圆的认识 第1课时
圆的特征
教学内容：
教科书第12页，圆的认识及圆各部分的名称。
教学提示：
本节课要求学生进一步认识圆、了解圆的特征、掌握用圆规画圆。渗透了曲线图形和直线图形的关系。通过对圆的认识，不仅能加深对周围事物的了解，提高解决实际问题的能力，也为今后学习圆的周长、面积、圆柱、圆锥等知识打好基础。
单元主题图呈现的学生所熟悉的校园及周边环境的情景图，目的是为了让学生从熟悉的生活环境中感受到圆、圆的周长、圆的面积在实际生活中的应用。
??一方面要激发学生学习圆的有关知识的欲望，另一方面要让学生体会到本单元知识与现实生活的密切联系。
例1呈现有圆的物体，根据它们的共同特征抽象出圆的平面图形。通过圆规的自我介绍，让学生掌握画圆的方法，并归纳出“圆是由曲线围成的一种平面图形”。
例2通过操作活动让学生认识圆各部分的名称和特征。
发现圆的直径和半径都有无数条，在同一圆里，所有的半径和直径的长度都相等，直径的长度是半径的2倍，圆是轴对称图形等特征。
在低年级的学习中，学生已经对圆有了初步的认识。可以在众多所画图形中较为准确地辨认出圆。有一定的研究图形特点的方法积累（如：对长方形和正方形的研究）。这些方法可以为课堂中学生研究圆的特点有一定启发。同时，学生能够体会到圆广泛的存在于我们的生活之中，并能举出生活中圆的例子。但不能很准确地对于生活中圆的例子进行准确性描述。举例说出生活中见到过的圆，学生回答：笔筒、胶条……不能正确认识到这个物体上的某个面是圆形的。但对于让学生做到真正深入认识圆是由之上的若干个点连接而成，以及在学生头脑中充分体会到圆的各点分布均匀性和广泛的对称性还是比较困难的。
同时，六年级的学生对圆规都有一定的了解（平时买作图工具时都是成套的，包含圆规），一般都有画圆的经验。
教学目标：
1.知识与技能：使学生在观察、操作、画图等活动中感受并发现圆的有关特征，知道什么是圆的圆心、半径和直径，能借助物品或圆规画圆，会应用圆的知识解释一些日常生活现象。
2.过程能力与方法：使学生经历从猜想到验证的过程，在活动中进一步积累认识图形的学习经验，增强空间观念、合作意识，培养学生观察、动手操作、抽象概括、与他人合作交流等各方面的能力，进一步发展数学思考。
3.情感态度与价值观：使学生进一步体验图形与生活的联系，感受平面图形的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
重点难点：
教学重点：感知并了解圆的基本特征，认识圆的各部分名称。
教学难点：理解直径与半径的关系，熟练掌握画圆的方法。
教学准备:
教具准备：多媒体课件，为学生准备两张白纸、一个圆片。
学具准备：圆规、圆形物体、直尺。
教学过程：
（一）新课导入
（欣赏单元主题图，激趣引入。）
1.观察主题图。
提问：同学们，在我们美丽的学校内有一个水池，你们观察过吗？池内的鱼儿美丽，水面平静。请同学们想象一下：如果我们在平静的水面上投进一块石子后，水面荡开的波纹，应该是一个近似的什么形状？请用动作说明。
圆在生活中太常见了！许多物体表面的形状与圆有关。根据你们的经验，能举个例子吗？
2.揭题：看来同学们对圆已经有了一些认识，今天这节课就学习“圆”。
3.在以前的学习中，已经认识了哪些平面图形？其实圆也和学过的这些图形一样也是一个平面图形，但是和这些图形又有不同之处，你发现了吗？(圆是由曲线围成的一种平面图形) (注意：①学生自带的圆形物体可以让学生用手指一指；②在指物体时，要明确指的是哪一个面；③不能把球误认为圆。)
【设计意图：一方面让学生感知圆来源于生活，与生活实际紧密相连，体验数学与生活的联系；另一方面通过观察、比较，让学生感受圆和以前学过的平面图形的不同。】
（二）探究新知
1.圆规画圆。
（投影展示例1图中圆形物品）
教师：同学们观察图中的物品，它们是什么形状？
预设：（生：圆形。）
教师：古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯认为“一切平面图形中最完美的是圆！”。你能用手中的工具画一个标准的圆吗？(指向明确用工具画圆，并请学生尝试画圆)
学生独立用画圆，教师巡视指导。
投影展示学生画的圆。（由于是第一次画圆，学生画的可能不规范）
教师可以提问，请你介绍一下你用的是什么工具，是怎么画圆的？
学生回答用圆规画圆。
此时教师可演示怎样使用圆规正确的画圆。(强调不能用手握住圆规的两脚来画圆)
然后跟着要求同学们用圆规再画一个标准的圆。
学生独立画完之后，投影展示学生画的圆，指明学生说画法。
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预设：我用圆规画圆，我把圆规的一个脚固定在一个点上，另一个脚绕这个点旋转1圈，就画出了一个圆。
【设计意图：让学生尝试用圆规画圆，体会用圆规画圆的步骤，明白到圆的大小与圆规两脚间的距离有关，用圆规画圆很方便。】
2.认识圆。
（1）提问：观察对比上面所画的两个圆，是不是一样的？(预设：不一样)
哪些地方不一样？(预设：大小、位置)
请同学们思考为什么不一样呢？
圆的位置不一样，是因为固定点的位置不同，其实，我们把在圆中心的这一固定点叫做圆心。画圆时，固定的点叫做圆心，圆心一般用字母O表示。
圆心到圆上任一点的线段是半径，一般用字母r表示。
通过圆心并且两端都在与圆上的线段是直径，一般用字母d表示。
如下图：
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【设计意图：结合学生圆规画圆的体会，介绍圆心、半径，明确画圆时圆规两脚间的距离就是圆的半径。这样学生初步感知圆心、半径和直径的含义。】
（2）强化认识半径。
教师：刚才同学们画的圆都比较好，我们还认识了半径？那现在大家就在你刚才画的圆中画出这个圆的半径来，画得越多越好。
教师可以提问：想一想，圆有多少条半径？ 能画完吗？
预设：在圆内有无数条半径，画不完。
提问：你是怎样观察得出在一个圆内有无数条半径的？
预设：因为半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，这样的线段有无数条。
教师：那么半径是一条怎样的线段呀？是连接圆心到圆上任意一点的线段。(展示动画从圆心到圆上的一条线段，齐读)
由于圆周上有无数个点，所以半径就有无数条。
教师：现在就请同学们画出这无数条半径的代表，你认为画几条合适。（预设：1条，因为所有半径都相等。）
质疑，请学生说理由：直尺量；或用圆纸对折。
说明半径的特征并板书：在同一圆内，半径有无数条，并且长度都相等。
【设计意图：让学生掌握通过动手折一折、量一量、比一比、画一画，及在小组里相互交流、讨论，获得圆的特征之一。不仅使学生的认识由感性上升到理性，而且使学生学到了解决数学问题的一些基本方法。】
（3）强化认识圆的直径。
①除了半径以外，在圆中还有没有像这样比较特殊的线段能决定圆的大小。(预设：直径)
教师：指明学生到黑板上画出来，并提问画时要注意什么？(预设：过圆心，两端在圆上)其实直径就是通过圆心并且两端都在圆上的线段。
②请学生在自己画的圆内画出直径的代表。画得越多越好。
③揭示直径的特征：在同一圆内，直径有无数条，并且长度都相等。
④引出半径和直径的关系，或动手验证；直尺量；或用圆纸对折。
通过对折等活动，得出：圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴。
【设计意图：让学生掌握通过动手折一折、量一量、比一比、画一画，及在小组里相互交流、讨论，获得圆的特征之一。不仅使学生的认识由感性上升到理性，而且使学生学到了解决数学问题的一些基本方法。】
（4）揭示半径和直径的关系。
d=2r, r=d。这个关系的前提是什么？(预设：同一圆内)
为什么要加这个前提，不要行吗？
学生讨论后汇报。
师生共同小结：在同圆或等圆里，所有的半径都相等，所有的直径也都相等；直径等于半径的2倍。
（三）巩固新知
1.练习三第1题：用彩色笔标出下面各圆的半径和直径，并量出长度。
2.完成第13页课堂活动第1题。
第1题（1）：画几个圆心在同一点而半径不相等的圆；画几个圆心不在同一点而半径相等的圆。
画完第一问之后，教师可提问：圆心在同一点上，为什么有的圆大，有的圆小？
（预设：因为半径不一样，半径越大，圆就越大）由此得出：圆的大小是由半径决定的。
第2问画完后，教师可以提问：这几个圆的大小是一样的，为什么有的圆在这里，有的圆在那里呢？(预设：因为圆心的位置不一样)由此得出：圆的位置是由圆心决定的。
第1题（2）：学生独立画半径为2.5厘米的圆，用字母标出圆心、半径和直径，小组内交流。
3.独立完成教材13页课堂活动第2题，小组内交流。
【设计意图：通过本环节，让学生对圆的特征进一步理解，对于圆的特征更加熟悉，对所学知识掌握地更加牢固。】
（四）达标反馈
1.说一说圆中什么样的线段是半径、什么样的线段是直径? 2.判断题。 （1）所有的半径都相等，所有的直径也都相等。 （ ） （2）从圆心到圆上的任意一点的距离都相等。 （ ） （3）画一个直径为4厘米的圆，圆规两脚间的距离应是4厘米。 （ ） （4）直径是3厘米的圆比半径是2厘米的圆大。 （ ） 3.填一填。 （1）一个边长8厘米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )厘米，半径是（ ）厘米。 （2）在一个长6分米、宽4分米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是（ ）分米。 4.盒子里刚好放下三个罐头，每个罐头的半径为3厘米，盒子的长和宽各是多少?
答案：
1.圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
2.（1）×（2）√（3）×（4）×
3.（1）8 4 （2）2
4.长18厘米 宽6厘米
（五）课堂小结
教师：通过这节课的学习，你对圆有哪些认识？你有什么收获?
