1
中考要求
内容 基本要求 略高要求 较高要求
有理数 理解有理数的意义 会比较有理数的大小
数轴
能用数轴上的点表示有理数；知
道实数与数轴上的点的对应关系
会借助数轴比较有理数的大小
相反数
会用有理数表示具有相反意义的
量，借助数轴理解相反数的意义，
会求实数的相反数
掌握相反数的性质
绝对值
借助数轴理解绝对值的意义，会
求实数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的
化简问题
重难点
1．理解正负数的意义；
2．理解数轴．相反数．绝对值的概念；
3．着重理解绝对值的几何意义，并能利用其解决相关问题；
4．能利用相关知识解决实际问题．
例题精讲
模块一 正负数的概念
正数：像 3．1． 0.33? 等的数，叫做正数.在小学学过的数，除 0外都是正数.正数都大于 0 .
负数：像 1? ． 3.12? ． 17
5
? ． 2008? 等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.。负数都小于 0 .
0既不是正数，也不是负数.
一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.
正数前面的“＋”可以省略，注意 3与 3? 表示是同一个正数.
用正．负数表示相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.
譬如：用正数表示向南，那么向北 3km可以用负数表示为 3km? .
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.
有理数的概念
2
【例 1】杭州北高峰高于海平面 536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面 150米记作（ ）
A．150 B．-150 C．150米 D．-150米
【例 2】飞机上升了-80米，实际上是（ ）
A．上升 80米 B．下降-80米
C．先上升 80米，再下降 80米 D．下降 80米
【例 3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负
数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例 4】生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由
此可知在 ___ 范围内保存该药品才合适．
【例 5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为
负．某天自 A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，-6，-2，+4，-5，+2
问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在 A地的什么位置？
答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在 A地的正 ______方向，距 A地 ____千米．
②若每千米耗油 1.5升，则今天共耗油 _______升.
模块二 有理数的分类
有理数: 整数与分数统称有理数.
( )
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? ?
? ?
?
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正整数
自然数
整数 零
有理数 按定义分类 负整数
正分数
分数
负分数
( ) ( )
? ?
? ?
??
?
?
? ?? ?? ??
正整数
正有理数
正分数
有理数 按符号分类 零 零既不是正数,也不是负数
负整数
负有理数
负分数
注：⑴正数和零统称为非负数；
⑵负数和零统称为非正数；
⑶正整数和零统称为非负整数；
⑷负整数和零统称为非正整数.
【例 6】下列各数中：+3、 2.1? 、 2
3
? 、9、 7
5
、 ? ?8? ? 、 3? ? ，负有理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例 7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例 8】下列说法正确的是（ ）
A．非负有理数就是正有理数
B．零表示没有，是有理数
C．正整数和负整数统称为整数
D．整数和分数统称为有理数
3
【例 9】既是正数，又是分数的数是（ ）
A．+2 B．0 C．3.5 D．
3
12?
【例 10】最小的正整数是 _____，最大的负整数是 _______.
【巩固】有理数中，是整数而不是正数的数是 _______，是负数而不是分数的是 ________。
【巩固】请写出三个既是负数，又是分数的有理数：__________
模块三 数轴
数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.
注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.
⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名
称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，
同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
⑶数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的直线；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位
长度要一致.
数轴画法的常见错误举例：
错例 原因
无原点
1 20
没有正方向
单位长度不统一
没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都代表有理数，如? .
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.
【例 11】数轴上有一个点从原点开始向左移动 3个长度单位，再向右移动 5个长度单位后，它所表示的有
理数是（ ）
4
A．3 B．5 C．-3 D．2
【例 12】与在数轴上表示数 2的点距离等于 3个单位的点所表示的数是（ ）
A．-1 B．5 C．3或 3? D．-1 或 5
【例 13】有理数 a．b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞ b? C．a＜b D． a? ＜b
【例 14】在数轴上，-2与-5之间的有理数有（ ）个．
A．无数个 B．4个 C．3个 D．2个
【例 15】老师在黑板上画数轴，取了原点 O 后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上
画出单位长 1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点 O 起截得 A 点，则 A 点表示
的数是 __________．
【例 16】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若折叠后，数 1表示的点与数 1? 表示的点重合，则此时数-2 表示的点与数 表示的点重合；
（2）若折叠后，数 3表示的点与数 1? 表示的点重合，则此时数 5表示的点与数 表示的点重合；
若这样折叠后，数轴上有 A、B 两点也重合，且 A、B 两点之间的距离为 9（A 在 B 的左侧），则 A 点表示
的数为 ______，B 点表示的数为______．
模块四 相反数
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是 0.
