§3.4.2 基本不等式的应用
【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2 本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
教学过程：
一、创设情景，引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把/叫做正数/的算术平均数，把/叫做正数/的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
讲解：已知/都是正数，①如果/是定值/，那么当/时，和/有最小值/；
②如果和/是定值/，那么当/时，积有最大值/
二、探求新知，质疑答辩，排难解惑
新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为100/的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36/的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为/ m,宽为/ m,则/ 篱笆的长为2（/）
由 /，
可得 /
2（/）/
等号当且仅当/，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为/ m,宽为/ m,则2（/）=36，/=18，矩形菜园的面积为//，
由 /可得 /,
可得等号当且仅当/
点评：此题用到了 如果/是定值/，那么当/时，和/有最小值/；
如果和/是定值/，那么当/时，积有最大值/
变式训练： 用长为/的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为/，则宽为/，矩形面/，且/．
由/．（当且近当/，即/时取等号），
由此可知，当/时，/有最大值/．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积/．
例2（教材/例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为/，水池的总造价为/元，根据题意，得
// /
当/
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
变题：某工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是/立方分米，用来做底的金属每平方分米价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才能使圆桶的成本最低。
解：设圆桶的底半径为/分米，高为/分米，圆桶的成本为/元，则/3/
求桶成本最低，即是求/在/、/取什么值时最小。将/代入/的解析式，得
/=/
当且仅当/时，取“=”号。
∴当/1（分米），//（分米）时，圆桶的成本最低为9/（元）。
点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，
归纳整理，整体认识
1．求最值常用的不等式：/，/，/．
2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测：
1 下列函数中，最小值为4的是： （ ）
Ａ．/ Ｂ．/ /
Ｃ．/ Ｄ．//
2. 设/的最小值是( )
A. 10 B. / C. / D. /
3函数/的最大值为 .
4建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案：1C 2 D 3 / 4 3600 5 /时，/有最小值/，
基本不等式的应用
课前预习学案
一、预习目标
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1如果/是定值/，那么当/时，和/有最
2如果和/是定值/，那么当/时，积有最
3若/，则/=_____时,/有最小值，最小值为_____.
4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b的最小值是_____.
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
二、学习过程
例题分析：
例1、（1）用篱笆围一个面积为100/的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36/的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：
变式训练：1用长为/的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
2一份印刷品的排版面积（矩形）为/它的两边都留有宽为/的空白，顶部和底部都留有宽为/的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量最少？
变式训练 答案 1 /时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是/和/．
例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000。
变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
答案：3600
当堂检测：1若x, y是正数，且/，则xy有 （3 ）
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值/ Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值/
2已知/且满足/,求/的最小值.4
Ａ．16 Ｂ20． Ｃ．14 Ｄ．18
3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案:1 C 2 D 3 /时，/有最小值/，
课后复习学案
1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．
2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为/万元，年维修费用第一年是/万元，以后逐年递增/万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?
/
3.4.2 基本不等式的应用（一）?
从容说课
通过本节课的学习，让学生进一步体会基本不等式的重要性，进一步领悟不等式证明的基本思路、方法.这为下面基本不等式的实际应用打下了坚实的基础，所以说，本节课研究内容在本大节中是起承上启下作用.在本节课的研究中，将由基本不等式推导出许多结构简洁的重要不等式，让学生去体会数学的简洁美与推理过程的严谨美.从而激发学生对数学的热爱和专研.进而让学生的数学逻辑思维能力及逻辑关系的分析能力得到锻炼与培养，这方面也是贯穿学生的整个数学学习过程.?
根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决?问题?.
教学重点 1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；?
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.?
教学难点 1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；
2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；?
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.?
教具准备
投影仪、胶片、三角板、刻度尺??
三维目标
一、知识与技能?
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式；?
2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；?
3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式?教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.??
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.??
教学过程
导入新课
师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式.本节课，我们将利用基本不等式 来尝试证明一些简单的不等式.?
(此时，老师用投影仪给出下列问题)??
推进新课?
问题1.已知x、y都是正数，求证：?
(1)；?
(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.?
师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？?
（思考两分钟）?
生 不可以证明.?
师 是否可以用基本不等式证明呢？?
生 可以.?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：∵x、y都是正数，∴，.∴，即.?
师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？?
（齐声：完成）?
［合作探究］?
师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？?
（引导同学们积极思考）?
生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.?
师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.?
生 ∵x，y都是正数，∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0.∴x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0, x3+y3≥2x3y3＞0.∴可得（x＋y）（x 2＋y2）（x3＋y3）≥2xy·2·2＝８x3y3，即（x＋y）（x2＋y 2）（x 3＋y3）≥８x 3y3. ?
