第三章 章末检测（A）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．0
答案 B
2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为，则a＋b等于( )
A．－18 B．8 C．－13 D．1
答案 C
解析 ∵－2和－是ax2＋bx－2＝0的两根．
∴，∴.
∴a＋b＝－13.
3．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
答案 B
解析 ∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，
∴－1a2>－a2>a.
4．不等式<的解集是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 <?－<0?<0
?>0?x<0或x>2.
5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10 C．8 D．2
答案 B
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距最大．
解方程组得A(2,1)，∴zmax＝10.
6．已知a、b、c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ab2>cb2 D．ac(a－c)<0
答案 C
解析 ∵c0，c<0.
而b与0的大小不确定，在选项C中，若b＝0，则ab2>cb2不成立．
7．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3B．{x|－4C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
答案 A
解析 ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或38．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )
A．－1答案 C
解析 (x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1?－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立
?Δ＝1＋4(a2－a－1)<0?－9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝cos x＋ (0C．y＝
D．y＝ex＋－2
答案 D
解析 选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；
选项B中，cos x≠1，故最小值不等于2；
选项C中，＝＝＋，
当x＝0时，ymin＝.
选项D中，ex＋－2>2－2＝2，
当且仅当ex＝2，
即x＝ln 2时，ymin＝2，适合．
10．若x，y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)
答案 B
解析 作出可行域如图所示，
直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－<2，
即－411．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D
解析 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，得到y＝，
则μ＝x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时取“＝”．
12．若实数x，y满足则的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
答案 B
解析 可行域如图阴影，的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得>1或<－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
答案 A14．不等式>0的解集是
________________________________________________________________________．
答案 {x|－56}
15．如果a>b，给出下列不等式：
①<；②a3>b3；③>；④2ac2>2bc2；
⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
答案 ②⑥
解析 ①若a>0，b<0，则>，故①不成立；
②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a>b.
∴a3>b3，故②成立；
③取a＝0，b＝－1，知③不成立；
④当c＝0时，ac2＝bc2＝0,2ac2＝2bc2，
故④不成立；
⑤取a＝1，b＝－1，知⑤不成立；
⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>0，
∴a2＋b2＋1>ab＋a＋b，故⑥成立．
16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
答案 8
解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝＝＋≥2 ＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时等号成立，
此时t＝8小时．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
18．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
解 原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即<0.
①当－<，即a>0时，－②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为?；
③当－>，即a<0时，综上知，当a>0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，原不等式的解集为.
19．(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
∴a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
20．(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
21．(12分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0解 设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，
且0所以?
??
?－2所以a的取值范围是{a|－222．(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
解 (1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值20x.
由题意f(x)＝·4＋k·20x，
由x＝4时，y＝52，得k＝＝.
∴f(x)＝＋4x (0(2)由(1)知f(x)＝＋4x (0∴f(x)≥2＝48(元)．
当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．
第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
2．已知x>1，y>1，且ln x，，ln y成等比数列，则xy( )
A．有最大值e B．有最大值
C．有最小值e D．有最小值
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则( )
A．M>N B．M≥N
C．M4．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为( )
A．(－3a,4a) B．(4a，－3a)
C．(－3,4) D．(2a,6a)
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a2>b2 B．()a<()b
C．lg(a－b)>0 D.>1
6．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
7．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥x2的解集是( )
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,1] D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是( )
A.> B.＋≤1
C.≥2 D.≤
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
11．设M＝，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是( )
A. B.
C．[1,8) D．[8，＋∞)
12．函数f(x)＝x2－2x＋，x∈(0,3)，则( )
A．f(x)有最大值 B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1 D．f(x)有最小值1
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为
________________________________________________________________________．
14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：()·()·()≤.
19．(12分)若a<1，解关于x的不等式>1.
20．(12分)求函数y＝的最大值．
21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源
甲产品
(每吨)
乙产品
(每吨)
资源限额
(每天)
煤(t)
9
4
360
电力(kw· h)
4
5
200
劳动力(个)
3
10
300
利润(万元)
6
12
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？
第三章 不等式 章末检测答案(B)
1．D [∵a<0，－1∴ab>0，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a2．C
3．A [∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]
4．B [∵x2－ax－12a2<0(a<0)
?(x－4a)(x＋3a)<0
?4a5．B [取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．
故选B.]
