3．3.2 简单的线性规划问题(一)
课时目标
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式或方程
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B. C．1 D.
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8 C．16 D．10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，
|OB|＝2，
C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t
C．1－t2 D.(t－2)2
答案 A
解析
作出不等式组所表示的平面区域．
由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC
＝1－t2－(1－t)2
＝－t2＋t＋.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.
5设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )
A. B．4 C. D．2
答案 B
解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.
二、填空题
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 7
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
7．已知－1
答案 (3,8)
解析 由得平面区域如图阴影部分所示．
由得
由得
∴2×3－3×1即38．已知实数x，y满足则的最大值为________．
答案 2
解析 画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．
A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
三、解答题
9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．
解 作出不等式组
的可行域如图所示，
由，得A(1,3)，
由，得B(3,4)，
由，得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.
能力提升
11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．
解 作出可行域如图，
由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
即|OP|2，最大值为|OA|2，
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝3，
|OA|＝＝，
∴(x2＋y2－2)min＝(3)2－2＝18－2＝16，
(x2＋y2－2)max＝()2－2＝116－2＝114，
∴16≤x2＋y2－2≤114.
即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.
12．已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
解 由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即
zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；
zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
∴z的最大值为3，最小值为.
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
3.3.2 简单线性规划问题??
从容说课
本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.?
“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.?
依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.?
本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.?
本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.?
教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.?
教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.?
课时安排 3课时
三维目标
一、知识与技能?
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;?
2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.??
二、过程与方法?
1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.
三、情感态度与价值观?
1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;?
2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.
教学过程
第1课时?
导入新课
师 前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.?
（生回答）??
推进新课
［合作探究］?
师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.?
例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？?
生 由已知条件可得二元一次不等式组：
师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？?
生 （板演）?
师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？?
设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？?
生 则z=2x+3y.?
师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？?
［教师精讲］?
师 把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.?
生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）?
师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.?
由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.?
［知识拓展］?
再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.?
然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?
若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.?
分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.?
作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.?
(1)
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.?
可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.?
而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.?
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin?=2×1+3=3.?
(2)
(3)
［合作探究］?
师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.?
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.?
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.?
那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.??
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
2.设t=0，画出直线l0.?
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.??
布置作业
1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？?
分析：将已知数据列成下表：?
甲原料（吨）
乙原料（吨）
费用限额
成本
1 000
1 500
6 000
运费
500
400
2 000
产品
90
100
解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则?
z=90x+100y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：?
由得
令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.?
由此得出t的值也最大，zmax?=90×+100×=440.?
答：工厂每月生产440千克产品.?
2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？?
解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，?
则
目标函数为z=2x+3y.?
作出可行域：?
把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.?
解方程得M的坐标为（2，3）.?
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.?
3.课本106页习题3.3A组2.?
第2课时?
导入新课
师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.?
师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.?
生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;?
（2）设t=0，画出直线l0;?
(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;?
(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.??
推进新课
师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.?
师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.?
解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组
得C（,），?
令t=300x+900y，?
即,?
欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.?
师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.?
师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.?
解：可行域如图所示.?
四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组?
得点C的坐标为（,).?
因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,?y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.?
师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.?
师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.?
解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；?
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.?
可行域如右图所示.?
作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).?
∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.?
由图可知：?
当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.?
师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.?
（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
［教师精讲］?
师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组表示的平面区域如右图所示：?
当x=0,y=0时，z=2x+y=0，?
点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.?
作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.?
可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.?
所以z max=2×2-1=3.?
（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件
解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.?
从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.?
所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.?
［知识拓展］?
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？?
师 分析：将已知数据列成下表：?
消耗量 产品
资源
甲产品（1 t）
乙产品(1 t)
资源限额（t）
A种矿石（t）
10
4
300
B种矿石(t)
5
4
200
煤(t) 利润（元）
4
9
360
600
1 000
解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，?
那么
目标函数为z=600x+1 000y.?
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.??
作直线l:600x+1 000y=0,?
即直线:3x+5y=0,?
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.?
解方程组
得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.?
答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.??
课堂小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.?
（2）设t=0，画出直线l0.?
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.?
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.?
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义??
布置作业
课本第105页习题3.3A组3、4.?
第3课时?
导入新课
师 前面我们已经学习了
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.???
推进新课?
师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg?脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？?
师 分析：将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
若设每天食用x kg食物A，y kg?食物B，总成本为z，如何列式？?
