七年级上册数学一元二次方程整章知识点及对应练习（无答案）

T——一元一次方程及等式
课堂导入
方程的概念在小学我们已经有了一个初步的了解，含有未知数的等式叫做方程。那么什么叫做一元一次方程呢？以及如何去求出方程中未知数的具体值呢？下面我们一起来探究一下。
一、知识梳理：
方程：含有未知数的等式.
一元一次方程：方程中只含有一个未知数，未知数的指数是1.
等式的性质1： 等式两边 （或 ）同一个 （或 ）结果仍 。
即如果 , 那么 .
等式的性质2：等式两边乘 数，或除以 的数，结果仍 。
即如果 , 那么 ；如果 , 那么 。
二、考点分类
考点一：判断方程
【例1】下列各式中，是方程的是（ ）
A. B. C. D.
【变式训练】1.下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
B . C. D.
2.下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x+y=1 B． C． D．x=0
【例2】下列方程中，以x=-3为解的方程是 ( )
A．3x-7=2 B．5x-2=-x C．6x+8=-26 D．x+7=4x+16
【变式训练】写出一个一元一次方程，使它的解是-3，这个方程是 ．
考点二：利用等式的性质解简单方程
【例3】(1)
解：两边减 ，得

于是

(3)
解：两边加 ，得

化简，得

两边乘以 ，得

【变式训练】用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式并说明是根据等式的哪一条性质及如何变形的.
（1）如果，那么__________，根据____________，两边同时_______；
（2）如果，那么，根据____________，两边同时_______；
（3）如果，那么，根据____________，两边同时_______；
（4）如果，那么，根据____________，两边同时_______.
【变式训练】利用等式的性质解下列方程并检验：
(1) (2)
(3) (4)
拓展提升：
1.小明从家到学校时，每小时行5千米，按原路返回家时，每小时行4千米，结果返回的时间比去学校的时间多花10分钟，小明家到学校有多远？（用两种方法列方程）
2.由得到，这一变形的依据是什么？应受什么条件限制？
3.某校七年级四个班为地震灾区捐款：七年级（1）班捐的钱数是四个班捐款总和的；七年级（2）班捐的钱数是四个班捐款总和的；七年级（3）班捐的钱数是四个班捐款总和的；七年级（4）班捐了169元，求这四个班捐款的总和，若设这四个班捐款的总和为元，你能列出方程吗？

（1）知道什么叫方程，什么叫一元一次方程.
（2）弄清楚方程的解的意义，会检验一个数是不是方程的解.
（3）会找相等关系列方程.从这个过程中体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想.
C——解一元一次方程
一、问题引入：
思考：方程的两边都含有的项和不含字母的常数项，怎样才能使它向的形式转化呢？
观察：
上面方程的变形，相当于原方程左边的20变为 移到右边，把右边的变为 移到左边。
把某项从一边移到另一边时有什么变化？
一、知识梳理：
1.像这样，把等式一边的某项 后，移到 ，叫做移项
2.解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.这一过程主要依据等式的基本性质和运算定律.

考点一：合并同类项
合并同类项的作用：合并同类项起到了“化简”的作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为，使其更接近的形式(其中a、b是常数)
【例1】解下列方程
（1） （2）
解:（1）合并同类项，得_________. （2）合并同类项，得_________.
系数化为1，得__________. 系数化为1，得_________.
【变式训练】解下列方程：
（2）
考点三：根据实际问题列简单方程
【例5】要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时才完成，已知甲每小时比乙多加工2个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程：
【变式训练】1.有一种电动车，只有一个电瓶，充一次电最多只能行驶7 h，李老师骑此电动车上班，上班途中他把车速固定在40 km／h，回家途中他把车速固定在30 km／h，问李老师家离他所在的学校最多有多远，他才能安然返回?(否则电不足)（只列方程，不求解）
2.已知三角形的周长为，其中第一条边长为，第二条边长比第一条边长小1，求第三边的边长.
（4）
【例2】有一列数，按一定的规律排列成其中某三个相邻数的和是， 这三个数各是多少？
【变式训练】某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值是55万元，前年的产值是多少？
考点二：移项
新知学习：下面的框图表示解这个方程的流程：