6．D [∵x>1，∴x＋＝(x－1)＋＋1≥
2＋1＝3.∴a≤3.]
7．A [f(x)≥x2?或
?或
?或
?－1≤x≤0或0?－1≤x≤1.]
8．D [取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，
故选D.]
9．C [可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，
u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(，)时u有最大值＋3×＝.
∴u＝x＋3y∈[－8，]．
∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B [设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s?2t＝，
∴T－2t＝－＝s×＝>0，
故选B.]
11．D [M＝
＝
＝··
≥2·2·2＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝时取“＝”．]
12．D [∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋－1
≥2－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]
13．－2
解析 ∵t>0，
∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2.
14．－2解析 当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合．
当a－2≠0时，则a应满足：
解得－2综上所述，－215．5≤a<7
解析 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知：5≤a<7.
16．20
解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(·4＋4x)万元，·4＋4x≥160，当＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
17．解 ∵(＋)－(a＋b)＝－b＋－a
＝＋＝(a2－b2)(－)
＝(a2－b2)＝
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(＋)－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.
18．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴≤
即()·()·()≤.
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解 不等式>1可化为>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为<0.
故当0{x|2当a<0时，原不等式的解集为
{x|当a＝0时，原不等式的解集为?.
20．解 设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
21．解 (1)设DN的长为x(x>0)米，
则AN＝(x＋2)米．
∵＝，∴AM＝，
∴SAMPN＝AN·AM＝，
由SAMPN>32，得>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：06，
即DN长的取值范围是(0，)∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y＝＝
＝3x＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，
最小值为24平方米．
22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：
作出可行域如图.
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组，
得x＝20，y＝24，即M(20,24)．
答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．
第三章 章末复习课
【课时目标】
1．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能解有关的实际应用问题．
2．掌握简单的线性规划问题的解法．
3．能用基本不等式进行证明或求函数最值．
—
一、选择题
1．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<<1
C.< D．ab>a＋b
答案 C
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解是[－，－]，则不等式x2－bx－a<0的解是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．(，) D．(－∞，)∪(，＋∞)
答案 A
解析 由题意知，a<0，＝－，－＝，
∴a＝－6，b＝5.
∴x2－5x＋6<0的解是(2,3)．
3．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80 C．70 D．40
答案 C
解析 作出可行域如图所示 .
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.
4．不等式≥2的解为( )
A．[－1,0)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)
答案 A
解析 ≥2?－2≥0?≥0
?≤0?
?－1≤x<0.
5．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1
D．ab有最小值2(＋1)
答案 A
解析 ∵ab－(a＋b)＝1，ab≤()2，
∴()2－(a＋b)≥1，
它是关于a＋b的一元二次不等式，
解得a＋b≥2(＋1)或a＋b≤2(1－)(舍去)．
∴a＋b有最小值2(＋1)．
又∵ab－(a＋b)＝1，a＋b≥2，
∴ab－2≥1，它是关于的一元二次不等式，
解得≥＋1，或≤1－(舍去)，
∴ab≥3＋2，即ab有最小值3＋2.
6．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A. B. C. D．4
答案 A
解析
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝(a＝b＝时取等号)．
二、填空题
7．已知x∈R，且|x|≠1，则x6＋1与x4＋x2的大小关系是________．
答案 x6＋1>x4＋x2
解析 x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)
＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)
∵|x|≠1，∴x2－1>0，∴x6＋1>x4＋x2.
8．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
答案 [－1,0]
解析 由f(x)＝的定义域为R.
可知2x2－2ax－a≥1恒成立，即x2－2ax－a≥0恒成立，则Δ＝4a2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
9．若x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为____．
答案 3
解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝，将其代入，
得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”，∴的最小值为3.
10．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案 15
解析 设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为
作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin＝3×1＋6×2＝15.
