞0时， ＞1，a-b＞0,∴ ＞1;
②当0＜a＜b时，
0＜ ＜1，a-b＜0,∴ ＞1.
综上可得 ＞1,∴aabb＞abba.【变式备选】已知a、b∈(0,+∞),
比较aabb与 的大小.
【解析】∵a、b∈(0,+∞).∴aabb, ∈(0,+∞).
又∵
∴当a＞b＞0时，有 ＞1， ＞0，∴ ＞1.
当0＜a＜b时,有0＜ ＜1, ＜0,∴ ＞1.
当a=b＞0时,有 =1, =0,∴ =1.
故有 ≥1，∴aabb≥ 【典例】（12分）设x＞0,a＞0且a≠1，试比较
|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
【审题指导】这里涉及的字母a为对数的底数，是否一定要
讨论，可选择换底公式回避讨论，可作差，也可作商比较.
【规范解答】由于对数的真数应大于0,则x的范围为
0＜x＜1. ……………………………………… 2分
方法一:|loga(1-x)|-|loga(1+x)|
……………………………………4分∵0＜x＜1,∴1＜1+x＜2,0＜1-x＜1.
∴lg(1+x)＞0，lg(1-x)＜0. ……………………………6分
∴ …8分
∵0＜1-x2＜1,∴lg(1-x2)＜0,
∵|lga|＞0,∴ ＞0. …………………10分
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|. ……………………12分方法二:由于|loga(1-x)|＞0，|loga(1+x)|＞0.
∴ =|log(1+x)(1-x)| ……………………4分
=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) . …………………6分
∵0＜1-x2=(1-x)(1+x)＜1.
∴ ＞1+x,且1+x＞1. ……………………8分
∴log(1+x) ＞log(1+x)(1+x)=1. ……………………10分
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|. ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】设f(x)=1+logx3，g(x)=2logx2，其中x>0且
x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小.
【解析】f(x)-g(x)=logx( x),
logx( x)的正负取决于x、 x与1的大小关系，故需分以
下三种情况讨论.
（1）当 x=1时,即x= 时,logx( x)=0,∴f(x)=g(x).
（2）当01且 x>1,
即0 时,logx( x)>0,∴f(x)>g(x).
（3）当1120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于
10 m，用不等式表示为（ ）
（A）v≤120 km/h且d≥10 m
（B）v≤120 km/h或d≥10 m
（C）v≤120 km/h
（D）d＞10 m
【解析】选A.选项A同时满足题目给出的两个条件，故选A.2.已知0关系是( )
(A)M>N (B)M(C)M=N (D)不能确定
【解析】选A.∵00,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=
>0,故选A.3.若a≠2,则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是（ ）
（A）M>-5 （B）M<-5
（C）M=-5 （D）不能确定
【解析】选A.因为M-(-5)=a2+b2-4a+2b+5
=a2-4a+4+b2+2b+1=(a-2)2+(b+1)2.
又因为a≠2,所以(a-2)2>0,
而(b+1)2≥0,所以(a-2)2+(b+1)2>0,所以M>-5.故选A.4.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水
就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式___________.
【解析】由题意 的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖
(m>0),则糖水就变甜了，说明
答案： (b>a>0,m>0)5.已知x≤1,f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________ g(x).
【解析】f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1)
=3x3-3x2+x-1=3x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x2+1).
∵x≤1,∴x-1≤0.
又∵3x2+1>0,∴(x-1)(3x2+1)≤0,∴f(x)≤g(x).
答案：≤ 6.比较x2-2ax与2a-2a2-3的大小(a,x∈R).
【解析】(x2-2ax)-(2a-2a2-3)
=(x2-2ax+a2)+(a2-2a+1)+2=(x-a)2+(a-1)2+2.
∵(x-a)2≥0,(a-1)2≥0,∴(x-a)2+(a-1)2+2>0,
∴(x2-2ax)-(2a-2a2-3)>0,
∴x2-2ax>2a-2a2-3.课件48张PPT。【思考】【点拨】 利用不等式性质判断命题真假
【名师指津】对不等式性质的一般理解：
（1）性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识.
