3． 3．1二元一次不等式（组）与平面区域．
【教学目标】
了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
理解二元一次不等式的几何意义
会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
【教学重难点】
教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；
2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
【教学过程】
设置情境，引入新课
一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？
问题1.那么信贷部如何分配资金呢？
问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？
合作探究，得出概念
（1）设用于企业资金贷款的资金为元，用于个人贷款的资金元，由于资金总数为25000000元，得到
①
由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以即。 ②
最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是 ③
将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：
二元一次不等式组：
二元一次不等式（组）的解集的意义：
（2）二元一次不等式（组）的几何意义
研究：二元一次不等式 表示的图形
①边界的概念
②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求
③判定方法（1）特殊点法（2）公式法
典型例题
例题1画出不等式2+y－6＜0表示的平面区域。
解：先画直线2+y－6＝0（画成虚线）。
取原点（0，0），代入2+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，
∴原点在2+y－6＜0表示的平面区域内，不等式2+y－6＜0表示的区域如图：
?
例题2 用平面区域表示不等式组的解集
解：
不等式－y+5≥0表示直线－y+5＝0上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：
?
例题3：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？
答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
且x，y都是整数．
例题4
某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种
劳动力（个）
煤（吨）
电（千瓦）
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域。
答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则
平面区域如图（阴影部分）
反馈测评
不等式表示的区域在直线的（ ）
A 右上方 B 右下方 C 左上方 D 左下方
2．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3 画出二元一次不等式组所表示的平面区域
4 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序。桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min着色，9min上漆。如果一个工人每天和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中划出相应的平面区域。
答案：1.(1)D；(2) Ａ；
五 课堂小结
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生实际背景
2理解二元一次不等式（组）的意义，掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
六 作业
课本P93 习题3.3 A组 1、2题
3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域
课前预习学案
预习目标
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
①设用于企业资金贷款的资金为元，用于个人贷款的资金元，如何用这两个变量表示引例中的三个数字条件
②
③二元一次不等式，二元一次不等式组
④二元一次不等式（组）的解集及几何意义
2．思考：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
3.通过研究二元一次不等式 表示的图形，你能得到什么结论？
三、总结结论和提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还那些收获和疑惑，请把它填在下面的表格中
收获
疑惑
课内探究学案
一、 学习目标
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
二、学习重难点
学习重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义；
2. 掌握不等式（组）确定平面区域的 一般方法
学习难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。
2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P82页，并回答以下几个问题：
问题1.那么信贷部如何分配资金呢？
问题2 .用什么不等式模型来刻画它们呢？
(二) 合作探究，得出概念
二元一次不等式（组）的几何意义
研究：二元一次不等式 表示的图形
通过探究上述问题，你能回答下面的问题吗？
边界的概念
二元一次不等式（组）的几何意义，画法的要求？
判定方法（1）特殊点法：一般选择哪一个点
（2）公式法
典型例题
例1、画出下列不等式表示的区域
(1) ；
解析：原不等式可化为
例2某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。
分析：设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，根据题意可列出：
变式训练. 画出下列不等式表示的区域
(1) ；
（2）（1）； （2）．； （3）．
答案：
反馈测评（1）画出不等式表示的平面区域
①；②
③
课堂小结
1了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。
2理解二元一次不等式的几何意义
3会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合
课后练习与提高
（1）不等式表示的区域在直线的 .
（2）画出不等式组表示的平面区域.
（3）用平面区域表示不等式组的解集
（4）某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
（5）某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
课时目标
1．了解二元一次不等式表示的平面区域．
2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．
1．二元一次不等式(组)的概念
含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．
由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
2．二元一次不等式表示的平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
一、选择题
1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．
2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－1,6) B．(－6,1)
C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，
即(a＋1)(a－6)<0，∴－1
3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
答案 B
解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)
或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.
4．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
答案 C
解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
答案 D
解析 区域如图，
易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，
C(a，－a)．
S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.
6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M.
当y＝kx＋过点时，＝＋，
所以k＝.
二、填空题
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
答案
解析
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0，
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
答案 6
解析 由题意点(x，y)的坐标应满足，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．
9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．
答案 －1解析 根据题意，分以下两种情况：
①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．
则.无解．
②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，
则，∴－1综上所述，－110．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
答案
解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
三、解答题
11．利用平面区域求不等式组的整数解．
解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．
把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，
∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，
∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线x＋y＝0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？
解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；
又线段PQ为圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，
∴m＝－k＝－1，
∴不等式组为，
它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×＝.故面积为.
能力提升
13．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
答案 A
解析 作出不等式组表示的平面区域D，如图阴影部分所示．
由得交点A(2,9)．
对y＝ax的图象，当0当a>1，y＝ax恰好经过A点时，由a2＝9，得a＝3.
要满足题意，
需满足a2≤9，解得114．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是______________．
答案 0解析
不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，当11．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数．
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题?
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域??