生 由题设条件列出约束条件
其目标函数z=28x+21y.?
二元一次不等式组①等价于
师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.?
生 考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.?
由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z[]28最小，即z最小.?
解方程组得点M(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.?
由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.?
师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45
2
26/班
2/人
高中
40
3
54/班
2/人
师 由前面内容知若设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元,?
此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图?
把z=7.2x+10.8y变形为，得到斜率为-，在y轴上截距为，随z变化的一组平行直线.?
由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.?
解方程组得点M（20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y取最大值，最大值为252.?
由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.?
师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？?
生 若设生产x车皮甲种肥料，y车皮乙种肥料，能够产生的利润z万元.目标函数?z=?x+0.5y,可行域如下图：?
把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y轴上截距为2z,随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.?
解方程组得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y取最大值，最大值为3.?
由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.?
［教师精讲］?
师 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义.
课堂小结?
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：?
（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；?
（2）设t=0，画出直线l0；?
（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；?
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.?
以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：?
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；?
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；?
（3）在可行域内求目标函数的最优解.?
当然也要注意问题的实际意义.
布置作业
课本第105页习题3.3 B组1、2、3??
板书设计
第1课时?
简单线性规划问题
图1
课堂小结 线性规划问题的相关概念
图2
第2课时?
简单线性规划问题
例1
课堂小结 例3
例2
第3课时?
简单线性规划问题
例5
课堂小结 例7
例6
课件49张PPT。【思考】【点拨】 求线性目标函数的最值
解决简单的线性规划问题的方法和步骤
解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法，其步骤为：
①画：画出可行域；
②变：把目标函数变形为斜截式方程；从纵截距的角度寻找最优解；【名师指津】③求：解方程组求出最优解；
④答：写出目标函数的最值.
【特别提醒】最优解一般在可行域的边界上取得，但有时在区域内取得，尤其是整点为最优解时.【例1】若变量x,y满足 则z=3x+2y的最大值是
（ ）
（A）90 （B）80 （C）70 （D）40
【审题指导】由题目可获得以下主要信息：①可行域已知；
②目标函数已知.【规范解答】选C.由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域，如图所示.由z=3x+2y得y= 要求z的最大值，可求 的最大
值，即求斜率为 的直线在可行域内在y轴上截距的最大
值，如图，显然直线过A点时，在y轴上截距最大.
联立 ∴A（10,20）.
∴z=3x+2y的最大值为zmax=3×10+2×20=70.故选C.【互动探究】若本题条件不变，则z=3x+y的最大值是多
少？
【解析】如图，可行域与例题相同.
把z=3x+y变形为y=-3x+z得到斜率为
-3，在y轴上截距为z的一组平行直
线，由图可知，当直线z=3x+y过可
行域上B点时，截距最大，易知B（20，0）.
∴zmax=3×20+0=60.【变式训练】设z=2x+y，变量x、y满足条件
求z的最大值和最小值.
【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图
所示.把z=2x+y变形为y=-2x+z，则得到斜率为-2，在y轴上
的截距为z,且随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当
直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小.解方程组 得A点坐标为
（5，2），解方程组 得B点坐标为（1，1），
∴zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3. 求非线性目标函数的最值
非线性目标函数的最值的求法
（1）对于形如z=（x-a）2+（y-b）2型的目标函数均可化
为求可行域内的点（x,y）与点（a,b）间的距离的平方的
最值问题.
（2）对形如z= （ac≠0）型的目标函数，可先变形为
z= 的形式，将问题转化为可行域内的点
（x,y）与点（ ）连线斜率的 倍的范围、最值等.【名师指津】【特别提醒】解题中要注意斜率不存在的情况.【例2】已知 求：
（1）z=x2+y2-10y+25的最小值；
（2）z= 的范围.
【审题指导】审题时，要把z=x2+y2-10y+25化为z=x2+
（y-5）2;把z= 化为z=2· 联系其几何意义，思路就清晰了.【规范解答】作出可行域，如图所示.
A（1，3），B（3，1），C（7，9）.
（1）z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x,y）到点
M（0,5）的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC
上，故MN=MN2= 故z的最小值为
（2） 表示可行域内点（x,y）与定点Q（-1，
）连线斜率的2倍，
∵KQA= KQB=
∴z的范围是［ ］.【变式训练】已知 求（x+1）2+（y+1）2的
最大值、最小值.