相反数的性质：
⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0 的相反数是 0．
相反数必须成对出现，不能单独存在．
例如 5? 和 5? 互为相反数，或者说 5? 是 5? 的相反数， 5? 是 5? 的相反数，
而单独的一个数不能说是相反数．
另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．
例如 3? 与 3? 互为相反数，而 3? 与 2? 虽然符号不同，但它们不是相反数．
⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
这两点是关于原点对称的．
⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．
一般地，数 a 的相反数是 a? ；这里以 a 表示任意一个数，可以为正数．0．负数，也可以是任意一个代
数式．注意 a? 不一定是负数．
当 0a ? 时， 0a? ? ；当 0a ? 时， 0a? ? ；当 0a ? 时， 0a? ? .
⑷互为相反数的两个数的和为零，即若 a与 b 互为相反数，则 0a b? ? ，
反之，若 0a b? ? ，则 a与 b 互为相反数．
5
⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指
正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.
【例 17】 1
2
? 的相反数是（ ）
A．2 B． 1
2
C．-2 D． 1
2
?
【例 18】如果 a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
A．+a 和- ? ?a? 互为相反数
B．+a 和 a? 一定不相等
C． a? 一定是负数
D． ? ?a? ? 和 ? ?+ a? 一定相等
【例 19】若 a，b 互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）
A．-2a 和-2b B．a+1和 b+1 C．a+1和 b-1 D．2a 和 2b
【例 20】相反数不大于它本身的数是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【巩固】 的相反数是它本身．
【例 21】已知代数式 3x+1与代数式 5-2x 的值互为相反数，则 x=_________
模块五 绝对值
绝对值的几何意义：一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.数 a的绝对值记作 a .
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0.
注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0 .
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 5? 符号是负号，绝对值是 5 .
求字母 a的绝对值：
①
( 0)
0( 0)
( 0)
a a
a a
a a
??
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?? ??
②
( 0)
( 0)
a a
a
a a
??
? ?? ??
③
( 0)
( 0)
a a
a
a a
??
? ?? ??
【例 22】在 ? ?2? ? ， 7? ? ， 3? ? ， 2
3
? ，
11
5
? ?? ?? ?
? ?
中，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例 23】下列说法，不正确的是（ ）
A．数轴上的数，右边的数总比左边的数大
B．绝对值最小的有理数是 0
6
C．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大
D．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大
【例 24】如图，下列各数中，数轴上点 A表示的可能是（ ）
A．2的平方 B．-3.4的绝对值 C．-4.2的相反数 D． 5
12
的倒数
板块六 科学计数法
科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 10na? 的形式（其中1 10a? ? ， n是整数），此种记法叫做科学记
数法．
例如： 5200000 2 10? ? 就是科学记数法表示数的形式．
710200000 1.02 10? ? 也是科学记数法表示数的形式．
注意：万 410? ，亿 810?
【例 25】目前肇庆市的人口约为 4050000人，这个数用科学记教法表示为（ ）
A． 410405? B． 51005.4 ? C． 61005.4 ? D． 71005.4 ?
【例 26】据国家统计局第六次全国人口普查主要数据公报，总人口为 1370536875人，这一数字用科学记
数法表示约为（ ）
A． 91037.1 ? B． 81037.1 ? C． 910371.1 ? D． 810371.1 ?
课堂检测
1. 在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．胜二局与负三局
B．盈利 3万元与支出 3万元
C．气温升高 3℃与气温为-3℃
D．向东行 20米和向南行 20米
2. 在有理数中，不存在这样的一个数 a，它（ ）
A．既是自然数又是整数
B．既是分数又是负数
C．既是非正的数又是非负的数
D．既是正数又是负数
3. -8的相反数是（ ）
A．-8 B．
8
1
? C．
8
1
D．8
4. 在 2，+8， 1
2
，
33
4
? ，-5，0，-7，87，0.5，-6.79中负整数的个数是（ ）
7
A．4个 B．5个 C．2个 D．3个
5. 在数轴上，与表示数 1的点的距离是 2的点表示的数是（ ）
A．-1 B．3 C．±2 D．-1或 3
6. 下列数：-0.5， 2
3
? ，0.1，-3，0，-（+0.75）， 3
5
? ?? ?? ?
