课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（2）
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；
3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．
【教学重、难点】
重点：熟练掌握一元二次不等式的解法
难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系
【教学过程】
1．课题导入
（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
（2）一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格
2．范例讲解
例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
解：设这辆汽车刹车前的速度至少为 km/h，根据题意，我们得到
移项整理得：
显然，方程有两个实数根，即．
所以不等式的解集为．
在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
评述：注意体会三个“二次”之间的关系．
变式训练：课本第80页练习2
例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得到
移项整理，得
因为，所以方程有两个实数根．
由二次函数的图象，得不等式的解为：．
因为x只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．
评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用．
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．
3．补充例题
例5 设，，且，求的取值范围．
解：令由，及二次函数图象的性质可得
，即，解之得．
因此的取值范围是．
评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系．
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．
4．课时小结
进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；
一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．
【板书设计】
一元二次不等式的解法步骤
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
范例讲解
例3
练习
例4
练习
补充例题
例5
练习
【作业布置】
课本第80页习题3.2[A]组第4，6题
【教学后记】
课题: §3.2 一元二次不等式及其解法（2）
课前预习学案
【知识准备】
1．回顾一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．
2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．
3．如何将不等式进行转化？
【预习内容】
课本第78-79页．
1．尝试解答课本P78-79两个例题．
2．进一步巩固一元二次不等式的解法步骤．
3．探究下面题目的解法
例5 设，，且，求的取值范围．不等式的解集．
【提出疑惑】
1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼”，如何审题？
2．解答应用题需要注意些什么？
课内探究学案
【学习目标】
1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；
2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．
【提出问题】
1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？
2．一元二次不等式与的解集具有什么关系？
【合作探究】
1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度 x km/h有如下的关系：．
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h）
探究不等式与二次函数的零点之间的关系．
变式训练：课本第80页练习2
2．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第5题．
3．补充例5 设，，且，求的取值范围．
变式训练：课本第80页习题3.2 A组第3题．
【反思总结】
1．熟练掌握一元二次不等式的解法；
2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．
【完成作业】
课本第80页习题3.2[A]组第4，6题
课后练习与提高
1．若不等式（）无解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．(1998年上海高考题)设全集，， (是常数)，且11∈B，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若恒成立，则实数的取值范围是 ．
5．若的解集为，则________，________．
6．已知在区间上的最小值是3，求的值．
§3.2 一元二次不等式及其解法(二)
【课时目标】
1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．
2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
1．一元二次不等式的解集：
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
x1
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0
(a>0)
{x|x< x1或x>x2}
{x|x∈R且x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)
{x|x1?
?
2．节分是不等式的同解变形法则：
(1)>0?f(x)·g(x)>0；
(2)≤0?；
(3)≥a?≥0.
3．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立?；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立?.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立?a>f(x)max；
a一、选择题
1．不等式>0的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
答案 C
解析 解不等式>0得，x>2或x<－3.
2．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1}
答案 C
解析 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．
3．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
答案 A
解析 原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
4．不等式≥2的解是( )
A．[－3，] B．[－，3]
C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3]
答案 D
解析 ≥2?
?∴x∈[－，1)∪(1,3]．
5．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 解不等式(x－1)2<3x＋7，然后求交集．
由(x－1)2<3x＋7，
得－1∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．
6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．13 C．12
答案 B
解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?
??x<1或x>3.
二、填空题
7．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.
答案 4
解析 >0?(x＋1)(x－a)>0
?(x＋1)(x－4)>0
∴a＝4.
8．若不等式－x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 a≥1
解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1.
9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}，则不等式组的解集可用P、Q表示为________．
答案 P∩?IQ
解析 ∵g(x)≥0的解集为Q，
所以g(x)<0的解集为?IQ，
因此的解集为P∩?IQ.
10．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________．
答案 0≤a≤4
解析 a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax2－ax＋1≥0恒成立??0综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.
三、解答题
11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？
解 由题意可列不等式如下：
·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内．
12．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
解 由x2－x－2>0，可得x<－1或x>2.
∵的整数解的集合为{－2}，
方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－，
①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；
②若－<－k，则应有－2<－k≤3，
∴－3≤k<2.
综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2.
【能力提升】
13．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x＋x的最大值为( )
A．18 B．19 C. D．不存在
答案 A
解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0，
即(k－2)2－4(k2＋3k＋5)≥0.
解得－4≤k≤－，
又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.
14．已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
解 (1)不等式化为(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2，
∴－2≤p≤2，于是得：
即
即 ∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.