【例3】解方程 （1）
解： 移项，得
合并同类项，得
系数化成1，得
（2）
【变式训练】（1） （2）
（3） （4）
【例4】某服装加工做一件衬衣、一条裤子和一件外套所用的时间之比为1:2:3，一名工人用10个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件外套，那么这位工人加工10件衬衣、10条裤子和2件外套共需要几个工时？
【变式训练】某同学在A,B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包也相同，随身听和书包单价之和是425元，且随身听的单价比书包的4倍少8元。问该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
考点三：去括号
复习去括号
①=___________________________________________________
②=__________________________________________________
1、解方程
解：去括号，得 _____________ ，
移项，得 _________ ，
合并同类项，得 ___________ ，
系数化为1，得 ___________________ 。
2、结合上述学习，请你尝试解下列方程
（1） (2)

（3） （4）
(6)
已知甲比乙大15岁，五年前甲的年龄是乙年龄的两倍，求乙现在的年龄.
4.甲、乙两名同学从学校到县城，甲的速度是4千米/小时，乙的速度是6千米/小时，甲先出发1小时，结果乙比甲早到1小时，求学校与县城的路程.
考点四：去分母
去分母：方程两边都乘以各分母的 不要漏乘 ；当分子是多项式时应 ；去分母的依据是 。
1.解方程：
去分母（方程两边乘______），得 _______________________ 注意：_________________
去括号，得 ______________________________________ 注意：_________________
移项，得 _____________________________________
合并同类项，得 __________________________________
系数化为1，得 _____________________
2.解下列方程：
（1） （2）
（3） （4）
当m为什么整数时，关于x的方程的解是正整数？
若关于的方程与方程的解相同，则m=_______.
若是方程的解，那么代数式的值是_______.
在解方程时，小胡的解题过程如下：
解：去分母，得，去括号，得.移项、合并同类项，得.系数化为1，得.
他的解题过程正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程。
规定新运算符号*的运算过程为 ,
（1）求: 5*（-5）的值; （2）解方程：2*（2*）=1*.
T——实际问题与一元二次方程
我们已经学会了如何解一元一次方程，下面我们就来重点讨论如何用一元一次方程解决实际问题。
实际问题：工程问题、效率问题、销售中盈亏问题、球赛积分问题、电话计费等
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤:
_______________________________________
________________________________________
________________________________________
考点分类：
1、数字问题
（1）已知三个连续偶数的和是2004，求这三个偶数各是多少？
（2）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小5，若此两位数的两个数字位置交换，得一新两位数，那么新两位数与原两位数大45，求新两位数与原两位数的积是多少？
工程、效率问题
工程问题中要善于把握什么是总工作量，总工作量可以看成“1”；
工程问题中的等量关系一般是各部分完成的工作量之和等于总工作量“1”。
工作量=工作时间×工作效率?
（1）一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开12h注满水池，乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？
（2）某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?
销售中盈亏问题
（1）成本价：有时也称进价，是商家进货时的价格；
（2）标价：商家在出售时，标注的价格；
（3）打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售，如：打8折，就是按标价的80%出售。
（4）售价：消费者购买时真正花的钱数；
（5）利润：商品出售后，商家所赚的部分；
利润=售价－进价，盈利：利润>0亏损：利润<0
（6）利润率：商品出售后利润与成本的比值；
（1）某产品按原价提高40%后打八折销售，每件商品赚270元，问该商品原标价多少元？现销售价是多少？
甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？
球赛积分问题
某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
（2）暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，比赛规定，胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，勇士队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？
电话计费问题
（1）电信部门推出两种电话计费方式如下表：
A
B
月租费（元/月）
30
0
通话费（元/分）
0.40
0.5
①当通话时间是多少分钟时两种方式收费一样多？
解：设当通话时间是x分钟时两种方式收费一样多，根据题意得
方程:
解方程得:x=
②当通话时间 时，A种收费方式省钱;当通话时间 时，B种收费方式省钱
(2)小明想在两种灯中选购一种，其中一种是10瓦（即0.01千瓦）的节能灯，售价50元。
另一种是100瓦（即0.1千瓦）的白炽灯，售价5元。两种灯的照明效果一样，使用寿
命也相同（3000小时内），节能灯售价高，但较省电；白炽灯售价低，但用电多。电费0.5
元/千瓦·时。
①照明时间500小时选哪一种灯省钱？
②照明时间1500小时选哪一种灯省钱？?
③照明多少时间用两种灯费用相等？