? ?
，
3
5
? ．其中是负分数的有（ ）：
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7. 地球上水的总储量为 3181039.1 m? ，但目前能被人们生产．生活利用的水只占总储量的 0.77%，即约
为
318100107.0 m? ，因此我们要节约用水．请将 318100107.0 m? 用科学记数法表示是（ ）
A． 3161007.1 m? B． 31710107.0 m? C． 315107.10 m? D． 3171007.1 m?
课后作业
1. 如果+9%表示“增加 9%”，那么“减少 6%”可以记作（ ）
A．-6% B．-4% C．+6% D．+4%
2. 食堂购进 10袋大米，每袋以 100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负
数，称重记录如下：+5，-3，+7，0，0，+2，-4，-1，+8，-2．
食堂共购进大米 ________千克．
3. 下列说法中错误的是（ ）
A．正整数．负整数．零统称为整数
B．正分数．负分数统称为分数
C．整数．分数和零统称为有理数
D．0是偶数，也是自然数
4. 下列说法：①-2.5既是负数．分数，也是有理数；②-25既是负数，也是整数，但不是自然数；③0既
不是正数，也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 数轴上的 A点表示的数是-3，数轴上另一点 B到 A点的距离是 2，则 B点所表示的数是________。
6. 数轴上表示互为相反数 a 与-a 的两个点（ ）
A．到原点的距离一样远
B．到原点的距离不一样远
C．表示数 a 的点在原点的右边
D．表示数-a 的点在原点的左边
7. 已知数轴上 A．B 表示的数互为相反数，并且两点间的距离是 6，点 A 在点 B 的左边，则点 A．B 表
示的数分别是 __________
8. 下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比 0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数
的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以
8
用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．②④⑤⑥ B．③⑤ C．③④⑤ D．③⑤⑥
9. 某地区有 54310人参加中考，将 54310用科学记数法表示约为（ ）
A．54×103 B．0.54×105 C．5.4×104 D．5.5×104
10. 某自行车厂计划一周生产自行车 1400辆，平均每天生产 200辆，但由于种种原因，实际每天生产量
与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 七
增减 +5 -2 -4 +13 -10 +16 -9
（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 __________辆；
（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 _________辆；
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 ________辆；
（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得 60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖 15元；
少生产一辆扣 20元，那么该厂工人这一周的工资总额是 ________元。
1
中考要求
内容 基本要求 略高要求 较高要求
有理数运算 理解乘方的意义
掌握有理数的加．减．乘．除．乘方
及简单的混合运算（以三步为主）
能运用有理数的运
算解决简单问题
有理数的运算律 理解有理数的运算律 能用有理数的运算律简化运算
有理数 理解有理数的意义 会比较有理数的大小
数轴
能用数轴上的点表示有理数；知道实
数与数轴上的点的对应关系
会借助数轴比较有理数的大小
重难点
1. 理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算
2. 理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算
3. 能利用有理数的运算法则简化运算
4. 能借助数轴比较有理数的大小
例题精讲
模块一．有理数加法运算
有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同 0相加，仍得这个数.
有理数的运算
2
有理数加法的运算步骤：
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
①确定和的符号；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.
有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a? ? ? (加法交换律)
②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
( ) ( )a b c a b c? ? ? ? ? (加法结合律)
有理数加法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式.
②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.
⑥符号相同的数可以先结合在一起.
【例 2】计算下列各题：
(1) (一 11)+(一 9)； (2) (一 3.5)+(+7)； (3)(一 1.08)+0；．
(4)(
2
3
? )+(
2
3
? ) （5）[(-22)+(-27)]+(+27)； （6）(-22)+[(-27)+(+27)]
【巩固】计算：（1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?3 6 4 7 5
? ?2 ? ? ? ?????
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2 3
4
025 1
8
0125 31
8
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3
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?
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?