由于不等式当2≤x≤4时恒成立，
∴p>(1－x)max.而2≤x≤4，
∴(1－x)max＝－1，于是p>－1.
故p的取值范围是p>－1.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a3.2.2 一元二次不等式的解法的应用(一)??
从容说课
本节课由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)这节课通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、解法以及解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.本节课通过复习引入课题，通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式的概念、解法和解法与二次函数的关系以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.?
整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?
教学重点 1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.?
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.?
3.分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:??
(1)＞0f(x)·g(x)＞0;?
(2) ＜0f(x)·g(x)＜0;?
(3) ≥0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0;?
(4) ≤0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.?
解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)——标根——画线——选解.?
教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.?
2.分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.?
教具准备 多媒体及课件??
三维目标
一、知识与技能?
1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；?
2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；?
3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；?
4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.??
三、情感态度与价值观?
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；?
2.培养学生分析问题和解决问题的能力；?
3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.??
教学过程
导入新课
师 上节课我们已经知道，一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的解和二次函数的图象的关系.如果一个一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个根x1＜x 2，则x 1、x 2就把实数（x轴）分成了三部分，要解ax2+bx+c＞0，就要找这三部分中使ax 2+bx+c大于0的部分；同样，解ax 2+bx+c＜0，就是要找这三部分中使ax2+bx+c小于0的部分.解一元二次不等式的程序是什么？?
生 (1)将二次项系数化为“+”：y=ax2+bx+c＞0(或＜0)(a＞0).?
(2)计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：?
①Δ＞0时，求根x1＜x2，若y＞0，则x＜x1或x＞x2;?
若y＜0,则x1＜x＜x2;?
②Δ=0时，求根x1=x 2=x0，若y＞0，则x≠x0的一切实数；?
若y＜0，则x∈;?
若y=0，则x=x0；?
③Δ＜0时，方程无解，若y＞0，则x∈R;?
若y≤0，则x∈.?
(3)写出解集.?
师 利用这种思想，我们来研究一元二次不等式的应用.?
【例1】 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离）s m和汽车车速x km/h有如下关系：?
.?
在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01 km/h）?
生 由题设条件应列式为，移项、整理、化简得不等式x 2+9x-7 110＞0.?
推进新课?
师 因此这个问题实际就是解不等式x2+9x-7 110＞0的问题.因为Δ＞0,方程?x2+9x-7 110=0有两个实数根，即x1≈-88.94,x2≈79.94.然后，画出二次函数y=x 2+9x-7 110,由图象得不等式的解集为{x|x＜-88.94或x＞79.94}.
在这个实际问题中x＞0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.?
师 【例2】 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：y=-2x 2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？?
生 设在一星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意，能得到-2x2+220x＞6 000.移项、整理得x2-110x+3 000＜0.?
［教师精讲］?
因为Δ=100＞0，所以方程x2-110x+3 000=0有两个实数根x1=50,x2=60,然后，画出二次函数y=x 2-110x+3 000,由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}.因为只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益.?
［知识拓展］?
【例3】 解不等式(x-1)(x+4)＜0.?
思路一：利用前节的方法求解.?
思路二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，?
∴原不等式的解集是下面两个不等式组与的解集的并集，即 ∪{x|-4＜x＜1}={x|-4＜x＜1}.书写时可按下列格式：
解：∵(x-1)(x+4)＜0或x∈或-4＜x＜1-4＜x＜1，?
∴原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.?
思路三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.?
解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-∞，-4），（-4，1），（1，+∞）.?
②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号：
（-∞，-4）
（-4，1）
（1，+∞）
x+4
-
+
+
x-1
-
-
+
(x-1)(x+4)
+
-
+
③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4＜x＜1}.?
点评：此法叫区间法，解题步骤是：?
①将不等式化为(x-x1)(x-x 2)…(x-xn)＞0(＜0)的形式（各项x的符号化“+”），令(x-x 1)(x-x2)…(x-x n)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，两个分界点把数轴分成三部分……?
②按各根把实数分成的几部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；?
③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；?
④看下面积的符号写出不等式的解集（你会发现符号的规律吗）.?
练习1：解不等式：(1)x 2-5x-6＞0；(2)(x-1)(x+2)(x-3)＞0；(3)x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.?
答案：(1){x|x＜2或x＞3}；(2){x|-2＜x＜1或x＞3}；(3){x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.?
教师书写示范：如第(2)题：解不等式(x-1)(x+2)(x-3)＞0.?
解：①检查各因式中x的符号均正；?
②求得相应方程的根为-2，1，3；?
③列表如下：?