（2）性质3（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据.（3）性质4（即可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.
（4）性质5（即加法法则），即“同向不等式只能相加，不能相减”.
（5）性质6、7（即乘法法则与乘方法则），即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.（6）性质7、8可并为函数y=xn（n＞0）在（0,+∞）上递增.
【特别提醒】运用不等式的性质处理问题时，应注意每一个不等式性质成立的条件，不能有丝毫的疏忽.【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）若a＜b＜0,则ac＜bc;
（2）若 c≠0,则a＞b;
（3）若a＞b,则
（4）若a＞b,c＞d,则ac＞bd.
【审题指导】解决这类问题，主要是根据不等式的性质进
行判断，其实质就是看是否满足性质所需要的条件.【规范解答】（1）错误.当c≤0时，此命题不成立.
（2）正确.∵c2＞0,在 两边同乘c2,
不等号方向不变，∴a＞b.
（3）错误.a＞b? 成立的条件是ab＞0.
（4）错误.如果当a＞0＞b,0＞c＞d时，此命题就不成立.【变式训练】对于实数a,b,c，下列命题中的真命题是____.
①若a＞b,则ac2＞bc2
②若a＞b＞0,则
③若 ＜0,则a2＜b2
【解析】当c=0时，ac2=bc2,故①为假命题；由a＞b＞0得
ab＞0，故 故②为假命题；∵
∴a＜0,b＜0, ＜0,∴b＜a＜0,
∴a2＜b2,故③为真命题.
答案：③ 利用不等式性质证明不等式
【名师指津】利用不等式的性质证明不等式应注意的问题：
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.【例2】已知a＞b＞0,c＜d＜0.
求证：
【审题指导】本题是考查不等式性质的应用，首先要看证
明不等式需要用到哪几条性质，其次要注意性质成立的条
件是否具备.【规范解答】∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0.
∴ 又a＞b＞0,∴
∴ 即 两边同乘以-1，得【互动探究】若把条件c＜d＜0改为c＞d＞0，结论改为
其他条件不变，应该怎样证明？
【证明】∵a＞b＞0,∴0＜ 即 ＞0.
又c＞d＞0,∴ ＞0,∴【变式训练】已知a＜b＜0,求证：
【证明】∵a＜b＜0,
∴-a＞-b＞0,且ab＞0.∴ ＞0.
∴（-a）·（ ）＞（-b）·（ ）.即 利用不等式性质求取值范围
【名师指津】利用不等式性质求范围
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的问题，对于这类问题要注意：同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.所以我们在解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围，这是避免犯错误的一条有效途径.【特别提醒】解决此类问题，一是要注意题设中的条件；二是要紧扣不等式的性质，合理正确地使用不等式的性质，特别是要注意题目中易忽略的条件.【例3】已知-6＜a＜8,2＜b＜3,分别求2a+b,a-b, 的取值
范围.
【审题指导】欲求a-b的取值范围，应先求-b的取值范围，
欲求 的取值范围，应先求 的取值范围.
【规范解答】∵-6＜a＜8,2＜b＜3,
∴-12＜2a＜16,∴-10＜2a+b＜19,
又∵-3＜-b＜-2,∴-9＜a-b＜6,又（1）当0≤a＜8时，0≤ ＜4;
（2）当-6＜a＜0时，-3＜ ＜0,
由（1）（2）得-3＜ ＜4.
综上可知所求的范围分别为-10＜2a+b＜19,
-9＜a-b＜6,-3＜ ＜4.【变式训练】已知a＞b＞c,a+b+c=0,求 的取值范围.
【解析】∵b=-a-c,∴由a＞b及b＞c得【例】已知 求 的取值范围.
【审题指导】由已知可求出 的范围，再利用性质5来求.
注意是否取等号及条件α＜β的作用.
【规范解答】∵
∴
上面两式相加,得∵ ∴
∴
又知α＜β,∴ ＜0,∴ ＜0.【变式备选】若α,β满足 则2α-β的取值范
围是________.