从容说课
本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式（组）的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的教学.讲述完一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域后，再回归到先前的具体实例，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究二元一次不等式（组）的概念，一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的联系.得出一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.?
教学重点 会求二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点 如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.?
课时安排 2课时
三维目标
一、知识与技能?
1.使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；
2.能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域.??
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；?
2.提高学生“建模”和解决实际问题的能力；?
3.本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.??
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学过程
第1课时?
导入新课
师 在现实和数学中，我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型.先看一个实际例子.?
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？?
师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？?
生 设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元，由资金总数为25 000 000?元，得到x+y≤25 000 000.①?
师 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收30 000元以上，所以?
(12%)x+(10%)y≥30 000，即12x+10y≥3 000 000.②?
师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是?
生 x≥0,y≥0.③?
师 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：?
师 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组）称为二元一次不等式（组）.?
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对(x,y)，所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.?
师 我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x,y)|x+y-1=0}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）x+y-1＞0的解为坐标的点的集合A={(x,y)|x+y-1＞0}是什么图形呢？??
推进新课?
［合作探究］?
师 二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表示一条直线.??
以二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点，也拼成一个点集.如x＝3，y＝2时，x＋y－1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素.我们把二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点拼成的点集记为{(x，y)|x＋y－1＞0}.?
请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？?
生 x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有点拼成的平面区域.?
师 事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内.如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在直线x＋y－1＝0上.(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜0，(1，-1)点在直线x＋y－1＝0的左下方.??
因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立.?
师 下面对这一猜想进行一下推证.?
在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x 0，y 0)，过点P作平行于x轴的直线y＝y0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x 0，y＝y0两式相加.?
x＋y＞x 0＋y 0，则x＋y－1＞x0＋y0－1,P点在直线x＋y－1＝0上，x0＋y 0－1＝0.?
所以x＋y－1＞0.?
因为点P(x0，y0?)是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以对于直线x＋y－1＝0的右上方的任意点(x，y),x＋y－1＞0都成立.?
同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)，x＋y－1＜0都成立.?
所以点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域，点集?{(x，y)|x＋y－1＜0}?是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域.?
师 一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.?
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0?，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.?
说明：x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧.?
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.?
师 提醒同学们注意，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的区域，应当理解为{(x，y)|Ax＋By＋C＞0}∪{(x，y)|Ax＋By＋C＝0}.这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线.??
师 另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼.?
（1）A为直线l右上方的平面区域
(2)B为直线l左下方的平面区域?
(3)C为直线l左上方的平面区域
(4)D为直线l右下方的平面区域?
［教师精讲］?
师 二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面区域.?
（1）结论：二元一次不等式ax+by+c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域.?
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式ax+by+c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.?
（2）判断方法：由于对在直线ax+by+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以ax0+by0+c的正负情况便可判断ax+by+c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点.?
［知识拓展］?
【例1】 画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域.?
解:先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的异侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平面区域.?
生 学生课堂练习.?
(1)x－y＋1＜0.?
(2)2x＋3y－6＞0.?
(3)2x＋5y－10≥0.?
(4)4x－3y≤12.?
【例2】 画出不等式组表示的平面区域.?
x＋3y＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合.?
x－y＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合.?
在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.?
【例3】 画出不等式组表示的平面区域.?
师 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.?
生 解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0右上方的平面区域，x≤3左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分.??
课堂练习
作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.?
（1）x-y+1＜0;?
（2）2x+3y-6＞0;?
（3）2x+5y-10＞0;?
（4）4x-3y-12＜0;?
（5）
如下图：?
［合作探究］?
师 由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？?
生 归纳如下：?
1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l:x+y-1=0分成三类：?
（1）直线l上：{(x,y)|x+y-1=0}；?
（2）直线l的上方：{(x,y)|x+y-1＞0}；?
（3）直线l的下方：{(x,y)|x+y-1＜0}.?
对于平面内的任意一点P(x,y)的坐标,代入x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于0，或小于0.观察到所有大
于0的点都在直线l的右上方，所有小于0的点都在直线l的左下方，所有等于0的点在直线l上.?
2.一般地，
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界.?
二元一次不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域是直线Ax+By+C=0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实线.?
此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点）?
［方法引导］?
上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论.??
课堂小结
1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l分成三类：?
（1）直线l上；?
（2）直线l的上方；?
（3）直线l的下方.?
2.二元一次不等式ax+by+c＞0和ax+by+c＜0表示的平面区域.
布置作业
1.不等式x-2y+6＞0表示的区域在x-2y+6=0的（ ）?
A.右上方 ?B.右下方 ?C.左上方 D.?左下方?
2.不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是（ ）?
3.不等式组表示的平面区域是（ ）?
4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式___________表示.?
5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是_______________.?
6.画出(x+2y-1)(x-y+3)≥0表示的区域.?
答案：?
1.B? 2.D? 3.B? 4.x+2y-1＞0 5.（－1，－1）??
6.
第2课时?