（-∞，-2）
（-2，1）
（1，3）
（3，+∞）
x+2
-
+
+
+
x-1
-
-
+
+
x-3
-
-
-
+
各因式积
-
+
-
+
④由上表可知，原不等式的解集为{x|-2＜x＜1或x＞3}.?
思路四：上面的区间法实际上是把看相应函数图象上使y＜0或y＞0的x的部分数值化列成表了，我们试想若能画出图象（此时我们只注意y值的正负不注意其他方面），那么它相对于x轴的位置应是什么呢？可把表上各部分函数值的正负情况用下图表示，由图即可写出不等式的解集.?
由此看出，如果不像上面那样列表，就用这种方法也可以求这个不等式的解.你能总结一下用这种方法解不等式的规律吗？?
①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0(＜0)的形式，并将各因式x的系数化“+”；?
②求根，并在数轴上表示出来；?
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么）；?
④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”,则找“线”在x轴下方的区间.?
这种方法叫数轴标根法.?
练习2：用数轴标根法解上述练习1中不等式（1）～（3）.?
教师书写示范：如第（2）题：解不等式x(x-3)(2-x)(x+1)＞0.?
解：①将原不等式化为x(x-3)(x-2)(x+1)＜0；?
②求得相应方程的根为-1，0，2，3；?
③在数轴上表示各根并穿线（自右上方开始），如右图：?
④原不等式的解集为{x|-1＜x＜0或2＜x＜3}.?
［合作探究］?
师【例4】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜0.?
解：①检查各因式中x的符号均正；?
②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；?
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图：?
④原不等式的解集为{x|-1＜x＜2或2＜x＜3}.?
说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根.?
∴在?B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n，n为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶?不穿”.?
【练习3】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0.?
解：①将原不等式化为(x-3)(x+1)(x+2)2≤0；?
②求得相应方程的根为-2（二重），-1，3；?
③在数轴上表示各根并穿线，如右图：?
④原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}.?
点评：注意不等式若带“=”，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉.?
［教师精讲］?
师 由分式方程的定义不难联想到：分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.例如，等都是分式不等式.?
师 分式不等式的解法.?
由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数x，不等式两边同乘以一个含x的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂.因此，解分式不等式，切忌去分母.?
解法是：移项、通分，右边化为0，左边化为f(x)[]g(x)的形式.?
【例5】 解不等式：.?
解法一：化为两个不等式组来解.?
∵0或x∈或-7＜x＜3-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}.?
解法二：化为二次不等式来解.?
∵-7＜x＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x＜3}.?
点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}.?
【例6】 解不等式：.?
解法一：化为不等式组来解(较繁).?
解法二：∵
∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x＜3}.?
练习：解不等式.?
答案：{x|-13＜x＜-5}.?
［方法引导］?
讲练结合法?
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.?
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣，勇于探索的精神.??
课堂小结
1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义.?
2.求解一般的高次不等式的解法.?
特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）.?
3.分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 (或的形式，转化为，（或，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.??
布置作业
完成第90页习题3.2?A组第5、6题，?
习题3.2?B组第4题.??
板书设计
一元二次不等式的解法的应用（一）
例题
例题 练习
一元高次不等式解题步骤
备课资料
备用例题?
【例1】 已知关于x的方程2x 2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m的取值范围.??
探路:列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组.?
解:已知方程有两个负根的等价条件是?
＜m≤或m≥1.?
∴m的取值范围是（,]∪ [1，＋∞）.?
点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故Δ≥0，因此列成Δ＞0是错误的.又若只列成Δ≥0也是错误的，Δ≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x1x2＞0,x 1+x 2＜0的条件.?
2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用.?
【例2】 已知A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.?
（1）若B A，求a的取值范围；?
（2）若A∩B是单元素集合，求a的取值范围.?
探路:先解不等式化简集合A和B，再利用数轴表示两个集合的关系，求a的取值范围.??
解:解不等式x2-3x+2≤0得A= [1，2]；而B={x|(x-1)(x-a)≤0}.?
（1）若BA，如图（1），得a的取值范围是1≤a＜2.?
（1）
（2）若A∩B是单元素集合，如图（2），A∩B只能是集合{1}，?
（2）
∴a的取值范围是a≤1.?
点评:集合B的最简表示只能是B={x|(x-1)(x-a)≤0}，这是因为不知道a与1的大小，不能表示为最简洁的区间；此外，当a=1时，集合B是单元素集合，即B={1}，也不该表示为区间.?
3.2.3 一元二次不等式的解法的应用(二)??
