北师大版数学八年级上册同步练习2.1 认识无理数(附答案)

1认识无理数
一．选择题（共10小题）
1. 在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 五个数中：﹣，﹣1，0，，，是无理数的有（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 下列各数中，是无理数的（　　）
A. π B. 0 C. D. ﹣
4. 下列各数中，无理数的是（　　）
A. B. C. π D.
5. 在实数﹣2，，，0.1122，π中，无理数的个数为（　　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 下列各数中，属于无理数的是（　　）
A. π B. 0 C. D. ﹣
7. 在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（　　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8. 下列各数是无理数的是（　　）
A. B. C. D. 16
9. 在，-，0，，3.1415，π这6个数中，无理数共有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 下列说法正确的是（　　）
A. 带有根号的数是无理数 B. 无限小数是无理数
C. 无理数是无限不循环小数 D. 无理数是开方开不尽的数
二．填空题（共10小题）
11. 如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共______个．

12. 下列各数：，，5.12，﹣，0，，3.1415926，，﹣，2.181181118…（两个8之间1的个数逐次多1）．其中是无理数的有__个．
13. 若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：__．
14. 在实数1.732，，-，，中，无理数的个数为__．
15. 在，，，0.8888…，3π，0.262662666266662…，六个数中，无理数有__个．
16. 下列实数中，0.13，π，﹣，，1.212212221…（两个1之间依次多一个2）中，是无理数的有__ 个．
17. 在实数、、中，无理数是__．
18. 在，，0，，，0.010010001…，，﹣0.333…，，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有__个．
19. 写出两个无理数，使它们的和为有理数__，__；写出两个无理数，使它们的积为有理数__，__．
20. 下列各数：，，，，，0.010203040506，，中，是无理数的有__个．
三．解答题（共10小题）
21. 把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，，0，，，，，3.14
22. 在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．
表示：　　 表示：　　 表示：　　（注：横线上填入对应的无理数）
23. 在：，，0，3.14，，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，
整数集合{　　　　…}，
分数集合{　　　　…}，
无理数集合{　　　…}．
24. 国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数？如果误差要求小于0.01米，那么边长x的最大取值是多少（精确到0.001）？
25. 500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
26. 下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次多一个0） （请填序号）
无理数是　　，整数是　　．负分数是　　．
27. 已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
28. 体积为3的正方体的边长可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？请说明你的理由．
29. 有6个实数：﹣32，﹣，，0.313131…，，﹣，请计算这列数中所有无理数的和．
30. 判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．
（1）有理数与无理数的积一定是无理数．　　
（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数．　　．