【解析】∵
∴
∴-π＜α-β＜π.
又∵α＜β,∴α-β＜0,∴-π＜α-β＜0,
又∵ ∴
答案： 利用不等式的性质解决实际应用题
【名师指津】
1.利用不等式的性质来解决应用题的“题眼”是：题目往往是方案决策型的应用题，即有需要比较的几个量，我们只要用字母来表示相关的量，再通过作差法（或作商法）来解决问题即可.2.利用不等式的性质解应用题的步骤是：
（1）仔细阅读题目，准确理解题意；
（2）建立数学模型，并用字母代替题目中的相关量；
（3）利用作差法或作商法来比较大小；
（4）下结论.【例】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍.服务队计划对员工发放奖金共计20 000元，按“技术员工个人奖金”A（元）和“辅助员工个人奖金”B（元）两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍.
注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务.（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；
（2）求本次奖金发放的具体方案.
【审题指导】本题事实上是不定方程问题，根据A，B的范
围与关系，分类讨论，可以确定方案.
【规范解答】（1）设该农机服务队有技术员工x人、辅助
员工y人，
则 解得
∴该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人.（2）由10A+5B=20 000，得2A+B=4 000.
∵A≥B≥800,∴800≤B≤ ≤A≤1 600,
并且A，B都是100的整数倍，
∴∴本次奖金发放的具体方案有3种：
方案一：技术员工每人1 600元、辅助员工每人800元；
方案二：技术员工每人1 500元、辅助员工每人1 000元；
方案三：技术员工每人1 400元、辅助员工每人1 200元；【变式备选】为了更好地治理东湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元.（1）求a,b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理东湖的污水量不低于2 040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.
【解析】（1）（2）设购买污水处理设备A型设备x台，则B型设备为（10-x）台，则12x+10（10-x）≤105,
∴x≤2.5,∵x取非负整数，
∴x=0,1,2.∴有三种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台.（3）由题意：240x+200（10-x）≥2 040,∴x≥1.
又∵x≤2.5,∴x为1，2.
当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；
当x=2时，购买资金为：12×2+10×8=104（万元）.
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台. 【典例】（12分）已知f（x）=ax2-c,且-4≤f（1）≤-1,
-1≤f（2）≤5,求f（3）的取值范围.
【审题指导】在求解与字母有关的代数式的范围时，可以利用整体代换的方法，把要求范围的代数式用已知代数式表示，再利用不等式性质求解.【规范解答】方法一：∵
解得 ……………………2分
∴f（3）=9a-c= f（2）- f（1） …………………4分
∵-1≤f（2）≤5,∴ ……………………6分
又∵-4≤f（1）≤-1.∴ …………………8分
∴ ……………………10分
即-1≤f（3）≤20 ……………………………………12分方法二：设f（3）=mf（1）+nf（2）
=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c …………2分
又f（3）=9a-c ……………………………………4分
由f（3）值的唯一性，比较系数得：
……………………………………6分∵ ……………………………………8分
∴-1≤- f（1）+ f（2）≤20 ………………10分
即-1≤f（3）≤20 ………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】设f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2,
2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.
【解析】设f（-2）=4a-2b=mf(-1)+nf(1)=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+(-m+n)b,
∴
∴f（-2）=3（a-b）+（a+b）.
又∵1≤f（-1）≤2,∴1≤a-b≤2,∴3≤3（a-b）≤6.
同理得：2≤a+b≤4,∴5≤3（a-b）+（a+b）≤10.
即5≤f（-2）≤10. 1.已知a+b＞0,b＜0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（ ）
（A）a＞b＞-b＞-a （B）a＞-b＞-a＞b
（C）a＞-b＞b＞-a （D）a＞b＞-a＞-b
【解析】选C.由a+b＞0知a＞-b,∴-a＜b,又b＜0,
∴-b＞0,∴a＞-b＞b＞-a,故选C.2.设x＜a＜0,则下列不等式一定成立的是（ ）
（A）x2＜ax＜a2 （B）x2＞ax＞a2
（C）x2＜a2＜ax （D）x2＞a2＞ax
【解析】选B.∵x＜a＜0,∴x2＞a2 .