从容说课
上节课已由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系以及解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和二次不等式解法与一元二次函数的关系以及一元二次不等式解法、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.又讲解了分式不等式和高次不等式的解法.本节课通过一元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.?
整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?
教学重点 1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;?
2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.?
教学难点 1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;?
2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.??
三维目标
一、知识与技能?
1.巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与?联系;??
2.通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;?
3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及?技巧.???
二、过程与方法?
1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;?
2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;?
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.??
三、情感态度与价值观?
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的?能力；??
2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；?
3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.??
教学过程
导入新课
师 上节课我们已经知道，不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.分式不等式的解法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.解分式不等式，切忌去分母.?
生 板演：?
1.解不等式：-x2+5x＞6({x|2＜x＜3}).?
2.解不等式：x2-4x+4＞0({x|x∈R,x≠2}).?
3.解不等式：x2+2x+3＜0(Δ=-8＜0,x∈).?
4.解不等式：（{x|-13＜x＜-5}）.?
师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.??
推进新课
师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于x的不等式a(x-ab)＞b(x+ab).?
生 将原不等式展开，整理得(a-b)x＞ab(a+b).?
讨论：当a＞b时，,∴x∈(,+∞).?
当a=b时，若a=b≥0时x∈；若a=b＜0时x∈R.?
当a＜b时，,∴x∈(-∞, ).?
师 【例1】 解关于x的不等式x2-x-a(a-1)＞0.?
生 原不等式可以化为(x+a-1)(x-a)＞0，?
若a＞-(a-1),即a＞,则x＞a或a＜1-a.∴x∈(-∞,1-a)∪(a,+∞).?
若a=-(a-1),即a=,则(x-1[]2)2＞0.∴x∈{x|x≠,x∈R}.?
若a＜-(a-1),即a＜,则x＜a或x＞1-a.∴x∈(-∞,a)∪(1-a,+∞).?
师 引申：解关于x的不等式(x-x 2+12)(x+a)＜0.?
生 ①将二次项系数化“+”为(x2-x-12)(x+a)＞0.?
②相应方程的根为-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？?
③讨论：?
（ⅰ）当-a＞4，即a＜-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜4或x＞-a}.?
（ⅱ）当-3＜-a＜4，即-4＜a＜3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|-3＜x＜-a或x＞4}.?
（ⅲ）当-a＜-3，即a＞3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|-a＜x＜-3或x＞4}.?
（ⅳ）当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|x＞-3}.?
(ⅴ)当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：?
∴原不等式的解集为{x|x＞4}.?
师 变题：解关于x的不等式2x2+kx-k≤0.?
师 此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.?
生 Δ=k2+8k=k(k+8).?
(1)当Δ＞0,即k＜-8或k＞0时，方程2x2+kx-k=0有两个不相等的实根.?
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是?
{x|};?
(2)当Δ=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相等的实根，?
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集是{}，即{0,2}；?
(3)当Δ＜0,即-8＜k＜0时，方程2x2+kx-k=0无实根，?
所以不等式2x2+kx-k≤0的解集为?.?
练习 解不等式：mx 2-2x+1＞0.?
师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小.我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏.?
解：∵Δ=4-4m=4(1-m),?
∴当m＜0时,Δ＞0,此时.?
∴解集为{ }.?
当m＝0时，方程为-2x+1＞0,解集为{x|x＜},?
当0＜m＜1时,Δ＞0，此时,?
∴解集为{}.当m＝1时,不等式为(x-1)2＞0,?
∴其解集为{x|x≠1};?
当m＞1时,此时Δ＜0,故其解集为R.?
师 小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.?
［教师精讲］?
对应的一元二次方程有实数根1-a和a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.?
（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.?
（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.?
总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好.?
［知识拓展］?
【例2】 关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x＜-2或x＞}，求关于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集.?
师
由题设a＜0且，，从而ax2-bx+c＞0可以变形为，即x2-x+1＜0.∴＜x＜2.∴原不等式的解集为{x|＜x＜2}.?
引申：已知关于x的二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R，求a的取值范围.??
师 原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y=ax?2+(a-1)x+a-1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a＜0且Δ＜0.?
生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须
即
∴a的取值范围是a∈(-∞,).?
师 本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立.（想想为什么）?
师 变题：若函数f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为R，求实数k的取值范围.?
显然k=0时满足.而k＜0时不满足.?
∴k的取值范围是 [0,1].?
练习：不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|-＜x＜}，求a、b.()?
［教师精讲］?
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c＞0为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）Δ；（3）两根x 1,x 2的大小.其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x 2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.?