导入新课
师 前一节课我们共同学习了二元一次不等式（组）的一些基本概念，并且从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，总结一元二次不等式表示的区域的概念和二元一次不等式（组）与平面区域，得出二元一次不等式（组）与平面区域两者之间的联系，下面请同学回忆上述内容.?
生 一般来讲，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.?
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y 0)，由Ax 0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.?
如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.??
推进新课
［例题剖析］?
师 【例1】 画出不等式x+4y＜4表示的平面区域.?
师 解：先画直线x+4y-4＝0(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4＝0－4＜0，因为x+4y-4＜0，说明原点在要求的区域内，不等式x+4y-4＜0表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0的一侧，即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域.?
师 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.?
师 【例2】 用平面区域表示不等式组的解集.?
师 分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.?
生 解：不等式y＜-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x＜2y表示直线上方的区域.取两个区域重叠的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.?
师【例3】 某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格：(以班级为单位)
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.?
师 若设开设初中班x个,高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20~30之间,所以应该有什么样的限制??
生 20≤x+y≤30.?
师 考虑到所投资金的限制,又应该得到什么??
生 26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200,即x+2y≤40.另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0.把上面四个不等式合在一起,得到?
师 用图形表示这个限制条件,请同学完成.?
生 得到图中的平面区域(阴影部分).?
师 例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐4吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.?
师 若设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则应满足什么样的条件??
生 满足以下条件
师 在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域.?
生
生 课堂练习?
(1)
(2)
［方法引导］?
上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出正确解答.?
课堂小结
1.处理实际问题，关键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导实际生产需要.?
2.在实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.??
布置作业
课本第97页练习4.
板书设计
第1课时
二元一次不等式（组）与平面区域
例1
课堂小结 例3
例2
第2课时?
二元一次不等式(组)与平面区域
例1
例3 例4
例2
课件35张PPT。【点拨】【思考】 画二元一次不等式表示的平面区域
二元一次不等式表示的平面区域
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定区域”的方法.
(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线.【名师指津】(2)特殊点定区域，即在直线ax+by+c=0的某一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当c≠0时，常把原点作为测试点.当c=0时，常把点（1,0）或点（0,1）作为测试点.
【特别提醒】解题时一定要注意实线与虚线的画法.【例1】画出下列二元一次不等式表示的平面区域.
（1）x+4y≤4;（2）y＞x.
【审题指导】本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，可先画直线，再取点分析.【规范解答】（1）先画出直线l:x+4y-4=0，取原点（0，0），把（0，0）代入x+4y-4,得0+0-4＜0.原点在x+4y≤4表示的区域内，不等式x+4y≤4表示的平面区域在直线x+4y-4=0的左下方，且包含该直线.如图所示.（2）画出直线y=x,因为y=x经过（0，0），选点（0，1）,把（0，1）代入y-x得1＞0，所以点（0，1）在y＞x表示的区域内，不等式y＞x表示的平面区域在直线y=x的左上方，且不包含该直线，如图所示.【变式训练】画出下列不等式表示的平面区域：
（1）x+2y-4＞0;（2）y≥x+3.
【解析】（1）先画出直线x+2y-4=0，∵这条直线上的点都不满足x+2y-4＞0,∴画成虚线.取原点（0，0），代入x+2y-4，得0+2×0-4=-4＜0,
∴原点（0，0）不在x+2y-4＞0表示的平面区域内，则不等式x+2y-4＞0表示的平面区域如图①.（2）先画出直线y=x+3，
∵这条直线上的点满足y≥x+3,
∴画成实线.取原点（0，0），代入y-x-3，得0-0-3＜0,
∴原点（0，0）不在y≥x+3表示的平面区域内，则不等式y≥x+3表示的平面区域如图②.【误区警示】解答本题易出现审题不仔细，实、虚线画错的情况.【例】画出满足下列条件的点的集合：
{（x,y）｜x-2＞0,y∈R}.
【审题指导】直线x-2=0，表示过点（2，0）与x轴垂直的直线.不等式x-2＞0表示此直线右侧的平面区域（不包括边界）.【规范解答】表示平面内点的集合，如图所示.【变式备选】画出满足集合{（x,y）｜y≥1,x∈R}的点的集合.
【解析】表示平面内点的集合，如图所示. 二元一次不等式的应用
【名师指津】对二元一次不等式表示平面区域的深入理解
一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0或Ax+By+C＜0在平面直角坐标系内表示直线l:Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，在直线l外任取两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若P、Q在l的同一侧，则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号；若P、Q在l异侧，则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号，这个规律可概括为：“同侧同号，异侧异号”.【例2】点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )
（A）a＜-7或a＞24 （B）-7＜a＜24
（C）a=-7或a=24 （D）以上都不对
【审题指导】把点代入3x-2y+a，根据几何意义构造不等式解得a的范围.【规范解答】选B.∵点（3，1）和（-4，6）在直线的两侧，
∴（9-2+a）（-12-12+a）＜0，
∴(a+7)(a-24)＜0，
∴-7＜a＜24.【互动探究】本例中两点若在直线3x-2y+a=0的同侧，则a的取值范围是_______.
