第18讲 直线与圆的位置关系复习课件(共41张PPT)

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第18讲 直线与圆的位置关系
第六章 直线与圆的位置关系
怎样找出观赏展品的最佳位置
当进入博物馆的展
览厅时，你是否留意分
隔观赏者和展品的围栏
所放的位置？对于你的
高度而言，你认为它的
位置恰当吗？
要找出围栏摆放的适当位置，首先须知道对于一般高度的参观者何处观赏最理想．最佳的位置就是当展品的最高点P和最低点Q与观赏者的眼E所形成的视角θ为最大．
为了找出最大视角θ的位置，作圆(O为圆心)通过P和Q，与水平线HE相切于E点．根据圆形的特性，同弧上的圆周角会比圆外角大(θ＞0)．因此，眼睛处于E点时，观赏的视角最大.
设x为观赏者离展品的水平距离；而p和q分别为展品的最高点和最低点与地面高度的差距．
直线与圆的位置关系
C
【思路生成】求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A(－3，0)，可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值．
【解析】 如答图所示，∵点P的坐标为(1，0)，⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
例1答图
∴AM＝2，M点的坐标为(－1，0)，即对应的P′点的坐标为(－1，0)，
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为(－5，0)，
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是－2，－3，－4，共3个．
直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小确定：
①若d＜r，直线与圆相交；
②若d＝r，直线与圆相切；
③若d＞r，直线与圆相离．
1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 (　 　)
A．相交　　　　　B．相切
C．相离　　　　　D．无法判断
2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为(　 　)
A．2 cm B．2.4 cm
C．3 cm D．4 cm
B
A
切线的性质
例2　已知：如图6－18－1，AB为⊙O的直径，PD切⊙O的于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
图6－18－1
【思路生成】(1)根据等腰三角形性质和三角形性质求出∠COD＝2∠CAD，根据切线定理求出∠OCD＝90°；
(2)求出OC＝CD，根据勾股定理求出OD即可得到BD的长.
解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.
∴∠COD＝∠A＋∠OCA＝2∠A.
∵∠D＝2∠A，∴∠COD＝∠D.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°.
∴∠D＝45°.
(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2，
切线的性质
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论：(1)经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心；
(2)经过圆心且垂直于圆的切线的直线必过切点．
切线的性质的辅助线：有切线，连结切点与圆心，是解决图中有关相切问题的常用辅助线．
3．如图6－18－2，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是 (　 　)





A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
图6－18－2
A
4．如图6－18－3，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O 的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC 的平分线交AC于点D.下列结论正确的是__ __________．(写出所有正确结论的序号)
①△CPD∽△DPA；

③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
图6－18－3
②③④
切线的判定
例3　如图6－18－4，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长；
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
图6－18－4
【思路生成】(1)连结BD，AD，运用勾股定理求AC.由CD平分∠ACB，得出AD＝BD，所以Rt△ABD是等腰直角三角形，求出AD；
(2)连结OC，由角的关系求出∠PCB＝∠ACO，可得到∠OCP＝90°，所以直线PC与⊙O相切．
解：(1)连结BD，AD.
∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，
例3答图
(2)直线PC与⊙O相切．
理由：连结OC，
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC.
∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE，
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠PCB＝∠CAE，∴∠PCB＝∠ACO.
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC，∴直线PC与⊙O相切．
切线的判定
1．证明切线的方法：
(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，即d＝r；
(3)利用定理，即满足经过半径外端，且垂直于这条半径的直线．
2．证明切线的常见辅助线：
(1)当直线和圆的公共点已知时，连结半径证垂直，即“作半径，证垂直”；
(2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直证直线到圆心的距离等于圆的半径，即“作垂直，证半径”．
5．如图6－18－5，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连结PC并延长与AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是半⊙O的切线；
(2)若∠CAB＝30°，AB＝10，求线段BF的长．
图6－18－5
解：(1)证明：如答图，连结OC，
∵C在半⊙O上，∴OC＝OA.
∵OD⊥AC，
∴D为AC中点，∴PA＝PC，
∵OP＝OP，∴△AOP≌△COP，
∵AP为半⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∴PC是半⊙O的切线．
变式跟进5答图
(2)∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AB＝10，