∵x2-ax=x（x-a）＞0,∴x2＞ax.
ax-a2=a（x-a）＞0,∴ax＞a2,
∴x2＞ax＞a2，故选B.3.如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（ ）
（A）a2＞b2 （B）
（C） （D）
【解析】选D.因为y=( )x是减函数，a＞b＞0，∴( )a＜
( )b，故选D. 4.设a＜0,-1＜b＜0,则a,ab,ab2三者的大小关系为_____.
【解析】∵-1＜b＜0,∴b＜b2＜1,
又∵a＜0,∴ab＞ab2＞a.
答案：ab＞ab2＞a5.给出下列命题：①a＞｜b｜?a2＞b2;②a＞b? a3＞b3;
③｜a｜＞b? a2＞b2.其中正确命题的序号是________.
【解析】对于①，a＞｜b｜≥0? a2＞b2成立；对于②，
a＞b时，a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）［（a+ ）2
+ ］＞0成立；对于③，当b＜0时，不一定成立，如
｜2｜＞-3,但｜2｜2＜（-3）2.
答案：①②6.已知a＞b＞0,c＜d＜0,判断 与 的大小.
【解析】∵a＞b＞0,c＜d＜0,∴-c＞-d＞0,
∴a-c＞b-d＞0,∴0＜
又∵a＞b＞0,∴课时训练15 不等关系与不等式
/
一、不等式性质的直接应用与判断
1.若
1
??
<
1
??
<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2C.
??
??
+
??
??
>2 D.
??
??
<1
答案:D
解析:由
1
??
<
1
??
<0可知,b??
??
<1不成立,故选D.
2.(2018山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )
A.a2>b2 B.
1
??
<
1
??
C.
1
??-??
>
1
??
D.a3>b3
答案:D
解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;
B.虽然3>-2,但是
1
3
<
1
-2
不成立;
C.虽然2>-3,但是
1
2-(-3)
>
1
2
不成立;
D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.
∵
??
2
+????+
??
2
=
??+
1
2
??
2
+
3
4
??
2
>0
成立.
综上可知,只有D正确.故选D.
3.已知下列说法:
①若aab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则
??
??
>
??
??
;④若0loga
1+
1
??
其中正确的有 .?
答案:①③④
解析:对于①,由aab,故①正确;
对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;
对于③,当a>b>0时,得0<
1
??
<
1
??
,
又c<0,∴
??
??
>
??
??
,故③正确;
对于④,当01
??
>1,则1+a<1+
1
??
,
∴loga(1+a)>loga
1+
1
??
,故④正确.
二、利用不等式的性质比大小
4.(2018山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:D
解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;
②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;
③a2+b2-ab=
??-
1
2
??
2
+
3
4
b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.
综上可得:①②③都恒成立.故选D.
5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是0( )
A.A≤B B.A≥B
C.AB D.A>B
答案:B
解析:∵A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2-ab+b2=
??-
??
2
2
+
3
4
b2≥0,
∴A≥B.
6.(2018河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v1,下山的速度为v2(v1≠v2),乙上山和下山的速度都是
??
1
+
??
2
2
(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t1,t2的大小关系为 .?
答案:t1>t2
解析:由题意知,甲用的时间t1=
??
??
1
+
??
??
2
=S·
??
1
+
??
2
??
1
??
2
,
乙用的时间t2=2×
??
??
1
+
??
2
2
=
4??
??
1
+
??
2
.
∵t1-t2=S·
??
1
+
??
2
??
1
??
2
?
4??
??
1
+
??
2
=S
??
1
+
??
2
??
1
??
2
-
4
??
1
+
??
2
=S
(
??
1
-
??
2
)
2
??
1
??
2
(
??
1
+
??
2
)
>0.∴t1>t2.