三、解答题
11．已知关于x的不等式<0的解集为M.
(1)若3∈M，且5?M，求实数a的取值范围．
(2)当a＝4时，求集合M.
解 (1)∵3∈M，∴<0，解得a<或a>9；
若5∈M，则<0，
解得a<1或a>25.
则由5?M，知1≤a≤25，
因此所求a的范围是1≤a<或9(2)当a＝4时，<0.
<0?或.
?或
?∴M＝{x|x<－2或12．当x>3时，求函数y＝的值域．
解 ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝＝
＝2(x－3)＋＋12≥2＋12
＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝的值域为[24，＋∞)．
【能力提升】
13．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4.
当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．
14．若关于x的不等式(2x－1)2答案 (，]
解析 由(2x－1)20，整理不等式可得(4－a)x2－4x＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a>0，即a<4，故0即亦即<解得1．不等式是高中数学的重要内容，其中蕴含着许多重要的思想方法，是高考考查的重点．
2．本章内容主要有以下四个方面：①不等式的性质，②一元二次不等式的解法，③简单的线性规划问题，④基本不等式及应用．
课件38张PPT。第三章 阶段复习课 一元二次方程根的分布问题
一元二次方程根的分布问题
求解一元二次方程根的分布问题的基本思路是：由一元二次方程构造一元二次函数，勾画函数图象，由图象直观地找出满足题意的根的分布的条件，即列出关于判别式、根与系数关系、求根公式、函数值的符号、对称轴等的不等式，通过解不等式解决根的分布问题.【名师指津】【例1】关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根，一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.
【审题指导】本题考查一元二次方程根的分布问题，因为此方程有两根，所以2k≠0,即k≠0，另外要注意对k的讨论.
【规范解答】∵关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个不同实根，∴2k≠0.又∵一个小于1，一个大于1，
∴设f(x)=2kx2-2x-3k-2,则当k>0时，f(1)<0,
即2k-2-3k-2<0,整理得k>-4,∴k>0;当k<0时，f(1)>0,即2k-2-3k-2>0,
整理得k<-4,∴k<-4.
综上所述，当k∈(-∞,-4)∪(0,+∞)时，方程2kx2-2x-3k-2 =0的两根，一个小于1，一个大于1. 不等式与函数、方程的综合问题
不等式与函数、方程的综合应用
（1）方程、不等式、函数有着密不可分的关系，只有从函数的观点出发来看待这三者，才会理解它们之间深刻的内在联系，正是由于这种联系才使不等式在解决有关函数的定义域、值域、单调性、最值、方程根的分布以及参数的取值范围、曲线的位置关系等各个知识点的综合题中广泛应用.【名师指津】（2）不等式、方程、函数的关系十分密切，解决不等式问题常常利用函数与方程的知识；而解决函数问题则常常用到方程与不等式知识；解决方程问题常常用到函数与不等式知识.【例2】已知函数f(x)=log3 的定义域为R，值域为［0，2］，求m,n的值.
【审题指导】定义域为R等价于 ＞0恒成立，值域为［0，2］可转化为 ∈［1,9］求解.
【规范解答】令y=
∵函数f(x)的定义域为R，∴对任意实数x∈R,y>0恒成立，
即mx2+8x+n>0恒成立.当m=0时，不等式化为8x>-n，不可能恒成立；
当m≠0时，必有
由y= 得（m-y)x2+8x+(n-y)=0.
∵x∈R,∴Δ=82-4(m-y)(n-y)≥0,
即y2-(m+n)y+mn-16≤0 ①
由题意知f(x)∈［0,2］，则y∈［1,9］.
即关于y的不等式①的解集为［1，9］.
∴ 此时满足 故所求m=5,n=5. 不等式中恒成立问题
解有关不等式恒成立问题常用方法：
（1）直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)（或k≤f(x)），从而转化成f(x）求最值.
（2）如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)≤f(k)（或g(x)≥f(k)），则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式.
（3）若不等式对于x，参数都是二次的，则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0求解.【名师指津】【例3】 已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R)，当x∈［-1,+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.
