4.1 成比例线段 教案（2课时）

1　成比例线段
第1课时　线段的比
一、基本目标
1．认识形状相同的图形，结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形．
2．知道线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法．
二、重难点目标
【教学重点】
会求两条线段的比．
【教学难点】
会求两条线段的比，注意线段的长度单位要统一．
二、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P76～P79的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成＝.其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k，那么＝k或AB＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．
2．四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.
3．比例的基本性质：(1)如果＝，那么ad＝bc.(2)如果ad＝bc(a、b、c、d都不等于0)，那么＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】下列线段中，能成比例的是(　　)
A．3 cm、6 cm、8 cm、9 cm
B．3 cm、5 cm、6 cm、9 cm
C．3 cm、6 cm、7 cm、9 cm
D．3 cm、6 cm、9 cm、18 cm
【互动探索】(引发学生思考)根据成比例线段的定义判断．
【分析】根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，3×18＝6×9.
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段就是成比例线段．
【例2】在比例尺是1∶40 000的地图上，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为(　　)
A．0.2 km B．2 km
C．20 km D．200 km
【互动探索】(引发学生思考)根据比例尺的定义，如何列比例式求解？
【分析】设这条道路的实际长度为x cm，则＝，解得x＝200 000,200 000 cm＝2 km.
∴这条道路的实际长度约为2 km.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．等边三角形的一边与这边上的高的比是2∶.
2．若四条线段a、b、c、d成比例，且a＝3，b＝4，c＝6，则d＝8.
3．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm，这两地的实际距离是36千米．
4．如图，已知＝，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，求AC的长．
解：∵＝，∴＝.解得AE＝5.6.∴AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】已知线段a＝0.3 m，b＝60 cm，c＝12 dm.
(1)求线段a与线段b的比；
(2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．
【互动探索】(1)根据a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm，即可求得a∶b的值；(2)根据线段a、b、c、d是成比例线段，可得＝，再根据c＝12 dm＝120 cm，即可得出线段d的长．
【解答】(1)∵a＝0.3 m＝30 cm，b＝60 cm，
∴a∶b＝30∶60＝1∶2.
(2)∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴＝.
∵c＝12 dm＝120 cm，
∴＝，∴d＝240 cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
线段的比
第2课时　比例线段
一、基本目标
1．理解并掌握比例的等比性质，能通过比例式变形解决一些实际问题．
2．通过探索比例的等比性质的学习过程，培养学生灵活解题及合作探究的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
比例的等比性质及直接运用．
【教学难点】
比例的等比性质的灵活运用，探索比例的其他性质．
二、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P79～P80的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…n≠0)，那么＝.
注意：在运用等比性质时，前提条件是：分母b＋d＋…＋n≠0.
2．已知5a＝4b，则＝.
3．如果＝＝(b＋d≠0)，那么＝.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足＝＝，且a＋b＋c＝12，请你探索△ABC的形状．
【互动探索】(引发学生思考)已知与三角形三边有关的信息，要判断三角形的形状需结合三边关系进行判断．
【解答】设＝＝＝k，可得a＝3k－4，b＝2k－3，c＝4k－8，代入a＋b＋c＝12，得9k－15＝12，解得k＝3.则a＝5，b＝3，c＝4，∴b2＋c2＝a2，即△ABC为直角三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)当出现等比的条件时，可以用“设k值法”设等比为一个常数k，从而使问题变得简单．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．已知＝＝＝4，且a＋c＋e＝8，则b＋d＋f＝2.
2．已知＝＝＝，则＝.
3．如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝3.
4．已知＝＝＝，b＋2d－3f≠0，求的值．
解：∵＝＝＝，b＋2d－3f≠0，∴＝＝＝，∴＝.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB∶CD＝m∶n，如果把表示成比值k，那么＝k，或AB＝kCD.请完成以下问题：
(1)四条线段a，b，c，d中，如果________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段；
(2)已知＝＝2，那么＝________，＝________；
(3)如果＝，那么＝成立吗？请用两种方法说明其中的理由；
(4)如果＝＝＝m，求m的值．
【互动探索】(1)根据成比例线段的定义作答；(2)由＝＝2，得a＝2b，c＝2d，代入计算即可求解；(3)利用等式的性质两边减去1即可证明，也可以设＝＝k，那么a＝kb，c＝kd，代入即可证明；(4)可分x＋y＋z＝0和x＋y＋z≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解．
【解答】(1)a∶b＝c∶d
(2)3　3
(3)如果＝，那么＝成立．
理由如下：(方法一)∵＝，
∴－1＝－1，即－＝－，
∴＝.
(方法二)设＝＝k，那么a＝kb，c＝kd，
∵＝＝k－1，＝＝k－1，
∴＝.
(4)①当x＋y＋z＝0时，
y＋z＝－x，z＋x＝－y，x＋y＝－z，
∴m为其中任何一个比值，即m＝＝－1.
②当x＋y＋z≠0时，
m＝＝＝2.
∴m＝2或－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在运用比例的等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…n≠0)，那么＝时，若题中没有明确或隐含指出“b＋d＋…n≠0”，解题时应分两种情况进行讨论：①b＋d＋…n≠0；②b＋d＋…n＝0，比如本题的第(4)小问就分了两种情况讨论．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等比性质：如果＝＝…＝(b＋d＋…n≠0)，那么＝.