3．3．2简单的线性规划问题
【教学目标】
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
【教学重难点】
教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
【教学过程】
一 复习提问
1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
二 设置情境，引入新课
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：
……………………………………………………………….（1）
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：
当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？
把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。
（5）获得结果：
由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
变换条件，加深理解
探究：课本第100页的探究活动
在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。
有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
典型分析
例题1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.
解：设每天食用
（1），目标函数为
二元一次不等式组（1）等价于（2）
做出二元一次不等式组（2）所表示的平面区域，即可行域
考虑考虑z=28x+21y,将它变形为 ,这是斜率为 、随z变化的一族平行直线. 是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.?
由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小.?
解方程组 得点M( , )，因此，当 , 时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.?
由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.?
例题2：在上一节例题3中，各截这两种钢板多少张可得所需A 、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则
且x，y都是整数．
做出不等式组表示的平面区域，即可行域，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，即z最小。解方程组
得M的坐标为。由于都不是整数，此问题中最优解中横纵坐标都必须是整数，所以点不是最优解。经过可行域内整点且使截距z最小的直线是，经过的整点是B它们是最优解。所以Zmin =
答：略
反馈测评
求
2．求
五 课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
六 作业
课本P93 习题3.3 A组 3、4题
学校：二中 学科：数学 编写人：郝福强 一审：王梦炬 二审：马英济
3．3．2二元一次不等式（组）与平面区域
课前预习学案
预习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1.阅读课本引例，回答下列问题
线性规划的有关概念：
①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
2．.通过研究引例及例题5、6，你能总结出求线性规划问题的最值或最优解的步骤吗？那些问题较难解决？
课内探究学案
一、 学习目标
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
二、学习重难点
学习重点：教学重点： 用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点：准确求得线性规划问题的最优解
三、学习过程
（一）自主学习
大家预习课本P87页，并回答以下几个问题：
问题1. ①线性约束条件
②线性目标函数：
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
(二) 合作探究，得出解决线性规划问题的一般步骤
（三）典型例题
例1、①求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件
解析：注意可行域的准确画出
②求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解析：注意可行域的准确性
不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.
所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×+5×=14
例2. 有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．
轮船运输量／
飞机运输量／
粮食
石油
现在要在一天内运输至少粮食和石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排艘轮船和架飞机，则
即
目标函数为．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直线（为参数）中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线和的交点，直线方程为：．
由于不是整数，而最优解中必须都是整数，所以，可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是，
即为最优解．则至少要安排艘轮船和架飞机．
变式训练. 1、求的最大值、最小值，使、满足条件
2、设，式中变量、满足
反馈测评 给出下面的线性规划问题：求的最大值和最小值，使，满足约束条件要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是 ．
答案：
课堂小结
1．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题
四 课后练习与提高
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？
解：设需型、型卡车分别为辆和辆．列表分析数据．
型车
型车
限量
车辆数
运物吨数
费用
由表可知，满足的线性条件：
，且．
作出线性区域，如图所示，可知当直线过时，最小，但不是整点，继续向上平移直线可知，是最优解．这时（元），即用辆型车，辆型车，成本费最低．
若只用型车，成本费为（元），只用型车，成本费为（元）．
3．3.2 简单的线性规划问题(二)
课时目标
1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值．
2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 比较选项可知C正确．
2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B. C．4 D.
答案 B
解析 由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，
目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.
画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．
5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－.
二、填空题
6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
答案 2 300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则
z＝10x＋10y的最大值是________．
答案 90
解析
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
答案 20 24
解析
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S＝7x＋12y.
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解 将已知数据列成下表：
原料/10 g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
10．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，
可使所得利润最大．
能力提升
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 A
解析 当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，
z有最小值1，与题意不符．
当a>0时，y＝－x＋.
斜率k＝－<0，
仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，
直线在y轴的截距最小，此时z也最小，
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．
当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴a＝－3.
12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y.
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
课件57张PPT。【思考】【点拨】 求最大值的实际应用问题
【名师指津】解答线性规划应用题的一般步骤
（1）审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.（2）转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
（3）求解——解这个纯数学的线性规划问题.
（4）作答——就应用题提出的问题作出回答.