学生谈自己的收获，畅所欲言。
教师：想一想生活中的一些物品为什么要设计成圆形?车轮为什么要设计成圆形?下节课我们一起来交流。
【设计意图：通过回顾总结，对知识进行梳理，有助于学生逐步形成数学学习方法和经验；同时把“圆”再次回归生活，将数学与生活紧密结合，让学生体会到数学学习的价值，深化学生对圆的特征的认识，增强数学学习的兴趣。不仅拓宽了学生的知识面，强调数学与生活有密不可分的联系。更是把学生的数学思维引向生活。】
（六）布置作业
1.填一填。
（1）圆中心的一点叫做（ ），用字母（ ）表示，它到圆上任意一点的距离都（ ）。
（2）（ ）叫做半径，用字母（ ）表示。
（3）（ ）叫做直径，用字母（ ）表示。
（4）在一个圆里，有（ ）条半径、有（ ）条直径。
（5）（ ）确定圆的位置，（ ）确定圆的大小。
（6）在一个直径是8分米的圆里，半径是（ ）厘米。
2.判断题。
（1）直径都是半径的2倍。 （ ）
（2）同一个圆中，半径都相等。 （ ）
（3）在连接圆上任意两点的线段中，直径最长。 （ ）
（4）画一个半径是3厘米的圆，圆规两脚应叉开3厘米。 （ ）
3.填表。
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4.按要求画圆。
（1）半径是2厘米。
（2）直径是3厘米。
答案：
1.（1）圆心 O 相等 （2）圆心到圆上任意一点的线段 r（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段 d（4）无数 无数 （5）圆心 半径 （6）40
2.（1）×（2）√（3）√（4）√
3.如下表：
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4.如下图：
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板书设计
圆的特征
半径--- 相等、无数条---- 决定圆的大小
在同一个圆 直径----相等、无数条--- 通过圆心
或等圆中 d=2r r=d
圆心----决定圆的位置
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线都是圆的对称轴
教学资料包
（一） 教学精彩片段
圆的特征(教学片断)
探究新知
探究圆的特征。
谈话：刚才我们知道了圆的各部分名称，我们以前学习平面图形时都要研究图形的特征，那么圆又有些什么特征呢?
谈话：利用手中的圆片、直尺、圆规等工具，动手折一折、量一量、比一比、画一画，并在小组里讨论交流一下。
提示问题：
①在同一个圆里可以画多少条半径，多少条直径?
②在同一圆里，半径的长度都相等吗?直径呢?
③同一个圆里的半径和直径有什么关系?
④圆是轴对称图形吗?它有几条对称轴?
提问：谁愿意把自己的发现和大家分享一下?你能说说你是怎样发现的吗?还有什么新的发现?谁能解释一下前三个问题为什么要强调“在同一个圆里”?
谈话：你能用字母表示半径和直径之间的关系吗?(板书：d=2r)
小结：通过刚才的讨论，我们掌握了圆的特征，谁来总结一下圆有哪些特征?
【评析：这一环节，教师让学生掌握通过动手折一折、量一量、比一比、画一画，及在小组里相互交流、讨论，获得圆的特征，不仅使学生的认识由感性上升到理性，而且使学生学到了解决数学问题的一些基本方法。】
（二） 数学资源
1.填空题
（1）时钟的分针转动一周形成的图形是（ ）。
（2）从（ ）到（ ）任意一点的线段叫半径。
（3）通过（ ）并且（ ）都在（ ）的线段叫做直径。
（4）在同一个圆里，所有的半径（ ），所有的（ ）也都相等，直径等于半径的（ ）。
（5）用圆规画一个直径 20厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（ ）厘米。
（6）圆心决定了圆的（ ），半径或直径决定了圆的（ ）。
2.判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）圆中过圆心的线段叫做直径。（ ）
（2）所有的直径都相等。（ ）
（3）两个圆的直径相等，它们的半径也一定相等。（ ）
（4）经过一个点可以画无数个圆。（ ）
（5）半径是射线，直径是线段。（ ）
（6）2个半圆可以拼成一个整圆。（ ）
（7）两端都在圆上线段就是直径。（ ）
3.完成下面的表格。
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4.按要求画圆。
（1）半径是1.5厘米。 （1）直径是5厘米。
（3）在边长4厘米的正方形中画一个面积最大的圆。
答案：
1.（1）圆（2）圆心 圆上 （3）圆心 两端 圆上 （4）相等 直径 2倍
（5）10（6）位置 大小
2.（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×（6）×（7）×
3.如下表：
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4.如下图：
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（3）在边长4厘米的正方形中画一个面积最大的圆。
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资料链接
毕达哥拉斯
人物简介
毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(今希腊东部小岛)的贵族家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。后来因为向往东方的智慧，经过万水千山，游历了当时世界上两个文化水准极高的文明古国--巴比伦和印度，以及埃及(有争议)，吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)的文化。后来他就到意大利的南部传授数学及宣传他的哲学思想，后来和他的信徒们组成了一个所谓「毕达哥拉斯学派」的政治和宗教团体。
毕达哥拉斯是比同时代中一些开坛授课的学者进步一点;因为他容许妇女(当然是贵族妇女而不是奴隶女婢)来听课。他认为妇女也是和男人一样有求知的权利，因此他的学派中就有十多名女学者。这是其他学派所没有的现象。
传说他是一个非常优秀的教师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议:如果这人能学懂一个定理，那么就给他一块钱币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这学生对几何产生了非常大的兴趣，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议:如果老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那学生的钱全部收回了。
毕达哥拉斯是死在意大利科多拿城里，在一场城市暴动中，他被人暗杀掉。他的坟墓现仍在意大利的这个古山城中，这坟墓就像中国的馒头式坟。二千多年过去了，这坟还保留下来，可见人们对这学者的重视。
人物生平
公元前580年，毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛（今希腊东部的小岛）——爱奥尼亚群岛的主要岛屿城市之一，此时群岛正处于极盛时期，在经济、文化等各方面都远远领先于希腊本土的各个城邦。
毕达哥拉斯的父亲是一个富商，九岁时被父亲送到提尔，在闪族叙利亚学者那里学习，在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。公元前551年，毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地，拜访了数学家、天文学家、泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯，并成为了他们的学生。在此之前，他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。
公元前550年，30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学，穿东方人服装，蓄上头发从而引起当地人的反感，从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见，认为他标新立异，鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，学习当地神话和宗教，并在提尔一神庙中静修。
抵达埃及后，国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中，毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话历史和宗教，并宣传希腊哲学，受到许多希腊人尊敬，有不少人投到他的门下求学。
毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯，开始讲学并开办学校，但是没有达到他预期的成效。公元前520年左右，为了摆脱当时君主的暴政，他与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯，移居西西里岛，后来定居在克罗托内。在那里他广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体。
他的演讲吸引了各阶层的人士，很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗，妇女是被禁止出席公开的会议的，毕达哥拉斯打破了这个成规，允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜，她年轻漂亮，曾给他写过传记，可惜已经失传了。
毕达哥拉斯在意大利南部的希腊属地克劳东成立了一个秘密结社，这个社团里有男有女，地位一律平等，一切财产都归公有。社团的组织纪律很严密，甚至带有浓厚的宗教色彩。每个学员都要在学术上达到一定的水平，加入组织还要经历一系列神秘的仪式，以求达到“心灵的净化”。
他们要接受长期的训练和考核，遵守很多的规范和戒律，并且宣誓永不泄露学派的秘密和学说。他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，万物都包含数，甚至万物都是数，上帝通过数来统治宇宙。这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别。
学派的成员有着共同的哲学信仰和政治理想，他们吃着简单的食物，进行着严格的训练。学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从。他们开始在大希腊（今意大利南部一带）赢得了很高的声誉，产生过相当大的影响，也因此引起了敌对派的嫉恨。
后来他们受到民主运动的冲击，社团在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦（今意大利南部塔兰托），并于公元前500年去世，享年80岁。许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯重新建立据点，另一些人到了塔兰托，继续进行数学哲学研究，以及政治方面的活动，直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。