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由
得 A（1，3）；
由 得B（3，4）；
由 得C（2，1）.设d=（x+1）2+（y+1）2，则它表示可行域内的点到点（-1,
-1）的距离的平方，以点（-1，-1）为圆心， 为半径画
圆，当圆经过点B时，d最大；当圆经过点C时，d最小.
所以当x=3,y=4时，dmax=（3+1）2+（4+1）2=41;当x=2,y=1
时，dmin=（2+1）2+（1+1）2=13,
即（x+1）2+（y+1）2的最大值为41，最小值为13.
【误区警示】此题易出现 与 的错误，原因是漏掉了平方. 已知目标函数的最值求参数
求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问
题.
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行
域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解.同时
要搞清目标函数的几何意义.
【特别提醒】解题时要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.【名师指津】【例3】若实数x,y满足 且x2+y2的最大值为
34，求正实数a的值.
【审题指导】此题的关键是找到取得最大值的点，然后确定a的值即可.
【规范解答】在平面直角坐标系中
画出约束条件所表示的可行域如图
（形状不定）其中直线ax-y-a=0的位置不确定，但它经过定点A（1，0），
斜率为a.
又由于x2+y2= 且x2+y2的最大值等于34，所以可行
域中的点与原点距离的最大值等于解方程组 得M的坐标为（ ）,
解方程组 得P的坐标为( +1,3)
又OM= ∴点P（ +1,3）到原点距离最大
∴（ +1）2+9=34，又a＞0，故解得a=【变式训练】已知变量x,y满足约束条件 若目标
函数z=ax+y(其中a>0)仅在点（3，0）处取得最大值，则a的
取值范围为_____________.
【解题提示】目标函数可化为y=-ax+z,可看作斜率为-a,在y轴上的截距为z的直线，为使目标函数仅在点（3，0）处取得最大值，可分析斜率-a的取值范围进而求a的范围.【解析】由约束条件画出可行域如图所示.
要使z仅在点（3，0）处取最大值，
则y=-ax+z的斜率-a应满
足-a＜ 所以a>
答案：a> 简单线性规划整数解问题
整点坐标的求法
求不等式组表示的平面区域内的整点坐标,常有两种方法:
(1)先确定区域内横坐标的取值范围,确定x的所有整数值;通过x的值再确定相应y的整数值;
(2)画出网格求整点,关键是作图要准确.【名师指津】【例】设z=600x+300y，变量x,y满足约束条件
且x,y为整数，求z的最大值.
【审题指导】该题可行解（x,y）是不等式组确定的平面区域内的整点.【规范解答】如图，可行域为四边形
AOBC内的区域，由题意得A（0，126），
B（100，0）.
由方程组
∴C点坐标为（ ）.因为题设要求整点（x，y）使z=600x+300y取得最大值，
又整点（69,91）,（70,90）都在可行域内，
将两点坐标代入z=600x+300y可知当 时，z取得最大值.
即zmax=600×70+300×90=69 000.【变式备选】设变量x,y满足条件 求S=5x+4y的
最大值.
【解析】依约束条件画出可行域如图所示，若暂不考虑
x,y为正整数的条件，则当直线5x+4y=S过点A（ ）
时， S=5x+4y取最大值，Smax=
∵x,y为正整数，∴当直线5x+4y=
S平行移动时，从点A起第一个通过
的可行域内的整点是（2，2），此
时Smax=18.【典例】（12分）已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范围.
【审题指导】本题考查线性规划应用问题.把1≤x+y≤5,
-1≤x-y≤3看作变量x,y满足的线性约束条件，把求2x-3y的取值范围看作求z=2x-3y的取值范围，就成了一个线性规划问题.【规范解答】作出二元一次不等式组 所表示
的平面区域（如图）即为可行域. ……………………2分
设z=2x-3y，变形得
则得到斜率为 且随z变化的一组平行直线.
是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最
小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目
标函数z=2x-3y取得最小值. ………………………………4分由图可见，当直线z=2x-3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.
解方程组 得A的坐标为（2，3），
∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. ……………………………7分
当直线z=2x-3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.
解方程组 得B的坐标为（2，-1）.∴zmax=2x-3y=2×2-3×（-1）=7. ……………………10分
∴-5≤2x-3y≤7,
即2x-3y的取值范围是［-5,7］. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤
x-y≤2.若目标函数z=ax+y（a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为___________.【解析】由约束条件画出可
行域（如图所示），为矩形
ABCD（包括边界），点C的
坐标为（3，1），平移y=
-ax,当直线在y轴上的截距最
大时，z取最大值.
