3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
课题
第1课时 正方形的性质
授课人
教
学
目
标
知识技能
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
数学思考
在学习过程中培养学生分析概括、类比分析的能力．
问题解决
经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
情感态度
培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
教学重点
探索正方形的性质定理.
教学难点
掌握正方形的性质的应用方法．
授课类型
新授课
课时
教具
课件、三角板、矩形纸片、活动的菱形框架
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
显示投影片：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片(多幅)．
活动方略：
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形四条边都相等(小学已学过)；正方形四个角都是直角(小学已学过)．
试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．
图1－3－9
通过回顾实物展示，激发学生对正方形的性质的探索欲望.
活动
二：
实践
探究
交流新知
教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
图1－3－10
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．归纳如下：
正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形的性质：
(1)边的性质：对边平行，四条边都相等．
(2)角的性质：四个角都是直角．
(3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
(4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴，也是中心对称图形．
在师生交流的过程中，采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例 (教材例1)如图1－3－11，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
图1－3－11
通过对问题的思考挖掘和知识的相关拓展，为后续的学习储备知识和方法.
【拓展提升】
例1 如图1－3－12，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，MN∥AB，且分别与OA，OB相交于点M，N.
求证：(1)BM＝CN；(2)BM⊥CN.
图1－3－12 图1－3－13
例2 已知：如图1－3－13，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE＝AD，F为AB的中点．求证：△CEF是直角三角形.
补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【问题提出】 平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用框图表示出来.
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质(投影显示)
边
角
对角线
平行四边形
矩形
菱形
正方形
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
判定
平行四边形
矩形
菱形
正方形
通过填表格，让学生归纳总结特殊四边形的相关知识，并有助于加强记忆.
【当堂训练】
1.课本P21中的随堂练习
2.课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
正方形
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习．通过学生的动手操作，讨论如何剪成正方形，培养学生的动手能力和思维能力.
②[讲授效果反思]
通过本节的学习，学生能够理解正方形的相关性质，但是学生的动手操作能力有待提高.
③[师生互动反思]
______________________________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号_______________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
3 正方形的性质与判定
第2课时 正方形的判定
课题
第2课时 正方形的判定
授课人
教
学
目
标
知识技能
掌握正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
数学思考
在学习过程中培养学生分析概括的能力，类比分析的能力．
问题解决
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．
情感态度
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．
教学重点
正方形的判定条件.
教学难点
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算．
授课类型
新授课
课时
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中．
图1－3－47
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形．而正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
1．怎样判定一个四边形是矩形？
2．怎样判定一个四边形是菱形？
3．怎样判定一个四边形是平行四边形？
4．怎样判定一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？
回忆矩形、菱形、平行四边形的判定方法，引出本节课活动的主题.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究1】 探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法：
(1)直接用正方形的定义判定，即先判定四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
(2)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．
后两种判定方法均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础．这三个方法还可写成：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．
上述三种判定方法是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判断一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断．
【探究2】 正方形判定方法的应用
思考：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.
方法二：
方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线互相平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形．
通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用．
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例 (教材例2)已知：如图1－3－48，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
图1－3－48
通过对问题的思考挖掘和知识的相关拓展，为后续的学习储备知识和方法.
【拓展提升】
例1 如图1－3－49，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形.
图1－3－49 图1－3－50
例2 如图1－3－50，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E，F.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由；
(2)在(1)的情形下，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形？为什么？
通过例题，让学生感受正方形是特殊的矩形，当有一组邻边相等(或对角线平分一个内角，或对角线互相垂直)时，此时的矩形是正方形.
活动
四：
课堂
总结
反思
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用.
图1－3－51
归纳本课所学知识，使本课知识形成体系，便于学生理解记忆，从而更好地掌握本课的知识点.
【当堂训练】
1.课本P24中的随堂练习
2.课本P25习题1.8中的T1、T2、T3、T4
当堂检测，及时反馈学习效果.
【板书设计】
第2课时 正方形的判定
复习： 判定方法： 讨论：
正方形与矩形 例 补例
正方形与菱形
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过动手操作和探究的过程，使学生亲自发现结果的来龙去脉，把学生推到思维的前沿，探索数学知识，检验数学结论，让学生在自主的思维活动中建构新的认知结构．这样既发展了学生的动手操作能力，又训练了学生思维的层次性、灵活性，有助于创新能力的培养.
②[讲授效果反思]
通过动手操作体会正方形的相关特征，对正方形形成感性上的认识，然后再通过与平行四边形、菱形、矩形的对比研究得到正方形的判定方法.
③[师生互动反思]
反思，更进一步提升.
