3．4．1基本不等式（1）
【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
【教学过程】
1.课题导入
基本不等式的几何背景：
探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
2 合作探究
（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答：，
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：
提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有
结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明:
所以
注意强调 当且仅当时,
(2)特别地,如果,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
(板书,请学生上台板演):
要证: ①
即证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证 ( - ) ④
显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
即学即练:
1若且，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 B C
例题分析：
(1)＝2即≥2.
(2)x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3
即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
变式训练：
Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少
解析：因为Ｘ＞0，
Ｘ+ ≥2=2
当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2
点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的意思。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
12下面给出的解答中，正确的是（ ）.
（A）y＝x＋≥2＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋≥2＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤＝，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝1
（D）y＝3－－ ≤3－2＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）.
（A）4 （B）7 （C）8 （D）11
4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）.
（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
1 B 2.D 3 B 4 .A
基本不等式
第一课时
课前预习学案
一、预习目标
不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。
二、预习内容
一般地，对于任意实数 、，我们有，当 ，等号成立。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
教学目标 ，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义
教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
合作探究 1 证;
强调：当且仅当时,
特别地,如果,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
证明:
结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究2：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释
练习
1若且，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
2 a,b是正数，则三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案 B C
例题分析：
已知x、y都是正数，求证：
(1)≥2；
( 2） Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少
分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 1正2定3相等
变式训练：1已知x＜，则函数f（x）＝4x＋的最大值是多少？
2 证明：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：注意凑位法的使用。
注意基本不等式的用法。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
2下面给出的解答中，正确的是（ ）.
（A）y＝x＋≥2＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋≥2＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤＝，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝1
（D）y＝3－－ ≤3－2＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋＋3的最小值为（ ）.
（A）4 （B）7 （C）8 （D）11
4.设函数f（x）＝2x＋－1（x＜0），则f（x）（ ）.
（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
答案 1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高
1 已知
如果积
如果和
[拓展探究]
2. 设a, b, c且a+b+c=1，求证：
答案：1略 2 提示可用a+b+c换里面的1 ，然后化简利用基本不等式。
§3.4 基本不等式：≤(一)
课时目标
1．理解基本不等式的内容及其证明；
2．能利用基本不等式证明简单不等式．
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”号)．
2．若a，b都为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2.
(3)当ab>0时，＋≥2；当ab<0时，＋≤－2.
(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝， ＝，＝.∴最小．
方法二 ＝，由≤≤≤ ，可知最小．
2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m
答案 A
解析 ∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，
n＝22－x2<22＝4.∴m>n.
3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.答案 B
解析 ∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>>0，
∴>1，∴ab<1<.
4．已知正数0A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
答案 D
解析 因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又05．设0A. B．b C．2ab D．a2＋b2
答案 B
解析 ∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴ >，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．
6．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－ D．－3
答案 B
解析 x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
?ax≥－x2－1?a≥max.
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.
二、填空题
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
答案 大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．
答案 2
解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，
∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)．
9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案 3
解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．
10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为________．
答案
解析 ∵x>0，∴>0，易知a>0.
∴≥，
∴≤x＋＋3.
∵x>0，x＋＋3≥2＋3＝5(x＝1时取等号)，
∴≤5.∴a≥.
三、解答题
11．设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．
解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
∵＋≥，
∴n≤＋.
∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，
∴n≤＋，
∴n≤＋＋2.
∵＋≥2
＝2(2b＝a＋c时取等号)．
∴n≤4.∴n的最大值是4.
能力提升
13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 C
解析 只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9，
即()2＋2 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.
14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
证明 ∵＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
＋≥2 ＝2，
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c为不等正实数，
∴＋＋<＋＋.
1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，＝；
另一方面：当＝时，也有a＝b.
3.4 基本不等式：
3.4.1 基本不等式的证明??
从容说课
在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，?
根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?
2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；?
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.?
教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；?
2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.?
教具准备 多媒体及课件??
三维目标
一、知识与技能?
1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；?
2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；?
3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.??
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.??
教学过程
导入新课
探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?
（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）??
推进新课
师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?
（沉静片刻）?
生 应该先从此图案中抽象出几何图形.?