∴-a＜-1,
∴a＞1.
答案：（1,+∞）1.z=x-y在 的线性约束条件下，取得最大值的
可行解为（ ）
（A）（0，1） （B）（-1，-1）
（C）（1，0） （D）（ ）
【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0,y=1
时，z=-1;当x=-1,y=-1时，z=0;当x=1,y=0时，z=1;当
x= y= 时，z=0，排除选项A，B，D，故选C.2.若实数x,y满足不等式组 则3x+4y的最小值
是( )
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28
【解析】选A.可行域如图阴影部
分所示，令z=3x+4y,联立
解之得
∴当z=3x+4y过点(3,1)时，有最
小值13.故选A.3.设x,y满足 则z=x+y（ ）
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最大值，也无最小值
【解析】选B.作出可行域如图所示，
作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点
A（2，0）时，z有最小值2，无最大
值，故选B.4.若实数x,y满足 则 的取值范围是（ ）
（A）（0，1） （B）（0，1］
（C）（1，+∞） （D）［1,+∞)
【解析】选C.实数x,y满足
的相关区域如图所示的阴影部分， 表
示阴影部分内的任意一点与坐标原点
（0，0）连线的斜率，由图可知，
的范围为（1，+∞）,故选C.5.若x,y满足 则z=2x-10y的最大值等于_____.
【解析】画出可行域，找出最优解，求出最大值，当直线
2x-10y=t（t为参数）过原点（0，0）时，zmax=2×0-10×0=0.
答案：06.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=y-ax
仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为____.【解析】画出可行域，如图所示.
由z=y-ax，得y=ax+z，则z为直
线y=ax+z在y轴上的截距，由于
函数z=y-ax仅在点（5，3）处取
得最小值，直线y=ax+z过点P（5，3）时截距最小，所以直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率，所以a＞1.
答案：（1,+∞） 7.已知x,y满足约束条件 求z=x+2y的最小值.
【解析】作出不等式组 的可行域，如图所示.
画出直线l0:x+2y=0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都
在l的不包含直线l0的另外一侧，
该点到直线l0的距离最小，则这
一点使z=x+2y取最小值.显然，点A满足上述条件，
解 得点A（ ），
∴zmin=课时训练18 简单的线性规划问题
/
一、求线性目标函数的最值
1.(2018广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足
??-??+1≥0,
??+??≥0,
??≤0,
若z=x+2y,则z的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:B
解析:作出不等式组对应的平面区域,
/
由z=x+2y,得y=-
1
2
x+
??
2
,平移直线y=-
1
2
x+
??
2
,
由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-
1
2
x+
??
2
的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.
2.(2018河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件
??+??≥3,
??-??≥-1,
2??-??≤3,
则目标函数z=2x+3y的最小值为0( )
A.6 B.7
C.8 D.23
答案:B
解析:画出不等式
??+??≥3,
??-??≥-1,
2??-??≤3
表示的可行域,如图,
/
让目标函数表示直线y=-
2??
3
+
??
3
在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组
??+??=3,
2??-??=3,
得(2,1).
所以zmin=4+3=7.故选B.
3.设变量x,y满足约束条件
??≥??,
??+2??≤2,
??≥-2,
则z=x-3y的最小值为 .?
答案:-8
解析:作出可行域如图阴影部分所示.
/
可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.
二、求非线性目标函数的最值
4.若实数x,y满足
??-??+1≤0,
??>0,
则
??
??
的取值范围是0( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案:C
解析:实数x,y满足
??-??+1≤0,
??>0
的相关区域如图中的阴影部分所示.
/
??
??
表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,
??
??
的取值范围为(1,+∞).
5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组
2??+3??-6≤0,
??+??-2≥0,
??≥0
所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是 .?
答案:
2
解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.
/
由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=
|-2|
2
=
2
.
三、求线性规划中的参数
6.x,y满足约束条件
??+??-2≤0,
??-2??-2≤0,
2??-??+2≥0,
若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.
1
2
或1 B.2或
1
2
C.2或1 D.2或-1
答案:D
解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.
/
由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.
7.(2018山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足
??≥1,
??+??≤3,
??≥??(??-3),
若z=2x+y的最小值为1,则a= .?