【解析】∵点（3，1），（-4，6）在直线的同侧，
∴（3×3-2×1+a）(-4×3-2×6+a)＞0,
(a+7)(a-24)＞0，∴a＞24或a＜-7.
答案：a＞24或a＜-7【变式训练】点（1，2）与点（-3，4）在直线x+y+a=0的两侧，则实数a的取值范围是_________.
【解题提示】由题意知1+2+a与-3+4+a异号，可据此列不等式求出a的范围.
【解析】由题意得（1+2+a）（-3+4+a）＜0,解不等式得-3＜a＜-1.
答案：（-3,-1）【典例】（12分）画出二元一次不等式2y-5x-10＞0表示的区域.
【审题指导】先画出直线2y-5x-10=0,再利用特殊点判断区域.
【规范解答】设F（x,y）=2y-5x-10，……………………2分
作出直线2y-5x-10=0,因为不等式2y-5x-10＞0中不含等号，所以将它画成虚线. …………………………………………… 4分∵F（0,0）=2×0-5×0-10=-10＜0. …………………6分
∴所求区域为不含（0，0）的一侧. ……………………8分
如图所示.
………………………………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】画出不等式x+2y＜0表示的平面区域.
【解析】先画出直线x+2y=0.因为不等式x+2y＜0中不含等号，所以将它画成虚线.取直线右上方区域内的点（1，0），代入x+2y中，因为1+2×0=1＞0,所以不等式x+2y＜0表示的平面区域是直线x+2y=0的左下方区域，如图.1.不等式x-2y+6＜0表示的区域在直线x-2y+6=0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方
（C）左上方 （D）左下方
【解析】选C.作出直线可利用特殊点判断.2.不在3x-2y＜6表示的平面区域内的点是( )
（A）(0，0) （B）(1，1)
（C）(0，2) （D）(2，0)
【解析】选D.利用代入法可逐一验证点（2，0）在直线3x-2y-6=0上不在3x-2y＜6表示的平面区域内.3.不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是( )
【解析】选D.将(0,0)代入，满足不等式，表明不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域在直线3x+2y-6=0左下方(不包括直线上的点).故选D.4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式_____表示.
【解析】先作出直线x+2y-1=0,然后取点（0，0）验证，应在直线的另一侧，故为x+2y-1＞0.
答案：x+2y-1＞05.点A（0，0），B（2，1），C（3，0），D（0，4）在不等式x+2y-3＞0表示的平面区域内的有_______.
【解析】可利用代入法逐一验证，点B（2，1），D（0，4）在x+2y-3＞0表示的平面区域内.
答案：B(2,1)，D（0，4）6.画出不等式3x-y+3＞0表示的平面区域.
【解析】①画出直线3x-y+3=0，
∵这条直线上的点不满足3x-y+3＞0，∴画成虚线.
②取原点（0，0），代入3x-y+3.
∵3×0-0+3=3＞0,
∴原点在不等式3x-y+3＞0表示的区域内，
则不等式3x-y+3＞0表示的区域如图所示.课件52张PPT。【思考】【点拨】 二元一次不等式组表示的平面区域
【名师指津】二元一次不等式组表示的平面区域
（1）不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（2）在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域再取它们的公共部分即可，其步骤为：
①画线；②定侧；③求“交”；④表示.
【特别提醒】解题中不包括的线一定要用虚线，包括的线一定要用实线.【例1】画出不等式组 表示的平面区域.
【审题指导】审题时要注意有一个不等式不含等号，直线
x=3与y轴平行，所求平面区域是三个平面区域的公共部分.【规范解答】不等式x-y+5≥0表
示直线x-y+5=0上及其右下方的
点的集合，不等式x+y+1＞0表示
直线x+y+1=0右上方的点的集合
（不含边界），不等式x≤3表示
直线x=3上及其左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域的公共部分如图所示（阴影部分）.【变式训练】画出不等式组 所表示的区域.
【解题提示】先作出直线2x-y+1=0,2x+y-1=0，x=1,
然后用特殊点（0，0）分别定侧，最后画所表示的平面区域.
【解析】在坐标系中画出直线2x-y+1=0,
2x+y-1=0,x-1=0,如图①所示.
特殊点可以选为（0，0），将x=0,
y=0代入，则得2×0-0+1=1＞0,
2×0+0-1=-1＜0,0-1=-1＜0,从而（0，0）在2x-y+1≥0,x≤1所表示的区域内，不在2x+y-1≥0所表示的区域内.
所以它们所表示的区域的公共部分如图②所示.【例】画出不等式（x+2y+1）（x-y+4）＜0表示的平面区域.
【审题指导】根据两实数相乘的符号法则，可以将原不等式等价转化为两个不等式组解集的并集.
