2.1 认识一元二次方程 教案（2课时）

1　认识一元二次方程
第1课时　一元二次方程
一、基本目标
1．通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
2．理解一元二次方程及相关概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，即ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
二、重难点目标
【教学重点】
一元二次方程的概念及其一般形式．
【教学难点】
能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P31～P32的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．方程中只含有一个未知数x的整式方程(等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程)，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2．我们把ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】将方程2x＋2＝5(x－1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．
【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？
【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.
其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．下列方程是一元二次方程的是(　D　)
A．ax2＋bx＋c＝0
B．3x2－2x＝3(x2－2)
C．x3－2x－4＝0
D．(x－1)2＋1＝0
2．在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么满足的方程是(　B　)
A．x2＋130x－1400＝0
B．x2＋65x－350＝0
C．x2－130x－1400＝0
D．x2－65x－350＝0
3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是x2＋2x－1＝0，其中二次项的系数是1，一次项的系数是2，常数项是－1.
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【互动探索】已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？
【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.
∵(m－4)2≥0，
∴(m－4)2＋1≥1，即(m－4)2＋1≠0，
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数不为0，即m2－8m＋17≠0.
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
一元二次方程
第2课时　一元二次方程的解
一、基本目标
1．会用估算的方法求一元二次方程的解或近似解．
2．探索一元二次方程的解或近似解．
3．经历方程解的探索过程，渗透“夹逼”思想，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力．
二、重难点目标
【教学重点】
探索一元二次方程的解或近似解．
【教学难点】
用“夹逼”方法估算方程的解，求一元二次方程的近似解．
三、教学过程
环节1　自学提纲、生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P33～P34的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
(1)如果设梯子底端滑动x m，可列方程x2＋12x－15＝0.
(2)先完成下表，再得出滑动距离x(m)的大致范围为1＜x＜1.5.
x
0
0.5
1
1.5
2
…
x2＋12x－15
－15
－8.75
－2
5.25
13
…
(3)先完成下表，再得出x的整数部分是1，十分位是1.
x
…
1.1
1.2
1.3
1.4
…
x2＋12x－15
…
－0.59
0.84
2.29
3.76
…
2.一元二次方程解的估算依据是代数式的值的求法，当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近0时，x的值即可看作一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．
3．估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果大于右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果小于右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值之间，这种求一元二次方程的近似解的方法叫做“夹逼”法．
环节2　合作探究，解决问题
活动1　小组讨论(师生互学)
【例1】已知一元二次方程x2－2x－4＝0，求它的近似解．(精确到个位)
【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的近似解满足什么条件？它与方程的解有什么区别？怎样求一元二次方程的近似解？
【解答】列表计算：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
x2－2x－4
4
－1
－4
－5
－4
－1
4
所以－2进一步计算：
x
－1.1
－1.2
－1.3
－1.4
3.1
3.2
3.3
3.4
x2－2x－4
－0.59
－0.16
0.29
0.76
－0.59
－0.16
0.29
0.76
所以x≈－1或x≈3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)求一元二次方程的近似解首先应确定解的大致范围，再令x的取值逐渐使ax2＋bx＋c的值接近0，从而可求其解或近似解．
活动2　巩固练习(学生独学)
1．根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是(　C　)
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A.3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
2．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：
x
0
0.5
1
1.1
1.2
1.3
x2＋px＋q
－15
－8.75
－2
－0.59
0.84
2.29
则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足(　C　)
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
活动3　拓展延伸(学生对学)
【例2】如图所示，某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500 m2.四周为宽度相等的人行走道，求人行走道的宽为多少？
【互动探索】若设人行走道宽为x m，x可能小于0吗？x可能大于40吗？可能大于30吗？
【解答】若设人行走道宽为x m，则有(80－2x)·(60－2x)＝3500，即x2－70x＋325＝0.
注意：x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数；x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.
求解过程如下：
x
2
3
4
5
6
7
…
x2－70x＋325
189
124
61
0
－59
－116
…
显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m.
【互动总结】(学生总结，老师点评)在估算x的值时，应注意x的取值范围，如果是一个实际问题，x的值应使实际问题有意义．
环节3　课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．判断一个数是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左、右两边，若“左边＝右边”，则这个数是方程的解；若“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．
2．估计一元二次方程的解的方法：“夹逼”法．