2．2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程
教学目标：
1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程；(重点)
2．理解配方法的基本思路；(难点)
3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．(重点)
教学过程：
一、情景导入
一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝20－5x2，问石头经过多长时间落到地面？
二、合作探究
探究点一：用直接开平方法解一元二次方程
用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0；
(3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16.
解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．
解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；
(2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3；
(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，所以x1＝5，x2＝－1；
(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，所以y1＝，y2＝－.
方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．
探究点二：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.
解析：方程左边不是一个完全平方式，需将左边配方．
解：移项，得x2＋2x＝1.
配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2，
即(x＋1)2＝2.
开平方，得x＋1＝±.
解得x1＝－1，x2＝－－1.
方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错．配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
三、板书设计
用配方法解简单的一元二次方程：
1．直接开平方法：形如(x＋m)2＝n(n≥0)用直接开平方法解．
2．用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接开平方法，便可求出它的根．
3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：
(1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；
(2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；
(3)用直接开平方法求出它的解．
教学反思：
通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程
教学目标：
1．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；(重点)
2．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．(难点)
教学过程：
一、情景导入
某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(m)和时间t(s)之间的关系为：s＝10t＋3t2，那么行驶200m需要多长时间？
二、合作探究
探究点一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解方程：－x2＋x－＝0.
解析：先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．
解：方程两边同除以－，得x2－5x＋＝0.
移项，得x2－5x＝－.
配方，得x2－5x＋(－)2＝－＋(－)2，
即(x－)2＝.
两边开平方，得x－＝±.
即x－＝或x－＝－.
所以x1＝，x2＝.
易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项；(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．
探究点二：配方法的应用
【类型一】 利用配方法求代数式的值
已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值．
解析：观察方程可以知道，原方程可以用配方法转化为两个数的平方和等于0的形式，得到这两个数都为0，从而可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．
解：原等式可以写成：(a－)2＋(b－)2＝0.
∴a－＝0，b－＝0，解得a＝，b＝.
∴a－4＝－4×＝－.
方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．
【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系
请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正．
解析：本题是要运用配方法将代数式化为一个平方式加上一个常数的形式．
解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋()2＋7－()2＝(x－)2＋，而(x－)2≥0，
∴(x－)2＋≥.
∴代数式x2－5x＋7的值恒为正．
方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．
【类型三】 利用配方法解决一些简单的实际问题
如图，一块矩形土地，长是48m，宽是24m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．
解析：若设花砖路面宽为xm，则草地的长与宽分别为(48－2x)m及(24－2x)m，根据等量关系：矩形草地的面积＝×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．
解：设花砖路面的宽为xm.根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝×48×24.
整理，得x2－36x＝－128.
配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，
即(x－18)2＝196.
两边开平方，得x－18＝±14.
即x－18＝14，或x－18＝－14.
所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4.
故花砖路面的宽为4m.
方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．
三、板书设计
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
(1)把原方程化为一般形式；
(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；
(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；
(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(5)用直接开平方法解方程．
教学反思：
通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯.