主要思想
毕达哥拉斯的哲学思想受到俄耳甫斯的影响，具有一些神秘主义因素。从他开始，希腊哲学开始产生了数学的传统。毕氏曾用数学研究乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。
在宇宙论方面，毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界，并坚持大地是圆形的，不过则抛弃了米利都学派的地心说。
毕达哥拉斯对数学的研究还产生了后来的理念论和共相论。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区别，可理喻的东西是完美的、永恒的，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从此一直支配着哲学及神学思想。
他还坚持数学论证必须从“假设”出发，开创演绎逻辑思想，对数学发展影响很大。
个人轶事
毕达哥拉斯自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养，大约在公元前530年又返回萨摩斯岛。后来又迁居意大利南部的克罗通，创建了自己的学派，一边从事教育，一边从事数学研究。
毕达哥拉斯在Croton建立了“学术帮派”兄弟会（也允许女性参加；足见毕氏没有性别歧视），后来因志同道合而娶了Milo美丽的女儿Theano（是典型的希腊美女──白皙的皮肤，挺直的鼻梁及高挑的身材），之后，毕氏继续领导这个神秘的组织致力于数理及哲学的探讨，当时外界对兄弟会的研究完全不了解。
有一次毕达哥拉斯和Leon王子应邀出席参观一场盛大的竞技比赛，Leon和毕达哥拉斯无所不谈，Leon就问毕达哥拉斯：“能否谈谈你是怎样的一个人？”，毕达哥拉斯简单的回答Leon说：“我是哲学家（philosopher）”，王子之前从未听过这个字眼，就向大师请益，毕达哥拉斯说：“就好像今天来参加盛会的人，有一些是沽名钓誉者，有些是为奖赏而拼死拼活的，而我呢？我来这里就只是为了‘观察’和‘理解’这里的一切，而‘观察’和‘理解’就是哲学。”
毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不只是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。
毕达哥拉斯逃离Samos岛之后，前往意大利的Croton（当时仍属于希腊版图）并结识了当地最有权势的人──Milo。毕达哥拉斯的哲理思想在当时是能影响全希腊的知识界，但Milo的声望比毕氏更高，他除了有着像力神Hercules般的体形之外，同时也是奥林匹克竞技十项全能，也同时是哲学及数学的爱好者；干材遇烈火也是慧眼识英雄，于是Milo提供财力及房舍给毕达哥拉斯办“学校”，他俩就成了最好的伙伴。毕达哥拉斯成立了“学校”──毕达哥拉斯兄弟会，这个组织立刻吸引了600位会员，这是历史上很特殊的知识帮派，会员必须贡献他所有的财产给组织；毕达哥拉斯为了显示兄弟会的“组织性”，他规定入会的兄弟要发毒誓，不准泄露组织的任何数学发现……
在那个一切归美于神的年代里，Pythagoras所创立的“兄弟会”，其实就是一个宗教性团体，只是说这些教徒所信奉的偶像是“数”，毕达哥拉斯相信神用“数”创造了宇宙万物，而能透过对数的研究就能更了解宇宙的奥密也就更能接近神，这是毕达哥拉斯的信仰也是他所创兄弟会的教义。此外，信徒被迫发毒誓不得泄露组织内的活动以及他们所研究的成果，毕达哥拉斯之所以如此定“组织章程”，其实并不难理解，就类似现在的休闲中心采用会员制，一方面是便于管理、提升素质，另一方面也是维护会员的权益；兄弟会会员入会必须要将他所有财产贡献给组织，会员的义务是这么大，所以当然，相对的，成员的权益（数学新知）也不能让外人分享。由于组织的神秘色彩，在当时是吸引了无数人才进入兄弟会。
1、圆的认识 第2课时
认识扇形
教学内容：
教科书第14页，扇形的意义及各部分的名称。
教学提示：
本节课要学习的内容是教科书第14页的例3，例3是扇形的认识的相关知识，让学生根据整体与部分（圆与涂色部分）的关系，认识圆心角、弧、扇形。 学生在日常生活中随处可见扇形、扇环等物体，但对于扇形的具体特征还没有深入的了解，因此，在教学时首先组织学生通过动手操作来认识扇形，在活动中引导学生构建“扇形”这一数学模型，培养学生的空间观念。
数学课程标准的基本之一是“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、交流等数学活动。”培养创新精神与实践能力是新课程改革的核心目标。新课程自主学习、探究学习，数学学科的学习价值在于让学生亲身经历知识发生发展的过程。
教学目标：
1.知识与技能：认识弧、圆心角以及他们间的对应关系，在此基础上认识扇形，并能准确判断圆心角和扇形。理解扇形的概念以及圆心角的大小决定扇形面积。
2.过程与方法：使学生通过观察与分析、动手操作、合作交流等活动，获得基本的数学知识和技能，进一步发展学生思维能力和初步的空间观念。
3.情感态度与价值观：体验数学与日常生活密切相关。
重点难点：
教学重点：认识扇形以及圆心角和弧。
教学难点：认识扇形以及圆心角和弧。
教学准备:
教具准备：多媒体课件，圆规、直尺、彩色粉笔
学具准备：圆规、直尺、量角器、折扇
教学过程：
（一）新课导入
课件出示生活中常见的扇形物体。（扇贝、扇形藻、折扇等实物图片）
教师谈话：这些物体都分别叫什么？
(预设：学生依次回答：扇贝、扇形藻、折扇)
教师可提问：这些物体的名称有什么共同点？
学生回答后，师引出课题：这节课我们就来学习扇子形状的平面图形。在数学上，我们把这类图形称为“扇形”。(板书课题：扇形)
【设计意图：从生活中熟悉的事物中导入，直观形象，学生能很快接受扇形的表象，从而激发学生主动学习的热情，产生探索新知的欲望。】
（二）探究新知
1.初步感知扇形。
请同学们仔细观察下图，圆中的涂色部分与圆有什么关系？
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预设：它们是圆的一部分，形状像一把扇子。
2.认识圆心角。
教师用投影仪展示出下图。
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教师在上图的基础上标出∠1，指出：像∠1这样，顶点在圆心上的角叫做圆心角。
教师可强调提问：圆心角是由什么组成的？顶点在什么上？
教师可以在黑板上画出几个角(如下图)，让学生判断哪些是圆心角。
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【设计意图：使学生认识到圆心角是由两条半径和圆心组成的，所以圆心角的顶点在圆心上。】
3.认识弧。
教师拿出圆规和直尺，先画一个虚线圆，在圆上取A、B两点，再用实线画A、B两点间的部分。(弧是圆上的一部分，这样处理易于理解)
教师：请同学观察一下，这两点间的实线部分是在什么上画出来的？
教师：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”(如下图)。
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然后让学生将∠1所对的弧涂成红色，并找出前面3个涂色部分的圆心角和它所对的弧，用喜欢的方法表示出来。
然后，教师再用另一种颜色显示出“弧AB”的反弧，让学生知道这也是一条弧。
4.认识扇形。
通过刚才的学习，你认为扇形是一种怎样的图形呢？
扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。形象地说，就是两条线段和一段弧(曲线)围成了扇形。
教师接着在黑板上画一个圆，在圆上分别画出圆心角是150°、20°、30°、40°的扇形，让学生比较这些扇形的大小。使学生明确：在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。可以再次演示折扇，同一把扇子，张开程度的不同，扇面的大小就不同。
接下来让学生继续在练习本上画出扇形。(连接圆心O和弧AB的两个端点A、B，形成半径OA和半径OB，再让学生在扇形中涂上颜色或者画上阴影——斜线)
让学生试着画扇形，通过操作可清楚地认识扇形。
这时教师可指着圆中扇形的另一边空白部分问学生：这个图形叫什么图形？
预设：这个图形也是由一条弧和经过这条弧的两端的两条半径围成的图形，所以，也应该是一个扇形。
教师肯定学生的回答。
【设计意图：陆游有句诗说得好，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，听过了会忘记，看过了能记住，做过了就理解，在教师引导下，学生利用已有的生活经验，观察思考质疑，给学生创设自主建构知识的空间，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力。】
5.扇形的辨析。
比较扇形和三角形，说一说它们之间的区别。
学生小组内讨论交流后汇报。
它们之间的区别是：扇形是由两条半径和一条弧围成的图形，三角形是由三条线段围成的图形。尽管有的图形的两条边也是圆的半径，但是第三条边不是弧，而是线段，这个图形不能称为扇形，它是三角形。弧是圆的一部分，是曲线，而线段是直线的一部分。
【设计意图：由观察图片和图形得出概念，有利于学生加深记忆，对比扇形和三角形的不同，有利于深入掌握扇形的特征。】
（三）巩固新知
教材第14页课堂活动第1题。
教材第15页练习三第5题。
学生独立完成，教师巡视指导学困生，集体讲评。
【设计意图：通过本环节，让学生对扇形有更进一步的理解，并能熟练地根据实际画出扇形，能从复杂的图形中辨别出扇形，对所学知识掌握地更加牢固。】
（四）达标反馈
1.画一个半径2厘米的圆，并在圆中画出一个圆心角是60°的扇形。
2.下列各圆中，阴影部分是否是扇形？是扇形的标出圆心角、半径和弧。
/
答案：
1.如图：
/
2.如图：
/
（五）课堂小结
教师：一个图形，如果是扇形，必须具备哪些条件？
生：一条弧；经过这条弧两端的两条半径。
教师：什么是圆心角？
生：……
【设计意图：通过对话问答的方式，让学生回顾参与学习活动的全过程，有利于反馈信息，检查学习效果。】
（六）布置作业
1.判断下面各个图形的阴影部分是不是扇形，是的在括号里画“√”，不是的画“×”。
/
（ ） （ ） （ ） （ ）
2.判断下面各个角是不是圆心角，并说出理由。
/
3.判断题。(对的在括号里打“√”，错的打“×”)
（1）顶点在圆上的角是圆心角。 ( )
（2）因为扇形是它所在圆的一部分，那么圆的一部分一定是扇形。( )
（3）在同一个圆中，圆心角越大，扇形的面积也就越大。 ( )
（4）圆的面积比扇形的面积大。 ( )
（5）半圆也是一个扇形。 ( )
答案：
1.√ × × √
2.∠1是圆心角，∠2、∠3不是圆心角
3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√
板书设计
扇形的认识
顶点在圆形，两边是半径的角是圆心角。
扇形 圆上两点之间的部分叫做弧。
圆心角的两边和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