【审题指导】解答此类题要正确理解好f(x)≥a恒成立的意义，一是可转化为f(x)min≥a，二是重新构造新函数F(x)=f(x)-a≥0恒成立.【规范解答】方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.
①当a∈(-∞,-1)时，f(x)在［-1，+∞)上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②当a∈［-1,+∞)时，f(x)min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为［-3,1］.方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 解得-3≤a≤1.
即所求a的取值范围为［-3,1］. 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的方法
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a+b≥ (a>0,
b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤ 解
“定和求积，积最大”问题.一定要注意适用的范围和条件：
“一正、二定、三相等”.特别是利用拆项、添项、配凑、分
离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证.【名师指津】 若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题.
【特别提醒】在解题过程中，一定要注意等号成立的条件.【例4】设函数f(x)= x∈［0,+∞).
（1）当a=2时，求函数f(x)的最小值；
（2）当0【审题指导】解答此题要明确a=2与0【规范解答】（1）把a=2代入f(x)=
得f(x)=x+ =(x+1)+ -1∵x∈［0,+∞),∴x+1>0, >0,∴x+1+
当且仅当x+1= 即x= -1时，f(x)取最小值.
此时，f(x)min= -1.
(2)当0f(x)=x+1+ -1若x+1+
则当且仅当x+1= 时取等号，
此时x= -1<0（不合题意），因此，上式等号取不到.设x1>x2≥0，则
f(x1)-f(x2)=x1+ ［1- ］,
∵x1>x2≥0,∴x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1,
∴(x1+1)(x2+1)>1,而0∴ <1,∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x)在［0，+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(0)=a. 图解法求目标函数的最值
【名师指津】图解法求目标函数最值的要点
目标函数最值的确定采用的是平面图解法，其解题要点是：①确定可行域；②让动态的目标函数的图象经过可行域；③确定目标函数的最值.当目标函数是非线性时，其函数图象是动态的，且要经过可行域，从图象变化中就可找出最值.【例5】已知实数x,y满足
求w=x2+y2的最大值和最小值.
【审题指导】可知x,y的约束条件是线性的.
∵w=x2+y2=（x-0）2+（y-0）2,∴w为可行域内动点（x,y）到原点O（0，0）的距离的平方.【规范解答】画出不等式组
表示的平面区域，如图所示的△ABC，
包括边界及其内部.
∵w=x2+y2=（x-0）2+（y-0）2表示
的是可行域内的动点M（x,y）到
原点O（0，0）的距离的平方，∴当点M在边AC上滑动，且OM⊥AC时，w取得最小值，于是wmin=d2=
当点M与点B（2，3）重合时，w取得最大值，
即wmax= 故wmin= wmax=13. 函数与方程思想
【名师指津】函数与方程思想
不等式与函数、方程三者密不可分，相互联系，相互转
化，有关求参数的取值范围问题，用函数f(x)=x+ 的单调
性解决最值问题，实际应用问题等，都要首先考虑函数与方
程思想.【例6】 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β)，且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
【审题指导】审题时要明确不等式的解集与方程的根的关系，以及根与系数的关系的应用.
【规范解答】由已知不等式可得a<0，且α、β为方程ax2+bx+c=0的两根，
∴由根与系数的关系可得方法一：∵a<0,
∴由②得c<0，则cx2+bx+a<0可化为x2+ x+ >0.
①÷②，得
由②得
∴ 为方程 的两根.
又∵0<α<β,∴
∴不等式 的解集为{x|x< 或x> },
即不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x< 或x> }.方法二：∵a<0，由cx2+bx+a<0,得
将①②代入，得αβx2-(α+β)x+1>0,
即（αx-1)(βx-1)>0.
∵0<α<β,∴0<
∴所求不等式的解集为{x|x< 或x> }. 转化与化归的思想
【名师指津】转化与化归的思想
不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化.解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程.无论哪种类型的不等式，其求解思想都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）的求解.【例7】已知函数f(x)在定义域（-∞,1］上是减函数，是否存在实数k，使得f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切x∈R恒成立？并说明理由.