【规范解答】原不等式等价于
（1）
画出直线l1:x+2y+1=0和直线l2:x-y+4=0（画成虚线）.不等式组（1）表示直线l1右上方和直线l2左上方的平面区域.不等式组（2）表示直线l1左下方和直线l2右下方的平面区域.
故原不等式表示的平面区域为如图所示的阴影部分.【变式备选】画出不等式（x+y-2）（x-y+2）＞0所表示的平面区域.
【解析】原不等式等价于
①所表示的区域为在直线x+y-2=0的右上方平面与x-y+2=0的右下方平面的公共部分.
②所表示的区域为在直线x+y-2=0的左下方平面与x-y+2=0的左上方平面的公共部分.并且上面的公共部分均不含直线.所以，原不等式所表示的平面区域如图所示. 求二元一次不等式组表示的平面区域的面积
【名师指津】求平面区域面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解.
【特别提醒】一定要准确确定所求区域的形状.【例2】求不等式组 表示的平面区域的面积.
【审题指导】审题时注意直线x-y+6=0与直线x+y=0垂直，
直线x=3与x轴垂直，所构成的三角形为等腰直角三角形.
【规范解答】不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0上及其右下方的点的集合;x+y≥0表示直线x+y=0上及其右上方的点的集合；x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合.所以原不等式组表示的平面区域如下图所示.因此所求区域面积也就是△ABC的面积.显然，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,
所以S△ABC= =36.
∴原不等式组表示的平面区域的面积等于36.【互动探究】若把不等式组中的x+y≥0改为x+y≤0,x≤3改为y≥0,其他条件不变，那么不等式组表示的平面区域的面积为多少？
【解析】不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0上及其右下方的点的集合；x+y≤0表示直线x+y=0上及其左下方的点的集合；y≥0表示直线y=0上及其上方的点的集合，所以，原不等式组表示的平面区域，如图所示，因此所求区域面积也就是△ABC的面积.显然△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,
∴S△ABC= =9.
故原不等式组表示的平面区域的面积等于9.【变式训练】求不等式组 表示的平面区域的
面积.
【解析】不等式x+2y≤20表示直线x+2y=20上及其左下方的
点的集合，不等式2x+y-16≤0表示直线2x+y-16=0上及其左
下方的点的集合，x≥0表示y轴及其右方的点的集合，y≥0
表示x轴及其上方的点的集合，所以不等式组
所表示的平面区域如图所示.可求得两直线x+2y=20与2x+y=16交于点（4，8）.
∴S= ×8×（8-4）=52. 用二元一次不等式组表示实际问题
【名师指津】用二元一次不等式组表示实际问题的方法
用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时，
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来，(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式，
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.
【特别提醒】解题时容易忽视所设量的实际意义.【例3】某人准备投资1 200万兴办一所班数应限制在20 30之间的完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.【审题指导】审题时应分别考虑班数，资金，教师等各个因素，并注意它们的制约性.
【规范解答】设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x+y
≤30；考虑到所投资金的限制，得到
26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200;即x+2y≤40;
另外，开设的班数不能为负，则x≥0,y≥0.把上面的不等式合在一起，得到
用图形表示这个限制条件，得到
如图所示的平面区域. 【变式训练】某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，已知生产1 t A产品、1 t B产品分别需要的甲、乙原料数，及该厂现有原料数如表所示.在现有原料下，分别用数学关系式和图形表示表中的限制条件.【解析】设生产A，B两种产品分别为x t,y t,
根据题意，可得不等式组
用图形表示这个限制条件，得到如图所示的平面区域（阴影
部分）.【误区警示】本题易漏掉x≥0,y≥0这一隐含条件，错误的原因是忽视实际含义. 二元一次不等式组中的整数解问题
【名师指津】求二元一次不等式组中的整数解的方法
（1）方法一：通过打出网格求整点，关键是作图要准确；
（2）方法二：先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有相应整数值，即先固定x，再用x制约y. 【例】求不等式组 表示的平面区域内的整点
（坐标均为整数的点）.
【审题指导】不等式组的实数解集为直线x=0,x=7,y=0,y=4, x+y=9,48x+60y=360所围成的四边形区域，然后再从这个区域内找出所有整点. 【规范解答】由不等式组画出平面区域如图，并分别求得四
边形区域的各顶点的坐标A（ 4），B（7，），C（7，2），
D（5，4）.所以 ≤x≤7,又x为整数，即x=3,4,5,6,7,
将x=3,4,5,6,7代入原不等式组得平面区域内的整点是（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（5，4），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2），共十个.【变式备选】画出不等式组 表示的平面区域，
并求出平面区域内有多少个整点.
【解析】不等式y-2x≤0表示直线y-2x=0的右下方区域（含边
界），x+2y+3＞0表示直线x+2y+3=0右上方区域（不含边
界）,5x+3y-5＜0表示直线5x+3y-5=0左下方区域（不含边
界），所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如图所示的△ABC区域.可求得A（ ），B（ ），
C（ ），所以△ABC区域内的点（x,y）满足 ＜x＜
因为x,y∈Z.
