探索与表达规律
教学过程
情境1：一首永远也唱不完的儿歌.
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；
……
这样唱下去我们能唱完吗？ 能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括“n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，n声扑通跳下水”。
情境2：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮.” 日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。
（1）我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？
（2）日历上方框中的9个数字之和与方框正中间和数字有什么关系？
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（提示：用a表示方框中间的数，用合并同类项的知识解决问题）
通过观察日历中的数字，我们不难发现其中的规律：（1）相邻的两个数字后者比前者大1，下者总比上者大7；（2）一方框中的9个数字之和是中间数的9倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立。
[开眼界]
探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是经历从特殊到一般，从一般到特殊这种探索规律、验证规律的过程，了解从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。在用去括号、合并同类项等知识的同时，可适当了解以下知识。
【杨辉三角】观察杨辉三角图，寻找其中的规律。
【几个求和公式】
；
；
2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)；
.
[经典例析]
例1 观察一列数表：根据数表所反映的规律，猜想第6行
与第6列的交叉点上的数应为_______，第n行与第n列的交叉
点上的数应为_______（用含有正整数n的的代数式表示）．
点拨：通过观察不难发现第n行的第一个数为n，在第n行中，
后一个数比前一个数大1，因此第6行的第6个数应该是6+6-1=11，
第n行的第n个数应该是n+n-1=2n-1.
解：11 2n-1
评析：通过观察给出的一系列数找出它们的规律或探索它们之间的数量关系，再用数学方法给予证明（即用代数式表示其关系）是探索规律的常见题型。解决这类问题的一般方法是：“观察、归纳、猜想、验证”。另外要注意的是并非题目中都要告诉什么是行，什么是列，这是生活中的基本常识，要求能分得清楚。
例2 （2011年·安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n = 2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n = 3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n = 2时增加了3种，即S = 2 + 3 = 5。
(1) 观察图形，填写下表：
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2 + 3
4×4
2 ＋ 3 ＋ ( )
5×5
( )
(2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
(3) 对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。
点拨:在观察规律时可用“覆盖法”，即n = k时包含了n = k － 1时的所有情况，如n = 3时，S = 2 + 3，当n = 4时,我们仅需考虑在n = 3的基础上增加了几条不同长度的线段，显然由图形易得此时S = 2 + 3 + 4，以此类推。
解：（1）4 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5（或14） （2）类似以下答案均可：①n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；②分别用a、b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a = b ＋ n. （3）S = 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ n.
评析：对于刚入初一的同学来说，还不能算出不同线段的具体长度，但可以通过图形直观地感受出线段的长短，再从图形的变化中探索其中的规律.
根据以下10个乘积，回答问题.
11×29 12×28 13×27 14×26 15×25
16×24 17×23 18×22 19×21 20×20
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
点拨：本题有一定难度，对学生的基本能力和发散思维要求较高。第一问不能简单地去猜想，更不能逐个算出结果再找规律，首先应该观察到每组算式中两个因数的和为常数40，这一点有助于第三问总结一般性结论，然后借助于平方差公式计算出对应的□和○，其实第一问的答案并不唯一，比如12×28＝202－82=312－252……,不过我们尽可能让写出的式子形式一致。第二问其实就是简单的计算和大小比较，比较的结果有助于第三问。第三问的实质是总结出一般结论：a,b为正数，若a＋b＝m（定值），则ab≤（当且仅当a=b时取等号），且a,b的差的绝对值越小时，它们的积越大，当a=b时它们的积最大。
解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2， 因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．解得，□＝20，○＝9．故． （或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92 ．
⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
．
⑶ ① 若，a，b是自然数，则ab≤202＝400．
② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400．
③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤．
④ 若a＋b＝m，则ab≤．
⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40．
且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．
且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
评析：第3问其实是一个开放性问题，可以有很多种正确的答案，根据考试的评分标准，该问共3分，给出结论①或②之一的得1分；给出结论③或④之一的得2分；给出结论⑤或⑥之一的得3分．由此可见，我们在分析和解决问题时，要尽可能地做到深入和全面，尽量挖掘其数学本质。
即学即练
1．观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 007个图形是（ ）.
A B C D
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ …
2．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
① ② ③ …
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）.
A． B． C． D．
3．（·遵义市）如图是5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）.
A．27 B．36 C．40 D．54
4．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图4给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ）.
A B C D
5．世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
……
则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）.