【审题指导】对条件f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)的处理，一是要去掉符号f,二是要注意有意义.
【规范解答】∵f(x)在（-∞,1］上是减函数，
∴k-sinx≤k2-sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设，∵k2-sin2x≤1，即k2-1≤sin2x对一切x∈R恒成立，且sin2x≥0,
∴k2-1≤0,∴-1≤k≤1. ①
由k-sinx≤k2-sin2x,得(sinx- )2≤k2-k+
则k2-k+ ≥(sinx- )2对一切x∈R恒成立.
∵（sinx- )2的最大值为
∴k2-k-2≥0,解得k≤-1或k≥2. ②
由①②知，k=-1为符合题意的实数.1.已知a>0,b>0,则 的最小值是( )
(A)2 (B) (C)4 (D)5
【解析】选C.∵a>0,b>0,∴ 当且
仅当a=b时取等号.∴ 的最小值为4.2.在R上定义运算⊙：a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为（ ）
(A)(0,2) (B)(-2,1)
(C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (D)(-1,2)
【解析】选B.根据给出的定义得x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =x2+x-2=(x+2)(x-1),又x⊙(x-2)<0，则(x+2)(x-1)<0，故这个不等式的解集是（-2，1）.故选B.3.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0, ］成立，则a的最小
值为（ ）
(A)0 (B)-2 (C)- (D)-3
【解析】选C.由已知可得不等式a≥ =-( +x)对于一切
x∈(0, ］成立，
又由函数f(x)=-( +x)在x∈(0, ］上为增函数，可得f(x)的
最大值为f( )= 从而得a的最小值为 4.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是（1,m)，则m=____.
【解析】∵ax2-6x+a2<0的解集是（1，m），
∴a＞0且1、m是方程ax2-6x+a2=0的两个根，并且m>1.
∴ 解得
答案：25.设x、y满足约束条件 则目标函数z=x+y的最大
值是______.
【解析】如图，当直线过（6，0）时z=x+y有最大值6.
答案：66.当0【解析】f（x）=
∵00,sinx>0.
∴
当且仅当cosx=2sinx时取等号.
答案：47.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的一切实数m都成立，求x的取值范围.
【解析】把不等式2x-1>m(x2-1)看作关于m的一次不等式，则(x2-1)m+(1-2x)<0,
记函数f(m)=(x2-1)m+(1-2x)，它的图象为一条线段，结合图形易知需
解得
即x的取值范围是（ ）.第三章不等式过关检测
(时间:90分钟 满分:100分)
知识点分布表
知识点
不等式的性质及应用
一元二次不等式的解法
线性规划
基本不等式
相应题号
1,3
2,6,7,12,15,16
4,5,10,13,17
8,9,11,14,18
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.若a<0,-1
A.a>ab>ab2 B.ab2>ab>a
C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a
答案:D
解析:由-1b2>0>b,由a<0,得ab>ab2>a.
2.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=xx-2x≤0,则A∩B=( )
A.{x|-1≤x<0} B.{x|0C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}
答案:B
解析:由于A={x|-1≤2x+1≤3}={x|-1≤x≤1},B=xx-2x≤0={x|0故A∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|03.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值为( )
A.大于0 B.等于0
C.小于0 D.符号不能确定
答案:A
解析:法一:因为a<0,ay>0,所以y<0.
又x+y>0,所以x>-y>0,所以x-y>0.
法二:a<0,ay>0,取a=-2得,-2y>0,
又x+y>0,两式相加得x-y>0.
4.设z=x+y,其中实数x,y满足x+2y≥0,x-y≤0,0≤y≤k,若z的最大值为6,则z的最小值为( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.0
答案:A
解析:由z=x+y得y=-x+z,作出x+2y≥0,x-y≤0,0≤y≤k的区域OBC,平移直线y=-x+z,由图象可知当直线经过点C时,直线在y轴上的截距最大,此时z=6,
由y=x,y=-x+6解得x=3,y=3,所以k=3,解得点B(-6,3),由图象可知当直线经过B点时,直线在y轴上的截距最小,因此把点B(-6,3)代入直线z=x+y,得z的最小值为z=-6+3=-3.