师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？?
（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）?
（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）?
师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.?
（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）
［过程引导］?
师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？?
生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.?
师 一定吗？?
（大家齐声：不一定，有可能相等）?
师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？
生 每个直角三角形的面积为，四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b2≥2ab.?
师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？?
生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.?
师 回答得很好.?
（有的同学感到迷惑不解）?
师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.?
（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）?
师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.?
生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.?
师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？?
生 正确.?
［教师精讲］?
师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.?
生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.?
师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.?
（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）?
生 作商，用商和“1”比较大小.?
师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.?
（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）?
［合作探究］?
师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.?
生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.?
（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）?
师 从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.?
生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.?
师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.?
（大家齐声）一致.?
（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）?
板书：?
一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.
［过程引导］?
师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.?
（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）?
师 当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.?
生 完全可以.?
师 为什么？?
生 因为不等式中的a、b∈R.?
师 很好，我们来看一下代替后的结果.
板书：?
即 (a＞0,b＞0).
师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.?
（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）?
师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？?
（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）?
要证：，①?
只要证a+b≥2，②?
要证②，只要证：a+b-2≥0，③?
要证③，只要证：④?
显然④是成立的，当且仅当a=b时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.?
（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）
［合作探究］?
老师用投影仪给出下列问题.?
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？?
（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）?
［合作探究］?
师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？?
生 可证△ACD ∽△BCD,所以可得.?
生 由射影定理也可得.?
师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？?
生表示半弦长，表示半径长.?
师 半径和半弦又有什么关系呢？?
生 由半径大于半弦可得.?
师 这位同学回答得是否很严密？?
生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0).??
课堂小结?
师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？?
生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b2≥2ab.?
生 由a2+b2≥2ab,当a＞0，b＞0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.?
生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.?
（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）?
师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.??
布置作业
活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,,的大小关系，并证明你的结论.?
分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.?
（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.??
板书设计
基本不等式的证明?
一、实际情景引入得到重要不等式 课时小结?
a2＋b2≥2ab?
二、定理?
若a＞0，b＞0，课后作业?
则?
证明过程探索：??
课件32张PPT。【点拨】【思考】 利用基本不等式比较大小
利用基本不等式比较实数大小
(1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0,b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是
应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式.
【特别提醒】在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.【名师指津】【例1】已知a、b是正数，试比较 与 的大小.
【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b是正数；（2）一个“和式”与一个“积式”比较大小，可以利用基本不等式解答.【规范解答】∵a>0,b>0,∴ ≥ >0.
∴ ≤ = .
即 ≤ .【变式训练】若02ab,a2+b2中最大的一个是( )
（A）a2+b2 （B）
（C）2ab （D）a+b【解析】选D.∵0∴a+b> ,a2+b2>2ab.
∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)
又∵0∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2∴a+b最大，故选D. 利用基本不等式证明不等式
不等式的证明
（1）多次使用a+b≥ 时，要注意等号能否成立，累加法
是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法.
(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运
用基本不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注
意“1”的代换.
【特别提醒】证题过程中不要漏掉等号成立的说明.【名师指津】【例2】已知a,b,c为不全相等的正实数.
求证:a+b+c＞ + + .
【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b,c为不全相等的正数；（2）所证不等式的结构与基本不等式相符，故可用基本不等式给出证明.【规范解答】∵a＞0,b＞0,c＞0,
∴a+b≥2 ,b+c≥2 ,c+a≥2 .
∴2(a+b+c)≥2( + + ),
即a+b+c≥ + + .
由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立.
∴a+b+c＞ + + .【互动探究】若条件不变，结论改为a2+b2+c2>ab+bc+ac,怎样证明.
【证明】∵a>0,b>0,c>0,
∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立.
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.【变式训练】求证：
【证明】∵
同理
三式相加，得
当且仅当a=b=c时，等号成立.
∴
【误区警示】证明此类题要注意等号成立的条件.【例】已知a,b,c为正实数，且a+b+c=1,求证:
【审题指导】知a+b+c=1,证 可考虑“1”的代换，转化出可用基本不等式的情况.【规范解答】∵a,b,c为正实数,a+b+c=1,
∴
≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c= 时，等号成立.