A． B． C． D．
6．小说《达(芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…则这列数的第8个数是 ．
7．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为__ ___．
8．观察下列各式：；；
……依此规律，第个等式（为正整数）为 ．
9．一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
10．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出： ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ．
（3）探究并计算：．
中考风向标
中考对于探索规律问题的考察常见于选择题和填空题，数目在1个左右，随着课程改革的逐渐深入，对探索规律的考察也逐渐渗透到解答题之中，甚至以单独的解答题出现。这种发展方向实质上体现了课程标准中要求达到的目标之一――不是培养学生“学新知识”，而是去“生长新知识”；也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础；同时也为发展学生勇于探索、勇于创新的科学精神作了有益的尝试。
1．如图，用同样规格的、带花纹的和不带花纹的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题。
n=1 n=2 n=3
在第n个图中，共有 白块瓷砖。（用含n的代数式表示）
评析：观察给出三个图形，可得第n个图形中间白色的正方块的长边有n+1个正方块，短边有n个正方块，故共有n(n ＋ 1)块白块瓷砖。
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下：
1 1 2 3 5
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：
序号
①
②
③
④
周长
6
10
16
26
① ② ③ ④
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是 。
评析：首先由该组数的规律我们可以写出它的前11个数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，再由构造矩形的规律不难发现序号为⑩的矩形右边是边长为89的正方形，而整个矩形的长为55+89=144，宽为89，故其周长为(144+89)(2=466.
《探索规律》“即学即练”
1.C 2.A 3.C 4.C 5. B 6.21 7.14 8. 9.或（只填一个即可） 10.(1) (2) (3)
课件25张PPT。3.5 探索与表达规律第三章 整式及其加减3.5.探 索 与表达规 律(一)
杨辉三角 1 1 1 1 1 1 1 1 1… 2 3 3 4 6 4 绿色方框中 九个数之和=9×正中间的数日历中绿色方框中九个数的和与方框中正 中间的数有什么关系？ 猜想:探究1:数的变化规律a-6(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
+(a+8) = ______9a规律: 蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数探究1:数的变化规律aa-1a+1a-7a-8a+7a+8a+6规律: 十字形中五数之和=5×中间数十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？探究1:数的变化规律规律: “H”形中七数之和=7×中间数“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？探究1:数的变化规律规律: “M”形中 七数之和=7×中间数“M”形中的数字有何规律？你是如何验证的？探究1:数的变化规律 摆第n个正方形需要多少颗棋子？(n+1)2照这样的规律摆下去探究2:图形的变化规律用棋子按下列方式摆正方形:4个9个16个（5）36个挑战探究2:图形的变化规律用棋子摆成以下图案,并填写表格:② 摆第n个图案需要 颗棋子。111723296n-15① 填写下表:1.基本方法： 2.基本思想：P99页：问题解决第1，2题。作业第三章 整式及其加减3.5 探索与表达规律(二)
请你任意想一个数,将这个数减去1后乘以2,再减去3,然后加上5,将最后的结果告诉老师。
让老师猜猜你心中想的那个数是几？ 一、数字游戏1.如果长方形的长为m,宽为n,则长方形的周长为 ,面积为 。2.若圆的半径为 ,则其面积为 周长为 3.若长方体的长宽高分别为a，b，c，则其体积表示为 。4.用字母表示运算律：
加法交换律：
加法结合律：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：a+b=b+aa+b+c=a+(b+c)ab=baabc=a(bc)a(b+c)=ab+ac二、回顾旧知2(m+n)mn r∏r22∏rabc 形如2（m+n）,mn， ∏ r2 ， 2 ∏ r， abc，a+b，ab+ac这样的式子。即用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子。代数式: 单独的一个数字和字母也叫代数式。单独的一个数或者字母也是代数式，如：５， ∏ ，a 等。注意：列代数式要注意以下几点:1.数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略；如2×a写作2a，a×b写作ab， 2×(a+b)或（a+b）×2写作2(a+b)。2.数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式；如4÷a写作3.如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数，如 .三、探索新知小明：你在心里想好一个两位数，将十位数字乘以2，然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的新数加上个位数字,把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。小亮：怎么知道的呢?要求：同桌两人分工进行。规律：结果为原两位数与15的和。三、探索新知 如果用a、b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 ,则可得：5（2a+3）+b=10a+b+15 10a+b你发现的规律是什么？三、探索新知 2.交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个数； 这些和有什么规律？
你们组能发现并验证这个规律吗?
1.任意写出一个两位数；3.求这两个数的和 。要求：
1.请解决本节课最初的游戏问题；
2.以每个小组设计类似的数字，游戏并解释其中的道理 。设心中的数是X，2（X-1）-3+5=2X-2-3+5=2X。
结果除以2就是心中的数了。 请你任意想一个数,将这个数减去1后乘以2,再减去3,然后加上5,将最后的结果告诉老师。1.基本方法： 2.基本思想：四、归纳提炼五、扩展延伸 一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除，这是为什么？四位数能否被3整除是否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？谢 谢