5.(2018河南郑州高二期末,9)已知点(2,1)和(-1,3)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是 ( )
A.-4C.a<-4或a>9 D.a<-9或a>4
答案:A
解析:∵点(2,1)和(-1,3)在直线3x-2y+a=0的两侧,
∴(3×2-2×1+a)(-1×3-2×3+a)<0,
即(a+4)(a-9)<0,解得-46.(2018河南南阳高二期中,3)若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式ax+bx-2>0的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
答案:A
解析:因为不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),
所以a=b>0.
所以ax+bx-2>0等价于(x+1)(x-2)>0.
所以x<-1或x>2.故选A.
7.(2018江西吉安联考,4)已知函数f(x)=-log2x,x>0,1-x2,x≤0,则不等式f(x)>0的解集为( )
A.{x|0C.{x|x>-1} D.{x|-1答案:D
解析:∵函数f(x)=-log2x,x>0,1-x2,x≤0,
则由不等式f(x)>0可得x>0,-log2x>0,①或x≤0,1-x2>0.②
解①得0综合可得,-18.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为x8天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.60件 B.80件
C.100件 D.120件
答案:B
解析:若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是800x,存储费用是x8,总的费用是800x+x8≥2800x·x8=20,当且仅当800x=x8时取等号,即x=80.
9.已知x>0,y>0.若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4
C.-2答案:D
解析:∵x>0,y>0.∴2yx+8xy≥8(当且仅当2yx=8xy时取“=”).若2yx+8xy>m2+2m恒成立,则m2+2m<8,解之得-410.设O是坐标原点,点M的坐标为(2,1).若点N(x,y)满足不等式组x-4y+3≤0,2x+y-12≤0,x≥1,则使得OM·ON取得最大值时点N有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
答案:D
解析:作出可行域为如图所示的△ABC,令z=OM·ON=2x+y.
∵其斜率k=-2=kBC,∴z=OM·ON=2x+y与线段BC所在的直线重合时取得最大值,∴满足条件的点N有无数个.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
11.已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为 .?
答案:18
解析:log2a+log2b=log2(ab).
∵log2a+log2b≥1,
∴ab≥2,且a>0,b>0.
3a+9b=3a+32b≥23a·32b=23a+2b
≥2322ab≥232×2=18,
当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立.
∴3a+9b的最小值为18.
12.(2018河南南阳高二期中,9)若方程x2+ax-2=0在区间(1,+∞)上有解,则实数a的取值范围为 .?
答案:(-∞,1)
解析:x2+ax-2=0在区间(1,+∞)上有解,即a=2x-x在区间(1,+∞)上有解.令y=2x-x,
则y'=-2x2-1<0对x∈(1,+∞)恒成立,
∴y=2x-x在(1,+∞)上是递减函数.
故y故a的取值范围是(-∞,1).
13.已知实数x,y满足y≤2x,y≥-2x,x≤3,则目标函数z=x-2y的最小值是 .?
答案:-9
解析:x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,平移直线y=12x-12z,可知当直线过点A(3,6)时,目标函数z=x-2y取得最小值-9.
14.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为 m.?
答案:20
解析:设DE=x,MN=y,由三角形相似得:
x40=ADAB=ANAM=40-y40,
即x40=40-y40,即x+y=40,
由均值不等式可知x+y=40≥2xy,
S=x·y≤400,当且仅当x=y=20时取等号,
所以当宽为20 m时面积最大.
三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)
15.(2018山东潍坊四县联考,18)解关于x的不等式(a-x)(x-a2)<0(a∈R).
解:原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0,
当a>1或a<0时,a2>a,原不等式的解集为(-∞,a)∪(a2,+∞);
当0当a=1时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);
当a=0时,原不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞).
16.已知f(x)=x2+2x+2a-a2,若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
解:设g(x)=x2+2x.
因为f(x)>0,所以x2+2x>a2-2a.
只要使g(x)在[1,+∞)上的最小值大于a2-2a即可.