扇形的认识(教学片断)
探究新知
1．认识弧。
抽生说什么是弧，怎么读？
生：在圆上两条半径，标上字母AB，AB之间的那段长度叫做弧。
学生上黑板指给大家看。
教师课件出示扇形图。
用课件先画出一个虚线的圆，在圆上取A、B两点，再用彩色的线画出这两点间的圆的部分。
学习弧的概念。
师指图：这段彩色的线叫做“弧”。因为这条弧的两个端点分别是A和B，所以称这条弧为“弧AB”，弧是圆上的一部分。
课件出示概念：圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作：“弧AB”。
教师课件显示出“弧AB”的反弧，让学生知道这也是一条弧。
师：那AB相反的那条曲线是什么弧吗、
生齐说：是，而其中也有不确定是还是不是，教师引导它们看，确定是弧。
2．认识扇形。
师：什么是扇形？
生：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做“扇形”。
抽生上来用阴影把扇形涂上颜色。
演示先出现彩色的OA、OB两条半径，同时在弧AB与半径OA、半径OB所围成的图形中涂上颜色。
师指图：这块涂有颜色的图形就是扇形。
师：大家能说说什么叫扇形吗？
(生回答后，师小结)一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做“扇形”。
师：你们能在自己准备的圆上画一个扇形吗？指导学生在练习本上画出扇形。
(学生在练习本上尝试画出扇形)
(4)教师把学生画有扇形的圆形拿在手上，师：如果老师把你们画的扇形剪下来，那剩下的图形是个什么图形，学生沉默。(学生猜测，答案不唯一)然后有学生举手说：我认为是个扇形，因为它也是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。
师明确：这个图形也是一条弧和经过这条弧的两端的两条半径围成的图形，所以也是一个扇形。
3．认识圆心角。
(1)师：什么是圆心角？
生：像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角。并上黑板来标出圆心角，同时让下面的孩子也在自己画的扇形上标出圆心角。
课件显示：OA、OB两条半径闪动，然后问：“两条半径所夹的角∠AOB，它的顶点在哪儿？”
师明确：顶点在圆心的角叫做圆心角。
让学生在自己画的扇形中找圆心角。
师生共同总结：圆心角应该满足两个条件：一是角的顶点在圆心；二是角的两条边是圆的半径。
(3)出示练习：课件出示
1题让学生说一说下面的图形哪些是圆心角。2题让学生说一说哪些图形是扇形。并说一说不是的，为什么？
4．三角形和扇形的区别。
师：同学们，把你们画的扇形的弧的两端用线段连起来。
师指着图形问：这里是什么图形？
生：三角形。
师：这两个图形一样吗？它们之间有什么区别？
(2)在学生回答问题的基础上，教师小结：左边的图形是扇形，右边的图形是三角形。它们之间的区别是：扇形是由两条半径和一条弧围成的图形；三角形是由三条线段围成的图形。尽管有的图形的两条边也是圆的半径，但是第三条边不是弧，而是线段，这样的图形不能称为扇形，它是三角形。弧是圆的一部分，是曲线，而线段是直线的一部分。
5．师：在同一个圆中，怎样判断扇形的大小？
生：扇形的大小与圆心角有关系。
师：扇形的大小与圆心角有关系，但是必须有个前提条件，是什么？
生：在同一个圆中。
师有课件的折扇演示给孩子们看，学生明白了在同一个圆中，圆心角大的扇形大，圆心角小的扇形小。
师：那不在同一个圆中，扇形的大小还与什么有关呢？
生迟疑：还与半径有关。
师：真不错，如果圆心角一样的，那半径越长，扇形越大。
师小结：扇形的大小与圆心角和半径都有关系。
6.师：以半圆为弧的扇形，它的圆心角是多少度，以圆的为弧的扇形，它的圆心角是多少度？
生；180度，90度。
师：你们能用手中的圆折出一个180度的扇形吗？折好后举高让老师看。
师：你们能折出一个90度的扇形吗？举起让老师看。
师：在折的过程中，你们发现了扇形它是一个什么图形？
生：它是一个轴对称图形。
师：有几条对称轴呢？
生：1条。
【评析：在这一教学片断中，学生能够积极主动思考问题，并能积极地地投入到问题的研讨和解决之中，师生互动情况良好。】
（二） 数学资源
1.判断题。
（1）扇形不是轴对称图形。 （ ）
（2）在一个圆内减去一个扇形后，剩下的部分仍是扇形。（ ）
2.选择题。
（1）扇形圆心角的度数（ ）。
A.大于0° B. 大于0°，等于360° C.大于0°，小于360° D.任意度数
（2）扇形面积的大小（ ）。
A.只与圆心角大小有关 B. 只与半径的长短有关 C.与半径的长短无关
D.与圆心角大小有关、也与半径的长短有关
3.扇形中两条半径的夹角是圆心角，下面哪些是圆心角，在括号里画“√”，不是的画“○”。
/
答案：
1.（1）×（2）√
2.（1）C（2）D
3.√ ○ ○ ○
圆的认识 第3课时
图案设计
教学内容：
教科书第14页例4，利用圆设计美丽的图案。
教学提示：
图案设计是建立在学生具有一定空间观念基础上，对有关图形知识的一个巩固过程。它是对学生空间观念，基本图形知识以及动手操作能力的一种综合培养。
教材安排了例4，例4是通过设计图案，加深学生对圆的认识，同时也为一些复杂的面积计算打基础。
教材还安排了用线段绕圆的活动，通过用线段绕圆的活动，让学生应用转化思想体现直线与曲线的联系，为后面无限小地分圆作一些数学思想上的准备。
教学目标：
1.知识与技能：进一步巩固画圆的方法，并能利用圆设计一些简单的图案。让学生了解圆周可以近似地看成是由许多小线段组成，渗透极限的思想。
2.过程与方法：通过动手操作，探索用直线绕成圆的图案的过程，发展空间观念。
3.情感态度与价值观：通过不同圆的组合来画出一些优美的图案，让学生感受圆的神奇，体验创造美的乐趣。
重点难点：
教学重点：利用画圆的方法设计一些简单的图案。
教学难点：利用画圆的方法设计一些简单的图案。
教学准备:
教具准备：圆规、直尺。
学具准备： 圆规、直尺 、边长12厘米的正方形白纸
教学过程：
（一）新课导入
欣赏图案，引入新课
1.出示一些由不同的圆组合而成的优美图案，并发表自己的看法。
谈话：一个人的力量很有限，一群人的力量可以很强大；一个圆很单调，一堆圆会怎样呢？让我们一起去看一看吧。（课件出示图片）
/
构成这些图案的基本图形都是圆，你想用圆来设计一个美丽的图案吗？
2.揭示课题：——设计图案。
【设计意图：呈现以圆为基本图形的各种设计图案，通过图形的美激发学生的兴趣，使学生迅速进入学习状态。其中最后一幅图比较简单，易于学生观察图形的构成方式，有利于新知探究。】
（二）探究新知
1.教学例4。
课件出示例4的两幅图案。
/
请同学们观察上图中的两个图案，想一想这些图案是怎样画出来的？同桌或小组内说一说。
学生小组活动，讨论上面两个图案的画法步骤，教师适时指导。
在讨论的基础上让学生独立画出上面的图案。
学生独立完成，教师巡视指导。
引导学生分析图案，把图案分解成几个圆来分析。
（教师可适时提问：怎样在正方形内画一个最大的圆，如何找到圆心？圆的大小是有什么决定的？…… ）
小组讨论交流之后指明学生汇报画法思路。
预设：
第一个图案：
第一步：画一个正方形。
第二步：在正方形内画一个最大的圆。
第三步：分别以正方形的四个顶点为圆心，边长的为半径画圆。
第四步：涂色。
第二个图案：
第一步：画圆 。
第二步：画出圆的两条互相垂直的直径。
第三步：分别以四条半径的中点为圆心，半径的为半径画4个小圆。
第四步：涂色。
根据上面的画法，让学生独立画出图案，同桌可以分工，每人画一个图案，画完后先同桌交流，然后再在组内交流。
学生组内交流之后，全班展示交流。
展示交流（随机指名学生把画好的图案用投影展示出来）
/
评价时引导学生关注作品是否美观，并请学生介绍自己作品是怎么画出来的。
【设计意图：先让学生进行尝试，暴露错误，通过对错误的讨论帮助学生确定半圆的半径和圆心。作圆内最大的正方形以及利用尺规确定一条线段的中点，对于小学生来说还是相当困难的，尝试是为了激发他们的好奇心和探究的欲望。但仅有好奇是不够的，教师要发挥主导作用，进行组织、引导，适当的时候给予直接的帮助。】
2.教学“在正方形中，设计用线段绕成圆的图案”。
谈话：同学们，你们都已经会画圆了，画圆时是用的什么来画的？(圆规或者圆形物体)那用直线能画出圆来吗？
让学生观察教材14页中的正方形图，并思考：
①每边是怎样等分的？每边的数又是怎样排列的？
②每条线段连接的顺序又是怎样的？
让学生独立思考后，再汇报反馈。
预设：
生1：正方形的每边平均分成了12份，上下两边分别用数1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1标注中间的点。左右两边分别用数6、5、4、3、2、1、2、3、4、5、6标注中间的点。
生2：每条线段连接的顺序是有规律的。相邻两条边上相同数所标注的点用线段连接起来。如1←→1、2←→2、3←→3、4←→4、5←→5、6←→6。
教师在黑板上进行必要的示范。（如下图）
/
学生独立设计用直线绕成圆的图案，教师给予必要的指导。
学生完成后，全班汇报展示、交流评价。
【设计意图：由于课堂时间所限，学生完成任务可能有困难，通过小组合作可以提高学习效率。通过作品展示拓宽学生的思维，引发学生创造性思维。】
（三）巩固新知
1.课堂活动第2题。首先让学生观察第2题的图案，想一想，这个图案是怎样画出来的？然后再用颜色涂出喜欢的图案。
2.让学生自己以圆规为主要工具，设计喜欢的图案。学生可以根据自己的想象设计出喜欢的图案，再展示交流，拓展学生的视野。
【设计意图：通过课堂练习，不仅帮助学生巩固课堂所学的知识，掌握学习的方法，还可以培养学生自主学习的能力，对提升课堂的时效性具有很重要的意义。】
（四）达标反馈
1.欣赏下面美丽的图案，同桌之间说一说。
/
2.请你以圆为基本图形，利用所学知识设计成你喜欢的图案。
答案：
1.略
2.答案不唯一（略）
（五）课堂小结
今天我们运用圆的知识，学习了什么？你对数学有什么新的看法？
【设计意图：通过问话的形式对本节课进行小结，使学生对本节课所学的知识在脑海里形成一个回放的过程，有利于加深知识的理解和掌握。】
（六）布置作业
1.欣赏下面美丽的图案。
/
2.画出下面的图案，并说一说你是怎么画的。
/
答案：
1.略
2.略
板书设计
设计图案
/
教学反思
这节课我巧妙地设置数学活动情境，如通过欣赏生活中美丽图案，激起学生对美丽图案的探究欲望，唤起学生制作图案的兴趣。?
通过小组合作探究、自由讨论，鼓励学生采用不同方法交流。培养了学生的团队合作意识以及想象力和操作能力。如提问“让学生汇报两个图案分别是怎样画出来的？如何在正方形里画一个最大的圆？”等。整堂课以主动、探究、合作的学习方式贯穿始终，让学生在合作中学习，在学习中合作。创造了一个轻松、高效的学习氛围。?
锻炼了学生的创新能力和发散思维，锻炼了他们的发散思维，从各方面展开思考，为提高学生的综合能力打下了基础。??
本堂课也存在一定的不足之处，如课堂提问的面还不够广，教学中应注重学生数学语言表达能力的培养，鼓励学生勇敢发表自己的见解和善于倾听的良好习惯等。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
图案设计(教学片断)
创设情境，导入新课
师：过去是“一封家书抵万金”，居住在两地的人们通过通信来传递信息。一封信寄往国外，当地的人们看到信就知道是从哪个国家寄来的。为什么？?
??生1：因为信封上有邮票，人家会看邮票。???
