1.3 正方形的性质与判定 教案（2课时）

3　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
一、基本目标
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
2．经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．
二、重难点目标
【教学重点】
探索正方形的性质定理．
【教学难点】
掌握正方形的性质的应用方法．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P20～P21的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
正方形的性质：
(1)边：四条边都相等且对边平行.
(2)角：四个角都是直角.
(3)对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角.
(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有四条对称轴．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)先用观察法，结合图形直观地猜测出BE与DF之间的关系，再利用已知条件，对猜测进行证明．
【解答】BE＝DF且BE⊥DF.
理由：如题图，延长BE交DF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF，
∴BE＝DF，∠CBF＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，
∴∠CBE＋∠F＝90°，
∴∠BMF＝90°，∴BE⊥DF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用做法．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．正方形面积为36，则对角线的长为(　B　)
A．6 B．6
C．9 D．9
2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　C　)
A．14　　 B．15
C．16　　 D．17
3．如图，延长正方形ABCD的边BC至点E，使CE＝AC，连结AE交CD于点F，则∠AFC＝112.5°.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是3和5，且点B、C、G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，求MF的长．
【互动探索】结合已知条件，需作出辅助线，即连结DM并延长交EF于点N，再得到哪两个三角形全等，就可以解决问题？
【解答】连结DM并延长交EF于点N，如图．
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，
∴AD∥BG，EF∥BG，∴EF∥AD，
∴∠NEM＝∠DAM.
在△ADM和△ENM中，
∴△ADM≌△ENM，
∴AD＝NE＝3，DM＝MN.
∵EF＝5，∴FN＝2.
∵DF＝FC－CD＝2，∴FN＝FD，
∴FM是等腰直角△DFN的底边上的中线，所以FM＝DN＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)正确作出辅助线，结合正方形的性质，构造出全等三角形是解决本题的关键．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
正方形的性质
第2课时　正方形的判定
一、基本目标
1．掌握正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算．
2．经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握正方形的判定条件．
【教学难点】
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　C　)
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
【互动探索】(引发学生思考)由BF∥CE，CF∥BE，可直接得出四边形BECF是哪种特殊四边形？再结合矩形ABCD的性质，又能得出四边形BECF是哪种特殊四边形？
【证明】∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，
∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，∴平行四边形BECF是菱形．
在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°，∴菱形BECF是正方形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．
证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF，∴四边形BEDF是正方形．
2．如图，点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连结BD.∵点E、F、G、H分别是CD、BC、AB、DA的中点，∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线．∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD.∴EF∥GH，且EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．
活动3　拓展延伸 (学生对学)
【例2】如图，已知E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连结AE、CE.
(1)求证：AE＝CE；
(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．
【互动探索】(1)结合已知条件和图形，要证AE＝CE，只需证明哪两个三角形全等？(2)由折叠的性质得出哪些结论？
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE＝CE.
(2)点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形．理由：
由折叠的性质，得∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE.
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE，∠AEB＝90°，
∴AE＝BE＝AF＝BF，
∴四边形AFBE是菱形．
又∵∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是正方形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)图形翻折前后，对应边相等，对应角相等，结合特殊平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质求解此类题型．
环节3　课堂小结，当堂达标