∴ ≥9.【变式备选】已知a>0,b>0,a+b=1.
求证： .
【证明】∵a>0,b>0,a+b=1.
∴1=a+b≥2 ,∴ ≤ ,∴ ≥4.
∵ ≤ ,∴ ≥ .
∴
当且仅当a=b= 时等号成立.
∴【典例】（12分）已知x>0,y>0，且2x+5y=20,求 的
最小值.
【审题指导】由2x+5y=20可得 =1.注意到
，可由“1”的灵活运用解答本题.【规范解答】∵x>0,y>0, =1,
∴ ………………… 2分
= ………………… 4分
≥ ………………… 6分
当且仅当 时，等号成立. ………………… 8分由 解得 . ……………10分
∴ 的最小值为 . ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知a>0,b>0,且 ,求a+2b的最小值.
【解析】将常数1换成 ,则
a+2b=1×(a+2b)=( )(a+2b)
=1+ +2≥3+2 ,当且仅当
且 ,即 时，上式取等号,此时a+2b
的最小值是 .1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是( )
(A)m=1 (B)m=±1 (C)m=-1 (D)m=0
【解析】选A.m2+1=2m时，m=1，故选A.2.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数，则xy的最大值为( )
(A)400 (B)100 (C)40 (D)20
【解析】选A.xy≤ =400,当且仅当x=y=20时，等号成立，
故选A.3.下列结论中，不正确的是( )
(A)x>0,y>0,则 (B)a>0,则（1+a）(a+ )≥4
(C)lgx+logx10≥2,其中x>1 (D) ≥2
【解析】选B.对于A，
当x=y时取等号，正确;对于B，当a= 时，有
（1+ ）·( +2)= <4，不正确；对于C，lgx+logx10
=lgx+ ≥2,当x=10时，取等号，正确；对于D，
当x=0时取等号，正确；故选B.4.已知x＞0，y＞0,lg2x+lg8y=lg2,则 的最小值是
_________.
【解析】∵lg2x+lg8y=lg2
∴x+3y=1
∴
当且仅当 时取等号.
答案：45.若a>b>1,P= Q= (lga+lgb)，R=lg 则P，
Q，R的大小关系是______.
【解析】∵a>b>1,∴lga>lgb>0,
∴ (lga+lgb)> ∴Q>P.
∵ ∴R>Q,∴R>Q>P.
答案：P0,y>0,且x+2y=1,求证： ≥3+
【证明】∵x>0,y>0,且x+2y=1,
∴
当且仅当 时，等号成立.
又x+2y=1，故此时
∴课时训练19 基本不等式:
ab
≤
a+b
2
/
一、对基本不等式的理解及简单应用
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是0( )
A.a+b≥2
????
B.
1
??
+
1
??
>
2
????
C.
??
??
+
??
??
≥2
D.a2+b2>2ab
答案:C
解析:因为ab>0,所以
??
??
>0,
??
??
>0,
即
??
??
+
??
??
≥2
??
??
·
??
??
=2,所以选C.
2.设0A.a????
<
??+??
2
B.a<
????
<
??+??
2
C.a<
????
??+??
2
D.
????
??+??
2
答案:B
解析:0????
??+??
2
????
<
??+??
2
,所以a<
????
<
??+??
2
3.①x+
1
??
≥2;②
??+
1
??
≥2;③
??
2
+
??
2
????
≥2;④
??
2
+
??
2
2
>xy;⑤
|??+??|
2
≥
|????|
.
其中正确的是 (写出序号即可).?
答案:②
解析:当x>0时,x+
1
??
≥2;当x<0时,x+
1
??
≤-2,①不正确;
∵x与
1
??
同号,∴
??+
1
??
=|x|+
1
|??|
≥2,②正确;
当x,y异号时,③不正确;
当x=y时,
??
2
+
??
2
2
=xy,④不正确;
当x=1,y=-1时,⑤不正确.故填②.
二、利用基本不等式求最值
4.(2018河南郑州高二期末,8)已知a>0,b>0,且2是2a与b的等差中项,则
1
????
的最小值为( )
A.