生2：因为邮票是一个国家的名片。???
生3：因为邮票上有写中国邮政。???
生4：因为邮票上有这个国家的名字。?
??师：同学们都说得很好。邮票是一个国家的名片。现在通讯发达，寄信的人少了，但是，人们还是喜欢邮票，为什么？?
??生1：因为邮票很好看。???
生2：因为邮票里有很多知识。???
生3：因为邮票里面有很多知识，人们叫它“小小百科全书”。?
??生4：邮票可以收藏，我家就有好几本邮票。???
生5：因为邮票上的图案设计得很很好，非常吸引人。?
??师：对，因为邮票有收藏价值，邮票上的图案又设计得很精美，所以大家都很喜欢。今天我们就来学习“图案设计”，（课件展示）
【评析：这一环节老师利用同学们常见的邮票作为话题，通过师生巧妙地对话，把问题逐步转移到今天要学习的内容——图案设计上来，巧妙自然，既激发了学生的学习兴趣，又使学生迅速进入学习状态。】
（二） 数学资源
1.你知道这些图案是怎么形成的吗？
/
2.画一画，说一说。（在空白处画出下面的图案）
/
3.在下面的图形中涂上颜色，设计出你喜欢的图案。
/
4.请你以圆为基本图形,添上几笔，设计成生活中的一些物品或标志。
/
5.按照如图的方式也可以画圆，与同伴交流这个方法，并亲自试一试。
/
答案：
1.略
2.略
3.答案不唯一，例如下图：
/
4.答案不唯一，略
5.略
资料链接
图案
图案教育家陈之佛先生1928年提出：图案是构想图。它不仅是平面的，也是立体的；是创造性的计划，也是设计实现的阶段。
图案教育家、理论家雷圭元先生在《图案基础》一书中，对图案的定义综述为：“图案是实用美术、装饰美术、建筑美术方面，关于形式、色彩、结构的预先设计。在工艺材料、用途、经济、生产等条件制约下，制成图样，装饰纹样等方案的通称。”(人民美术出版社，1963)
一般而言，我们可以把非再现性的图形表现，都称作图案，包括几何图形、视觉艺术、 装饰艺术等图案。在电脑设计上，我们把各种矢量图称之为图案。
图案根据表现形式则有具象和抽象之分。具象图案其内容可以分为花卉图案、风景图案、人物图案、动物图案等等。明确了图案的概念后，才能更好的学习和研究图案的法则和规律。
圆的周长 第1课时
圆周长的意义和计算
教学内容：
教科书第16～17页，圆的周长的意义及圆周长计算公式的推导和相关计算。
教学提示
《圆的周长》这部分内容是学生在学习了周长的一般概念以及长方形、正方形周长计算，并初步认识了圆的基础上进行教学的。它是学生初步研究曲线图形的基本方法的开始，也是后面学习圆的面积以及今后学习圆柱、圆锥等知识的基础，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。通过本节课的学习，进一步培养学生动手实践、团结协作、解决问题的能力，并使学生从中受到思想品德教育。
本课时教材安排了例1和例2两个例题。
例1通过量一量、算一算，用线绕圆1周，用圆形物品放在直尺上滚动1周等活动，引发学生对“化曲为直”的转化方法的思考，并通过铁环让学生理解圆的周长就是围成圆的曲线的长。
用“猜测、验证”的方式指导学生探索圆周长的计算公式。
验证的方式：测量（绕圆、滚圆）——讨论（周长与直径的关系）——归纳（圆的周长总是直径的3倍多一些，注意“总是”的意思）
引发学生两个思考：计算时，通常取3.14。“通常”是什么意思？ π等于3.14吗？
例2是圆周长公式的简单应用，但要计算时要注意单位换算。突出估算对周长计算的检验作用。
教学目标：
1.知识与技能：掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆周长公式，并能正确计算圆的周长和解答简单的实际问题。
2.过程与方法：让学生在知识的主动建构过程中掌握一些数学的思想方法，发挥学生学习的主动性、独立性、合作性。
3.情感态度与价值观：对学生进行辨证唯物主义教育和爱国主义教育。
重点难点：
教学重点：认识周长，知道圆周率的意义，能利用周长公式进行简单的运算。
教学难点：掌握并理解圆的周长计算公式及其推导过程。
教学准备:
教具准备：多媒体课件，圆规、直尺、三角板。
学具准备：圆形物品（如硬币等）、线、三角板、直尺。
教学过程：
（一）新课导入
出示情境图，请同学们观察情境图。
教师谈话：从图中我们看到两个男孩在滚铁环比赛，他们两个谁的铁环滚一圈的距离长一些？为什么？
预设：穿红衣服的男孩的铁环滚一圈的距离长一些，因为他的铁环大一些。
教师：铁环滚动一周的距离我们就叫做铁环的周长。
教师：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。今天我们就一起来研究圆的周长。
板书课题：圆的周长。
【设计意图：通过具体的情景，以学生的兴趣作为出发点，使学生对新知识的学习充满了热情和渴望，激发学生的探索欲望，为后面的学习做好铺垫。】
（二）探究新知
1.感知圆的周长与直径的关系。
出示一个圆形实物，问：谁来指一指这个圆的周长？（用手摸圆形物体如硬币的一周） 画一个圆，问：谁来指一指这个圆的周长？
谈话，同学们画两个直径都是2厘米的圆，观察一下它们的周长有什么关系？
预设：它们的周长相等。
再分别画一个直径2厘米与直径3厘米的圆，观察它们的周长有什么关系：
预设：直径3厘米的圆的周长比直径2厘米的圆的周长大。
教师可提问，圆的周长与直径有关系吗？
预设：
生1：圆的周长和直径有关系。
生2：直径相等，圆的周长就相等。
生3：直径大的圆的周长就大。
那么，圆的周长与直径到底又怎样的关系呢？我们怎样测量出圆的周长呢？
【设计意图：本环节先让学生通过比较圆周长的大小,感悟“圆的周长与它的直径的关系”，为下一步的学习提供了充分的条件。】
2.探究圆的周长与直径的倍数关系
圆的周长和直径有怎样的关系呢？我们一起来作一个实验，测量学具中圆形的周长和直径，然后再用周长除以直径得出它们的商。
（1）小组讨论，制定探究步骤。
出示探究建议：
①测量圆的周长和直径；②记录数据；③进行计算；④得出结论。
（2）说明活动要求。
每个组的同学先测量出圆形物品的周长和直径，然后再用周长除以直径，并把这些数据和计算的结果填在表里。
/
圆的直径，圆的周长，周长除以直径的商。(保留两位小数)
（3）小组合作，进行探究。
教师巡视，适时指导。
（4）汇报交流。
①交流测量的方法。
提问：谁来介绍一下，你们组是怎样测量圆的周长的？
学生汇报测量的方法。(绳绕法、滚动法……)
教师：在这些方法中，最欣赏哪个组的方法？
小结：不同的材料，可以用不同的方法进行测量。无论是哪一种方法，都是在想办法把圆这个曲线图形转化成直线来进行测量的。(出示绳绕法、滚动法……的动画测量过程)
②交流计算方法和结论。
/
提问：观察这些计算结果，你有什么发现？你还有哪些了解？
学生汇报：圆的周长是它的直径的3倍多一些。
教师揭示：圆的周长除以直径是一个固定的数，把它叫做圆周率，用希腊字母π（读pai)表示。
【设计意图：以小组学习的形式，放手让学生去探求圆的周长，目的是体现让学生进行自主探索的教学思想，同时也培养学生的合作意识与能力。通过滚动法、绕线法等方法测量圆形物品的周长，达到引出探究圆周率的目的。进而通过学生观察表中的数据，发现不论圆的大小，圆周长都是直径的3倍多一点，为下一步总结圆周率以及圆周长的计算公式打下基础。】
3.介绍圆周率。
圆周长和直径的比值叫做圆周率，对于圆周率我国古代的数学家就对此有了研究了，他们把圆内接正六边形的周长近似的看作圆的周长，因为正六边形的周长是直径的3倍，所以近似的看成圆的周长是直径的3倍，(出示，展示圆内接正六边形周长是圆直径的3倍)可是大家可以发现圆内接正六边形的周长与圆的周长的误差太大了。因此把它的边数加倍，得到正十二边形，再加倍到正二十四边形。我国古代伟大的数学家刘徽用圆的内接正96边形，算出圆的周长是直径的3.14倍，而祖冲之用圆的内接正16384边形，算出圆的周长与直径的倍数精确到小数点后第七位：3.1415926与3.1415927之间，是世界上把圆周率精确到小数点后第七位的第一人，他在数学上的伟大贡献得到了世界的公认。
【设计意图：数学文化的渗透是为了激发学生的爱国情怀，从小培养学生的民族自豪感。】
π是一个无限不循环小数，计算时通常保留两位小数，取3.14。
强调：3.14是一个近似值，不能理解成π等于3.14.
4.总结圆周长的计算方法。
根据上面的测量结果，你能得出圆的周长应该怎样计算吗？如果用C表示圆的周长，你能写出圆的周长计算公式吗？
学生讨论后汇报。
预设：
生1：由可以得到：C=d。
生2：还可以得到：C=2r。
【设计意图：通过思考、探索、分析、发现并总结规律，使学生学会了学习的方法。】
5.教学例2。
出示教材第17页例2情境图。
/
让学生先小组内交流，然后独立解决。
学生独立列式计算，教师可提示用估算检查计算结果。
小组汇报：
3.14×0.71
=2.2294
≈2.23（米）
答：自行车约前进2.23米。
【设计意图：解答时，让学生自己动手解决问题，培养学生自主学习的习惯和能力。】
（三）巩固应用
1.处理课堂活动第1～2题。
2.处理练习四第1～2题。
在学生理解半径、直径、周长之间相互关系的基础上，运用公式进行计算。教学时，要求学生认真审题，分清每题的条件和问题，合理地运用公式，同时注意每题的单位名称。
【设计意图：通过练习，使学生进一步巩固今天所学的新知识。】
（四）达标反馈
1.判断题。
（1）π=3.14。 （???）
（2）圆的周长总是直径的3倍。 （???）
（3）圆周率是一个无限不循环小数。 （ ）
（4）半径相等的两个圆的周长也相等。 （???）
2.我是计算小能（手求下面各圆的周长）。
/
答案：
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2. 3.14×5=15.7（厘米） 3.14×14×2=87.92（分米） 3.14×2×2=12.56（米）
（五）课堂小结
用谈话的方式进行小结：
问：你学到了什么？
你是怎么学到的？
以你的经验，生活中还有哪些类似圆的周长的实际问题？
【设计意图：这样用谈话的方式进行总结，不仅对所学知识进行了总结、梳理，还体现了对学法的指导，增强了情感体验。】
（六）布置作业
1.判断题。
（1）大圆的圆周率比小圆的圆周率大。 （ ）
（2）自行车车轮滚动一周的长度就是车轮的周长。 （ ）
（3）圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍。 （ ）
2.计算下面圆的周长
（1）一个圆的半径是3cm，求它的周长。
?