师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.?
（在表达过程中，对条件x，y都是正数往往忽视）?
师 在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证.?
(此时，老师用投影仪给出下列问题)?
问题3.求证：.?
（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）
师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a2＋b 2≥2ab，恰当变形，是证明本题的关键. ?
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）?
解：∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2.∴2（a 2＋b2）≥（a＋b）2.?
不等式两边同除以4，得≥，即.?
师 下面同学都是用这种思路解答的吗？?
生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.?
师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成.?
［课堂练习］?
1.已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?
分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.
∵a、b、c都是正数，?
∴a＋b≥2＞0,b＋c≥2＞0,c+a≥2＞0.?
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2·2＝８abc,?
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.?
［合作探究］?
2.已知（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证：.?
（老师先分析，再让学生完成）?
师 本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2ab?，但要注意条件a、b为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题.?
(在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)?
生 ∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx）,?
∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx.?
∴ax－ay＋by－bx＞0.?
∴（ax－bx）－（ay－by）＞0.?
∴（a－b）（x－y）＞0,?
即a－b与x－y同号.?
∴均为正数.?
∴ (当且仅当时取“＝”).?
∴.?
师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b2≥2ab时，只要求a、b为实数就可以了.而运用定理：“≥ab”时，必须使a、b满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.??
课堂小结
师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？?
生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）?
师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（ab）及它们的关系证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：，.?
师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.??
布置作业
课本第116页，?Ｂ?组第1题.??
板书设计
基本不等式的应用（一）?
复习引入 例1 方法归纳
基本不等式 例2
方法引导 小结
实例剖析（知识方法应用）
示范解题
备课资料
备用习题?
1.已知a、b∈R+，求证：a3+b3≥a2b+ab2.?
证明:∵a、b∈R+,?
(a3+b3)-(a2b+ab2)?
=a2(a-b)-b2(a-b)?
=(a-b)(a2-b2)?
=(a+b)(a-b)2≥0，?
∴a3+b3≥a2b+ab2.?
2.已知A+B+C=π，求证：x2+y2+z2≥2xycosC+2xzcosB+2yzcosA.?
分析:“取差问号”的比较法，关键在于取差（左式－右式）后，怎么判断符号.这里可把差式看作关于x（关于y或关于z也可以）的二次三项式.?
证明:左式－右式=x2+y2+z2-2xycosC-2xzcosB-2yzcosA?
=x2-2(ycosC-zcosB)x+y2+z2-2yzcosA?
=［x-(ycosC+zcosB)］2+y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2.?
又y2+z2-2yzcosA-(ycosC+zcosB)2?
=y2+z2-2yzcosA-y2cos2C-z2cos2B-2yzcosBcosC?
=y2sin2C+z2sin2B-2yz(cosA+cosBcosC)，由于A+B+C=π,?
故cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC.?
∴左式-右式=［x-(ycosC+zcosB)］2+y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC=［x-(ycosC+zcosB)］2+(ysinC-zsinB)2≥0.?
∴左式≥右式.?
点评:二次三项式断号常用配方法.也可由其二次项系数为正，证明它的判别式Δ≤0来进行. 3.4.3 基本不等式的应用（二）?
从容说课
在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.?
根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.?
教学重点 1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.?
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
教学难点 1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.?
教具准备 投影仪、胶片、三角板、刻度尺??
三维目标
一、知识与技能?
1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；?
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?
3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱.??
二、过程与方法?
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；?
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.??
三、情感态度与价值观?
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；?
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；?
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.??
教学过程
导入新课
师 前一节课我们对基本不等式展开了一些简单的应用.通过数与形的结合及证明应用，我们进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，我们对基本不等式的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.??
推进新课
师 已知，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？?
生 当且仅当a＝b时，a＋b就有最小值为2k.?
师 若a＋b为常数s，那么ab的值如何变化？?
生 当且仅当a＝b时，ab就有最大值（或ab有最大值）.?
师 同学们回答得非常好，对变量与定量理解的很清楚.由上面的研究可知，解决有关最值问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”.?
(此时，老师用投影仪给出本节课的第一组问题)?
最值练习：解答下列各题：?
(１)求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值.?
(２)求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值.?
(３)求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值.?
(４)求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值.?
(５)设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值.?
［合作探究］?
师 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值. ?
（留五分钟的时间让学生思考，合作交流，此处留的时间可以更长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生.老师根据学生的思考情况作个别交流）?
（根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评）?
解：(1)∵x＞0,∴2x2＞0，＞0.∴y＝2x2＋＝2x 2＋.?