答案
一．选择题
1. 【答案】B
【解析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．，0．343343334…是无理数，故选B．
考点：无理数．
2.【答案】B
【解析】无理数有:，只有1个．故选B．
考点：无理数．
3. 【答案】A
【解析】A选项中，π是无理数，故此选项正确；B选项中，0是有理数，故此选项错误；C选项中，=2，是有理数，故此选项错误；D选项中，是有理数，故此选项错误；故选A.
4. 【答案】C
【解析】A选项中，是分数，属于有理数，故A错误；B选项中，是有理数，故B错误；C选项中，是无理数，故C正确；D选项中，是有理数，故D错误；故选C．
5. 【答案】C
【解析】无理数为： ， ，共有2个．故选C．
6. 【答案】A
【解析】A选项中，π是无理数，故此选项正确；B选项中，0是有理数，故此选项错误；C选项中，=2，是有理数，故此选项错误；D选项中，是有理数，故此选项错误；故选A.
7.【答案】C
【解析】无理数有 、 共两个，故选C.
8. 【答案】B
【解析】A选项中，是分数，属于有理数，故A错误；B选项中，是无理数，故B正确；C选项中，是有理数，故C错误；D选项中，16是有理数，故D错误；故选B．
9.【答案】B
【解析】在上述6个数中，， ，0，3.1415都属于有理数，属于无理数的是共2个.故选B.
10.【答案】C
【解析】A选项中，带有根号的数不一定是无理数，如是有理数，故此选项错误；B选项中，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中只有无限不循环小数才是无理数，而无限循环小数是有理数，故此选项错误；C选项中，无理数是无限不循环小数的说法是正确的；D选项中，开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方产生的，无是无理数，但它不是开方产生的数，故选项错误．故选C．
二．填空题
11.【答案】4
【解析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．故答案为：8．
12.【答案】4
【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，、、及(每两个8之间1的个数依次多1)是无理数，其余的数都是有理数，即无理数共有4个.
点睛：初中阶段所遇到的无理数主要有三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有π的数．
13. 【答案】﹣，﹣π
【解析】本题答案不唯一，这样的无理数很多，如：.
14. 【答案】2
【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中无理数共有2个.
15. 【答案】4
【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，，是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中，无理数有4个.
16. 【答案】3
【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，(每两个1之间依次多一个2)是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中，无理数有3个.
17. 【答案】
【解析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．根据无理数的三种形式可求出答案．需要注意的就是本题中=2．
考点：无理数
18. 【答案】4
【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的都是有理数，即上述各数中，无理数有4个.
19. 【答案】
【解析】（1）两个无理数的和为有理数，这样的无理数很多，如：和；（2）两个无理数的积为有理数，这样的无理数很多，如：和.
点睛：（1）两个无理数的和、差、积、商有可能是无理数，也有可能是有理数；（2）本题的两个小问，在解答时，可以先任写出一个无理数和一个不为0的有理数，再通过有理数减去无理数和有理数除以无理数可得对应的另一根无理数.
20. 【答案】2
【解析】根据：有理数的定义：“分数和整数统称为有理数”及无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”分析可知：在上述各数中，是无理数，其余的数都是有理数，即上述各数中，无理数有2个.
点睛：带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，如是有理数中的整数；带有根号且开方开不尽的数就一定是无理数．
三．解答题
21. 【解析】本题考查的是实数的分类. 先把-化为-2的形式， -化为 -2,化为2的形式，再根据实数分无理数及有理数进行解答即可．
解：有理数集合: -,-,0,,,3.14 .
无理数集合:,-,
22. 【解析】连接任意正方形的对角线，根据勾股定理计算出其长度，再由无理数的定义进行解答即可．
23.【解析】根据无理数、整数、分数的定义即可作答．
24. 【答案】5.291.
【解析】（1）根据正方形的面积是边长的平方，可得该正方形的边长为米，化简可知边长不是有理数；（2）把化简并按指定“精确度”取近似值可得答案.
解：（1）由题意可得正方形边长为：，这个正方形客厅的边长x不是有理数；
（2）由（1）可得这个正方形边长x的最大取值为：.
25. 【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.
【解析】（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
解：（1）不是，∵1<2<4，而x2=2
∴10，1∴在1和2之间不存在另外的整数.
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.
考点：本题主要考查无理数和勾股定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
26. 【答案】无理数是③④⑨，整数是①⑥⑦，负分数是②⑧．
【解析】（1）由无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”可知，上述各数中，无理数是③④⑨ ；
（2）根据有理数定义和有理数的分类可知：上述各数中，整数是①⑥⑦ ，负分数是②⑧ ．
27.【答案】长、宽、高分别为15，12，9不是无理数．
【解析】首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.
解：该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：
设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．
由题意可得：60x3=1620，解得x=3，
∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，
∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，
∴该长方体的长、宽、高不是无理数.
28.【答案】体积为3的正方形的边长不可能是整数、分数、有理数．
【解析】先根据正方体的体积公式求出棱长，即可判断.
解：由题意得，正方体的棱长为，
不可能是整数，不可能是是分数，不可能是有理数.
考点：本题考查的是正方体的体积公式,实数的分类
点评：解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
29. 【答案】
【解析】首先根据“无理数的定义”，找出上述各数中的无理数，再把它们相加即可.
解：∵上述各数中：﹣，，﹣是无理数，
∴上述各数中，所有无理数的和为：==.
30. 【答案】×，√．
【解析】（1）“有理数与无理数的积一定是无理数．”这种说法是错误的，如是无理数，0是有理数，但它们的积是0，为有理数，故这种说法错误；
（2）“若a+1是负数，则a必小于它的倒数．”这种说法正确.
∵a+1是负数，
∴a+1＜0，即a＜﹣1，
∴a必小于它的倒数．
如：a=-2，-2的倒数是，-2是小于的.