（2）一个圆的直径是8dm，求它的周长。
?
3.一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了多少厘米？
?
?
答案：
1.（1）×（2）√（3）√
2.（1）3.14×3×2=18.84（cm）（2）3.14×8=25.12（dm）
3.3.14×5×2=31.4（厘米）
板书设计
圆周长的意义和计算
围成圆的曲线的长叫圆的周长。
测量：滚动法 绳（线）测法（化曲为直）
规律：圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
圆的周长÷直径=圆周率
公式：圆的周长=直径×圆周率
用字母表示：C=πd或 C=2πr
例2 3.14×0.71
=2.2294
≈2.23（米）
答：自行车约前进2.23米。
教学反思
本节课我始终以小组合作、自主探究为教学主线，激发学生的探究欲望，让学生独立思考，然后小组合作，大胆猜想圆的周长可能与什么有关？再引导学生动手操作、测量、观察、计算几个大小不等的圆形物体的周长与直径的比值，使学生明确自己的猜想是否正确，再让学生在讨论中经历探索圆的周长公式的全过程，充分发挥学生学习的主体性，激发学生学习数学的兴趣。
在教学圆的周长这课时，采用多种形式激发学生的学习兴趣，调动学生主动参与的积极性，让学习的内容成为学生自身的需要。
先让学生阅读学习目标产生疑惑，激发他们的求知欲，通过自学解决自己的疑惑，一种能力的体现。
在测量圆形物品时，使有些学生明白圆的周长没办法用绕线和滚动的方法测量出来，从而激发学生进一步的探究欲望，再去探索新的方法，这使得下面的学习有了驱动力。
动手实践，自主探索和合作交流是小学生学习数学的重要方式，而“猜想—验证”又是学生探索中常用的方法。
这节课在学生猜测圆的周长可能与圆的直径或半径有关的时候，让学生通过绳绕法测量出不同圆的周长和直径及比值来验证猜想。通过小组间的交流得到周长与直径比值的规律，再尝试写出公式。为了防止小组合作学习流于形式，避免学生在活动时没有目的性，根本不知道自己该干什么。在小组合作前，我明确的提出了提出活动要求：小组合作，测量圆形纸片的周长和直径，把数据填在圆的周长记录单上，让组长分工。
本节课带给我的不仅仅是这些收获，还有关于教学不足的思考，比如教学语言不够精炼，小组间的互帮互助没有得到很好的体现，练习的设计上考虑的还是有些不到位，这也是我在今后教学中，应该注意的。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
圆的周长的意义及运算(教学片断)
创设情境，提出问题。?
师：同学们，2010年是中国人扬眉吐气的一年，因为上海世博会的成功举办让我们有足够的理由为之骄傲和自豪。
虽然世博会已经于10月31日完美落幕，但是，这场规模空前的盛会却创造了7308万人次参观的新纪录。其中，中国馆是众多展馆中的一朵奇葩，深受游客们的喜爱，它的外观好像古代的一顶帽子，因此又被称为“东方之冠”。
此外，城市地球馆也得到了中小学生的青睐。同学们，瞧，这是地球馆中的地球模型，它叫“蓝色星球”。
如果老师绕着它的最大横截面走一圈，大约走多少米呢？（板书课题：圆的周长）?
【评析：教师创设了上海世博会这个情境，这个情景的创设是为了突破教材，以学生的兴趣作为出发点，使学生对新知识的学习充满了热情和渴望，激发了学生的探索欲望，为后面的学习做好了铺垫。】
（二） 数学资源
1.填空题
（1）时钟的分针转动一周形成的图形是（? ? ）。
（2）用圆规画一个直径20厘米的圆，这个圆的周长是（? ）厘米。
（3）一个圆的周长是同圆直径的（? ? ）倍。
（4）有一个圆形鱼池的半径是10米，如果绕其周围走一圈，要走（? ? ）米。
（5）一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（? ? ）厘米。
2.判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）圆的直径是半径的2倍。 （ ）
（2）圆的半径扩大2倍，圆的周长也扩大2倍。 （ ）
（3）如果两个圆的半径相等，那么这两个圆的周长也一定相等。 （ ）
（4）半圆的周长就是这个圆周长的一半。 （ ）
（5）求圆的周长，用字母表示就是C＝πd或C＝2πr。 （ ）
3.一个圆形的铁环，直径是40厘米，做这样一个铁环需要用多长的铁条？
4.饭店的大厅内挂着一只大钟，它的分针长48厘米。这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？
答案：
1.（1）圆 （2）62.8 （3）π （4）62.8 （5）31.4
2.（1）√（2）√（3）√（4）×（5）√
3.3.14×40=125.6（厘米）
4.3.14×48×2=301.44（厘米）
资料链接
祖冲之
祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。[ 七大洲具体包括：亚洲、欧洲、南美洲、北美洲、非洲、大洋洲、南极洲。
人物生平
祖冲之，429年（南朝宋元嘉六年）出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。西晋末期，北方发生大规模战乱，祖冲之的先辈从河北迁徙到江南，并在江南定居下来。祖冲之就出生在江南，其祖父祖昌任刘宋朝大匠卿，是朝廷管理土木工程的官吏，父亲祖朔之做“奉朝请”，学识渊博，常被邀请参加皇室的典礼、宴会。
祖冲之从小就受到很好的家庭教育。爷爷给他讲“斗转星移”，父亲领他读经书典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奋，使他对自然科学和文学、哲学，特别是天文学产生了浓厚的兴趣，在青年时代就有了博学的名声。
祖冲之曾在著作中自述说，从很小的时候起便“专功数术，搜烁古今”。他把从上古时起直至他生活的时代止的各种文献、记录、资料，几乎全都搜罗来进行考察。同时，主张决不“虚推古人”，决不把自己束缚在古人陈腐的错误结论之中，并且亲自进行精密的测量和仔细的推算。像他自己所说的那样，每每“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”。
由于祖冲之博学多才的名声，被南朝宋孝武帝派至当时朝廷的学术研究机关华林学省做研究工作，后来又到总明观任职。当时的总明观是全国最高的科研学术机构，相当于现在的中国科学院。总明观内分设文、史、儒、道、阴阳5门学科，实行分科教授制度，请来各地有名望的学者任教，祖冲之就是其一。在这里，祖冲之接触了大量国家藏书，包括天文、历法、算术方面的书籍，具备了借鉴与拓展的先决条件。
461年（南朝宋大明五年），祖冲之担任南徐州（今江苏镇江）刺史府里的从事，先后任南徐州从事吏、公府参军。祖冲之在这一段期间，虽然生活很不安定，但是仍然继续坚持学术研究，并且取得了很大的成就。
462年（南朝宋大明六年），祖冲之把精心编成的《大明历》送给宋孝武帝请求公布实行，宋孝武帝命令懂得历法的官员对这部历法的优劣进行讨论，最终，宋孝武帝决定在大明九年（465年）改行新历。
464年（南朝宋大明六年），祖冲之被调到娄县（今江苏昆山县东北）作县令。之后又到建康（今江苏南京），担任谒者仆射的官职。从这时起，一直到南朝齐初年，他花了较大的精力来研究机械制造，重造出了用铜制机件传动的指南车，发明了一天能走百里的“千里船”和“木牛流马”、水碓磨（利用水力加工粮食的工具），还设计制造过漏壶（古代计时器）和巧妙的欹器。
祖冲之的晚年，正值南齐后期，统治阶级内部矛盾尖锐，政治黑暗，社会动荡不安。在这种情况下，祖冲之的研究方向有了很大的变化。他着重研究文学和社会科学，同时也比较关心政治。
494年（南朝齐隆昌元年）到498年（南朝齐建武五年）之间，他担任长水校尉的官职。当时他写了一篇《安边论》，建议政府开垦荒地，发展农业，增强国力，安定民生，巩固国防。齐明帝看到后想令他“巡行四方，兴造大业，可以利百姓者”，后因南齐的统治已经无法再维持下去。国家政权摇摇欲坠，再加上南北朝之间的连年战争，祖冲之良好的政治主张无法在国家内部施行，更无法实现了。
500年（南朝齐永元二年），这位卓越的大科学家去世，享年七十二岁。他的天文历法心血之作《大明历》在510年（梁武帝天监九年）才以《甲子元历》之名颁行。
主要成就
数学史上的创举——“祖率”
祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：（约率）和（密率），其中密率精确到小数第7位。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
圆周率的应用很广泛，尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。中国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。
东汉张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术，将圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428，皮延宗求出圆周率值为≈3.14。
祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。
根据《隋书·律历志》关于圆周率（π）的记载：“宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”祖冲之把一丈化为一亿忽，以此为直径求圆周率。他计算的结果共得到两个数：一个是盈数（即过剩的近似值），为3.1415927；一个是朒
圆周率（即不足的近似值），为3.1415926。
盈朒两数可以列成不等式，如:3.1415926（*）<π（真实的圆周率）<3.1415927（盈），这表明圆周率应在盈朒 两数之间。按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是（约等于3.1415927），这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是（约等于3.14），这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。
祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。古代有一种量器叫做“ 釜 ”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”， 利用“祖率”校正了数值。以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。
圆的周长 第2课时
圆周长公式的应用
教学内容：
教科书第17页例3，利用圆的周长计算公式解决实际问题。
教学提示：
本节课教材安排了一道例题——例3，例3是一道已知圆的周长求圆的半径和直径的实际问题。
已知圆周长求直径和半径，可以把圆的周长公式进行变形，由C=πd推导出d=C÷π，由C=2πr推导出r=C÷2÷π，然后用算术法进行计算。教材上安排的是用列方程的方法来解答。教材之所以这样安排，是为了学生只要记住一个基本公式，就能解答有关圆周长的问题。因此在教学时重点引导学生列方程求解。