当且仅当2x 2＝，即时等号成立.故当时，y有最小值.?
(2) ，当且仅当，即x＝±时，等号成立.
故当x＝±时，y有最小值.?
(3)∵0＜x＜,∴3－2x＞0.?
∴y＝x2（3－2x）＝x·x·（3－2x）≤（）3＝1.当且仅当x＝3－2x,即x＝1时，等号成立.?
(4)∵0＜x＜1,∴1－x2＞0.∴y 2＝x 2（1－x 2）2＝·2x 2（1－x2）（1－x2）≤ ()3＝.当且仅当2x2＝1－x 2,即时，等号成立.∴当时，y 2有最大值.
由题意可知y＞0，故当时，y有最大值.?
(5)∵a＞0，b＞0，且a 2＋＝1，∴ (a2+ +)=,
当且仅当,即，时取“＝”.?
故当，时，a1+b2有最大值.?
（学生对等号成立的条件往往没有详细说明）?
［合作探究］?
师 若不考虑等号成立的条件，最值是否一定取到呢？?
生 不一定.应当考虑等号成立的条件.?
师 用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法.请同学们看下面几例的解法.若对，请说明理由；若不对，请改正.?
(此时，老师用投影仪给出本节课的第二组问题)?
(１)∵y＝x＋≥2，∴y的最小值为2.?
生 解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).?
师 这位同学回答得非常好.请你说得再详细一点，让大家都能清楚.?
（此时，这位同学的学习热情很浓，探究问题的兴趣很强）?
生 当x＜0时，y＝x＋＝-(-x-)≤-2.?
师 很好.请坐下.感谢你为大家讲解.?
(２)∵y＝3x2＋＝2x2＋x 2＋，∴y的最小值为.?
生 解答是错误的，其错误的原因是忽视等号成立条件的研究，事实上等号成立的条件为2x 2＝x2＝，显然这样的x不存在，故y没有最小值.?
师 很好.?
(3)∵y＝x（1－x＋x 2）≤［］2＝（）2，当且仅当x＝1－x＋x2，即x＝1时?等号成立.∴当x＝1时，y有最大值为1.?
生 解答是错误的，此种解法的错误在于不是定值.显然当x越大时，也越大，故y无最大值.?
师 很好.在求最值时，对定量与变量要理解清楚.?
师 下面我们再用基本不等式来解决实际应用题.?
(此时，老师用投影仪给出本节课第三组问题)?
［课堂练习］?
（让学生独立思考，根据学生完成的典型情况，找两位学生到黑板板演，以便起到示范功能，同时教师再一次作点评）?
1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？?
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由，可得x+y≥2，等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此这个矩形的长、宽各都为１０ m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是４０ m.?
2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？?
解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy≤81.等号当且仅当x=y=10时成立.因此这个矩形菜园的长、宽各都为９m时，菜园的面积最大，最大面积是８１m2.?
（学生完成情况很好，要注意对答的要求）?
师 下面有的同学用函数也解决了这两个问题.很好，这说明同学们对所学过的知识、方法能够在不同的问题中灵活运用，解决问题的能力很强.由于时间关系，用函数解决这两个问题的方法我们就不交流了，让同学们课后去完成.?
［例题精析］?
【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？?
分析：水池呈长方体形，池底长、宽没有确定.
设池底长、宽分别为x m、y m.水池总造价为z元.?
根据题意有z=150×+120(2×３x+2×3y)?
=240 000+720(x+y).?
由容积为4 800 m3，可得xy=1 600z≥ 297 600.等号当且仅当x=y=40时成立.所以将水池的底面设计为长为４０ m的正方形时水池总造价最低，最低总造价是２９７ ６００元.??
课堂小结
师 通过本节课的学习，同学们感受到基本不等式的作用了吗？?
生 基本不等式不但可以用于本函数的值域、最值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.?
师 那么，大家觉得数学这门学科是否值得去研究学习呢？?
（学生齐声：太值得了，太有用了）?
师 数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.??
布置作业
课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、４题.
板书设计
基本不等式的应用（二）?
复习引入 课堂练习 ??方法归纳
基本不等式 例
方法引导 小结?
实例剖析（知识方法应用）?
示范解题
课件43张PPT。【思考】【点拨】 利用基本不等式求最值
【名师指津】利用基本不等式求函数的最值时，定值条件
的构造技巧
（1）用基本不等式求函数的最值是高中数学的重点，也是
近几年高考的一个热点.三个必要条件：即一正、二定、三
相等更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数”
条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.
（2）常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式.
【特别提醒】利用基本不等式求最值时，强调三要素：
（1）正数；（2）定值；（3）等号成立的条件.【例1】已知x<2,求函数f(x)=x+ 的最大值.