［合作探究］?
【例3】 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.?
生 ∵
2x2-2(k-3)x+3-k＞0(∵4x 2+6x+3恒正)，∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k＞0对x取任何实数均成立.?
∴Δ= [-2(k-3)]2-8(3-k)＜0k 2-4k+3＜01＜k＜3.∴k的取值范围是（1，3）.?
师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.?
【例4】 当m取什么实数时，方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0分别有:①两个实根；②一正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.?
解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x 1，x2.?
①若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：?
m∈.?
∴此时m的取值范围是，即原方程不可能有两个正根.?
②若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：?
m＜5.?
∴此时m的取值范围是(-∞,5).?
③若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：?
m＜2.∴此时m的取值范围是(-∞,2).?
④若方程4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：?
?m∈.?
∴此时m的取值范围是，即原方程不可能两根都大于1.?
师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.?
练习：?
1.关于x的方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是……?（ ）
A. (,+∞) B.(-∞, )?
C. [，+∞）? D.( ,0)∪(0,+∞)?
提示：由m≠0且Δ＞0，得m＜，∴选D.?
答案：D??
2.若不等式ax 2+5x+b＞0的解集为{x|＜x＜}，则a、b的值分别是__________.?
提示：由
答案：-6，-1?
3.若方程x 2-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.?
提示：由 k≤-6.?
师 变式引申：已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.?
师 解：要原方程有两个负实根，必须?
-2＜k＜-1或＜k＜1.?
k＞2[]3或k＜-1?
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.?
练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围.?
生 若a 2-1=0，即a=1或a=-1时，原不等式的解集为R和{x|x＜}；?
若a2-1≠0，即a≠±1时，要使原不等式的解集为R，?
必须-＜a＜1.?
∴实数a的取值范围是(,1)∪{1}=(,1］.?
［方法引导］?
讲练结合法?
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.?
上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.??
课堂小结
1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.?
2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：?
（1）确定讨论的对象及其范围；?
（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；?
（3）逐类讨论，分级进行；?
（4）归纳整合，作出结论.?
3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.?
4.在分类过程中要注意按照一个统一的标准，一定的顺序进行讨论，做到不重复不遗漏.考虑问题要周到缜密，特别是对于一些特殊情况要考虑慎重，养成严谨的学习态度和思想作风.
布置作业
（1）已知不等式x2+5x+m＞0的解集为{x|x＜-7或x＞2}，求实数m的值.(答案：m=-14)?
（2）已知关于x的二次不等式px 2+px-4＜0对任意实数x都成立，求实数p的范围.(由p＜0且Δ＜0，得p∈{p|-16＜p＜0})?
(3)若y=ax 2+bx+c经过(0，-6)点，且当-3≤x≤1时，y≤0，求实数a,b,c的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）
(4)已知方程2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.?
解：要使原方程有两个负实根，必须?
-2＜k＜-1或＜k＜1.?
∴实数k的取值范围是{k|-2＜k＜-1或＜k＜1}.??
板书设计
一元二次不等式的解法的应用（二）
例3
例1、2
例4
课件39张PPT。 不等式中的恒成立问题
1.不等式的解集为R的条件
（1）不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
当a=0时，b=0,c>0;
当a≠0时，【名师指津】（2）不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
当a=0时，b=0,c<0;当a≠0时，
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
(1)f(x)≤a恒成立?［f(x)］max≤a;
(2)f(x)≥a恒成立?［f(x)］min≥a.
【特别提醒】解题时对参数的讨论要做到不重不漏.【例1】当a为何值时，不等式（a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数？
【审题指导】解答本题应先考虑a2-1=0的情形，然后当a2-1
≠0时按 求解.
【规范解答】（1）当a2-1=0，即a=±1时，
若a=1，则原不等式为-1<0,恒成立.
若a=-1，则原不等式为2x-1<0,
即x< 不符合题目要求，舍去.（2）当a2-1≠0,即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
解得 综上所述，当 0”怎样求a的取值范围.
【解析】（1）当a2-1=0,即a=±1时，
若a=1，则原不等式化为1>0,恒成立.
若a=-1，则原不等式化为2x+1>0,
即x> 不符合题意，舍去.（2）当a2-1≠0时，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是
解得a< 或a>1.
综上所述，当a< 或a≥1时，原不等式解集为R.【误区警示】此题易出现a>1或a< 的错误.原因是忽略了
二次项系数为零的情况.【例】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c且f(-1)=0，是否存在常数a,b,c,使得不等式x≤f(x)≤ (x2+1)对一切实数x都成立，并求出a,b,c的值.
