3.1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求简单随机事件的概率
【学习目标】
1．能运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率．
2．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步提高学生合作交流的意识和能力．
3．通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性．
【学习重点】
运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率．
【学习难点】
运用树状图和列表法计算简单事件发生的概率．
【教学过程】
情景导入 生成问题
1．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要7位同学参加，现有包括小杰在内的50位同学报名，因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位，小杰被抽到参加首次活动的概率是．
2．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( B )
A. B. C. D.
自学互研 生成能力
阅读教材P60“做一做”前面的内容，然后回答下面的问题：
1．这个游戏对三人是否公平？请相互交流．
2．阅读教材P60“议一议”部分内容，完成“议一议”中的三个问题，请相互交流．
1．分小组完成教材P60“做一做”学习任务．
归纳结论：通过大量重复试验我们发现，在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率．所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利．
2．深入探究：在上面抛掷硬币试验中，
(1)抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
(2)抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？
探究体会：由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的．所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的(正，正)(正，反)(反，正)(反，反)四种情况是等可能的．因此，我们可以用下面的树状图或表格表示所有可能出现的结果：
第一枚硬币
第二枚硬币
正
反
正
(正，正)
(正，反)
反
(反，正)
(反，反)
其中，小明获胜的结果有一种：(正，正)．所以小明获胜的概率是；小颖获胜的结果有一种：(反，反)．所以小颖获胜的概率也是；小凡获胜的结果有两种：(正，反)(反，正)．所以小凡获胜的概率是.因此，这个游戏对三人是不公平的．
归纳结论：利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗留地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
解答下列问题：
1．如果一次试验中，所有可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性相同，那么每个结果出现的概率( B )
A．都是1 B．都是 C．不一定相等 D．都是n
2．如图，有以下3个条件：①AC＝AB，②AB∥CD，③∠1＝∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是( D )
A．0 B. C. D．1
典例讲解：
把大小和形状一模一样的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1，2，3.将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张，试求取出的两张卡片数字之和为偶数的概率(要求用树状图或列表法求解)．
解：画树状图：
由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．∴P(和为偶数)＝.列表如下：
第一组
第二组
1
2
3
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
由上表可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字之和为偶数的结果有5种．∴P(和为偶数)＝.
对应练习：
1．完成教材P61随堂练习．
2．在A、B两个盒子都装入写有数字0、1的两张卡片，分别从每个盒子里任取1张卡片，两张卡片上的数字之积为0的概率是多少？
解法1：画树状图如下：
从A盒或B盒中任取一张卡片，上面有数字0或1的可能性相等，由树状图可以看出，两张卡片上的数字之积有4种等可能的结果，其中两数之积为0的结果有3种，于是P(积为0)＝.
解法2：列表如下：
B
A
0
1
0
0
0
1
0
1
由表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结果，积为0的结果有3种．所以P(积为0)＝.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探索用树状图或表格求简单随机事件的概率
知识模块二 利用树状图或表格求简单事件发生的概率
检测反馈 达成目标
1．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是( A )
A. B. C. D.
2．在a2 4a 4的空格 中，任意填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( B )
A．1 B. C. D.
3．长城公司为希望小学捐赠甲、乙两种品牌的体育器材，甲品牌有A、B、C三种型号，乙品牌有D、E两种型号，现要从甲、乙两种品牌的器材中各选购一种型号进行捐赠．将下面所画树状图补充完整．
一共有6种结果，每种结果出现的可能性相同．那么A型号器材被选中的概率为．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
第2课时 用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率
【学习目标】
1．会运用树状图和列表法计算事件发生的概率．
2．经历试验、探讨过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力．
3．通过自主探究、合作交流激发学生的学习兴趣，感受数学的简捷美，及数学应用的广泛性．
【学习重点】
运用树状图和列表法计算事件发生的概率．
【学习难点】
树状图和表格法的运用方法
【教学过程】
情景导入 生成问题
1．利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率．
2．如图，一只昆虫在树上爬行，假定昆虫在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则这只昆虫停留在A叶面的概率是.
3．将1、2、3三个数字随机生成的点的坐标，列成下表．如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点在函数y＝x图象上的概率是( C )
(1，1),(1，2),(1，3)
(2，1),(2，2),(2，3)
(3，1),(3，2),(3，3)
A．0.3 B．0. 5 C. D.