【审题指导】通过题目的条件x<2与分母x-2可得x-2<0，不符合基本不等式的条件要求，那么怎样变换可使题目符合基本不等式的条件要求呢？这就是解这个题的关键点.【规范解答】∵x<2,∴2-x>0
∴f(x)=x+ =-［(2-x)+ ］+2
≤ +2=-2，
当且仅当2-x= 即x=0时，等号成立.
∴x+ 取得最大值-2.【互动探究】若把条件“x<2”改为“x>2”，怎样求函数
f(x)=x+ 的最小值.
【解析】∵x>2,∴x-2>0.
∴f(x)=x+ =x-2+ +2
≥ +2=6，
当且仅当x-2= ，即x=4时，等号成立.
∴x+ 的最小值为6.【变式训练】已知0【解析】∵00,
则y= ×4x(1-4x)
≤
当且仅当4x=1-4x，即x= 时，ymax=【例2】已知x>1，求函数y= 的最小值.
【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）函数解析式为分式且分子的次数高于分母的次数；（2）由x>1得x-1 >0.解答本题可先对分子添项凑出因式x-1，将分子中变量分离出来，再添项凑出乘积为定值的形式，用基本不等式求最值.【规范解答】y=
≥2+2=4(x-1＞0),
当且仅当 =x-1,即(x-1)2=1时,等式成立，
∵x>1，∴当x=2时ymin=4.【互动探究】将条件“x>1”改为“x≥3”，y= 的最小值
还是4吗？若不是，应该是多少？
【解析】由原题知x=2时取等号，故x≥3时，y= 的最小值
不是4.
y= =x-1+ +2.
令t=x-1，则x≥3时，t≥2.
y=t+ +2，
任取t1>t2≥2，则y1-y2=(t1+ +2)-(t2+ +2)
=(t1-t2)+( - )=(t1-t2)+
=(t1-t2)(1- )=(t1-t2)·
∵t1>t2≥2,∴t1-t2>0,t1t2>4>1,
∴y1-y2>0,即y1>y2.
∴y=t+ +2在［２,+∞)上单调递增.
∴当t=2时ymin= 此时x=3.【误区警示】在利用基本不等式求函数最值时，一定要注意函数取得最值时等号是否成立，否则就会出错.【变式训练】求函数f(x)= (x>0)的值域.
【解析】∵x>0,∴f(x)=
∵x+ ≥2，∴0< ∴0当且仅当x= 即x=1时取等号.
∴函数f(x)= (x>0)的值域为(0,1］.【例】已知x>0,y>0,且xy=4x+y+12,求xy的最小值.
【审题指导】解答本题可以利用基本不等式构造出关于
的一元二次不等式；也可以利用已知条件将y用x表示出来.
减少变元后利用基本不等式.【规范解答】方法一：∵x>0,y>0,
∴xy=4x+y+12≥4 +12.
∴( )2-4 -12≥0,∴( -6)( +2)≥0,
∴ ≥6，当且仅当4x=y时， =6.
由4x=y且xy=4x+y+12得x=3,y=12.
此时xy有最小值36.方法二：由xy=4x+y+12得（x-1）y=12+4x,
∵x＞0,y＞0,∴x>1，∴y=
将y= 代入xy得
xy= (x>1)，令t=x-1>0，得
xy=
≥ +20=36.
当且仅当 =4t,即t=2时取等号，即x=3，
y=12时，xy有最小值36.【变式备选】设x,y∈R,a＞1,b＞1,若ax=by=2,2a+b=8,则
的最大值为_________.
【解析】由ax=by=2得x=loga2,y=logb2,
∴ =log2a+log2b=log2ab,
又a＞1,b＞1,∴8=2a+b≥ 即ab≤8,当且仅当2a=b,即
a=2,b=4时取等号,所以 =log2ab≤log28=3,故
（ ）max =3.
答案：3 利用基本不等式解应用题
【名师指津】利用基本不等式解决实际问题的步骤.
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题，用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
【特别提醒】在解题过程中，一定要注意自变量的取值范围. 【例3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最短？【审题指导】本题考查利用基本不等式解应用题问题，解答此类题，一定要分清哪是定值，哪是要求的最值，以及怎样利用基本不等式解决这个最值问题.【规范解答】(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件得4x+6y=36，即2x+3y=18，
设每间虎笼面积为S，则S=xy.
方法一：∵2x+3y≥
∴ ≤18,则xy≤
即S≤ 当且仅当2x=3y时，等号成立，
由
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.方法二：∵2x+3y=18,∴x=9-
∵x>0,∴0S=xy=(9- )y= (6-y)y,
∵00，
∴S≤
当且仅当6-y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5，故每间
虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知S=xy=24，
设钢筋网总长为l，则l=4x+6y.