【审题指导】由已知条件列出a、b、c的关系式，用一个参数表示其他参数，然后利用不等式求解.【规范解答】已知f(-1)=a-b+c=0 ①
若存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤ (x2+1),
则1≤f(1)≤1,∴f(1)=a+b+c=1 ②
由①②得b= a+c= 则f(x)=ax2+ x+ -a,
∵x≤f(x)≤ (x2+1)对一切实数x都成立，
∴ 恒成立.即
对于不等式ax2- x+ -a≥0恒成立，则
对于不等式（a- ）x2+ x-a≤0恒成立，则∴a= 时，x≤f(x)≤ (x2+1)对一切实数x都成立.
∴存在常数 使得不等式x≤f(x)≤ (x2+1)
对一切实数x都成立.【变式备选】设不等式mx2-2x-m+1＜0对于满足-2≤m≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
【解析】以m为自变量构造函数
f(m)=(x2-1)m-(2x-1),
问题转化为f(m)在［-2,2］内恒为负值.
故有
故x的取值范围为（ ）. 一元二次不等式的实际应用
【名师指津】解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
（1）阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；
（3）解不等式（或求函数最值）；
（4）回扣实际问题.【特别提醒】解答应用题一定要注意问题的实际意义和单位统一. 【例2】政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准为每100元征10元（叫做税率为10个百分点，即10%），计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的取值范围.
【审题指导】税收=征税总额×税率，建立税收随税率降低的百分点x变化的函数关系，然后用不等式表示不等关系即可.【规范解答】∵税率降低x个百分点，
∴预计收购量可增加为a( )万担，
税率变为 由题意得
100×a( )× ≥100×a×10%×83.2%，
即x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2,∴0即x的取值范围是（0，2］.【变式训练】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？销售价定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？【解析】设每件提高x元（0＜x≤10且x∈N*），
即每件获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10x）件，每天获总利润为y元，由题意得：y=(2+x)(100-10x)=-10x2 +80x+200.
∵0＜x≤10,∴当x=4时，y取得最大值360元.
∴当售价定为14元时，每天所赚利润最大为360元.要使每天所赚的利润在300元以上，则有-10x2+80x+200>
300,
即x2-8x+10<0,解得
故每件定价在（14- ）元到（14+ ）元之间即定价取12元、13元、14元、15元、16元时，能确保每天的利润在300元以上.【误区警示】解答本题容易出现未考虑“0＜x≤10”的情况,这有时会得出错误的结论.因此解答这类问题，必须考虑到未知数x要有实际意义. 与参数有关的分式不等式
【名师指津】将分式不等式转化为整式不等式应注意的问题
（1）在将分式不等式化为整式不等式的过程中应注意分母的符号，不能冒然将其乘到另一边，正确的方法是移项通分.
（2）化为含参数的一元二次不等式后，先讨论二次项系数的符号，再讨论根的大小，解题过程有条不紊，顺理成章. 【例】解不等式 ＞1(a≠1)
【审题指导】先将其转化为整式不等式，再利用解一元二次
不等式的知识解答，注意分类讨论.
【规范解答】原不等式可化为 -1＞0,
即（a-1）(x- )(x-2)＞0.①
(1)当a＞1时，①即为 (x-2)＞0,
而 = ＜0.
∴ ＜2,此时x＞2或x＜ (2)当a＜1时，①即为(x- ) (x-2)＜0,
而
(ⅰ)若0＜a＜1,则 ＞2,此时2＜x＜
(ⅱ)若a=0,则（x-2）2＜0,此时无解；
(ⅲ)若a＜0，则 ＜2，此时 ＜x＜2.综上所述：
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜ 或x＞2};
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|2＜x＜ };
当a＝0时，不等式的解集为?；
当a＜0时，不等式的解集为{x| ＜x＜2}.【变式备选】关于x的不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞2}，求
关于x的不等式 的解集.
【解析】因为不等式ax+b＞0的解集为{x|x＞2},所以a＞0且
方程ax+b=0的根为2，即b＝-2a,
故不等式 可转化为
又a＞0,所以它等价于 ①
或 ②，
解不等式组①，得x＞3,
解不等式组②，得-1＜x＜2,
所以原不等式的解集为{x|x＞3或-1＜x＜2}. 【典例】（12分）已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围.
【审题指导】函数图象在x轴上方，由图象的不同情况去分析.
【规范解答】（1）当k2+4k-5=0时，k=-5或1.
若k=-5，则y=24x+3的图象不可能都在x轴上方，故k≠-5.
