6.2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
教学目标：
1.会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；（重点）
2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
教学过程：
一、情景导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.
所需要的时间t（天）和每天运出的面粉总重量m（吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的图象
【类型一】 判断反比例函数所在的象限
反比例函数y＝－的图象在（ ）
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第一、三象限 D.第二、四象限
解析：因为k＝－6＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限.故选D.
方法总结：反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
【类型二】 由反比例函数图象的位置确定k的取值范围
若双曲线y＝的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A.k＞ B.k＜
C.k＝ D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k－1＜0，解得k＜.故选B.
方法总结：反比例函数的图象的位置由k的符号确定.
【类型三】 实际问题的反比例函数图象
已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y与x之间的函数关系图象大致是图中的（ ）
解析：本题是一道有关反比函数的实际问题.已知长方形的面积是8，两邻边的长分别是x，y，所以x·y＝8，即y＝，所以此函数属于反比例函数.而长方形的任意一边的长度都必须大于0，故x的取值范围是x＞0.由k＞0且x＞0可知，函数的图象只在第一象限内，故选D.
方法总结：在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.
探究点二：一次函数与反比例函数的综合应用
在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝（ab≠0）的图象大致是（ ）
解析：在A、B中，反比例函数的图象在第一、三象限，∴ab＞0.而观察一次函数的图象，在A中，a＞0，b＜0，矛盾；在B中，a＜0，b＞0，矛盾.在C、D中，反比例函数的图象在二、四象限，∴ab＜0.再观察一次函数的图象，在C中，a＜0，b＞0，符合题意；在D中，a＞0，b＞0，矛盾，故选C.
方法总结：在每个选项中可先由一个函数图象的位置得出a、b的符号情况，然后在另一个函数图象上检验，若无矛盾，则此选项正确，否则就是错误的.
已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点（1，5）.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
解：（1）∵点（1，5）在反比例函数y＝的图象上，
∴5＝，即k＝5，
∴反比例函数的解析式为y＝.
又∵点（1，5）在一次函数y＝3x＋m的图象上，
∴5＝3＋m，即m＝2，
∴一次函数的解析式为y＝3x＋2；
（2）由题意，联立
解得或
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－，－3）.
三、板书设计
教学反思：
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.
第2课时 反比例函数的性质
教学目标：
1.理解并掌握反比例函数图象的性质；（重点）
2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）
教学过程：
一、情景导入
在一个平面直角坐标系中，根据所提供的两组数据描绘出相应的反比例函数图象.
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
－1
－2
－3
－6
6
3
2
1
x
－6
－3
－2
－1
1
2
3
6
y
1
2
6
6
－6
－3
－2
－1
观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？
二、合作探究
探究点一：反比例函数图象的性质
【类型一】 利用反比例函数的性质确定字母的取值范围
在反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A.－1 B.0 C.1 D.2
解析：反比例函数y＝的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、四象限内，所以该函数的比例系数1－k＜0，解得k>1.故只有D项符合题意.故选D.
方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.
【类型二】比较函数值的大小
在反比例函数y＝－的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（ ）
A.y3＞y1＞y2 B.y3＞y2＞y1
C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2
解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.
（方法一）比较法：由题意，得y1＝－，y2＝－，y3＝－，因为x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.
（方法二）图象法：
如图，在直角坐标系中作出y＝－的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3＞y1＞y2.
（方法三）特殊值法：设x1＝2，x2＝1，x3＝－1，则y1＝－，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故选A. 方法总结：此题的三种解法中，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.
探究点二：反比例函数图象中比例系数k的几何意义
如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝的图象经过点B（x0，y0），则k的值为 .
解析：∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA⊥y轴.又∵点B（x0，y0）是反比例函数y＝图象上的一点，则有S正方形OABC＝|x0y0|＝|k|，即1＝|k|.∴k＝±1.又∵点B在第二象限，∴k＝－1.
方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k|的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k的符号.
三、板书设计
教学反思：
通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.
