北师大版数学八年级上册同步练习附答案1.2 一定是直角三角形吗解析版

2一定是直角三角形吗
一．选择题（共10小题）
1. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
2. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A. a=1.5，b=2，c=3 B. a=7，b=24，c=25
C. a=6，b=8，c=10 D. a=3，b=4，c=5
3. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23
4. 在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（　　）
A. 5 B. C. 5或 D. 不确定
6. 线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）
A. a=7，b=24，c=25 B. a=，b=4，c=5
C. a= ，b=1，c= D. a=40，b=50，c=60
7. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（　　）
A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60°
8. 有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32，42，52，以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（　　）
①a=3，b=4，c=5；②a=6，∠A=45°；③a=2，b=2，c=2；④∠A=38°，∠B=52°．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（　　）
A. 108cm2 B. 90cm2 C. 180cm2 D. 54cm2
二．填空题（共10小题）
11. 如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于_ _．
12. 三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是_ _三角形（直角、锐角、钝角）．
13. 有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是_ _cm， cm， cm．
14.下列四组数：①4,5,8；②7,24,25；③6,8,10；④，，2.其中可以为直角三角形三边长的有 .（把所有你认为正确的序号都写上）
15. 我们把符合等式a2+b2=c2 的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，__，__；…
16. 若△ABC得三边a，b，c满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC的形状为__．
17. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为__cm2．
18. 一个零件的形状如图，工人师傅量得这个零件的各边尺寸（单位：dm）如下：AB=3，AD=4，BC=12，CD=
13，且∠DAB=90°，这个零件的面积为 ．
19. 如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，则四边形ABCD的面积是__．
20. 小明有两条长分别是3厘米和4厘米的小木棒，当他再找一根长度为__厘米的小木棒时，可以使这三根木棒刚好拼成一个直角三角形．
三．解答题（共10小题）
21. 如图在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．

22. 一块试验田的形状如图，已知：∠ABC=90°，AB=4m，BC=3m，AD=12m，CD=13m．求这块试验田的面积．
23. 如图，点E在正方形ABCD内，AE=6，BE=8，AB=10．试求出阴影部分的面积S．
24. 如图：∠ADC=90°，AD=12，CD=9，AB=39，BC=36，求四边形ABCD的面积．

25. 如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．

26. 如图，有一块土地形状如图所示，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，AD=2，请计算这块土地的面积．

27. 已知：△ABC中，AB=13，BC=10，中线AD=12，求证：AB=AC．
28. 在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13．试判断AD与AB的位置关系．