……………………………………………………………………3分
若k=1，则y=3的图象都在x轴上方. ………………………5分(2)若k2+4k-5≠0则所给函数为二次函数，应有
……………………8分
解得1由（1）、（2）得1≤k<19. ………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知函数f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴
的负半轴有交点，求实数m的范围.
【解析】（1）当m=2时，f(x)=-8x-2与x轴交于（ 0），
符合题意；
（2）当m≠2时，
①f(x)=0有一正根、一负根等价于（m-2)(2m-6)<0,解得
2 解得1≤m<2.
③f(x)=0有一零根，一负根等价于
不等式组无解.
由（1）、（2）知1≤m＜3.1.若不等式x2+mx+ >0的解集为R，则实数m的取值范围是
（ ）
(A)m>2 (B)m<2
(C)m<0或m>2 (D)0【解析】选D.x2+mx+ >0恒成立等价于Δ<0,即m2-4× <0,
∴0（A）[1,+∞) （B）(1,+∞)
（C）{0}∪(1,+∞) （D）[0,1]
【解析】选D.当k=0时，成立.
当k≠0时，若定义域为R,即kx2-6kx+(k+8)≥0的解集为R，
则 ? 0＜k≤1.
综上k∈[0,1].3.对于任意实数x,不等式（a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
(A)(-∞,2) (B)(-∞,2］
(C)(-2,2) (D)(-2,2］
【解析】选D.当a-2≠0时
-2当a-2=0时，-4<0恒成立.
综上所述，-2【解析】当k=0时, <0对一切实数x都成立.
当k≠0时，等价于
∴-3答案：(-3,0］5.某大学在对一个长800米、宽600米
的空地进行绿化时，是这样设想的：
中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，
若要保证草坪的面积不小于空地面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.【解析】设花坛宽度为x米，则矩形草坪的长为(800-2x)
米，宽为(600-2x)米，根据题意，得（800-2x)(600-2x)
≥ ×800×600.整理得x2-700x+60 000≥0,解得x≥600(舍
去）或x≤100，由题意知x>0,所以0答：当花坛宽度在（0，100］米的范围内取值时，草坪的
面积不小于空地面积的二分之一.课时训练16 一元二次不等式及其解法
一、一元二次不等式的解法
1.不等式-x2-5x+6≤0的解集为( )
A.{x|x≥6或x≤-1}
B.{x|-1≤x≤6}
C.{x|-6≤x≤1}
D.{x|x≤-6或x≥1}
答案:D
解析:由-x2-5x+6≤0得x2+5x-6≥0,
即(x+6)(x-1)≥0,
∴x≥1或x≤-6.
2.(2018福建厦门高二期末,12)不等式2x2-5x+5>12的解集是 .?
答案:{x|x<2或x>3}
解析:因为指数函数y=2x是增函数,
所以2x2-5x+5>12化为x2-5x+5>-1,
即x2-5x+6>0,解得x<2或x>3.
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
3.解不等式:-2解:原不等式等价于不等式组x2-3x>-2,x2-3x≤10, ①②
不等式①为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1.
不等式②为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.
故原不等式的解集为[-2,1)∪(2,5].
二、三个二次之间的关系
4.(2018山东威海高二期中,8)不等式ax2+bx+2>0的解集是x-12
A.14 B.-14 C.10 D.-10
答案:D
解析:不等式ax2+bx+2>0的解集是x-12∴-12+13=-ba,-12×13=2a,
解得a=-12,b=-2.
∴a-b=-12-(-2)=-10.故选D.
5.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,f(-1),f(2),f(5)的大小关系是 .?
答案:f(2)解析:由ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4}知a>0,且-2,4是方程ax2+bx+c=0的两实根,所以-2+4=-ba,-2×4=ca,
可得b=-2a,c=-8a,
所以f(x)=ax2-2ax-8a=a(x+2)(x-4).
因为a>0,所以f(x)的图象开口向上.
又对称轴方程为x=1,f(x)的大致图象如图所示,由图可得f(2)6.(2018山东潍坊四县联考,11)不等式x2-ax-b<0的解集是(2,3),则不等式bx2-ax-1>0的解集是 .?
答案:-12,-13
解析:∵不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),
∴一元二次方程x2-ax-b=0的根为x1=2,x2=3.
根据根与系数的关系可得:2+3=a,2×3=-b,
所以a=5,b=-6.
不等式bx2-ax-1>0,即不等式-6x2-5x-1>0,
整理,得6x2+5x+1<0,即(2x+1)(3x+1)<0,
解之得-12∴不等式bx2-ax-1>0的解集是-12,-13.