【特别提醒】解线性规划应用题的关键是将实际问题转化为简单的线性规划问题.【例1】某公司计划2013年在甲,乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲,乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,已知甲,乙两个电视台为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲,乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元?【审题指导】解答本题的关键是设出分配给两个电视台的
广告时间，根据时间和费用限制条件列出约束条件，建立
目标函数求解.
【规范解答】设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分
别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得
目标函数为z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式组等价于作出可行域,如图所示.
作直线l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.
平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.联立 解得
∴点M的坐标为(100,200).
∴zmax=3 000×100+2 000×200=700 000(元).
因此该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.【变式训练】某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解析】设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边
界），即可行域.作直线l0:x+0.5y=0.并作平行于
直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R，
与可行域相交，从图中可知，直线
过点M时，目标函数取最大值.这里
M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8
的交点.解方程组
得x=4,y=6.
此时zmax=1×4+0.5×6=7（万元）.
∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大. 求最小值的实际应用问题
【名师指津】解答线性规划应用题应注意的问题
（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
（3）结合实际问题，分析未知数x,y等是否有限制，如x,y为正整数、非负数等；
（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.
【特别提醒】解答实际应用题时一定不要忽视了x，y的实际意义，特别当x,y∈N时.【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【审题指导】审题时可将已知数据列成下表，题意就清楚了.【规范解答】设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总
费用为z,那么
目标函数为z=3x+2y,作出可行域如图.把z=3x+2y变形为y= 得到斜率为 在y轴上的截
距为 随z变化的一组平行直线.
由图可知，当直线y= 经过可行域上的点A时，截距
最小，即z最小.
由 得A（ 3），
∴zmin=3× +2×3=14.4,
∴当使用甲种原料 ×10=28（g），
乙种原料3×10=30（g）时，费用最省.【变式训练】某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与
55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与
3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种
规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A，B两种规格金属板各
取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？【解析】设A，B两种金属板分别取x张，y张，用料面积为
z，则约束条件为
目标函数z=2x+3y.
作出以上不等式组表示的可行域，如图所示.作直线l:2x+3y=0，把直线向右上方平移，
当直线经过可行域上的点M时，
此时z=2x+3y取得最小值，
由 得M点坐标为（5，5）.
因M为整点，
故zmin=2×5+3×5=25.
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省. 简单线性规划整数解问题
【名师指津】求线性规划问题的最优整数解的调整方法.
（1）局部微调法
（2）小范围搜索法 【例】热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款.今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍.问桌子、椅子各买多少才合适？【审题指导】由题目可获取以下主要信息：
①投入总费用≤2 000元；
②桌子50元/张，椅子20元/把；
③桌子数≤椅子数≤桌子数的1.5倍.
解答本题可转化为线性规划问题求解.【规范解答】设桌子、椅子分别买x张和y把，
则所买桌椅的总数为z=x+y.
依题意得不等式组 其中x,y∈N*.
由 解得
由设点A的坐标为( )，点B的坐标为(25, ),
则前面的不等式组所表示的平面区域是以A( ),
B(25, ),O(0,0)为顶点的△AOB的边界及其内部（如图中阴
影所示）.令z=0,得x+y=0,
即y=-x,作直线l0 :y=-x.
由图形可知，把直线l0平移至过点B(25, )时，亦即x=25,
y= 时，z取最大值.
因为x,y∈N*，所以x=25,y=37时，z取最大值.
故买桌子25张，椅子37把较为合适.【变式备选】某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表所示：
试问加工这两种产品各多少件，才能使工厂获利最大？【解析】设加工甲、乙两种产品分别为x件、y件，工厂获利
为z元，则z=300x+520y，由题意得
作出可行域如图所示.考虑z=300x+520y，将它变形为y= 这是斜率为
且随z变化的一组平行直线. 是直线在y轴上的截
距，当直线截距最大时，z的值最大.由图可知，当直线
z=300x+520y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.由
得M的坐标为（ ），不满足x∈N,y∈N.
平移直线并验证知点（64，74）是最优可行解.