1
4
B.
1
2
C.2 D.4
答案:B
解析:∵2是2a与b的等差中项,∴2a+b=4.
又∵a>0,b>0,
∴2ab≤
2??+??
2
2
=
4
2
2
=4,当且仅当2a=b=2,即a=1,b=2时取等号.
∴
1
????
≥
1
2
.故选B.
5.(2018福建厦门高二期末,8)已知a>0,b>0,若不等式
2
??
+
1
??
≥
??
2??+??
恒成立,则m的最大值等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
答案:C
解析:∵a>0,b>0,不等式
2
??
+
1
??
≥
??
2??+??
恒成立,
∴m≤
(2??+??)
2
??
+
1
??
min
.
∵(2a+b)
2
??
+
1
??
=5+
2??
??
+
2??
??
≥5+2×2
??
??
×
??
??
=9,当且仅当a=b时取等号.
∴m的最大值等于9.故选C.
6.设x>0,则y=3-3x-
1
??
的最 值为 .?
答案:大 3-2
3
解析:∵x>0,∴3x+
1
??
≥2
3
.
∴-
3??+
1
??
≤-2
3
.
∴y=3-3x-
1
??
≤3-2
3
.
∴y有最大值3-2
3
,当且仅当3x=
1
??
时,即当x=
3
3
时等号成立.
7.(2018河北邯郸三校联考,15)设x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,则lg x+lg y的最大值是 .?
答案:2
解析:因为x,y满足x+4y=40且x>0,y>0,
所以lg x+lg y=lg(xy)=lg(x·4y)-lg 4
≤lg
??+4??
2
2
-lg 4=lg 400-lg 4=2.
当且仅当x=4y,即x=20,y=5时,等号成立.
8.设常数a>0,若9x+
??
2
??
≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为 .?
答案:
1
5
,+∞
解析:∵x>0,a>0,∴9x+
??
2
??
≥6a,当且仅当9x=
??
2
??
,即x=
??
3
时取等号.
从而由原不等式对x>0恒成立得6a≥a+1,
∴a≥
1
5
.
三、利用基本不等式解决实际问题
9.(2018江西吉安联考,20)新余到吉安相距120 km,汽车从新余匀速行驶到吉安,速度不超过120 km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=
1
200
时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;
(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当a=
169
2
,b=
1
200
,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.
解:(1)由题意知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为
120
??
,
全程成本为y=(bv2+a)·
120
??
=120
????+
??
??
,v∈(0,120].
当a=50,b=
1
200
时,y=120
1
200
??+
50
??
≥240·
1
200
??·
50
??
=120(当且仅当v=100时取等号).
所以汽车应以100 km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.
(2)当a=
169
2
,b=
1
200
时,y=120
1
200
??+
169
2??
,
由双勾函数的单调性可知v=120时,y有最小值.
所以汽车应以120 km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.
/
(建议用时:30分钟)
1.已知0
A.
1
2
B.
3
4
C.
2
3
D.
2
5
答案:A
解析:∵00,
则x(3-3x)=3[x(1-x)]≤3×
??+1-??
2
2
=
3
4
,
当且仅当x=1-x,即x=
1
2
时取等号.
2.下列结论正确的是( )
A.当x>0且x≠1时,lg x+
1
lg??
≥2
B.当x>0时,
??
+
1
??
≥2
C.当x≥2时,x+
1
??
的最小值为2
D.01
??
无最大值
答案:B
解析:选项A,当x∈(0,1)时,lg x<0,不满足基本不等式恒为正数的要求;
选项B中满足“一正、二定、三相等”的条件,是正确选项;
选项C,当x>0时,x+
1
??
≥2,等号成立的条件为x=1,当x≥2时,x+
1
??
≥
5
2
(利用函数单调性处理);
对于D,设f(x)=x-
1
??
,则f'(x)=1+
1
??
2
>0,函数为增函数,因而最大值为
3
2
.
3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是0( )
A.
24
5
B.
28
5
C.5 D.6
答案:C
解析:∵x+3y=5xy,∴
1
5??
+
3
5??
=1.
∴3x+4y=(3x+4y)
1
5??