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5
7
5
14
3
25
2
7
2
25
9
14
【例 3】小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高 4℃后的温度为（ ）
A．4℃ B．9℃ C．-1℃ D．-9℃
【例 4】绝对值不大于 10的所有整数的和等于（ ）
A．-10 B．0 C．10 D．20
【例 5】已知 a，b，c 的位置如图，化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|=______________
模块二 有理数减法运算
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数. ( )a b a b? ? ? ?
有理数减法的运算步骤：
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.
注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则
转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可
以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.
【例 6】 计算 ? ?? ? ? ?531 ??? （2） ? ? ? ?+5 9? ? （3） ? ? ? ?5 9? ? ?
【巩固】 ⑴
2 1( 4 ) ( 3 )
3 3
? ? ? ⑵
2 1( 6 ) ( 9 ) | 3 | 7.4 9.2 ( 4)
5 5
? ? ? ? ? ? ? ? ?
4
⑶
1 7( 14 ) ( 5 ) ( 1.25)
8 8
? ? ? ? ? ⑷
1 1 1( 8.5) 3 ( 6 ) 11
3 3 2
? ? ? ? ?
【例 7】对于任何有理数 a，下列各式中一定为负数的是（ ）
A． ? ?3 a? ? ? B． a? C． 1a? ? D． 1a? ?
【例 8】a，b在数轴上的位置如图所示，则 a，b，a+b，a-b 中，负数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例 9】两个数的差是负数，则这两个数一定是（ ）
A．被减数是正数，减数是负数 B．被减数是负数，减数是正数
C．被减数是负数，减数也是负数 D．被减数比减数小
【例 10】如果 a，b 均为有理数，且 b＜0，则 a，a-b，a+b 的大小关系是（ ）
A．a＜a+b＜a-b B．a＜a-b＜a+b C．a+b＜a＜a-b D．a-b＜a+b＜a
模块三 有理数的乘法
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0相乘，都得 0.
有理数乘法运算律：
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba? (乘法交换律)
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ( )abc a bc? (乘法结合律)
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
( )a b c ab ac? ? ? (乘法分配律)
有理数乘法法则的推广：
①几个不等于 0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负
因数的个数是奇数时，积为负数.
②几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0.
③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化
为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.
在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.
【例 11】下面计算正确的是（ ）
A．-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80 B．12×（-5）=-50
C．（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180 D．（-36）×（-1）=-36
5
【巩固】
1 3
3 7
? ?? ? ?? ?
? ?
3 16
16 9
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
___________
【巩固】（1） 4 1 1 3( 3) 1 1 5
5 9 2 11
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
（2） 1 1 17 11 13 ( )
7 11 13
? ? ? ? ? ；
（3）? ? ? ?9 9 98 12 5 12 4 12
16 16 16
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
（4） 1 1 1 112 2 1 1 1
4 2 6 12
? ?? ? ? ? ?? ?
? ?
【例 12】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（ ）
A．都是负数 B．一正一负且正数的绝对值大 C．都是正数 D．无法确定
【例 13】 a． b ． c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）
A． 0a ? ，b ． c 同号 B． 0b ? ， a． c 异号
C． 0c ? ， a．b 异号 D． a． b ． c 同号
【例 14】 已知|x|=3，|y|=2，且 x?y＜0，则 x+y 的值等于（ ）
A．5或-5 B．1或-1 C．5或 1 D．-5或-1
【例 15】有理数 a，b，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：
（1）abc＜0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c| （3）（a-b）（b-c）（c-a）＞0 （4）|a|＜1-bc
其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
模块四 有理数的除法
有理数除法法则：除以一个不等于 0的数，等于乘这个数的倒数. 1a b a
b
? ? ? ，( 0b ? )
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不等于 0的数，都得 0.
有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.
【例 16】下列关于 0的说法中，正确的个数是（ ）
①0既不是正数，也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．
A．1 B．2 C．3 D．4
6
【例 17】下列运算有错误的是（ ）
A． ? ? ? ?1 3 3 3
3
? ? ? ? ? B． ? ? ? ?15 5 2
2
? ?? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?
C．8-（-2）=8+2 D．2-7=（+2）+（-7）
【巩固】计算：（1） 1 1 13 2 1
3 3 5
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
（2） ? ? ? ?1 12 10 3 5
2 3
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
（3） 2 3 1( 4) ( )
3 2 4
? ? ? ? ? ； （4） 7 1( ) 2 ( 3)
9 3
? ? ? ? ；
【例 18】两个有理数的商为正，则（ ）
A．和为正 B．和为负 C．至少一个为正 D．积为正数
【例 19】用“＞”或“＜”填空
（1）如果 0
ab
c
? ， 0ac ? 那么 b _____ 0 ；
（2）如果 0
a
b
? ， 0
b
c
? 那么 ac _______0 .
