2.5 一元二次方程根与系数的关系 教案

*5　一元二次方程根与系数的关系
一、基本目标
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.
2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想，培养学生数学推理的严密性及严谨性．
二、重难点目标
【教学重点】
一元二次方程的根与系数的关系及运用．
【教学难点】
利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P49～P50的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．解下列方程，并填写表格：
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
2x2－7x－4＝0
4
－

－2
3x2＋2x－5＝0
1
－
－
－
5x2－17x＋6＝0
3



观察上面表格，发现规律：
(1)用语言描述你发现的规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1、x2，请用式子表示x1、x2与a、b、c的关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝.
2．求下列方程的两根之和与两根之积．
(1)x2－6x－15＝0；　　(2)5x－1＝4x2；
(3)x2＝4；　　(4)2x2＝3x.
解：(1)x1＋x2＝6，x1·x2＝－15.
(2)x1＋x2＝，x1·x2＝.
(3)x1＋x2＝0，x1·x2＝－4.
(4)x1＋x2＝，x1·x2＝0.
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】x1、x2是方程2x2－3x－5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
(1)x＋x；　　(2)；
(3)x＋3x－3x2.
【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可以得出什么关系式？怎样将有关x1、x2的代数式转化为两根的和与两根的积的形式？
【解答】由一元二次方程的根与系数的关系可得，x1＋x2＝，x1·x2＝－.
(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝7.
(2)＝＝3.
(3)原式＝(x＋x)＋(2x－3x2)＝7＋5＝12.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0；　(2)9x＋2＝x2.
解：(1)x1＋x2＝5，x1·x2＝－3.
(2)x1＋x2＝9，x1·x2＝－2.
2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值．
解：另一根为2，m＝2.
教师点拨：本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝1代入方程先求m，再求另一个根；另一种是利用根与系数关系解答．
3．若一元二次方程x2＋ax＋2＝0的两根满足：x＋x＝12，求a的值．
解：a＝±4.
教师点拨：由x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k的值．
【互动探索】一元二次方程有解的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？
【解答】∵方程两实根的积为5，
∴
∴k≥，k＝±4.
故当k＝4时，方程两实根的积为5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足Δ≥0.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1、x2和系数的关系如下：x1＋x2＝－，x1·x2＝.