7.已知a,b,x,y均为正实数,且
1
??
>
1
??
,x>y,试判断
??
??+??
与
??
??+??
的大小关系.
解:因为
??
??+??
?
??
??+??
=
????-????
(??+??)(??+??)
,
又
1
??
>
1
??
且a>0,b>0,所以b>a>0.
又x>y>0,所以bx>ay,即bx-ay>0.
又x+a>0,y+b>0,
所以
????-????
(??+??)(??+??)
>0,即
??
??+??
>
??
??+??
.
三、利用不等式的性质求代数式范围
8.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤
??
2
??
≤9,则
??
3
??
4
的最大值是 .?
答案:27
解析:∵4≤
??
2
??
≤9,∴16≤
??
4
??
2
≤81.0①
∵3≤xy2≤8,∴
1
8
≤
1
??
??
2
≤
1
3
.0②
由①②可得2≤
??
4
??
2
·
1
??
??
2
≤27,即2≤
??
3
??
4
≤27.
∴
??
3
??
4
的最大值为27.
9.已知1(1)2a+b;(2)a-b;(3)
??
??
.
解:(1)因为1又3(2)因为3又1(3)因为31
4
<
1
??
<
1
3
.
又11
4
<
??
??
<
2
3
.
四、利用不等式的性质证明
10.已知a>b>0,c求证:
3
a
d
<
3
??
??
.
思路分析:解答本题可先比较
??
??
与
??
??
的大小,进而判断
3
a
d
<
3
??
??
.
证明:∵c-d>0.∴0<-
1
??
<-
1
??
.
又a>b>0,∴-
??
??
>-
??
??
>0.
∴
3
-??
??
>
3
-??
??
,即-
3
??
??
>-
3
b
c
.
两边同乘以-1,得
3
??
??
<
3
??
??
.
/
(建议用时:30分钟)
1.若a,b∈R,且a>b,则( )
A.a2>b2 B.
??
??
<1
C.lg(a-b)>0 D.
1
2
??
<
1
2
??
答案:D
解析:∵a>b,无法保证a2>b2,
??
??
<1和lg(a-b)>0,
∴排除A与B,C,故选D.
2.如果aA.
1
??
<
1
??
B.abC.-ab<-a2 D.-
1
??
<-
1
??
答案:D
解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.
3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )
A.
1
??-??
>
1
??-??
B.
1
??-??
<
1
??-??
C.ac>bc D.ac答案:B
解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.
∴
1
??-??
<
1
??-??
.
故选B.
4.下列结论正确的是( )
A.若a>b>0,a>c,则a2>bc
B.若a>b>c,则
??
??
>
??
??
C.若a>b,n∈N*,则an>bn
D.a>b>0,则ln a答案:A
解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,an>bn不成立.
对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.
5.若α,β满足-
π
2
<α<β<
π
2
,则2α-β的取值范围是0( )
A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<π
C.-
3π
2
<2α-β<
π
2
D.0<2α-β<π
答案:C
解析:∵-
π
2
<α<
π
2
,∴-π<2α<π.
又-
π
2
<β<
π
2
,∴-
π
2
<-β<
π
2
.
∴-
3π
2
<2α-β<
3π
2
.
又α-β<0,α<
π
2
,∴2α-β<
π
2
.
故-
3π
2
<2α-β<
π
2
.
6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).?
答案:>
解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,
∵a≠b,∴(a-b)2>0.
∴a2-ab>ba-b2.
7.已知2b??
??
的取值范围为 .?
答案:-1<
??
??
<2
解析:∵2b∴
-??
??
<
??
??
<
2??
??
,即-1<
??
??
<2.
8.若m答案:m解析:∵(p-m)(p-n)<0,
∴
??-??>0,
??-??<0
或
??-??<0,
??-??>0.
又m同理m∴m9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?
解:设两次价格分别为a元、b元,
则甲的平均价格为m=
??+??
2
元,
乙的平均价格为n=
2 000
1 000
??
+
1 000
??
=
2????
??+??
,
∴m-n=
??+??