答案:
1
2
解析:因为a>0,作出不等式组
??≥1,
??+??≤3,
??≥??(??-3)
表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).
/
由z=2x+y得y=-2x+z,
将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=
1
2
.
8.当实数x,y满足
??+2??-4≤0,
??-??-1≤0,
??≥1
时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是 .?
答案:
1,
3
2
解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,
/
设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,
则a>0,数形结合知满足
1≤2??+1≤4,
1≤??≤4,
1≤??+
3
2
≤4
即可,
解得1≤a≤
3
2
,所以a的取值范围是
1,
3
2
.
四、线性规划中的实际应用
9.(2018河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50 km的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?
解:由题意得,x=
300
??
1
,y=
50
??
2
,
∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,
∴3≤x≤10,
5
2
≤y≤
25
2
.
由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,
于是得约束条件
9≤??+??≤14,
3≤??≤10,
5
2
≤??≤
25
2
,
目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),
/
设z=3x+2y,当y=-
3
2
x+
??
2
平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,
此时p最小.
所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,pmin=93元.
/
(建议用时:30分钟)
1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为( )
/
A.-
7
20
B.
7
20
C.
1
2
D.
7
20
或
1
2
答案:B
解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则
22
5
=-??+??,
3=-5??+??,
解得m=
7
20
.
2.设变量x,y满足约束条件
3??+??-6≥0,
??-??-2≤0,
??-3≤0,
则目标函数z=y-2x的最小值为( )
A.-7 B.-4
C.1 D.2
答案:A
解析:作约束条件
3??+??-6≥0,
??-??-2≤0,
??-3≤0
所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.
/
3.若A为不等式组
??≤0,
??≥0,
??-??≤2
表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A.
3
4
B.1 C.
7
4
D.2
答案:C
解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.
/
S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-
1
4
=
7
4
.
4.如果点P在平面区域
2??-??+2≥0,
??-2??+1≤0,
??+??-2≤0
上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( )
A.
5
-1 B.
4
5
-1
C.2
2
-1 D.
2
-1
答案:A
解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=
1
2
+
2
2
-1=
5
-1.
/
5.已知x,y满足条件
??≥0,
??≤??,
2??+??+??≤0
(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=( )
A.-16 B.-6 C.-
8
3
D.6
答案:B
解析:由z=x+3y得y=-
1
3
x+
??
3
.
先作出
??≥0,
??≤??
的图象,
/
因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.
6.若变量x,y满足约束条件
??≤1,
??+??≥0,
??-??-2≤0,
则z=x-2y的最大值为 .?
答案:3
解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=
??
2
?
??
2
,当直线y=
??
2
?
??
2
在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,
由
??+??=0,
??-??-2=0,
解得A(1,-1).
/
所以zmax=1-2×(-1)=3.
7.记不等式组
??≥0,
??+3??≥4,
3??+??≤4
所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 .?
答案:
1
2
,4
解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).
/
又∵直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而kBC=
1
2
,kAC=4.
从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈
1
2
,4
.
8.已知变量x,y满足
2??-??≤0,
??-3??+5≥0,
则z=x+y-2的最大值为 .?
答案:1
解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,
/
由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),∴zmax=1+2-2=1.
9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足
0≤??≤1,
0≤??≤2,
2??-??≥1,
求z的最大值和最小值.
解:作出满足条件
0≤??≤1,
0≤??≤2,
2??-??≥1
的可行域如图:
/
作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,zmax=2×2-2×0+4=8.
当l过点B(1,1)时,zmin=2×1-2×1+4=4.
所以,z的最大值为8,最小值为4.
10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z万元,由题意得:
??+??≤300,
500??+200??≤90 000,
??≥0,
??≥0,
目标函数为z=3 000x+2 000y.
作出二元一次不等式组
??+??≤300,
5??+2??≤900,
??≥0,
??≥0
所表示的区域,即可行域,如图:
/
作直线l,即3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.
由
??+??=300,
5??+2??=900,
解得
??=100,
??=200,
即M(100,200).
则zmax=3 000x+2 000y=700 000(元),
即该公司在甲电视台做100 min广告,在乙电视台做200 min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.
3．3.2 简单的线性规划问题(一)
课时目标
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式或方程
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
一、选择题
1．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B. C．1 D.
答案 A
解析 画出可行域如图：
当直线y＝－x＋z过点A时，z最大．
由得A(4,5)，∴zmax＝4＋5＝9.
