2．3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
教学目标：
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2．会用公式法解一元二次方程；(重点)
3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)
教学过程：
一、情景导入
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.
二、合作探究
探究点一：用公式法解一元二次方程
方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．
解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.
故答案分别为3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．
用公式法解下列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；
(3)x2－2x＋1＝0.
解析：先确定a，b，c及b2－4ac的值，再代入公式求解即可．
解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.
∵a＝3，b＝5，c＝－2，
∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝－2；
(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，
∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，
∴原方程没有实数根；
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝x2＝1.
方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．
探究点二：一元二次方程根的判别式
【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况
已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是( )
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0，有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k>－1 B．k>－1且k≠0
C．k<1 D．k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B.
易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题中容易误选A.
【类型三】 根的判别式与三角形的综合应用
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2 ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．
解析：先将方程转化为一般形式，再根据根的判别式确定a，b，c之间的关系，即可判定△ABC的形状．
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2 ax＋(c－b)m＝0.
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(－2 a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．
方法总结：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．
三、板书设计
教学反思：
经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解求根公式的基础．通过对求根公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.
第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
教学目标：
1．能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题；(重点、难点)
2．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．(难点)
教学过程：
一、情景导入
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？
二、合作探究
探究点：利用一元二次方程解决面积问题
如图所示，某幼儿园有一道长为16m的墙，计划用32m长的围栏靠墙围成一个面积为120m2的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．
解析：若设BC长为xm，则宽AB可表示为m，由矩形的面积公式“面积＝长×宽”可列方程求解．
解：设矩形草坪BC边的长为xm，则宽AB为m.
根据题意，得x·＝120.
解得x1＝12，x2＝20.
又由题意知BC≤16，∴x＝20不符合题意，应该舍去．
∴该矩形草坪BC边的长为12m.
方法总结：(1)结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题时的关键； (2)注意检验一元二次方程的根是否符合题意．
将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
解析：做成的是两个正方形，且已知两个正方形的面积之和，只需设出正方形的边长或用未知数表示出边长，列方程解答即可．
解：设一个正方形的周长为xcm，则另一个正方形的周长为(20－x)cm.
(1)由题意可列方程()2＋()2＝17.解此方程，得x1＝16，x2＝4.
所以两段铁丝的长度分别为16cm和4cm；
(2)由题意可列方程()2＋()2＝12，
此方程化为一般形式为x 2－20x＋104＝0.
∵b2－4ac＝(－20)2－4×1×104＝－16<0，
∴此方程无解．
∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm2.
方法总结：对于生活中的应用题，首先要全面理解题意，然后根据实际问题的要求，确定用哪些数学知识和方法解决，如本题用方程思想和一元二次方程的根的判定方法来解决．
三、板书设计
列一元二次方程解应用题的一般步骤可以归结为“审，设，列，解，检，答”六个步骤：
(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；
(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即可得到方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)检：检验方程的解是否正确，是否保证实际问题有意义；
(6)答：根据题意，选择合理的答案．
教学反思：
经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．通过学生创设解决问题的方案，增强学生的数学应用意识和能力.
