2．1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
教学目标：
1．了解一元二次方程的概念；(重点)
2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)
3．能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型．(难点)
教学过程：
一、情景导入
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.
根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】 判定一元二次方程
下列方程中，是一元二次方程的是________(填入序号即可)．
①－y＝0；②2x2－x－3＝0；③＝3；
④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；⑥t2＝2；
⑦x2＋3x－＝0；⑧＝2.
解析：由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程．
【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x＝2x2－ax－3；
(2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.
解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a－2)x2＋(a－1)x＋3＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程．
解：(1)当a≠2时，方程ax2－x＝2x2－ax－3为一元二次方程；
(2)因为|a|＋1＝2，所以a＝±1.当a＝1时，a－1＝0，不合题意，舍去．所以当a＝－1时，原方程为一元二次方程．
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
【类型三】 一元二次方程的一般形式
把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)x(x－2)＝4x2－3x；
(2)－＝；
(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0)．
解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母，去括号，移项，合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项．
解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；
(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝3(－x－1)．去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；
(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.
探究点二：建立一元二次方程模型
如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程．
解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程．
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x) cm.
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0(x＜)．
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程．在列出方程后，还应根据实际需求，注明自变量的取值范围．
三、板书设计
一元二次方程
教学反思：
本课通过丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想．通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效数学模型，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣.
第2课时 一元二次方程的解及其估算
教学目标：
1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；(重点)
2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．(难点)
教学过程：
一、情景导入
在上一课时情境导入中，苗圃的宽满足方程x(x＋2)＝120，你能求出该方程的解吗？
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的解
下列哪些数是方程x2－6x＋8＝0的根？
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
解析：把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分别代入方程x2－6x＋8＝0中，发现当x＝2和x＝4时，方程x2－6x＋8＝0成立，所以x＝2，x＝4是方程x2－6x＋8＝0的根．
解：2，4是方程x2－6x＋8＝0的根．
方法总结：(1)使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．
(2)判断一个数是否为某个一元二次方程的根，我们只需要将这个数当作未知数的值分别代入原方程的左右两边，看左右两边代数式的值是否相等，若相等，则这个数是一元二次方程的根；若不相等，则这个数不是一元二次方程的根．
探究点二：估算一元二次方程的近似解
请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．
解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．
解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…
x
0
1
2
3
…
x2－2x－1
－1
－2
－1
2
…
由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x2－2x－1＜2；
(2)继续列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…
x
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2－2x－1
－0.79
－0.56
－0.31
－0.04
0.25
…
由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－ 0.04＜x2－2x－1＜0.25；
(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.
方法总结：(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．
(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．
三、板书设计
一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”：
(1)先根据实际问题确定其解的大致范围；
(2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．
教学反思：
“估算”在求解实际生活中一些较为复杂的方程时应用广泛．在本节课中让学生体会用“夹逼”的思想解决一元二次方程的解或近似解的方法．教学设计上，强调自主学习，注重合作交流，在探究过程中获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力.