∵PC是半⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，
∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝60°，∴∠F＝30°，
∴OF＝2OC＝10，∴BF＝OF－OB＝5.
求与圆的切线有关的阴影面积
例4　如图6－18－6，AB为⊙O的直
径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为
AB延长线上的点，∠APD＝30°.
(1)求证：DP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3 cm，求图中阴影
部分的面积．
图6－18－6
【思路生成】(1)连结OD，求出∠DOB，∠ODP，根据切线判定推出即可；
(2)求出OP，DP长，分别求出扇形DOB和△ODP的面积，即可求出答案．
解：(1)证明：如答图，连结OD，DB，
∵∠ACD＝60°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，∴∠BOD ＝∠ABD＝60°.
又∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，∴OD⊥DP.
又∵点D在⊙O上，∴DP是⊙O的切线．
例4答图
(2)由(1)知△ODP为直角三角形，∠APD＝30°.
圆的切线的运用常见的基本图形如下图所示．
6．如图6－18－7，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA 的延长线于点 E.
(1)求证： CD为⊙O的切线；
(2)若BD的弦心距OF＝1，∠ABD＝30°，求图中阴影部分的面积．
图6－18－7
解：(1)证明：如答图，连结OD.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.
∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODC＝∠ABC＝90°，∴CD是⊙O的切线．
变式跟进6答图
与切线有关的综合型问题
例5 如图6－18－8，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C，D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN.
(1)当点M在⊙O内部，如图①，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；
(2)当点M在⊙O外部，如图②，其他条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；
(3)当点M在⊙O外部，如图③，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．
解：(1)PN与⊙O相切．
证明：如答图①，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.
∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO.
∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°.
即PN与⊙O相切．
图6－18－8
(2)成立．
证明：如答图②，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.
在Rt△AOM中，∠OMA＋∠OAM＝90°，
∴∠PNM＋∠ONA＝90°.
∴∠PNO＝180°－90°＝90°.
即PN与⊙O相切．
例5答图
(3)如答图③，连结ON，由(2)可知∠ONP＝90°.
∵∠AMO＝15°，PM＝PN，
∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，
∴∠PON＝60°，∠AON＝30°.
作NE⊥OD，垂足为点E，
与切线有关的综合型问题
运动型问题常用到数形结合、分类讨论、转化等数学思想.
(1)当一个问题是有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；
(2)当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型求解．
7．如图6－18－9，已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA.
(1)当直线CD与半圆O相切时(如图①)，求∠DOC的度数；
(2)当直线CD与半圆O相交时(如图②)，设另一交点为E，连结AE，若AE∥OC，
①AE与OD的大小有什么关系？为什么？
②求∠ODC的度数．
解：(1)如答图①，连结OC.
∵直线CD与半圆O相切，
∴∠OCD＝90°.
∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD.∴∠DOC的度数是45°.
图6－18－9
(2)①AE＝OD.理由如下：如答图②，连结OE.





∵OC＝OA，CD＝OA，
∴OC＝CD.∴∠COD＝∠CDO.
∵AE∥OC，∴∠EAD＝∠COD.∴∠EAD＝∠CDO.
∴AE＝DE.
变式跟进7答图
∵OA＝OE，OC＝CD，
∴∠DOE＝2∠EAD，∠OCE＝2∠CDO.
∴∠DOE＝∠OCE.
∵OC＝OE，
∴∠DEO＝∠OCE.∴∠DOE＝∠DEO.∴OD＝DE.∴AE＝OD.
②由①得∠DOE＝∠DEO＝2∠ODC.
∵∠DOE＋∠DEO＋∠ODC＝180°，
∴2∠ODC＋2∠ODC＋∠ODC＝180°.
∴∠ODC＝36°.
例6　[11，华师－附中高一自招]如图 6－18－10，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O 切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则 当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水 平距离为 (　 　)
图6－18－10
C
【解析】 如答图，当滚动至⊙O′与CA也相切时，切点为D，与BC的切点为E，
连结O′C，O′E，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，∴O′D＝O′E.
∴O′C平分∠ACB，
例6答图