模块五 有理数的乘方
求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 na 中，a 叫做底数，n 叫做指数，
读作 a 的 n 次幂。
注意： ? ? ? ?2 2 12 2 1n nn na a a a? ?? ? ? ? ?，，，
【例 20】计算：（1） 3)4(? （2） 4)2(?
【例 21】 计算： )2()3(]2)4[()3()2( 223 ??????????
【例 22】 观察下面三行数：
2? ．4． 8? ．16． 32? ．64…… ①
0．6． 6? ．18． 30? ．66…… ②
1? ．2． 4? ．8． 16? ．32…… ③
7
（1）第①行按什么规律排列？
（2）第②③行与第①行分别有什么关系？
（3）取每行第 10个数求这几个数的和？
模块六 有理数的混合运算
要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二
级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；
有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．
1. （1） 13 50 22 1
5
? ?? ? ? ? ?? ?
? ?
（2） ? ?211 1 0.5 2 3
3
? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?
（3） ? ? ? ? ? ?22101
4
2 321
2
125.0 ???????
?
?
?
?
???? （4）(－3
2
)×(－11
15
)－3
2
×(－13
15
)＋3
2
×(－14
15
)
模块七 有理数的大小比较
【例 23】下列各数中，比-1小的数是（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．2
【例 24】比较
1 1 1
2 3 4
? ?， ， 的大小，结果正确的是（ ）
A． 1 1 1
2 3 4
? ? ? ? B． 1 1 1
2 4 3
? ? ? ?
C． 1 1 1
4 3 2
? ? ? ? D． 1 1 1
3 2 4
? ? ? ?
【例 25】给出两个结论：（1） a b b a? ? ? ，（2） 1 1
2 3
? ? ? ．其中（ ）
A．只有（1）正确 B．只有（2）正确
C．（1）和（2）都正确 D．（1）和（2）都不正确
8
【例 26】a，b，c 在数轴上的位置如图．则在 1 a c b c a
a
? ? ? ?， ， ， 中，最大的一个是（ ）
A． a? B． c b? C． c a? D． 1
a
?
【27】若 b＜0，则 a+b，a，a-b 的大小关系为（ ）
A．a+b＞a＞a-b B．a-b＞a＞a+b C．a＞a-b＞a+b D．a-b＞a+b＞a
课堂检测
1. 式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（ ）
A．2+1-3+2 B．-2+1+3-2 C．2-1+3-2 D．2-1-3-2
2. 计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100= 1684_______
3. 计算 ? ? 74 1.6 2.5
4
? ? ? ? 之值为何（ ）
A．-1.1 B．-1.8 C．-3.2 D．-3.9
4. 下列判断：①若 ab=0，则 a=0或 b=0；②若 2 2a b? ，则 a=b；③若 2 2ac bc? ，则 a b? ；④若 a b? ，
则 ? ? ? ?a b a b? ? ? 是正数．其中正确的有（ ）
A．①④ B．①②③ C．① D．②③
课后作业
1. 下列计算正确的是（ ）
A． 1 1 3 1
2 2
? ? ? ? B． ? ?323 2 1? ? ? ? C． 16 3 6
3
? ? ? D． ? ?
2
20051 11 1 3
2 4
? ? ? ? ?? ?
? ?
2. 下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ 1
5
×5=5；（4）23=6，正确的个数有
（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3. 已知|x|=0.19，|y|=0.99，且 0?
y
x
，则 x-y 的值为（ ）
A．1.18或-1.18 B．0.8或-1.18 C．0.8或-0.8 D．1.18或-0.8
4. 计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；
（2）计算：（ 1 2 2)
6 3 7
? ? ×（-42）= ________.
9
5. 若 a．b．c 在数轴上位置如图所示，则必有（ ）
A．abc＞0 B．ab-ac＞0 C．（a+b）c＞0 D．（a-c）b＞0
6. 有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则在 a+b，a-b，ab， 3a ， 2 3a b s这五个数中，正数的个数
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 定义 a※b= a b? ，则（1※2）※3=_________
1
中考要求
内容 基本要求 略高要求 较高要求
绝对值
借助数轴理解绝对值的意义，会求
实数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的
化简问题
重难点
绝对值的几何意义：一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.数 a的绝对值记作 a .
