北师大版数学八年级上册1.1 探索勾股定理同步练习（含答案解析）

1 探索勾股定理
一、选择题。
1. 直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（　　）
A. b2=c2﹣a2 B. a2=c2﹣b2 C. b2=a2﹣c2 D. c2=a2+b2
2. 一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（　　）
A. 斜边长为5 B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为25 D. 三角形的面积为20
3. 如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）
A. 48 B. 60 C. 76 D. 80
4. 在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A. 18 B. 9 C. 6 D. 无法计算
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（　　）
A. 5 B. 12 C. 13 D. 15
6. 若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（　　）
A. S1=S2 B. S1＜S2 C. S1＞S2 D. 无法确定
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A. B. C. D.
9. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（　　）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
二、填空题。
10. 在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．
11. 甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．
12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=______．
13. 如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．
14. 如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．
15. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．
16. 等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是______cm．
17. 如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是______．
18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．
三、解答题。
19. 如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？
20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15cm，AC=13cm，AD=12cm，求：△ABC的面积．
21. 如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
22. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
23. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
答案
一、选择题。
1.【答案】C
【解析】根据勾股定理可得：a2＋b2＝c2，故D正确；将上式变形可得：b2＝c2﹣a2，a2＝c2﹣b2，故A、B正确，所以错误的是C，故选C．
点睛：本题考查了勾股定理，熟记勾股定理的内容（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．
2.【答案】A
【解析】有勾股定理得：斜边＝＝5，故A正确，C错误；三角形的周长为：3＋4＋5＝12，故B错误；三角形的面积为：×3×4＝6，故D错误．故选A．
3. 【答案】C
【解析】∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=,∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=
102-=100-24=76.故选C.
考点：勾股定理.
4. 【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB2＋AC2＋BC2＝2BC2＝2×32＝18．故选A．
点睛：本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
5. 【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB为斜边，由勾股定理得：AB＝＝＝13．故选C．
6. 【答案】B
【解析】当x为斜边时，x＝＝；当5为斜边时，x＝＝4．∴x的可能值有2个：或4；故选：B．
点睛：本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
7.【答案】A
【解析】根据圆的面积可得：；，根据直角三角形的勾股定理可得：，则.
考点：勾股定理的应用
8. 【答案】A
【解析】首先根据勾股定理可得：AB=，根据等面积法可得：点C到AB的距离为：(9×12)÷15=.
考点：（1）、勾股定理；（2）、等面积法
9. 【答案】D
【解析】设一直角边长为x，另一直角边长为y，∵直角三角形的周长为12，斜边长为5，∴x＋y＝7①，由勾股定理得：x2＋y2＝25②，①两边平方得x2＋y2＋2xy＝49，整理得xy＝12，∴面积S＝xy＝×12＝6．故选：D．
二、填空题。
10.【答案】5
【解析】∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∴b为斜边，∴由勾股定理知，c＝＝＝5．故答案是：5．
点睛：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
11. 【答案】50
【解析】如图所示，甲、乙两船行驶的方向正好构成直角三角形，OA＝15×2＝30海里，OB＝20×2＝40海里，由勾股定理得AB＝＝＝50海里．
12. 【答案】2
【解析】∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2，∴BC2＝AC2－AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝4，AC2＝S3＝6，∴S1＝S3－S2＝6－4＝2．故答案为：2．
点睛：本题考查的是勾股定理及正方形的面积公式，先根据勾股定理得出AB、BC及AC之间的关系是解答此题的关键．
13. 【答案】54cm2
【解析】根据勾股定理，得直角三角形的另一条直角边是＝9（cm）．则直角三角形的面积＝×12×9＝54（cm2）．故答案为：54cm2．
14. 【答案】100cm2
15.【答案】15
【解析】
16.【答案】8
【解析】如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD=cm．故答案是：8．
考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质．
17. 【答案】1
【解析】因为AB＝5，所以S正方形ABCD＝5×5＝25．Rt△ABF中，AF＝4，AB＝5，则BF＝＝3，所以SRt△ABF＝×3×4＝6，四个直角三角形的面积为：6×4＝24，四边形EFGH的面积是25－24＝1．故答案为1．
18. 【答案】3
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB=，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE，∴S△ABC=AC?CD+AB?DE=AC?BC，即×6?CD+×10?CD=×6×8，解得CD=3．
考点：1．角平分线的性质，2．勾股定理
三、解答题。
19. 【答案】至少需要700元．
【解析】试题分析：将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长，根据勾股定理求得直角三角形下面直角边的长为4m，则楼梯表面所铺地毯是一个长为（4＋3）m，宽为2m的长方形，据此即可计算出答案．
解：由勾股定理得：直角三角形下面直角边长为＝4m，
将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长，
∴地毯的长度为4＋3＝7（m），地毯的面积为：7×2＝14（m2），
即：至少要购买地毯14平方米．
需要的费用为：14×50＝700（元）．
答：至少需要700元．
点睛：此题主要考查了生活中的平移现象和勾股定理，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
20. 【答案】84cm2．
【解析】由AD⊥BC可知，△ADB和△ADC都是直角三角形，根据勾股定理分别求得BD和CD的长，进而求出BC的长.根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积.
解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD2＝AB2－AD2＝81，∴BD＝9，
CD2＝AC2－AD2＝25，
∴CD＝5，
∴BC＝BD＋DC＝14，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝84cm2．
21. 【答案】（1）5；（2）24.
【解析】根据勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方直接进行计算即可．
解：（1）根据勾股定理得：x2＝32＋42＝9＋16＝25，
解得：x＝5或x＝－5（舍去），
则x＝5；
（2）根据勾股定理得：252＝72＋x2，即x2＝576，
解得：x＝24或x＝－24（舍去），
则x＝24．
22. 【答案】（1）AB=25；（2）CD=6.72.
【解析】（1）利用勾股定理解得AB的长，再利用三角形的面积公式推出CD的长。
23. 【答案】15cm.
【解析】根据勾股定理求出AB，由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理列出关于BD的方程即可求出BD的长．
解：由勾股定理得，AB＝＝30．
由折叠的性质知，AE＝AC＝18，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．
∴BE＝AB－AE＝30－18＝12，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2＋BE2＝BD2
即（24－BD）2＋122＝BD2，
解得：BD＝15cm．
点睛：本题考查的知识点：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．