教学目标：
1.知识与技能：利用圆的周长与直径、半径之间的关系，进一步巩固圆周长的计算方法，并能解决简单的实际问题。
2.过程与方法：经历解决问题的过程，培养学生观察、分析信息，解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：掌握解决问题的一些策略，同时感受到学习数学的价值。
重点难点：
教学重点：能运用圆周长的相关知识，解决简单的实际问题。
教学难点：能运用圆周长的相关知识，解决简单的实际问题。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：直尺、圆规等
教学过程：
（一）新课导入
导入（多媒体出示一些美丽的圆形建筑物）。
谈话：同学们，我们日常生活中有很多美丽的圆形物体，今天我们一起到街心公园，领略一下公园美丽的景色。
公园中央有一个圆形水池，绕水池一周是31.4米，你能利用我们学过的知识求出这个水池的直径吗？
我们已经掌握了圆的周长与直径、半径之间的关系，今天我们就运用这些圆的知识解决一些简单的问题。
【设计意图：从现实生活入手，创设学生感兴趣的情境，激发了学生的学习兴趣，自然地引出本节课要研究的问题。】
（二）探究新知
1.复习铺垫
请同学们完成下面的问题。
（1）圆的周长总是直径的( )倍多一些；这个倍数是个( )，我们把它叫做( )，用字母( )表示。
（2）说出圆的周长公式，口答下面各题。
①d=1厘米，C=？ ②r=1.5米，C=？
【设计意图：通过上面两个小题，使学生回顾上节课所学的知识，为下面学习探究利用圆的周长公式解决实际问题打好物质基础。】
2.教学例3。
出示例3情境图：
/
先让学生观察图中的信息，想一想这些信息与圆的哪些知识有关。
教师可提问，能不能用公式表示出相互间的关系？
学生思考后汇报。
C=πd，C=2πr
教师可接着追问，你能根据圆的周长公式表示出直径和半径吗？
学生小组内交流，交流后汇报。
，。
此时教师可要求学生根据问题中的条件，自己解决问题。
学生尝试解决。
教师巡视指导学困生，认真审题，分清每题的条件和问题，合理地运用公式。
学生完成后，投影展示学生的解法。
解：=31.4÷3.14=10
r=d÷2＝10÷2＝5
答：这个花台的直径是10米，半径是5米。
师生共同评价，展示交流时，让学生说一说每一步的含义。教师接着提出：能不能直接利用圆的周长公式求解？
学生思考后可能回答用方程求解。
让学生独立解决，教师适时给予指导。
汇报展示：
解：设花台的直径是d米。根据C＝πd得：
3.14d=31.4
d=31.4÷3.14
d=10
r=d÷2=10÷2=5
答：这个花台的直径是10米，半径是5米。
师生共同评价，展示交流时，教师强调解答时，要注意书写格式。
师生共同小结：已知圆的周长求直径和半径，可以采用列方程的方法解答，也可以利用公式直接列算术式解答。
【设计意图：让学生自己通过合作的方式解决利用圆的周长公式解决实际问题，加深了学生对圆周长公式的理解，不但锻炼了学生自己分析问题和解决问题的能力，同时也是对知识进一步的深化和理解，起到了很好的巩固 作用。】
（三）巩固新知
1.处理课堂练习第3题。
让学生自己动手测量，然后独立计算。
解决这两个问题时，要让学生认真审题，明确每个图形的周长指的什么，再进行计算。计算第一个图形的周长时，不能简单地计算出圆的周长然后除以2，这是一个半圆，半圆的周长不等同与圆周长的一半，还要加上一条直径，计算第二个图形的周长时，要提醒学生计算出圆周长的后，还要加上两条半径的长。
2.解决教材第18页练习四第4题。
解题时提醒学生树干的横截面是近似的圆形，本题相当于已知周长求圆的直径。
3.处理教材第18页练习四思考题。
首先要让学生理解，这2只蜜蜂分别沿着阴影部分的边缘爬1次，所爬的路线分别是什么。第1只蜜蜂所爬路程是正方形的周长加上一个直径为4的圆的周长，第2只蜜蜂所爬的路程是正方形的周长加一个直径为4的圆的周长。从而得出两只蜜蜂所爬的路线一样长。
【设计意图：通过本环节的练习，使学生更加熟练地掌握圆周长的计算公式，并更加熟练地利用圆周长计算公式解决实际问题。】
（四）达标反馈
1.在一个周长为100cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是多少厘米？
2.用一根长200米的铁丝绕一个牛栏围上3圈后，还余下11.6米，这个圆形牛栏的半径是多少米？
答案：
1.100÷4÷2=12.5（米）
2.（200－11.6）÷3÷3.14÷2=10（米）
（五）课堂小结
今天你有什么收获？通过今天的学习，你觉得对于你解决有关圆周长的实际问题有哪些帮助？
【设计意图：这一环节通过提问的方式让学生回顾本节课学到知识，有利于反馈学生对知识掌握的情况，检查学习的效果。同时通过这种方式激发学生的学习兴趣，提高了学生的质疑能力。】
布置作业
1.用一根长125.6厘米的贴条做一个圆形的铁环（接头处忽略不计），这个铁环的直径是多少厘米？
2.砂子堆在地面上占地正好是圆形，量出它一周的长度是15.7米，那么砂子堆的半径是多少米？
3.一个铁环直径是60厘米，从操场东端滚到西端转了90圈，另一个铁环的直径是40厘米，它从东端滚到西端要转多少圈？
4.一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？
答案：
1.125.6÷3.14=40（厘米）
2.15.7÷3.14÷2=2.5（米）
3.60×3.14×90÷（40×3.14）=135（圈）
4.40×3.14×100=12560（厘米）=125.6（米） 2512÷125.6=20（分钟）
板书设计
圆周长公式的应用
解法一： 解法二：
解：=31.4÷3.14=10 解：设花台的直径是d米。根据C＝πd得：
r=d÷2＝10÷2＝5 3.14d=31.4
答：这个花台的直径是10米，半径是5米。 d=31.4÷3.14
d=10
r=d÷2=10÷2=5
答：这个花台的直径是10米，半径是5米。
教学反思
圆周长公式的应用这节课的重点是在理解圆的周长计算公式的基础上，灵活运用公式解决生活中的实际问题，难点是灵活运用圆的周长公式。因此我在教学过程中，精心的设计了一些复习题，给下面的学校做好铺垫。在学习新知识时，放手给学生解决，先组内交流，自主探究，再独立列式计算，然后汇报反馈，课堂效果颇佳。
整个的教学过程，我始终把学习的主动权交给学生，体现了学生是学习过程的主体，教师起主导作用。学生选择自己喜欢的方式学习，十分感兴趣，并且很快的解决了问题。由于新知识是学生自己解出来的，自己又用自己喜欢的方法验证的，由此学生对新知理解得很好，在运用过程中收到了良好的效果。我体会了教师教是为了不教，学会是为了会学的真正含义。
通过本次课题研究，我更进一步感受到了，课堂教学中提问的重要性，理解到深挖教材的内涵是设计好问题的前提，根据教材的内涵，巧设问题可提高课堂效率。 如果我们每一个问题的提出都能充分调动学生的学习动机，发掘学生内在的积极因素，能够成为学生一步步登上知识殿堂的桥梁和阶梯，那么我们的课堂提问就一定是有效的。今后我不仅在新旧知识的衔接处巧妙设计问题，在各个环节都精心设计灵巧的、新颖的、易于激发学生思考的问题。让我的课堂更精彩更高效。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
圆周长公式的应用(教学片断)
探究新知
1.出示例3
水池的周长是31.4米，这个水池的直径和半径分别是多少米？
2.生自由读题
3.分析题意
①已知什么？要求什么？
②对照公式看一看，已知哪个数要求什么数？
③根据已知条件和要求的问题，用什么方法解答比较好？
4.小组讨论解决问题的方法。
5.自己试着解决问题。
6.汇报交流
方法一：
解：=31.4÷3.14=10
r=d÷2＝10÷2＝5
答：这个花台的直径是10米，半径是5米。
7.试着用其他的方法解决问题。
8.汇报交流
方法二：
解：设花台的直径是d米。根据C＝πd得：
3.14d=31.4
d=31.4÷3.14
d=10
r=d÷2=10÷2=5
答：这个花台的直径是10米，半径是5米。
【评析：在学生掌握了圆的周长计算公式的前提下，让学生利用公式自主解决一些实际问题。教材安排了这个例题来教学圆的周长计算公式的直接应用，并且通过不同的问题，寻求不同的解题思路，开拓了学生的思维，调动了学生学习数学的积极性。】
（二） 数学资源
1. 填一填。
（1）已知圆的周长是C，则它的直径是( )，半径是( )。
（2）一面圆形镜子要配镜框必须知道圆的( )。
（3）一个半径为r的圆，它的直径是( )，周长是( )。
2. 判一判。
（1）圆周率就是3.14。( )
（2）半径和直径都是线段。( )
（3）圆的直径增加1米，它的周长就增加π米。( )
3. 填写下表。
/
4. 求下列图形的周长。
/
5. 小明家的一只挂钟分针长10厘米，这根分针的尖端一昼夜所走的路程是多少厘米？
6. 校园内有一个圆形的花坛，它的半径是5米。学校计划在花坛外1米的地方绕花坛设置一个围栏，这个圆形围栏长多少米？
答案：
1. (1) (2)周长、半径或直径 (3)2r 2πr
2. (1) × (2) √ (3) √
3. 6.5厘米 12.5米 5厘米 3.6分米 15.7厘米 40.82厘米 11.304分米 78.5米
4. 20.56厘米 400米
5. 1507.2厘米
6. 37.68 m
资料链接
世界上最大的树
巨杉，阳性树，生长快，而树龄极长。播种繁殖，但幼苗易生病害。巨杉不仅是最大的红木，而且也是地球上最庞大的并且尚存活着的生物。平均可长到50到85米，直径约5到7米，纪录中树高最高可达142米、最大直径超过10米。其中一棵位于内华达山巨杉国家公园中的巨杉雪曼将军树，树高83.8米，基部直径11.1米，树干围长31.1米，18.3米高处仍有5.3米直径，54.9米处直径4.3米，高度39.6米处最大分支直径就达2.1米。1985年测算重量约为2800吨。据估计其树龄约2150年左右，应该不超过3100年。其体积达到1,487m3，是地球上现存最大的单一有机体。
孟加拉榕树──世界上树冠最大的树
您知道世界上什么树的树冠最大吗，你能想象几千人在一颗树下乘凉吗？
孟加拉的一种榕树，它的树冠可以覆盖十五亩左右的土地，有一个半足球场那么大。
孟加拉榕树的树冠可以覆盖十五亩左右的土地，有一个半足球场那么大。孟加拉榕树不但枝叶茂密，而且它能由树枝向下生根。这些根有的悬挂在半空中，从空气中吸收水分和养料，叫“气根”。多数气根直达地面，扎入土中，起着吸收养分和支持树枝的作用。直立的气根，活象树干，一棵榕树最多的可有4000多根，从远处望去，象是一片树林。因此，当地人又称这种榕树为“独木林”。据说曾有一支六七千人的军队在一株大榕树下乘过凉。当地人们，还在一棵老的孟加拉榕树下，开办了一个人来人往、熙熙攘攘的市场。世界上再没有比这再大的树冠了。
圆的面积 第1课时
圆面积的意义和计算公式
教学内容：
教科书第19～20页，圆面积的意义和圆面积计算公式的推导。
教学提示：
教材首先通过“已知云南景洪的曼飞龙白塔的塔基是圆柱形石座，底面周长是42.6米，求这座塔基的占地面积”的实际情境提出圆面积的概念，使学生在以前所学知识的基础上理解“圆的面积就是它所占平面的大小”。?