故加工甲产品64件，乙产品74件，才能使工厂获利最大.【典例】（12分）有一批钢管，长度都是4 000 mm,要截成
长为500 mm和600 mm的两种钢管，且这两种钢管的数量之
比按大于 配套，怎样截合理？
【审题指导】根据题意可以列出约束条件和目标函数，但解题时要注意最优解有时不止一个.【规范解答】设每根截500 mm的x根和600 mm的y根，则
……………………2分
作出可行域如图所示.
………………………………………………………………4分目标函数为z=x+y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）点的直线，
…………………………………………………………………6分
这时x+y=8,由x,y∈N*知（8，0）不是最优解，
…………………………………………………………………8分
因此，在可行域内找整点，得到点（2，5），（3，4），
（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解， 此时x+y=7.
………………………………………………………………10分∴按照每根钢管来截，
截500 mm的2根、600 mm的5根
或截500 mm的3根、600 mm的4根
或截500 mm的4根、600 mm的3根
或截500 mm的5根、600 mm的2根
或截500 mm的6根、600 mm的1根. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】两类药片有效成分如表：
若要求至少提供12 mg阿司匹林、70 mg小苏打、28 mg可卡因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？【解析】设需用A和B两种药品分别为x片和y片，药品总数为z片，价格为L元.
由题意，得约束条件
线性目标函数为：药品总数z=x+y.价格L=0.1x+0.2y.由不等式组作可行域如图所示.
作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置，l经过点A时z有最小值.由 解得点A坐标为（ ）.
而点A不是整数点，故不能作为最优解.
此时，过点A的直线为lA:x+y= 可行域内与直线lA距离最
近的整点有（1，10），（2，9），（3，8），使zmin=11，
即药品总数为11片，而相应价格为
L1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0,
L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小，所以Lmin=1.9元.
所以药品最小总数为11片，其中3片A种药、8片B种药搭配
的价格最低.1.车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，则各自最多组成的工作小组数为（ ）
(A)甲4组，乙2组 (B)甲2组，乙4组
(C)甲、乙各3组 (D)甲3组，乙2组【解析】选D.解答选择题可用排除法.
设甲种组数为x,乙种组数为y，则
将选项A，B，C，D代入检验可得答案为D.2.实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费（ ）
(A)400元 (B)500元
(C)600元 (D)800元【解析】选B.设需要每袋35千克的原料为x袋，每袋24千克
的原料为y袋，由题意得 求z=140x+120y的最
小值,把实际问题转化为数学问题，在可行域内求出zmin
=500，即当x=1,y=3时，花费最少.故选B.3.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1 kg，
b1 kg,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2 kg,
b2 kg，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d1元，d2元，
月初一次性购进原料A，B各c1 kg,c2 kg，本月要生产甲产
品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这
个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg,y kg,
月利润总额为z元，那么，用于求使总利润最大的数学模型
中，约束条件为（ ）(A) (B)
(C) (D)【解析】选C.由题设条件列表如下，约束条件应为C.4.某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成.已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入__________份、______份.【解析】设稳健型组合投资注入x份，进取型组合投资注入y份，则获利总额为z=10x+15y,
依题意
作出可行域，如图.由 即A（4，2），
由图可知当x=4,y=2时，z取最大值.
答案：4 25.某工厂库存A、B、C三种原料，可用来生产Z、Y两种产品，市场调查显示各种数据如表：
问：若市场调查情况如（Ⅰ），则怎样安排生产获利最大？若市场调查情况如（Ⅱ），则怎样安排生产获利最大？【解析】设生产Z产品m件、Y产品n件，依题意，约束条件
为：
(Ⅰ)目标函数：s1=2 000m+1 000n.(Ⅱ)目标函数：s2=1 000m+3 000n.
作出约束条件所表示的平面区域，如图.（Ⅰ）考虑：s1=2 000m+1 000n将它变形为n=-
这是斜率为-2、随s1变化的一组平行直线. 是直线在y
轴上的截距，当直线截距最大时，s1的值最大.当然直线要
与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数s1=2 000m+
1 000n取得最大值.
由图可见，当直线s1=2 000m+1 000n经过可行域上的点A时，截距最大，即s1最大.解方程组 得A的坐标为（49，9）.
即生产Z产品49件，Y产品9件，获利最大.
（Ⅱ）考虑s2=1 000m+3 000n，过点B（40，15）时取得最大值.