所以0≤x≤2,-2≤y≤0,且x,y∈Z.经检验，共有四个整点
（0,0）,（0,-1）,（1,-1）,（2,-2）.【典例】（12分）已知点M（a,b）在由不等式组
确定的平面区域内，求点N（a+b,a-b）所在平面区域的面
积.
【审题指导】本题考查二元一次不等式组表示平面区域和三角形面积公式等.审题时一定分清所求的是什么.本题所求的是点N（a+b,a-b）所对应的区域，而不是点M（a,b）所对应的区域，最后求出面积.【规范解答】∵点M（a,b）在由 确定的平面区域
内，
∴ ………………………………………2分
设X＝a+b,Y=a-b,
……………………4分则 ………………………………6分
∴点N（a+b,a-b）即点N（X,Y）所在的平面区域为如图所
示的阴影部分. ………………………………………10分
易求得其面积为S= ×4×2＝4. …………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
(A)-5 (B)1 (C)2 (D)3
【解题提示】明确不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，利用面积构造a的方程，求得a.【解析】选D.由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，
则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1+a),且a>-1.
∵S△ABC=2，∴ (1+a)×1=2,∴a=3.1.下面四个点中，在平面区域 内的点是（ ）
（A）（0，0） （B）（0，2）
（C）（-3，2） （D）（-2，0）
【解析】选B.可以验证仅有点（0，2）的坐标是不等式组的解，则点（0，2）在该不等式组表示的平面区域内，故选B.2.如图，不等式（x-2y+1）（x+y-3）＜0表示的平面区域是（ ）【解析】选A.∵（x-2y+1）（x+y-3）＜0,
∴ 且不含边界，故选A.3.已知平面区域Ω={(x,y)| },
M={(x,y)| },向区域Ω内随机投一点P，点P落在
区域M内的概率为( )
(A) (B) (C) (D)【解析】选C.如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为
Ω，小的等腰直角三角形为区域M(双重阴影部分)，由面积
比知P= 故选C.4.阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选A.先求出直线方程，然后选取特殊点判断方向，
故选A.5.不等式组 表示的平面区域的面积为___________.
【解析】平面区域如图阴影部分
所示，在△ABC中，A（1，2），
B（2，2），C（3，0）.
∴S△ABC= ×1×2=1.
答案：16.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域
（含有边界），用不等式组表示为_________.
【解析】画出三角形区域，判断好区域在直线的哪一个方
向，然后写出不等式组，
即
答案：7.画出不等式组 表示的平面区域.
【解析】不等式2x-3y+2＞0表示直线2x-3y+2=0右下方的平
面区域，2y+1≥0表示直线2y+1=0上及其上方的平面区域，
x-3≤0表示直线x-3=0上及其
左方的平面区域，所以不等式
组
表示的平面区域如图所示.课时训练17 二元一次不等式(组)与平面区域
/
一、二元一次不等式(组)表示的平面区域
1.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是( )
A.b>
1
3
B.b>-9
C.b<1 D.b≤
1
3
答案:A
解析:由已知,2×(-2)-3b+5<0,
∴3b>1,∴b>
1
3
.
2.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )
/
A.
2??-??+2≤0,
??-1≥0,
??≤2
B.
2??-??+2≥0,
??-1≥0,
0≤??≤2
C.
2??-??+2≥0,
??-1≤0,
0≤??≤2
D.
2??-??+2≤0,
??-1≤0,
0≤??≤2
答案:C
解析:取点(0,0)检验即可,或直接依据图象写出不等式组.
3.不等式组
(??-??+5)(??+??)≥0,
0≤??≤3
表示的平面区域是0( )
A.矩形 B.三角形
C.直角梯形 D.等腰梯形
答案:D
解析:作出平面区域如图,所以平面区域为等腰梯形.
/
4.已知点P(1,-2)及其关于原点的对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,则b的取值范围是 .?
答案:
1
2
,
3
2
解析:点P(1,-2)关于原点的对称点为点P'(-1,2).
由题意知
2×1-2??+1>0,
-2+2??+1>0,
解得
1
2
3
2
.
5.画出不等式x≤|y|≤2x表示的平面区域.
解:由x≤2x,得x≥0,当y>0时,有
??-??≤0,
2??-??≥0,
点(x,y)在一角形区域内(含边界);
当y≤0时,由对称性得出,点(x,y)也在一角形区域内(含边界),
综上,x≤|y|≤2x表示的平面区域如图阴影部分.
/
二、不等式组表示的平面区域的面积
6.若不等式组
??≥0,
??+3??≥4,
3??+??≤4
所表示的平面区域被直线y=kx+
4
3
分为面积相等的两部分,则k的值是( )
A.
7
3
B.
3
7
C.
4
3
D.
3
4
答案:A
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分△ABC所示.