因为g(x)=x2+2x在[1,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g(1)=3.
所以a2-2a<3,解此一元二次不等式,得-1所以实数a的取值范围是(-1,3).
17.一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间[0,1)内,另一个根在区间[1,2]内.
(1)求点(a,b)对应的区域的面积;
(2)求b-2a-1的取值范围;
(3)求(a-1)2+(b-2)2的值域.
解:(1)设f(x)=x2+ax+2b,由已知得f(0)≥0,f(1)≤0,f(2)≥0,即b≥0,a+2b+1≤0,a+b+2≥0,
∴点(a,b)组成的区域为如图所示的阴影部分.
由a+2b+1=0,a+b+2=0,解得a=-3,b=1.故A(-3,1).
由a+b+2=0,b=0,解得a=-2,b=0,故B(-2,0).
由a+2b+1=0,b=0,解得a=-1,b=0,故C(-1,0).
∴S△ABC=12×|BC|×h=12×(2-1)×1=12.
(2)记点(1,2)为D,点(a,b)为P,则kPD=b-2a-1,
∵kAD=14,kBD=23,kCD=1,
∴14≤kPD≤1,即14≤b-2a-1≤1.
∴b-2a-1的取值范围为14,1.
(3)易知(a-1)2+(b-2)2=|PD|2,
∵|AD|2=17,|BD|2=13,|CD|2=8,8≤(a-1)2+(b-2)2≤17,
∴(a-1)2+(b-2)2的取值范围是[8,17] .
18.小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x年年底出售,其销售价格为(25-x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年).
(1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?
(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)
解:(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元.
则y=25x-[6x+x(x-1)]-50(0即y=-x2+20x-50(0由-x2+20x-50>0,解得10-52而2<10-52<3,故从第3年开始运输累计收入超过总支出.
(2)因为利润=累计收入+销售收入-总支出,所以销售二手货车后,小王的年平均利润为
y=1x[y+(25-x)]
=1x(-x2+19x-25)=19-x+25x.
而19-x+25x≤19-2x·25x=9,
当且仅当x=5时等号成立.
即小王应当在第5年将大货车出售,才能使年平均利润最大.
课件62张PPT。知识整合提升
2．掌握不等式的基本性质
不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质：
(1)a>b?b(2)a>b，b>c?a>c
(3)a>b?a＋c>b＋c
(4)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(1)对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(其中a≠0)的求解，要联想两个方面的问题：①二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点；②方程ax2＋bx＋c＝0的根．
(2)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，其Δ＝b2－4ac，则方程的根按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0可分为三种情况．相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，可分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0，<0，≤0)(a>0)的解集．
4．解读二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)二元一次不等式(组)的几何意义
二元一次不等式(组)的几何意义是二元一次不等式(组)表示的平面区域．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．区域不包括边界时，边界直线(Ax＋By＋C＝0)应画成虚线．
(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定
对于在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，根据实数Ax0＋By0＋C的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域”．特别地，当C≠0时，常取原点作为特殊点．
(3)二元一次不等式表示的平面区域的规律
y＝kx＋b表示的直线将平面分成两部分，即y>kx＋b表示直线上方的平面区域，y一般地，若Ax＋By＋C>0，则当B>0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的上方区域，当B<0时，表示直线Ax＋By＋C＝0的下方区域：若Ax＋By＋C<0，与上述情况相反．
5．探求目标函数最优解的两种方法
(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；
(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．6．运用基本不等式求最值，把握三个条件
(1)在所求最值的代数式中，各变量均应是正数(如不是，则需进行变号转换)；
(2)各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的和或积为常数；
(3)各变量有相等的可能，即相等时，变量有实数解，且在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件或改用其他方法．热点考点例析【点拨】 不等式的性质是本章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据，应予以特别重视，应熟练掌握和运用不等式的几个性质．比较两个实数或代数式的大小常常用比较法中的作差法，而这又归纳为对差式进行变形并判断差的符号，这又必然归结到实数运算的符号法则．不等式的基本性质与应用[思维点击] 本题可以直接作差或平方后再作差比较大小．1．已知a>b>c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
解析： 方法一：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)]
＝(ab－ca)(a－b)＋(bc－ca)(b－c)
＝a(b－c)(a－b)＋c(b－a)(b－c)
＝(a－b)(b－c)(a－c)
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，
∴(a－b)(b－c)(a－c)>0，
故a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
方法二：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝[b(a2＋bc)＋c2a]－[ab2＋c(bc＋a2)]
＝(a2＋bc)(b－c)＋a(c2－b2)
＝(b－c)[(a2＋bc)－a(b＋c)]
＝(a－b)(b－c)(a－c)．
下同方法一．【点拨】 对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)． 一元二次不等式的解法[思维点击] 本题考查分式不等式和含参数的不等式的解法．
可先将其转化为整式不等式，再利用解一元二次不等式的知识解之，注意分类讨论． 简单的线性规划问题求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减小)(b>0)，找出最优解即可．在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：
①作出可行域；
②作出直线l0：ax＋by＝0；
③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；
④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．解析： 在直角坐标系中画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B(2，1)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝3x＋y取得最大值，最大值是7.