方法一：∵2x+3y≥ = =24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,
当且仅当2x=3y时，等号成立，
由
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最短.方法二：由xy=24得x=
∴l=4x+6y= =48,
当且仅当 =y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋网总长最短.【变式训练】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块
地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如
果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为
560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最
少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地
费用= ）.【解题提示】楼房每平方米的平均综合费用包括两个方
面：
（1）每平方米的平均建筑费用；
（2）每平方米的平均购地费用.
【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝（560+48x）+
=560+48x+ (x≥10,x∈N*)
∵48x+ ≥ =1 440(当且仅当x=15时取“＝”)∴f(x)=560+48x+ ≥560+1 440=2 000,
∴当x=15时，f(x)取最小值2 000.
答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 【典例】（12分）已知x∈(0,π)，求函数y=sinx+ 的最小
值.
【审题指导】本题直接利用基本不等式，等号不成立，故应利用
函数单调性求最小值.
【规范解答】令t=sinx，由x∈(0,π)得t∈(0,1］.
………………………………………………………………………2分
故原题实际转化为求函数y=t+ 在(0,1］上的最小值问题.
任取t1,t2，且0则f(t1)-f(t2)=t1+
=(t1-t2)· ………………………………………6分
∵t1-t2<0,t1t2-2<0,t1t2>0,∴f(t1)>f(t2).
即函数y=f(t)在（0,1］上单调递减. …………………8分
故当t=1时，函数y=f(t)有最小值，
ymin=f(1)=3. ………………………………………………10分
即函数y=sinx+ x∈(0,π)的最小值为3. ………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】求函数y= 的最小值.
【解析】y=
令t= 则y=f(t)=t+ t∈［2,+∞).
易证f(t)=t+ 在［2,+∞)上为增函数.
∴ymin=f(2)=2+ 此时x=0，
∴当x=0时，ymin=1.已知p,q∈R,pq=100，则p2+q2的最小值是( )
(A)200 (B)100 (C)50 (D)20
【解析】选A.p2+q2≥2pq=200,当且仅当p=q=10或p=q=-10时等号成立.2.当x>0时，f(x)= +4x的最小值为( )
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
【解析】选C.∵x>0,∴ >0,4x>0,
∴f(x)=
当且仅当 =4x,即x= 时，f(x)取最小值
∴当x>0时，f(x)的最小值为 故选C.3.若x>1,y>1，且lgx+lgy=4，则lgx·lgy的最大值是( )
(A)4 (B)2 (C)1 (D)
【解析】选A.∵x>1,y>1,∴lgx>0,lgy>0.
∴lgx·lgy≤ =4,当且仅当lgx=lgy，即x=y=100时，取等号，故选A.4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是_____.
【解析】∵2xy≤
∴8-(x+2y)≤
即(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0.∴x+2y≥4或x+2y≤-8（舍）,
当且仅当x=2，y=1时符号成立,∴x+2y的最小值为4.
答案：45.求函数y=x+ 的最小值.
【解析】设t=2x-1，∵x> ∴2x-1>0,即t>0,
∴
≥
当且仅当 即t=4,也即x= 时，取等号.
∴函数的最小值为§3.4 基本不等式：≤(二)
课时目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
一、选择题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A．－3 B．3 C．4 D．－4
答案 B
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．16 D．不存在
答案 B
解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4(x＝，y＝时取等号)．
3．已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
答案 D
解析 f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
4．函数y＝的最小值为( )
A．2 B. C．1 D．不存在
答案 B
解析 y＝＝＋
∵≥2，而≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．
∴当＝2即x＝0时，ymin＝.
5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4 C. D.
答案 B
解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤()2.
∴原式可化为(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4.
当x＝2，y＝1时取等号．
6．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
二、填空题
7．设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
答案 9
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥
2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，
函数y＝取得最小值为9.
8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．
答案 9
解析 ∵a＋b－ab＋3＝0，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.
令＝t，则t2≥2t＋3.
解得t≥3(t≤－1舍)．即≥3.
∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时，取等号．
9．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
答案 1 760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·＝480＋320
≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
10．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
答案 8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
∴＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
三、解答题
11．已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
解 方法一 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2 ＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2 ＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
12．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
能力提升
13．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2?M,0?M C．2∈M,0?M D．2?M,0∈M
答案 A
解析 ∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，∴2∈M,0∈M.
14．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．
答案
解析 ∵≤ 成立，
∴＋≤·，∴a≥.
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