29. 去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距5km的A、B两地之间修筑一条笔直的公路，已知在C地有一个以C为圆心，半径为2km的果园，而且AC=4km，BC=3km，问：计划修筑的这条公路会不会穿过该果园？为什么？
30. 设点E，F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，BE=3EC，F为CD的中点，连结AF，AE，EF．问△AEF是什么形状的三角形？请说明理由．
答案
一．选择题
1. 【答案】A
【解析】∵正方形小方格边长为1，∴BC=，AC=，AB=，在△ABC中，∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A．
考点：１．勾股定理的逆定理；２．勾股定理．
2. 【答案】A
【解析】如果两条较小的边的平方和等于较大边的平方，则这个三角形就是直角三角形.A选项中，这这个三角形不是直角三角形.
3. 【答案】B
【解析】根据勾股定理的逆定理即可判断.因为 ，所以4，5，6 不能构成直角三角形，所以A选项错误；因为 ，所以能构成直角三角形，所以B选项正确；因为 ，所以6，8，77 不能构成直角三角形，所以C选项错误；因为 ，所以5，12，13 不能构成直角三角形，所以D选项错误；故选B.
4.【答案】C
【解析】①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A:∠B:∠C=1:2:3,设∠A=x,则x+2x+3x=180,x=30°,∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°?∠B,所以∠A+∠B=90°,则∠C=180°?90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因为3∠A=2∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=∠C
+∠C+∠C=180°,∠C=，所以三角形为钝角三角形。所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个。故选：C.
点睛：本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键.三角形内角和定理的应用：①直接根据两已知角求第三个角；②根据三角形中角的关系，用代数方法求第三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.
5. 【答案】C
【解析】当第三边是斜边时，根据勾股定理得，第三边的长为；当第三边是直角边时，根据勾股定理得，第三边的长为.故选C.
6.【答案】D
【解析】A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、42+52=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+（）2=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、402+502≠602，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．
考点：勾股定理的逆定理．
7. 【答案】C
【解析】如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800，因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000.所以6002+8002=10002.所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°.故选C.
8. 【答案】C
【解析】因为72+242=252；122+162=202；92+402=412；42+62≠82；（32）2+（42）2≠（52）2，所以能组成直角三角形的个数为3个.故选C.
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，已知一个三角形三边的长，常用勾股定理的逆定理判断这个三角形是否是直角三角形.
9. 【答案】C
【解析】①a=3，b=4，c=5，∵32+42=25=52，∴满足①的三角形为直角三角形；②a=6,∠A=45°，只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；③a=2,b=2, ，∵22+22=8= ，∴满足③的三角形为直角三角形；④∵∠A=38°,∠B=52°，∴∠C=180°?∠A?∠B=90°，∴满足④的三角形为直角三角形。综上可知：满足①③④的三角形均为直角三角形。故选C.
点睛:根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义，验证四组条件中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”或“有一个角是直角”，由此即可得出结论．
10.【答案】D
【解析】∵92+122=152，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，所以△ABC的面积=12×9×=54(cm2).故选D.
点睛:根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形,再根据直角三角形的面积公式即可求解．
二．填空题
11. 【答案】96
【解析】如图，连接AC ，在Rt△ADC中，CD=6，AD=8，则.在△ ABC中，AB=26，BC=24，AC=10，则 ,故△ ABC为直角三角形.
.故本题的正确答案应为96.
12. 【答案】直角
【解析】（a+b）2﹣c2=2ab，a2+2ab+b2-c2=2ab，a2+b2=c2，所以此三角形是直角三角形.故答案为直角.
13. 【答案】 6 8 10
【解析】设直角三角形的三边长为x-2，x，x+2，则（x-2）2+x2=(x+2)2，解得，x=0(舍)或x=8.则x-2=8-2=6，x+2=8+2=10.故答案为6； 8； 10.
14.【答案】②③④
【解析】因为42+52≠82；72+242=252；62+82=102；，所以可以为直角三角形三边长的有②③④.
故答案为②③④.
15. 【答案】 60 61
【解析】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1，且第二个数是偶数，注意到4=2×1×2；12=2×2×3，24=2×3×4；40=2×4×5；60=2×5×6，60+1=61.故答案为(1). 60 ； (2). 61
16.【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
【解析】因为（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a-b=0或a2+b2=c2，所以△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.
17.【答案】120
