2.2 用配方法求解一元二次方程 教案（2课时）

2　用配方法求解一元二次方程
第1课时　用配方法解x2＋px＋q＝0型方程
一、基本目标
1．理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．
3．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
二、重难点目标
【教学重点】
利用配方法解一元二次方程．
【教学难点】
把一元二次方程通过配方转化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P36～P37的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．解一元二次方程的思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是x1＝－m＋，x2＝－m－.
2．通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．
3．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
(1)移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
(2)配——配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(3)开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±；
(4)解——方程的解为x＝－m±.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】用直接开平方法解下列方程：
(1)x2＝5；　(2)(x＋6)2＋72＝102.
【互动探索】(引发学生思考)直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)方程两边同时开平方，得x1＝，x2＝－.
(2)移项，得(x＋6)2＝102－72，即(x＋6)2＝51.方程两边同时开平方，得x＋6＝±.所以x1＝－6＋，x2＝－6－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用直接开平方求解一元二次方程时，不要漏掉方程的负根．对于此种方程最好直接开平方进行计算，不要去掉括号进行整理后，再进行计算．
【例2】用配方法解下列方程：
(1)x2＋2x＋1＝5；　(2)x2－8x－2＝7.
【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)配方，得(x＋1)2＝5.方程两边同时开平方，得x＋1＝±.所以x1＝－1＋，x2＝－1－.
(2)移项，得x2－8x＝9.两边都加上(－4)2(一次项系数一半的平方)，得x2－8x＋(－4)2＝9＋(－4)2，即(x－4)2＝25.两边开平方，得x－4＝±5，即x－4＝5或x－4＝－5.所以x1＝9，x2＝－1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为(　D　)
A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0
C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2
2．用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2＝81；　　(2)36x2－1＝0；
(3)(x＋5)2＝25.
解：(1)x1＝，x2＝－.　(2)x1＝，x2＝－.　(3)x1＝0，x2＝－10.
3．用配方法解下列关于x的方程：
(1)x2＋2x－35＝0；　(2)x2－8x＋7＝0.
解：(1)x1＝5，x2＝－7.　(2)x1＝1，x2＝7.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例3】如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值．
【互动探索】求解本题的关键是确定出x、y、z的值．已知等式，需对其进行适当的变形才能确定出x、y、z的值．
【解答】由已知方程，得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：→→→
第2课时　用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型方程
一、基本目标
1．进一步理解配方法，会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．
2．通过将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型方程转化为形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程的过程，掌握配方的方法．
3．通过用配方法求解一般型一元二次方程，进一步体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标
【教学重点】
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．
【教学难点】
会用转化的数学思想解决有关问题．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P38的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
(1)化——化二次项系数为1；
(2)配——配方，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式；
(3)移——移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式；
(4)开——如果n≥0，就可左右两边开平方得x＋m＝±；
(5)解——方程的解为x＝－m±.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】解方程：2x2＋5x＋3＝0.
【互动探索】(引发学生思考)类比用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的解法解决本题．
【解答】两边同除以2，得x2＋x＋＝0.配方，得x2＋x＋2－2＋＝0，即2－＝0.移项，得2＝.两边开平方，得x＋＝±，即x＋＝或x＋＝－.所以x1＝－1，x2＝－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用配方法求解形如 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)形式的方程的关键是利用转化的方法将其转化为二次项系数为1的一元二次方程，从而把问题转化为用配方法求形如x2＋px＋q＝0形式的一元二次方程．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．某学生解方程3x2－x－2＝0的步骤如下：
解：3x2－x－2＝0，→x2－x－＝0，→x2－x＝①，→2＝＋②，→x－＝±③，→x1＝，x2＝④，上述解题过程中，最先发生错误的是(　B　)
A．第①步 B．第②步
C．第③步 D．第④步
2．解下列方程：
(1)3x2＋6x－5＝0；　　(2)2x2－4x＋1＝0；
(3)2x2－4x＝6；　　(4)9y(y－2)＝4.
解：(1)x1＝－1，x2＝－－1.
(2)x1＝1＋，x2＝1－.　(3)x1＝3，x2＝－1.
(4)y1＝1＋，y2＝1－.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】先化简，再求值：÷，其中m是方程x2＋3x－1＝0的根．
【互动探索】解决此类问题的一般规律是先化简，再确定m的值，最后解决问题．本题中m的值能否直接求出？
【解答】原式＝÷＝·＝＝
.
∵m是方程x2＋3x－1＝0的根，
∴m2＋3m－1＝0，即m2＋3m＝1.
∴原式＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)要求÷的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，将m的关系式直接代入即可求解．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：
→→→→