/
由
??+3??=4,
3??+??=4
得A(1,1),
又B(0,4),C
0,
4
3
,
∴S△ABC=
1
2
×
4-
4
3
×1=
4
3
.
设y=kx+
4
3
与3x+y=4的交点为D,则由S△BCD=
1
2
S△ABC=
2
3
知xD=
1
2
,
∴yD=
5
2
.∴
5
2
=k×
1
2
+
4
3
,解得k=
7
3
.
7.不等式组
(??-??+1)(??+??-1)≥0,
-2≤??≤0
表示的平面区域的面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案:B
解析:不等式组
(??-??+1)(??+??-1)≥0,
-2≤??≤0
等价于
??+??-1≥0,
??-??+1≥0,
-2≤??≤0
(1)或
??+??-1≤0,
??-??+1≤0,
-2≤??≤0.
(2)
分别作出以上两个不等式组表示的区域,可以发现不等式组(1)表示一个点A,不等式组(2)表示的平面区域如图阴影部分所示,
/
从而它们的并集为不等式组(2)表示的区域,其中点A(0,1),B(-2,3),C(-2,-1),
于是其面积为S=
1
2
×2×|3-(-1)|=4.
8.在平面直角坐标系中,不等式组
??+??-2≤0,
??-??+2≥0,
??≥0
表示的平面区域的面积是 .?
答案:4
解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是
1
2
×4×2=4.
/
三、用二元一次不等式组表示实际问题
9.某公司从银行贷款不足250万元,分配给下属甲、乙两个工厂用以进行技术改造.已知甲厂可以从投入的金额中获取20%的利润,乙厂可以从投入的金额中获取25%的利润,如果该公司计划从这笔贷款中至少获利60万元,请列出甲、乙两个工厂分配到的贷款金额所满足的数学关系式,并画出相应的平面区域.
解:设甲、乙两个工厂分配到的贷款金额分别为x,y(单位:万元),
根据题意,可得
??≥0,
??≥0,
??+??<250,
??·20%+??·25%≥60,
不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.
/
/
(建议用时:30分钟)
1.下面四个点中,在平面区域
????>-??
内的点是0( )
A.(0,0) B.(0,2) C.(-3,2) D.(-2,0)
答案:B
解析:可以验证仅有点(0,2)的坐标是不等式组的解,则点(0,2)在该不等式组表示的平面区域内.
2.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的右侧,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(5,+∞)
C.(0,2) D.(0,5)
答案:D
解析:∵(a,2a-1)在直线y=3x-6的上方,
∴3a-6-(2a-1)<0.即a<5.
又(a,2a-1)在y轴右侧,∴a>0.
∴03.由直线y=x,y=-x及x=1围成一个三角形区域,则表示该区域的不等式组是( )
A.
??-??≥0,
??+??≥0,
0≤??≤1
B.
??-??≥0,
??+??≤0,
0≤??≤1
C.
??-??≤0,
??+??≤0,
0≤??≤1
D.
??-??≤0,
??+??≥0,
0≤??≤1
答案:A
解析:由已知三条直线围成的三角形区域如图中阴影部分所示,从而代入
1
2
,0
点检验知A正确.
/
4.能正确表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)≥0的点所在的区域的是( )
/
答案:A
解析:∵点(0,0)在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴可排除C,D.
又∵点(-5,0)也在(x-y)(x+2y-2)≥0表示的平面区域内,∴排除B.
5.直线y=kx+1将不等式组
??-??+2≥0,
??-2≤0,
??+??≥0
表示的平面区域分为面积相等的两部分,则实数k的值为( )
A.1 B.-1
C.0 D.-2
答案:C
/
解析:不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,△ABC是等腰直角三角形,且BC⊥x轴,点A(-1,1).直线y=kx+1经过点(0,1),要使直线将△ABC等分,则k=0.
6.如果点(5,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为 .?
答案:4
解析:由已知得
6×5-8??+1<0,
3×5-4??+5>0,
解得
31
8
又∵b∈Z,∴b=4.
7.不等式组
??≥1,
??+??-??≤0,
????-??≤0
表示面积为1的直角三角形区域,则n= .?
答案:4
解析:由已知图形为直角三角形,∴k=1.
从而区域如图所示,
/
则点A(1,1),C(1,n-1),B
??
2
,
??
2
,∴S△ABC=
1
2
(n-2)×
??
2
-1
=1,∴n=4或n=0(舍去).
8.已知D是由不等式组
??-2??≥0,
??+3??≥0
所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为 .?
答案:
π
2
解析:作出区域D及圆x2+y2=4,如图所示,图中阴影部分所在圆心角θ=α+β所对弧长即为所求,易知图中两直线的斜率分别为
1
2
,-
1
3
,即tan α=
1
2
,tan β=
1
3
,tan θ=tan(α+β)=
1
2
+
1
3
1-
1
2
×
1
3
=1,故θ=
π
4
,从而弧长l=θ·R=
π
4
×2=
π
2
.