【解析】可设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x=60，解得x=2，所以三角形三边长分别为10,24,26.因为102+242=262（cm2）.
考点：方程思想；勾股定理的逆定理；直角三角形的面积公式.
18. 【答案】36
【解析】连接BD，由勾股定理得BD的长，由勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，然后分别求出这两个直角三角形的面积.连接BD，∵AB=3，AD=4，∠DAB=90°，∴BD===5，∵BC
=12，CD=13，∴BD2+BC2=CD2，∴∠DBC=90°．∴四边形ABCD的面积=×3×4+×5×12=36．这个零件的面积是36平方分米．
19.【答案】144
【解析】如图，连接AC，因为∠B=90°，所以AC2=AB2+BC2=62+82=100.因为AC2+CD2=AD2，所以∠ACD=90°.
所以S△ABC=AB×BC=×6×8=24；S△ACD=AC×CD=×10×24=120.所以四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD
=24+120=144.故答案为144.
点睛：本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，当已知一个四边形的四边长和一个角是直角求四边形的面积时，通常连接一条对角线，将四边形分成两个三角形，将勾股定理和勾股定理的逆定理结合起来解题.
20.【答案】5或
【解析】因为这个直角的第三边的长不确定是直角边还是斜边，所以需要分类讨论：当第三边是斜边时，根据勾股定理得，第三边的长为；当第三边是直角边时，根据勾股定理得，第三边的长为.故答案为5或.
三．解答题（共10小题）
21. 【答案】135°
解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，
又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，
∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．
22. 【答案】36
【解析】连接AC，根据勾股定理得出△ABC和△ACD都是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算法则得出答案.
解：连接AC 根据勾股定理可得：AC=5m
∵AD=13m，CD=13m ∴△ACD为直角三角形
∴S=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(平方米)
考点：勾股定理
23. 【答案】76
【解析】先判断△ABE是直角三角形，再用正方形的面积-直角△ABE的面积即可求解.
解：在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，
∴△ABE是直角三角形，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE=100﹣×6×8=76．
24.【答案】324
【解析】连接AC，在Rt△ACD中，由勾股定理求出AC的长，由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，然后分别求这两个直角三角形的面积.
解：连接AC，
∵∠D=90°，AD=9，CD=12，∴AC=15，
在△BCA中，BC2+AC2=152+362=392=AB2，∴△BCA是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AC?BC+AD?CD，=×9×12+×36×15，=54+270=324．
答：四边形ABCD的面积是324．
25.【答案】24
【解析】连接AC，根据解直角△ADC求AC，求证△ACB为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=△ABC面积-△ACD面积即可计算．
解：如图，连接AC，
∵AD=4，CD=3，∠ADC=90°，∴AC==5，∴S△ACD=6，
在△ABC中，∵AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∴Rt△ABC的面积=30，∴四边形ABCD的面积=30-6=24．
考点：1．勾股定理的逆定理；2．勾股定理．
26.【答案】8+4
【解析】连接AC，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，由勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形，然后分别求这两个直角三角形的面积.
解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=BC=4，∴，
∴，
∵CD2=62=36，∴AC2+AD2=CD2，∴∠DAC=90°，
∴S△ABC=，
∴S△ADC=，
∴这块土地的面积=．
27. 【解析】由勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，再根据线段垂直平分线的性质即可得证.
解：∵AD是△ABC的中线，BC=10，∴BD=DC=BC=5．
∵BD2+AD2=52+122=132=AB2，∴AD⊥BC，
∵AD是△ABC的BC边的中线，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB=AC．
28.【答案】AD⊥AB
【解析】延长AD至E，使得AD=DE，连接BE，则易证△ADC≌△EDB（SAS），得EB=AC，在△ABE中由勾股定理的逆定理判断△ABE是直角三角形.
解：延长AD至E，使得AD=DE，连接BE，
∵D为BC的中点，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC=13，
∵AD=6，∴AE=12，
∵52+122=132，∴AB2+AE2=EB2，
∴∠BAE=90°，∴AD⊥AB．
29.【答案】不会穿过
【解析】先由勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再由三角形的面积公式求出点C到AB的距离即可.
解：计划修筑的这条公路不会穿过该果园，理由如下：
∵BC2+AC2=32+42=52=AB2，∴△ABC为直角三角形，
作CD⊥AB于D点，
∴S△ABC=BC?AC=AB?CD，即：3×4=5?CD，解得CD=2.4，
∵2.4＞2，∴不会穿过．
30. 【答案】△AEF是直角三角形
【解析】分别在Rt△ABE，Rt△ECF，Rt△FDA中用勾股定理求出AE，EF，AF的长，再根据勾股定理的逆定理判断△AEF是直角三角形.
解：∵AB=4，BE=3EC，∴EC=1，BE=3，
∵F为CD的中点，∴DF=FC=2，
∴EF==，AF==2，AE==5．
∴AE2=EF2+AF2．
∴△AEF是直角三角形．
点睛：本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理及正方形的性质，在正方形中一定存在有直角三角形，所以判断一个三角形是否是直角三角形，往往需要结合使用勾股定理和勾股定理的逆定理.