北师大版 数学 九年级上 1.3 正方形的性质与判定(2) 教学设计
课题
1.3 正方形的性质与判定(2)
单元
第一章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：理解并掌握正方形的判定定理，了解中点四边形与原四边形对角线之间的关系；
过程与方法：经历探索正方形判定方法的过程，逐步掌握说理的基本方法；
情感态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
重点
正方形的判定方法.
难点
运用正方形的判定方法进行有关的论证和计算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在前面的学习中，我们学习了菱形和矩形的相关知识，请回答：
问题1、什么是正方形？
答案：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
问题2、正方形都有哪些性质呢？
答案：（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分；
（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
学生积极回答老师的问题.
通过回答问题，为学习正方形的判定做好铺垫
新知讲解
说一说：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？
答案：等腰直角三角形
议一议：
（1）满足什么条件的菱形是正方形？
判定定理1：有一个角是直角的菱形是正方形.
判定定理2：对角线相等的菱形是正方形.
（2）满足什么条件的矩形是正方形？
判定定理3：有一组邻边相等是矩形是正方形.
判定定理4：对角线垂直的矩形是正方形.
例：已知，如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF//CE，CF//BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴□BECF是菱形(菱形的定义)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
说一说：正方形都有哪些判定方法呢？
答案：
（1）从菱形出发：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②对角线相等的菱形是正方形．
（2）从矩形出发：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形．
（3）平行四边形出发：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
（4）从四边形出发：
①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．
做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，如图所示，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.
答案：正方形
议一议：
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.如果以平行四边形各边中点为顶点呢？
答案：菱形的中点四边形是矩形，
矩形的中点四边形是菱形，
平行四边形的中点四边形是平行四边形.
（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与那些线段有关系？有怎样的关系？
答案：原四边形的对角线；垂直，相等
归纳：常见中点四边形比较
任意四边形
矩形
菱形
正方形
对角线特点
既不垂直
也不相等
不垂直
只相等
只垂直
不相等
垂直且相等
中点四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
学生认真思考，操作然后回答问题..
学生积极参与讨论，并班内交流，然后与老师共同归纳出正方形的判定方法
学生独立完成后，班内交流，并认真听老师的讲评.
学生与同伴交流后，积极回答问题.
学生动手操作、猜想、证明后班内交流.
学生独立完成表格，然后班内交流
为探究正方形的判定做好引入.
探究正方形的判定方法.
应用正方形的判定定理进行推理.
对正方形的判定方法进行梳理
探究中点四边形与原四边形之间的关系.
掌握常见中点四边形与原四边形在对角线上存在的关系.
课堂练习
1.下列命题正确的是（ ）
A.四条边都相等的四边形是正方形
B.四个角都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
答案：D
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
不添加任何辅助线，请添加一个条件________________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)
答案：∠ABC＝90°
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，连接EF，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
答案：B
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019·北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．
答案：①②③
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、正方形的判定方法？
答案：
问题2、通过本节课的学习，你能说一说四边形对角线与其中点四边形的关系吗？
答案：
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；
对称线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第25页习题1.8第1、2题
能力作业
教材第25页习题1.8第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
课件26张PPT。正方形的性质与判定(2)数学北师大版 九年级上新知导入1、什么是正方形？平行四边形菱形邻边相等 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.矩形一个角是直角 邻边相等 一个角是直角 正方形新知导入2、正方形都有哪些性质呢？（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等；（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分；（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.新知导入说一说：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？（1）（2）（3）（4）等腰直角三角形新知导入议一议：（1）满足什么条件的菱形是正方形？菱形一个角是直角 正方形正方形的定义有一个角是直角的菱形是正方形.新知导入议一议：（1）满足什么条件的菱形是正方形？菱形正方形？新知导入议一议：（1）满足什么条件的菱形是正方形？菱形正方形对角线相等 对角线相等的菱形是正方形.新知导入议一议：（2）满足什么条件的矩形是正方形？矩形有一组邻边相等 正方形正方形的定义有一组邻边相等是矩形是正方形.新知导入议一议：（2）满足什么条件的矩形是正方形？矩形正方形？新知导入议一议：（2）满足什么条件的矩形是正方形？矩形对角线垂直 正方形对角线垂直的矩形是正方形.例：已知，如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF//CE，CF//BE. 求证：四边形BECF 是正方形．
证明：∵BF//CE，CF//BE，
∴四边形BECF 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，新知导入∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°.例：已知，如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF//CE，CF//BE. 求证：四边形BECF 是正方形．
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴□BECF 是菱形(菱形的定义)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．新知导入新知导入说一说：正方形都有哪些判定方法呢？
（1）从菱形出发：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②对角线相等的菱形是正方形．
（2）从矩形出发：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②对角线互相垂直的矩形是正方形．
（3）平行四边形出发：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
（4）从四边形出发：
①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．新知导入做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形. 那么，任意画一个正方形，如图所示，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.正方形新知导入议一议：
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明. 如果以平行四边形各边中点为顶点呢？（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与那些线段有关系？有怎样的关系？菱形的中点四边形是矩形，
矩形的中点四边形是菱形，
平行四边形的中点四边形是平行四边形.原四边形的对角线垂直相等新知导入常见中点四边形比较课堂练习1. 下列命题正确的是（ ）
A. 四条边都相等的四边形是正方形
B. 四个角都相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形D课堂练习2.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，
不添加任何辅助线，请添加一个条件________________，使四边形ABCD 是正方形．(填一个即可)∠ABC＝90°拓展提高在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE//CA，DF//BA，连接EF，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个B中考链接（2019·北京）在矩形ABCD 中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ 是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ 是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形．所有正确结论的序号是______．①②③课堂总结1、正方形的判定方法？平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等一个内角是直角一组邻边相等对角线垂直对角线相等一个内角为直角课堂总结2、通过本节课的学习，你能说一说四边形对角线与其中点四边形的关系吗？对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；
对称线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.板书设计
课题：1.3正方形的性质与判定(2)
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教师板演区?
学生展示区1.正方形的判定方法
2.中点四边形基础作业
教材第25页习题1.8第1、2题
能力作业
教材第25页习题1.8第3、4题
作业布置