2
?
2????
??+??
=
(??-??
)
2
2(??+??)
>0.
∴乙更合算.
10.已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
解:因为f(x)=ax2-c,所以
??(1)=??-??,
??(2)=4??-??.
即
??-??=??(1),
4??-??=??(2),
解得
??=
1
3
[??(2)-??(1)],
??=
1
3
??(2)-
4
3
??(1),
所以f(3)=9a-c=
8
3
f(2)-
5
3
f(1).
又因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,
所以
5
3
≤-
5
3
f(1)≤
20
3
,-
8
3
≤
8
3
f(2)≤
40
3
,
所以-1≤
8
3
f(2)-
5
3
f(1)≤20,
即-1≤f(3)≤20.
课件43张PPT。第 三 章不等式3.1 不等关系与不等式 自主学习 新知突破1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示不等关系．
2．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．
3．掌握不等式的性质，能运用不等式的性质解决问题．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程将超过2 200 km，用不等式表示为______________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程现在就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．用不等式表示不等关系(1)文字叙述
如果a－b是_____，那么a>b；
如果a－b_______，那么a＝b；
如果a－b是_____，那么a(2)符号表示
a－b>0?a_____b；
a－b＝0?a_____b；
a－b<0?a_____b.实数大小比较正数等于0负数>＝<1．实数比较大小的注意事项
(1)符号“?”表示“等价于”，即可以互相推出．“?”的右边反映的是两个实数a，b的大小关系，左边反映的是实数的运算性质，三个等价式子体现的是实数的大小顺序和实数的运算性质之间的关系．
(2)比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 不等式的性质bca＋c>b＋cac>bcacb＋d ac>bdan>bn2．关于性质的几点说明
(1)性质1把不等式两边的式子交换，所得不等式和原不等式异向．
(2)注意传递性是有条件的！
(3)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a＋b>c?a>c－b.性质3是可逆的，即a>b?a＋c>b＋c.
(4)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．
(5)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．1．若A＝x2－2x，B＝－6x－4，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＝B D．与x的值有关
解析： ∵A－B＝(x2－2x)－(－6x－4)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，∴A≥B.故选B.
答案： B
2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析： ∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
答案： A
3．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作约计2 100 h；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h；每袋需用原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量x(写出不等式(组)即可)为________．
4．已知a>b>0，d证明： ∵d－c>0，
又a>b>0，∴－ad>－bc>0，
∴ad[思路点拨] (1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系；
(2)若问题中有几个变量，则选用几个字母分别表示变量即可，解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有的不等式都找出来． 1．配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N*)，请写出x，y应满足的不等关系式．比较大小——作差法 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． (1)作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断．
(2)变形的方法
①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论． 2．已知x∈R，m∈R，比较x2＋x＋1与－2m2＋2mx的大小． 不等式的性质 对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；其中正确的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[边听边记] 对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错．
对于②，由ac2>bc2，知c≠0，
∴c2>0?a>b.②对．
对于③，由a两边同乘以a得a2>ab.
两边同乘以b得ab>b2
∴a2>ab>b2.③对．答案： C (1)熟悉不等式的性质，更好地掌握各性质的条件和结论，在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．
(2)若判断说法是正确的，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理性质等，若判断说法是错误的举一反例即可． 答案： D 不等式性质的应用 利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用． ◎已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范围．
【错解】 ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，
∴两式相加可得0≤a≤4.
又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1，
∴两式相加可得－1≤b≤3.
∴0≤3a≤ 12，－6≤－2b≤2，
∴－6≤3a－2b≤14.
【错因】 由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a ≤4，－1≤b≤3.此时，将a，b的范围扩大了．例如，当a＝0，b＝－1时，尽管满足0≤a≤4，－1≤b≤3，但是并不满足1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3.也就是说“由1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，得出0≤a≤4，－1≤b≤3”的过程是一个不等价变形．用a＋b和a－b将3a－2b表示出来，然后利用同向不等式的可加性求出3a－2b的范围即可．谢谢观看！