2．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8 C．16 D．10
答案 D
解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示：
易得A(1,1)，|OA|＝，B(2,2)，
|OB|＝2，
C(1,3)，|OC|＝.
∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝()2＝10.
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t
C．1－t2 D.(t－2)2
答案 A
解析
作出不等式组所表示的平面区域．
由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC
＝1－t2－(1－t)2
＝－t2＋t＋.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
答案 A
解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.
5设不等式组，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，则|AB|的最小值为( )
A. B．4 C. D．2
答案 B
解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D(1,1)，E(1,2)，C(3,3)．
要求|AB|min，可通过求D、E、C三点到直线3x－4y－9＝0距离最小值的2倍来求．
经分析，D(1,1)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝2最小，∴|AB|min＝4.
二、填空题
6．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________．
答案 7
解析 作出可行域如图所示．
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.
7．已知－1答案 (3,8)
解析 由得平面区域如图阴影部分所示．
由得
由得
∴2×3－3×1即38．已知实数x，y满足则的最大值为________．
答案 2
解析 画出不等式组对应的平面区域Ω，＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．
A(1,2)，B(3,0)，∴0≤≤2.
三、解答题
9．线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z，
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
10．已知，求x2＋y2的最小值和最大值．
解 作出不等式组
的可行域如图所示，
由，得A(1,3)，
由，得B(3,4)，
由，得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
故zmax＝|OB|2＝25，zmin＝|OC|2＝5.
能力提升
11．已知实数x，y满足，求x2＋y2－2的取值范围．
解 作出可行域如图，
由x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，
可以看作区域内的点与原点的距离的平方，
最小值为原点到直线x＋y－6＝0的距离的平方，
即|OP|2，最大值为|OA|2，
其中A(4,10)，|OP|＝＝＝3，
|OA|＝＝，
∴(x2＋y2－2)min＝(3)2－2＝18－2＝16，
(x2＋y2－2)max＝()2－2＝116－2＝114，
∴16≤x2＋y2－2≤114.
即x2＋y2－2的取值范围为16≤x2＋y2－2≤114.
12．已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
解 由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即
zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；
zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
∴z的最大值为3，最小值为.
1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
课件46张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题自主学习 新知突破1．了解线性规划的意义．
2．通过实例弄清线性规划的有关概念术语．
3．会用图解法求一些简单的线性规划问题．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．[问题1] 设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，为了满足病人的营养需要．试列出x，y满足的不等关系．
[问题2] 若甲种原料售价每10 g 3元，乙种原料售价每10 g 2元，该医院所需费用如何表示？
[提示] 设总费用为z，则z＝3x＋2y.线性规划的基本概念不等式(或方程)组线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束求解线性规划问题的注意事项
(1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程．
(2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理．
(3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无数个．
(4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上．
解析： 画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
答案： B
解析： 画出如图所示的可行域，易知当直线过点(1,2)时目标函数取最大值3.
答案： A答案： －9解析： 作出可行域如图阴影部分所示，合作探究 课堂互动 求线性目标函数的最值 求线性目标函数最值问题的一般步骤．
解析： 利用线性规划知识求解．
作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，答案： [－3,3]求非线性目标函数的最值 (1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离平方的最值问题．
已知目标函数的最值求参数[规范解答] 在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定). 3分
其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a. 6分 随着对线性规划问题研究的不断深入，出现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数的几何意义，看最值在什么位置取得．
(2)由目标函数z＝y－ax，即l：y＝ax＋z知，求z的最值转化为求y＝ax＋z截距的最值．
分析知：当l过C点时，y＝ax＋z截距最大．
又C(－3,7)，
∴zmax＝7＋3a.
同理当l过A(2，－1)时，zmin＝－1－2a.
【错因】 这位同学所求平面区域完全正确．遗憾的是在求目标函数的最小值时由于分析不彻底导致结果有误．这种参数与斜率有关的问题，求解时可先作出线性约束条件所表示的平面区域，充分利用斜率的特征加以转化，一般情况下需分类讨论，如本题中可将条件a>－1分为－12两种情况分别求目标函数的最小值，经讨论求解的结果才是完美的答案．(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝k在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
∵a>－1，
∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大．
∵C点的坐标为(－3,7)，
∴f(x，y)的最大值为7＋3a.
如果－1如果a>2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.谢谢观看！ 