2.3 用公式法求解一元二次方程 教案

3　用公式法求解一元二次方程
一、基本目标
1．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．
2．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
二、重难点目标
【教学重点】
求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用配方法解下列方程：
(1)x2－5x＝0；x1＝0，x2＝5.
(2)2x2－4x－1＝0.x1＝1＋，x2＝1－.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定．
(1)式子x＝叫做一元二次方程的求根公式.
(2)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(3)对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判别，我们把b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示．
3．不解方程，判定方程根的情况．
(1)16x2＋8x＝－3；　　(2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)2x2－9x＋8＝0；　　(4)x2－7x－18＝0.
解：(1)没有实数根．　(2)有两个相等的实数根．
(3)有两个不相等的实数根．　(4)有两个不相等的实数根．
教师点拨：将方程化为一般形式，再用判别式进行判断一元二次方程根的情况．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】用公式法解下列方程：
(1)x2－5x－3＝0；　　(2)3x2＋8x＋1＝0；
(3)2x(x－1)－7x＝2.
【互动探索】 (引发学生思考)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
【解答】(1)a＝1，b＝－5，c＝－3，则Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－3)＝37>0.
方程有两个不相等的实数根x＝＝，
即x1＝，x2＝.
(2)a＝3，b＝8，c＝1，则Δ＝b2－4ac＝82－4×3×1＝52>0.
方程有两个不相等的实数根x＝＝，
即x1＝，x2＝.
(3)原方程整理，得2x2－9x－2＝0.其中a＝2，b＝－9，c＝－2，则Δ＝b2－4ac＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0.
方程有两个不相等的实数根x＝＝，
即x1＝，x2＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；(2)求出Δ＝b2－4ac的值；(3)当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，即x1＝，x2＝；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－；当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是(　B　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
2．如果方程5x2－4x＝m没有实数根，那么m的取值范围是m＜－.
教师点拨：∵方程5x2－4x＝m没有实数根，∴Δ＝(－4)2－4×5×(－m)＜0，解得m＜－.
3．用公式法解下列方程：
(1)2x2－2x＋1＝0；　　(2)5x＋2＝3x2；
(3)x(2x－4)＋4＝7x.
解：(1)原方程没有实数根．
(2)x1＝2，x2＝－.
(3)x1＝，x2＝.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是________.
【互动探索】三角形的三边满足什么关系？怎样根据一元二次方程的系数判定根的情况？
【分析】Δ＝(2c)2－4(a＋b)(a＋b)＝4c2－4(a＋b)2＝4(c＋a＋b)(c－a－b)．∵a、b、c分别是三角形的三边，∴a＋b＞c，∴c＋a＋b＞0，c－a－b＜0，∴Δ＜0，故原方程没有实数根．
【答案】没有实数根
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及利用根的判别式“b2－4ac”判断方程根的情况．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
2．当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写成x＝.