即生产Z产品40件，Y产品15件，获利最大.3．3.2 简单的线性规划问题(二)
课时目标
1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值．
2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型．
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
一、选择题
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 比较选项可知C正确．
2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B. C．4 D.
答案 B
解析 由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，
目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知
甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.
画出可行域如图所示．
点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M(15,55)处z取得最大值．
5．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，∵点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB≤k≤kBC，即－2≤k≤－.
二、填空题
6．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
答案 2 300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则
z＝10x＋10y的最大值是________．
答案 90
解析
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
8．某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
答案 20 24
解析
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S＝7x＋12y.
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
三、解答题
9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
解 将已知数据列成下表：
原料/10 g
蛋白质/单位
铁质/单位
甲
5
10
乙
7
4
费用
3
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A(，3)，
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．
10．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，
可使所得利润最大．
能力提升
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 A
解析 当a＝0时，z＝x.仅在直线x＝z过点A(1,1)时，
z有最小值1，与题意不符．
当a>0时，y＝－x＋.
斜率k＝－<0，
仅在直线z＝x＋ay过点A(1,1)时，
直线在y轴的截距最小，此时z也最小，
与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾．
当a<0时，y＝－x＋，斜率k＝－>0，
为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个，当且仅当斜率－＝kAC.即－＝，∴a＝－3.
12．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别至少为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y.
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．
课件52张PPT。第2课时 简单线性规划的应用自主学习 新知突破1．会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的能力．(1)实际问题中线性规划的类型
①给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．线性规划在实际问题中的应用
(2)线性规划解决的常见问题
①物资调配问题
②产品安排问题
③合理下料问题
④产品配比问题
⑤方案设计问题
(3)线性规划解决实际问题的一般步骤最优整数解的求解技巧
如何求线性规划问题的最优整数解是整个线性规划中最复杂也是最困难的问题，为了解决这类问题，可以采用如下两种方法：
(1)“局部微调法”
所谓“局部微调法”是指：在求线性目标函数z＝ax＋by＋c的最优整数解时，先根据基本方法求出目标函数的最优解，但若此时最优解不是整数(即此时直线经过的点A(x0，y0)不是整点)，可先根据A(x0，y0)求出此时的z0＝ax0＋by0＋c，然后根据条件把z0的值微调为大于(或小于)z0且与z0最接近的整数z1，再求出直线z1＝ax＋by＋c与可行域各直线的交点坐标，然后在这些交点之间寻找整点．1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )
A．甲4组、乙2组 B．甲2组、乙4组
C．甲、乙各3组 D．甲3组、乙2组答案： D
当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．
答案： B
3．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
答案： >4．配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需甲料3 mg，乙料5 mg；配一剂B种药品需甲料5 mg，乙料4 mg，今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A，B两种药品至少各配一剂，问共有多少种配制方法？作出可行域，如图，由图知，区域内的所有格点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共8种不同方法．合作探究 课堂互动 求最大值的实际应用题 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米，总重量不能低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？
作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示． 解答线性规划应用题的一般步骤：
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答． 1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．
解析： 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系目标函数z＝5x＋3y，作出可行域如图所示， 求最小值的实际应用问题 某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
[思路点拨] 可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．解析： 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得
在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为x＝2，y＝1，
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． 解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式． 2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
作出可行域，如图中阴影部分所示． 实际问题中的整数解问题作出可行域如图所示，作出直线x＋y＝0.作出一组平行直线x＋y＝t(其中t为参数)． 对于线性规划中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解．
(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解． 3．某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人，大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次，大巴为3次，每次运输成本小巴为48元．大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？即可行域，如图阴影部分的整点．
作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，
作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，
把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y轴上的截距最少，观察图形，可知当直线l经过点(2,4)时，满足上述要求．
此时，z＝240x＋180y取得最小值，
即x＝2，y＝4时，
zmin＝240×2＋180×4＝1 200(元)．
答：派2辆小巴，4辆大巴总费用最少．【正解】 同上述方法作出可行域，因为当直线l：5x＋4y＝t平移时，从A点起向左下方移时第一个通过可行域中的整数点是(2,1)，∴(2,1)是所求的最优解．故Smax＝5×2＋4×1＝14.谢谢观看！