????
分配、配套问题
学校春游，如果每辆汽车坐45人，则有28人没有上车；如果每辆坐50人，则空出一辆汽车，并且有一辆车还可以坐12人，问共有多少学生，多少汽车？
小明看书若干日，若每日读书32页，尚余31页；若每日读36页，则最后一日需要读39页，才能读完，求书的页数。
包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，将两张圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶，问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配套？
（4）某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢240米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？
航行问题
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度，
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时50分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离。小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
路程问题
路程=速度*时间
（1）小李骑自行车从A,地到B地，小明骑自行车从B,地到A地，两人匀速前行。已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距30千米，到中午12时，两人又相距36千米，求A,B两地间的路程。
（2）A,B两地相距100km,甲乙两人骑自行车分别从A,B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲出发多长时间与乙相遇？

一、选择题：
1、某商品的进价是500元，标价是750元，商店要求以利润率为5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售此商品
A．5 B．6 C．7 D．8
2、妈妈用2万元为小明存了一个6年期的教育储蓄，6年后，共能得23456元，则这种教育储蓄的年利率为（ ）
A．2.86% B．2.88% C．2.84% D．2.82%
3、三个连续奇数的和为15，则这三个奇数两两相乘之和是(　　)
A. 143 B. 71 C. 45 D. 29
4、某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺母，则下面所列方程正确的是
A．2×800（26–x）=1000x B．800（13–x）=1000x
C．800（26–x）=2×1000x D．800（26–x）=1000x
5、一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　）
A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
6、小明和小莉出生于2017年12月份，他们的出生日期不是同一天，但都是星期二，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是24，那么小莉的出生日期是 ( )
A．5号 B．10号 C．16号 D．19号
7、甲乙两地相距180千米，已知轮船在静水中的航速是a千米/时，水流速度是10千米/时，若轮船从甲地顺流航行3小时到达乙地后立刻逆流返航，则逆流行驶1小时后离乙地的距离是
A．40千米 B．50千米
C．60千米 D．140千米
8、为减少雾霾天气对身体的伤害，班主任王老师在某网站为班上的每一位学生购买防雾霾口罩，每个防霾口罩的价格是15元，在结算时卖家说：“如果您再多买一个口罩就可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，王老师说：“那好吧，我就再给自己买一个，谢谢.”根据两人的对话，判断王老师的班级学生人数应为(　　)
A. 38 B. 39 C. 40 D. 41
9、篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10、小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是(　 　)
A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48
C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48
11、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（　　）个正方体的重量．
A．2 B．3 C．4 D．5
12、程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
二、填空题：
13、有23人在甲处劳动，17人在乙处劳动，现调20人去支援，使在甲处劳动的人数是在乙处劳动的人数的2倍，应调往甲处各_________人.
14、A、B两地相距450千米，甲乙两车分别自A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度是120千米/时，乙车的速度是80千米/时，经过________小时后两车相距50千米.
15、整理一批资料，由一个人做要20h完成，现计划由一部分人先做3h，然后调走其中5人，剩下的人再做2h正好完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？若设应先安排x人工作3h，则根据题意可列方程为________
16、小慧在一张日历的一横排上圈了连续的四个数，它们的和为22，这四个数中最小的为______ ．
17、某班共有学生48人，已知女生比男生的一半多6人，若设男生为x人，则女生可表示为______人，可列方程，解得男生_______人，女生________人.
18、一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为______元．
19、某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打______折.
20、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人,则缺5人；则该校运动员人数为____人．
21、机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问一天最多可以生产_______套这样成套的产品.
22、湘潭市在端午节准备举行划龙舟大赛，预计15个队共330人参加.已知每个队一条船，每条船上人数相等，且每条船上有1人击鼓，1人掌舵，其余的人同时划桨.设每条船上划桨的有x人，那么可列出一元一次方程为______ ．
三、解答题：
23、用一根长120米的绳子围成一个长方形，使它的长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少?
24、有含盐8%的盐水40kg，要使盐水含盐20%，问有几种方法得到？(如果加盐，需加盐多少千克？(如果蒸发掉水份，需蒸发掉多少千克的水？
25、某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．
(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?
(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?
26、列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
27、一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：(若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？(若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？