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0.
注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“ ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0 .
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如： 5? 符号是负号，绝对值是 5 .
求字母 a的绝对值：
①
( 0)
0( 0)
( 0)
a a
a a
a a
??
?? ??
?? ??
②
( 0)
( 0)
a a
a
a a
??
? ?? ??
③
( 0)
( 0)
a a
a
a a
??
? ?? ??
利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.
例如：若 0a b c? ? ? ，则 0a ? ， 0b ? ， 0c ?
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 a a? ，且 a a? ? ；
（2）若 a b? ，则 a b? 或 a b? ? ；
（3） ab a b? ? ；
aa
b b
? ( 0)b ? ；
（4） 2 2 2| | | |a a a? ? ；
a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
a b? 的几何意义：在数轴上，表示数 a． b对应数轴上两点间的距离．
绝对值
2
课前预习
例题精讲
【例 1】到数轴原点的距离是 2的点表示的数是（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．4
【例 2】下列说法正确的有（ ）
①有理数的绝对值一定比 0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相
反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理
数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．②④⑤⑥B．③⑤C．③④⑤D．③⑤⑥
【例 3】如果 a的绝对值是 2，那么 a是（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D． 1
2
?
【例 4】若 a＜0，则 4a+7|a|等于（ ）
A．11a B．-11a C．-3a D．3
【例 5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）
A．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数
【例 6】已知|x|=5，|y|=2，且 xy＞0，则 x-y的值等于（ ）
A．7或-7 B．7或 3 C．3或-3 D．-7或-3
【例 7】若 1??
x
x
，则 x是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
3
【例 8】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）
A．1-b＞-b＞1+a＞a
B．1+a＞a＞1-b＞-b
C．1+a＞1-b＞a＞-b
D．1-b＞1+a＞-b＞a
【例 9】已知 a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）
A．2 B．2或 3 C．4 D．2或 4
【例 10】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）
A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6
【例 11】若|x+y|=y-x，则有（ ）
A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0
C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或 y=0，x≤0
【例 12】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号
【例 11】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；
（3）若|m|＞m，则 m＜0；
（4）若|a|＞|b|，则 a＞b，其中正确的有（ ）
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
【例 12】已知 a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________
【例 13】若 x＜-2，则|1-|1+x||=______
若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________
【例 14】 ? ?21 2 0a b? ? ? ? ，分别求 a b， 的值
【例 15】 451 ???? xx 的最小值是_______
4
【例 16】计算 1 1 1 1 11 ....
2 3 2 2007 2006
? ? ? ? ? ? = ．
【例 17】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________
【例 18】已知：abc≠0，且 M=
a b c
a b c
? ? ，当 a，b，c取不同值时，M有 ____种不同可能．
当 a、b、c都是正数时，M= ______；
当 a、b、c中有一个负数时，则 M= ________；
当 a、b、c中有 2个负数时，则 M= ________；
当 a、b、c都是负数时，M=__________ ．
课堂检测
1. 若 a的绝对值是 1
2
，则 a的值是（ ）
A．2 B．-2 C． 1
2
D． 1
2
?
2. 若|x|=-x，则 x一定是（ ）
A．负数 B．负数或零 C．零 D．正数
3. 如果|x-1|=1-x，那么（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
4. 若|a-3|=2，则 a+3的值为（ ）
A．5 B．8 C．5或 1 D．8或 4
5. 若 x＜2，则|x-2|+|2+x|=________________
6. 绝对值小于 6的所有整数的和与积分别是__________
7. 如图所示，a．b是有理数，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________
8. 已知|x|=2，|y|=3，且 xy＜0，则 x+y的值为 _________
5
课后作业
1. -19的绝对值是________
2. 如果|-a|=-a，则 a的取值范围是（
A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0
3. 对值大于 1且不大于 5的整数有 __________个．
4. 绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________．
5. 当 x __________时，|2-x|=x-2．
6. 如图，有理数 x，y在数轴上的位置如图，化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________
7. 若 3 2 3 0x y? ? ? ? ，则 y
x
的值是多少？