/
9.△ABC中,顶点A(3,-1),B(-1,1),C(1,3).写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.
解:如图:
/
AB,BC,CA三边所在直线的方程分别为x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0,由区域可得不等式组为
??+2??-1≥0,
??-??+2≥0,
2??+??-5≤0.
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于P,Q两点,且P,Q关于直线x+y=0对称,则不等式组
????-??+1≥0,
????-????≤0,
??≥0
表示的平面区域的面积是多少?
解:P,Q关于直线x+y=0对称,故PQ与直线x+y=0垂直,直线PQ即是直线y=kx+1,故k=1.
又线段PQ为圆x2+y2+kx+my-4=0的一条弦,故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上,
即在直线x+y=0上,
又圆心在
-
??
2
,-
??
2
上,
∴m=-k=-1,∴不等式组为
??-??+1≥0,
??+??≤0,
??≥0,
它表示的平面区域如图所示,故面积为
1
4
.
/
课件46张PPT。3.3 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域自主学习 新知突破1．了解二元一次不等式的概念．
2．准确判断二元一次不等式表示的平面区域．
3．会画出二元一次不等式表示的平面区域．方程2x－y＋1＝0表示直线．
[问题1] 试判断点A(0,1)，B(1,1)，C(－1,1)与直线的位置关系？
[提示] 点A在直线上，B，C不在直线上．
[问题2] 试判断上述三点坐标满足不等式2x－y＋1>0吗？
[提示] B点的坐标满足，而A，C不满足．
[问题3] 点B在直线2x－y＋1＝0的哪个方向的区域内？
[提示] 在直线2x－y＋1＝0的右下方区域．
[问题4] 直线2x－y＋1＝0右下方的点都满足2x－y＋1>0吗？
[提示] 满足．(1)含有_____未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个__________________组成的不等式组叫做二元一次不等式组．
(2)满足___________________________________构成_______________，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．二元一次不等式(组)的概念两个二元一次不等式二元一次不等式(组)的x和y的取值有序数对(x，y)1．对概念的几点理解
(1)二元一次不等式中主要强调两点：一是不等式中只含有两个未知数，多于两个或少于两个均不能称为二元不等式．二是未知数的最高次数是1.
(2)二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组成的不等式组，其中的不等式个数可以是二个、三个，当然也可以是多个．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线_______________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_____以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成_____． 二元一次不等式表示平面区域Ax＋By＋C＝0虚线实线(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都_____．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由_____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．二元一次不等式表示平面区域的确定相同Ax0＋By0＋C2．二元一次不等式表示平面区域需注意的问题
(1)平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示，二元一次不等式表示的平面区域就是二元一次不等式的几何表示．
(2)用二元一次不等式确定平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0时)验证．1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
答案： D
2．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
解析： 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
答案： D
3．某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过打磨和装配两个车间加工，有关数据如下表：
设生产甲产品x件，生产乙产品y件．列出满足生产条件的数学关系式为____________．解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．合作探究 课堂互动 二元一次不等式表示的区域 画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.[边听边记] (1)设F(x，y)＝x－2y＋4，画出直线x－2y＋4＝0，
∵F(0,0)＝0－2×0＋4＝4≥0，
∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，包括边界．(2)设F(x，y)＝y－2x，
画出直线y－2x＝0，
∵F(1,0)＝0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，不包括边界． 画二元一次不等式表示平面区域时，先画直线，当不等式中含有等号时画成实线，不含等号时画成虚线，然后把原点坐标代入不等式检验，成立时原点所在一侧的半平面为所求平面区域，不成立时，另一侧的半个平面为所求作的平面区域，当原点正好在所画直线上时，另外选一个特殊点如(0,1)或(1,0)代入不等式检验即可，得到的平面区域需要画成阴影表示． 1．画出下列不等式表示的平面区域：
(1)2x＋y－10<0；(2)y≤－2x＋3.
解析： (1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点(0,0)代入2x＋y－10，有2×0＋0－10＝－10<0，
∴2x＋y－10<0表示的区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)所示．
(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，首先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)，取点(0,0)，代入2x＋y－3，有2×0＋0－3＝－3<0，
∴2x＋y－3<0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0的左下方的平面区域．
∴2x＋y－3≤0表示的区域是直线2x＋y－3＝0以及左下方的平面区域．如图(2)所示． 平面区域的面积解析： 不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及右下方的点的集合；x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．作出原不等式组表示的平面区域如图所示．该平面区域的面积也就是△ABC的面积． 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解． 答案： C用二元一次不等式(组)表示实际问题 投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．[思路点拨] 先将已知数据列成表，如下表所示：
然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即可．用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分). 12分 用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可． 3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源需求如下表：
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)：◎画出不等式(x－y)(x＋2y－2)>0所表示的平面区域．【错因】 以上两种方法均犯了实线与虚线不分的错误，这一点经常被忽视，同时错解一并不是等价转化．
∴(x－y)(x＋2y－2)>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 谢谢观看！