自学互研 生成能力
1．先阅读教材P62－63的内容，自学自研例1的解答过程，弄懂这个游戏对三人公平的道理．
2．你能用列表的方法来解答例1吗？
目的：通过儿时的游戏，激发学生学习新知识的兴趣，使学生意识到比较事件发生的概率，是评判规则公平与否的依据，而求概率的方法即为前面学习过的——树状图和列表法．
典例讲解：
小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，…，12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负，如果你是游戏者，你会选择哪个数？
分析：掷得的点数之和是哪个数的概率最大，选择这个数后获胜的概率就最大，利用列表法解答这个问题．
解：列表如下：
第一个骰子
第二个骰子
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
由上表可知总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中两数之和等于7的结果有6个是最多的，所以P(点数之和等于7)＝＝，所以选择数字7获胜的机会较大．
对应练习：
1．完成教材P64随堂练习．答案：
2．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片上分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜．
(1)请你通过列表(或画树状图)的方法计算甲获胜的概率．
(2)你认为这个游戏公平吗？为什么？
解：(1)利用列表法得出所有可能的结果，如下表：
1
2
3
4
5
5
10
15
20
6
6
12
18
24
7
7
14
21
28
8
8
16
24
32
由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率P(甲获胜)＝；(2)这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率P(甲获胜)＝，乙获胜的概率P(乙获胜)＝，≠，所以，游戏对双方是不公平的．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块 探索用树状图或表格求稍复杂的随机事件的概率
检测反馈 达成目标
1．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是( B )
A. B. C. D.
2．某班决定从桂花、菊花、杜鹃花中购买一种摆在教室里．班长和生活委员各自从这三种花中随机挑选一种，则两人都选中桂花的概率是，两人中有且只有一人选中桂花的概率是，两人都没选中桂花的概率是．
3．小明每天骑自行车上学都要经过三个安装有红绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相等，那么，小明从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？
解：A表示红灯，B表示绿灯，根据题意画出树状图，如图所示：
他至少遇到一次红灯的概率是；不遇红灯的概率是.
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
第3课时 “配紫色”游戏
【学习目标】
1．经历利用树状图和列表法求概率的过程，在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯．
2．鼓励学生思维的多样性，提高应用所学知识解决问题的能力．
【学习重点】
借助于树状图、列表法计算随机事件的概率．
【学习难点】
在利用树状图或列表法求概率时，各种情况出现可能性不同时的情况处理．
【教学过程】
情景导入 生成问题
1．用卡片进行有理数加法训练，李明手中的三张卡片分别是3、－1、－2，刘华手中的三张卡片分别是2、0、－1.如果每人随机抽取一张卡片，则和为正数的概率是( D )
A. B. C. D.
2．任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是( D )
A. B. C. D.
3．甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打，规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同(都是手心或都是手背)，则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是．
自学互研 生成能力
活动内容：“配紫色”游戏1：小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红，转盘B转出了蓝，那么他就赢，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果．
(2)游戏者获胜的概率是多少？
目的：通过这个转转盘“配紫色”游戏，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率的过程，并体会求概率时必须使每种事件发生的可能性相同，培养学生应用所学知识解决问题的能力．
游戏2：如果把转盘变成如图所示的转盘进行“配紫色”游戏．
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果．
(2)游戏者获胜的概率是多少？小颖做法如下图，并据此求出游戏者获胜的概率为.
小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是.
红色
蓝色
红色1
(红1，红)
(红1，蓝)
红色2
(红2，红)
(红2，蓝)
蓝色
(蓝，红)
(蓝，蓝)
你认为谁做得对？说说你的理由．(小组合作交流)
目的：让学生先自己画树状图或者表格表示出所有可能出现的结果，然后通过合作交流观察A盘和游戏1转盘的区别并做出正确判断．并总结出求一件事情发生的概率必须是所有可能出现的结果都相同．
典例讲解：
一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外其他都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一球．求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．
分析：把两个红球记为红1、红2；两个白球记为白1、白2.则列表格如下：
红1
红2
白1
白2
蓝
红1
(红1，红1)
(红1，红2)
(红1，白1)
(红1，白2)
(红1，蓝)
红2
(红2，红1)
(红2，红2)
(红2，白1)
(红2，白2)
(红2，蓝)
白1
(白1，红1)
(白1，红2)
(白1，白1)
(白1，白2)
(白1，蓝)
白2
(白2，红1)
(白2，红2)
(白2，白1)
(白2，白2)
(白2，蓝)
蓝
(蓝，红1)
(蓝，红2)
(蓝，白1)
(蓝，白2)
(蓝，蓝)
总共有25种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，能配成紫色的共4种．(红1，蓝)(红2，蓝)(蓝，红1)(蓝，红2)，所以P(能配成紫色)＝.
对应练习：
1．教材P67随堂练习．答：配得紫色的概率为.
2．教材P68习题 3.3第1题．答：配得紫色的概率为.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块 探索利用概率解决“配紫色”游戏
检测反馈 达成目标
1．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内任取出一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，则点P(x，y)落在直线y＝－x＋5上的概率是．
2．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( B )
A. B. C. D.
3．小颖设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．(指针指在分界线上则重转)
解：用表格来说明：
转盘2
转盘1
红色
蓝色
红1
(红1，红)
(红1，蓝)
红2
(红2，红)
(红2，蓝)
蓝色
(蓝，红)
(蓝，蓝)
所以，配成紫色的概率P(配成紫色)＝＝，所以游戏者获胜的概率为.
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