答案： D
当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，
经过M(20,24)时z取最大值．
∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．4．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 800元答案： B 利用基本不等式求最值[思维点击] (1)将原函数变形，利用基本不等式求解．
(2)利用函数的单调性求解．解析： 对于A，可算得为3>1，显然成立．
答案： A答案： D答案： B答案： B二、填空题
5．不等式x2＋x＋k>0恒成立，则k的取值范围是________．6．已知2x＋2y＝6，则2x＋y的最大值是________．
8．某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每斤的单价分别为2元和3元．根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．
(1)写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组；
(2)在给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表示)，并求出它的面积．谢谢观看！课件37张PPT。习题课 一元二次不等式的解法自主学习 新知突破1．掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法．
2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？________(用“能”或“不能”填空)
[提示] 能．设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，0600，即x2－50x＋600<0，解得200的解集是R的等价条件是_____________；一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是_______________.一元二次不等式恒成立问题a>0且Δ<0a<0且Δ<01．分离参数法——解不等式恒成立问题
对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.分式不等式(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式问题；
(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
2．一元二次不等式的实际应用
(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环；
(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题；
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容．答案： B 答案： C
3．若不等式x2＋2x－6≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是________．
解析： 方法一：由题意得Δ＝4－4(－6－a)＝28＋4a≤0，即a≤－7.
方法二：a≤(x＋1)2－7对x∈R恒成立，∴a≤－7.
答案： －7
4．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．问第几年开始获利？合作探究 课堂互动 分式不等式的解法 解下列不等式：
[思路点拨] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组． 分式不等式的求解方法
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，要注意分母不为零．
(2)对于不等号一边不为零较为复杂的分式不等式，先移项再通分，通过符号法则，把它转化为整式不等式求解，从而使问题化繁为简.
(2)利用分式不等式与一元二次不等式的等价关系求解．
原不等式化为(x－1)(x＋2)<0，解得－2答案： (1)A (2)C不等式恒成立问题 关于x的一元二次不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围． 解析： 方法一：要使2x2－8x＋6－m>0恒成立，
∵a＝2>0，∴只需Δ＝64－8(6－m)<0，
∴m<－2.
故m的取值范围是m<－2.
方法二：不等式2x2－8x＋6－m>0对任意的x∈R恒成立，则只需m<2x2－8x＋6对任意的x∈R恒成立．
∵g(x)＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2.
∴g(x)＝2x2－8x＋6在x∈R上最小值为－2，
∴m<－2. 含参数不等式的恒成立问题的解法
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k解析： 利用“三个二次”之间的关系．
∵x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，
∴Δ＝a2－4×2a＜0，∴0＜a＜8.
答案： (0,8)一元二次不等式的实际应用 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[思路点拨] 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下： (1)实际应用问题是新课标考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．
(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
③解不等式(或求函数最值)；
④回扣实际问题． 3．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？◎若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【错因】 当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式．谢谢观看！