+
3
5??
=
4
5
+
9
5
+
3??
5??
+
12??
5??
≥
13
5
+2
3??
5??
·
12??
5??
=
13
5
+
12
5
=5.
当且仅当
3??
5??
=
12??
5??
,即x=2y时等号成立.
4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA.a????
B.v=
????
C.
????
??+??
2
D.v=
??+??
2
答案:A
解析:v=
2
1
??
+
1
??
=
2????
??+??
<
2????
2
????
=
????
.
因为
2????
??+??
-a=
2????-
??
2
-????
??+??
=
????-
??
2
??+??
>
??
2
-
??
2
??+??
=0,所以
2????
??+??
>a,即v>a.故选A.
5.已知函数y=x-4+
9
??+1
(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=( )
A.-3 B.2 C.3 D.8
答案:C
解析:y=x-4+
9
??+1
=x+1+
9
??+1
-5,
因为x>-1,所以x+1>0,
9
??+1
>0.
所以由均值不等式得y=x+1+
9
??+1
-5≥2
(??+1)×
9
??+1
-5=1,
当且仅当x+1=
9
??+1
,即(x+1)2=9,
所以x+1=3,x=2时取等号,
所以a=2,b=1,a+b=3,选C.
6.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则
1
??
+
2
??
的最小值为 .?
答案:8
解析:由题意,得点A(2,1),则1=2m+n,又m,n>0,
所以
1
??
+
2
??
=
2??+??
??
+
2(2??+??)
??
=4+
??
??
+
4??
??
≥4+2
4
=8.
当且仅当
??
??
=
4??
??
,即m=
1
4
,n=
1
2
时取等号,
则
1
??
+
2
??
的最小值为8.
7.已知x>0,则
??
??
2
+4
的最大值为 .?
答案:
1
4
解析:因为
??
??
2
+4
=
1
??+
4
??
,又x>0时,x+
4
??
≥2
??·
4
??
=4,当且仅当x=
4
??
,即x=2时取等号,所以0<
1
??+
4
??
≤
1
4
,即
??
??
2
+4
的最大值为
1
4
.
8.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,则水池的最低总造价为 元.?
答案:1 760
解析:设池底的长和宽分别为a,b,则2ab=8,ab=4,总造价y=(2a+2b)×2×80+120ab=320(a+b)+480≥320×2
????
+480=1 760(当且仅当a=b=2 m时取等号).
9.设a,b,c都是正数,求证:
1
2??
+
1
2??
+
1
2??
≥
1
??+??
+
1
??+??
+
1
??+??
.
证明:∵a,b,c都是正数,
∴
1
2
1
2??
+
1
2??
≥
1
2
????
≥
1
??+??
.
同理可证
1
2
1
2??
+
1
2??
≥
1
??+??
,
1
2
1
2??
+
1
2??
≥
1
??+??
.
三式相加得
1
2??
+
1
2??
+
1
2??
≥
1
??+??
+
1
??+??
+
1
??+??
,
当且仅当a=b=c时取等号.
10.(如图)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
/
解:设矩形的一边长为x m,则另一边长为
800
??
m,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m,长为
800
??
-2
m.
由
??-4>0,
800
??
-2>0,
得4所以其面积S=(x-4)·
800
??
-2
=808-
2??+
3 200
??
≤808-2
2??·
3 200
??
=808-160
=648(m2).
当且仅当2x=
3 200
??
,即x=40∈(4,400)时等号成立.
因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648 m2.
课件44张PPT。自主学习 新知突破1．了解基本不等式的代数和几何背景．
2．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．
3．理解并掌握基本不等式及其变形．
4．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．已知代数式a2＋b2,2ab(a，b∈R)，
[问题1] 比较两个式子的大小．
[提示] ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
[问题2] “＝”在什么条件下成立？
[提示] a＝b基本不等式≥ a＝b≤a＝b算术平均数几何平均数1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值为( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案： A合作探究 课堂互动 利用基本不等式证明不等式
利用基本不等式求最值[思路点拨] 利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则挖掘条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之． 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件. 答案： (1)C利用基本不等式解应用题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案． 3．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？谢谢观看！