三、含参不等式的解法
7.不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-11的解集为 .?
答案:{x|x<-2或x>1}
解析:由已知不等式(x+1)(x-a)<0的解集为{x|-1∴a=2.
∴不等式ax+1x-1>1可化为2x+1x-1>1,移项通分得x+2x-1>0,
∴(x+2)(x-1)>0,解得x<-2或x>1.
∴所求解集为{x|x<-2或x>1}.
8.解关于x的不等式2x2+ax+2>0.
解:对于方程2x2+ax+2=0,其判别式Δ=a2-16=(a+4)(a-4).
①当a>4或a<-4时,Δ>0,方程2x2+ax+2=0的两根为:
x1=14(-a-a2-16),x2=14(-a+a2-16).
∴原不等式的解集为
xx<14(-a-a2-16)或x>14(-a+a2-16).
②当a=4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=-1;
当a=-4时,Δ=0,方程有两个相等实根,x1=x2=1.
∴原不等式的解集为{x|x≠±1}.
四、不等式恒成立问题
9.若一元二次不等式x2-ax+1>0恒成立,则a的取值范围是 .?
答案:-2解析:由Δ=a2-4<0,解得-210.已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当m2+4m-5=0,即m=1或m=-5时,显然m=1符合条件,m=-5不符合条件;
(2)当m2+4m-5≠0时,由二次函数对一切实数x恒为正数,
得m2+4m-5>0,Δ=16(m-1)2-12(m2+4m-5)<0,
解得1综合(1)(2)得,实数m的取值范围为[1,19).
(建议用时:30分钟)
1.不等式-6x2-x+2≤0的解集是( )
A.x-23≤x≤12
B.xx≤-23,或x≥12
C.xx≥12
D.xx≤-23
答案:B
解析:原不等式等价于6x2+x-2≥0.方程6x2+x-2=0的两根为-23,12,可得原不等式的解集为x|x≤-23,或x≥12.
2.函数y=x2-2x-3+log2(x+2)的定义域为 ( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.(-2,-1]
D.(-2,-1]∪[3,+∞)
答案:D
解析:要使函数有意义,x的取值需满足
x2-2x-3≥0,x+2>0,
解得-23.已知00的解集为( )
A.xx1a B.{x|x>a}
C.xx<1a或x>a D.xx<1a
答案:A
解析:∵01,即a<1a,
∴不等式的解集为xx>1a或x4.在R上定义运算a cb d=ad-bc,若x 3-x x<2 01 2成立,则x的取值范围是( )
A.{x|x<-4或x>1} B.{x|-4C.{x|x<-1或x>4} D.{x|-1答案:B
解析:由已知x 3-x x=x2+3x,2 01 2=4,
∴x2+3x<4,即x2+3x-4<0,解得-45.若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式ax+bx-2>0的解集为( )
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(1,2) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案:B
解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且ba=1,即a=b,所以关于x的不等式ax+bx-2>0可化为x+1x-2>0,其解集是(-∞,-1)∪(2,+∞).
6.已知二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-2,3,若a>0,那么ax2-bx+c>0的解集是 .?
答案:{x|x<-3或x>2}
解析:由题意知-ba=-2+3,ca=-2×3,∴b=-a,c=-6a.
∴不等式ax2-bx+c>0,化为ax2+ax-6a>0,
又∵a>0,∴x2+x-6>0,而方程x2+x-6=0的根为-3和2,
∴不等式的解集是{x|x<-3或x>2}.
7.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .?
答案:(0,8)
解析:由题意得,Δ=(-a)2-4×2a<0.
即a2-8a<0,∴08.设0≤α≤π,不等式8x2-(8sin α)x+sin α≥0的解集为R,则α的取值范围是 .?
答案:0,π6∪5π6,2π
解析:由已知不等式的解集为R,
∴Δ=64sin2α-32sin α≤0,解得0≤sin α≤12.
∴由y=sin x的图象知,
当0≤α≤π时,解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.
9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B,
(1)求A∪B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.
解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5∴A∪B={x|-5(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5∴25-5a+b=0,9+3a+b=0,解得a=2,b=-15.
∴2x2+x-15<0.
∴不等式解集为x-310.解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a<0).
解:原不等式移项得ax2+(a-2)x-2≥0,
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0,∴(x+1)x-2a≤0.
当-2当a=-2时,x=-1;
当a<-2时,-1≤x≤2a.
综上所述,
当-2当a=-2时,解集为{x|x=-1};
当a<-2时,解集为x-1≤x≤2a.