由于以前学生所求的图形面积都是多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等）的面积，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到。教材没有直给出圆的面积计算公式，而是先通过例1，把圆的面积与正方形的面积进行比较，利用数格子的方法估算圆的面积，使学生对圆的面积有一个初步的感性认识。进而引导学生运用转化的思想来推导圆的面积计算公式。
由于让学生完全自主地探索如何把圆转化成长方形是有很大难度的，教材上给出了明确的提示，让学生利用学具进行操作，在此基础上，让学生自主发现圆的面积与拼成的长方形面积的关系，圆的周长、半径和长方形的长、宽的关系，并推导出圆的面积计算公式。?
最后，本节课教材安排了两道例题，例1用石塔占地突出圆面积的概念，强调与周长的区别。通过“估”和“数”的活动，使学生感受到圆的面积与r有关，为后面的圆面积公式的推导作准备。
感受过程：（1） 圆的面积比4个小正方形面积小，就是比4r2小。（2）用数方格的方式，让学生知道圆面积比3r2大。（3）结论：圆面积是半径平方的3倍多一些。
例2用实验的方法探索圆面积的计算公式。
实验的方式：（1）图形转化。（浸透极限思想）（2）讨论：平行四边形与圆的关系。（3）比较推理（4）归纳圆面积计算公式。
教学目标：
1.知识与技能：知道圆面积的含义。理解和掌握圆面积计算公式。会运用圆面积公式计算圆面积。
2.过程与方法：通过教具演示，渗透转化的数学思想和极限思想，使学生经历探索圆的面积计算公式的过程。
3.情感态度与价值观：激发学生参与教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
重点难点：
教学重点：圆面积的计算方法。
教学难点：推导圆面积计算公式。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：8和16等份的圆形纸片各1个，正方形、圆形物品、圆规、剪刀等。
教学过程：
（一）新课导入
（投影出示 ——《马儿的困惑》的场景）
谈话：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？
预设：是一个圆形。
那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？
预设：圆的面积。
教师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）
圆的面积是指的什么？
归纳：圆所占平面的大小，就是圆的面积。
【设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。】?
（二）探究新知
1.初步感知圆的面积。
（1）估一估圆的面积。
投影出示一个圆，如图。
/
有一个圆，并以圆的半径r为边长画一个小正方形。
请同学们估一估，圆的面积大约是小正方形面积的多少倍？
让学生独立思考，同桌合作交流，然后反馈学生估的结果。
预设：
生1：这个圆面上可以画4个这样的小正方形，但圆的面积没有四个小正方形的面积大。所以，我估计，圆的面积大约是小正方形面积的3倍。
教师给予肯定：这样的估计有道理。
生2：我不是想在圆面上画4个这样的小正方形。是想把这个圆对折两次后，平分成4等份，一等份的圆和大半个小正方形的面积相等，4等份一定比两个正方形大，比4个正方形小，所以，我也估计，圆的面积大约是小正方形面积的3倍。
教师给予肯定：分析得不错。难道圆的面积刚好是小正方形面积的3倍吗？
（2）数方格验证，得出结论。
提问：如果我们将正方形的边长r平均分成4份，在小正方形内就有16个方格。于是得到现在的图，(出示)你能用数方格的方法回答刚才的问题吗？(非常接近1格的算做1格，其余不足1格的算半格)
反馈学生数的结果：小正方形有16个方格，14圆里大约有13格。
教师接着问：整个圆里大约有多少个方格？(13×4=52)
52大约是16的多少倍？
师生共同小结：圆的面积是小正方形面积的3倍多一些，也就是半径平方(r2)的3倍多一些。
（板书：S=r2的3倍多。）
【设计意图：通过本环节让学生对圆的面积与正方形的面积进行比较，估一估圆的面积与正方形的面积的关系，然后通过数格子的方法进行验证，使学生对圆的面积有一个初步的感知，也为下面的推导圆的面积公式做好铺垫。】
2.探究圆的面积计算公式。
（1）谈话：刚才我们通过估一估，数一数，得出了圆的面积是半径平方的3倍多一些这一结论，这一结论对所有的圆都适用，也就是说，只要知道圆的半径，就能估算出圆的面积。
试一试：一个圆的半径是5 cm，它的面积大约是多少平方厘米？
让学生说说想法。
用这个方法只能估算出圆的面积。要想得到准确值还需要进一步探索圆的面积计算公式。
回想一下以前我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的？
我们都是把这个图形转化成学过的图形，从而推导出它们的面积计算公式的。那我们能不能把圆也转化成学过的图形到来推导出圆的面积计算公式呢？
今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。
教师：今天我们能否运用转化的方法研究圆的面积呢？那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？
（2）观察猜想：
课件出示：分成16等分的圆。
教师：圆是个曲线图形，想想它可能转化为什么图形呢？你是怎样想的？
（3）操作验证
教师指导：
让学生利用课前准备好的学具，选择其中一个圆形纸片（16等份或32等份），剪开，独立或与同伴合作拼成一个学过的平面图形。
教师指导学生拼图。
教师：谁想把你的结果展示出来？
“化曲为直”渗透极限思想
多媒体课件直观演示把圆分成64等份、128等份……转化成长方形的过程，使学生理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近长方形。
教师提问：你们发现什么吗？
学生推导圆的面积公式（课件出示：32等分的圆转化为近似长方形）
教师：那么拼出来的这个近似的长方形和圆形之间有什么关系呢？
课件出示：拼成近似长方形和原来的圆的面积有什么关系？
近似的长方形的长相当于圆的哪一部分？近似长方形的宽又是圆的哪一部分？
根据汇报板书
指导学生推导公式
请同学们试一试，根据已经学过的长方形的面积公式，推导出圆的面积公式吧！
教师：圆的面积和什么有关？
让学生通过观察、分析。由看到16等份都是近似的等腰三角形而猜想出有可能转化成一个平行四边形、长方形、三角形、梯形等。然后学生回答。
（3）学生动手：
把圆形纸片剪成16份或32份，再拼成一个自己学过的图形。
（预设生成）学生可能拼成一个近似的平行四边形、长方形、三角形、梯形。
学生动手操作、观察后，汇报并展示结果，注重不同情况的展示。（贴在黑板上）
学生观察，渗透极限思想
学生观察多媒体的演示，理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近长方形。
【设计意图：通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】
学生交流汇报以上结果。
学生自主推导圆的面积公式
学生观察：发现涂色的圆分成上、下两个部分。
学生交流，汇报发现的结果：
①形状变化了，面积没相等。
②近似长方形的长相当于圆周长的一半。
③近似长方形的宽相当于半径（r） 指名学生进行汇报，投影演示“变曲为直”的过程。
教师这时给予学生鼓励性评价，然后接着提出，我们从多角度，多侧面推导出了圆的面积公式。如果我们用S表示圆的面积，r表示圆的半径。你会用字母表示圆的面积公式吗？
学生汇报，教师板书：
平行四边形的面积＝ 底 × 高
↓ ↓ ↓
圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径
= C×r
= ×2πr×r
= πr2
如果用字母S表示圆的面积，那圆的面积计算公式就是：S=πr2。
【设计意图：先让学生观察再猜想的方法，既培养了学生的空间想象力，又发展了学生的逻辑推理能力。激发学生想动手拼一拼的欲望。这个环节中，探究是开放的，学生通过观察、探讨，合作，归纳出圆的面积公式，突出重点。在探究的过程中体验成功的满足和喜悦，提高学生观察，探究能力。培养学合作精神。】
（三）巩固新知
分两组分别完成课堂活动第1、2题。
学生分两组分别进行测量，计算，教师适时给予指导。
学生做完之后两个小组进行交流，评价。
【设计意图：练习的设计，除激发学生的学习兴趣、有效巩固了新知外，更重要的是让学生动手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。】?
（四）达标反馈
1.填空题。
（1）把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于（ ），长方形的宽就是圆的（ ）。因为长方形的面积是（ ），所以圆的面积是（ ）。
（2）圆的直径是6厘米，它的周长是（ ），面积是（ ）。
2.填表。
/
答案：
1.（1）圆周长的一半 半径 长×宽 πr2 （2）18.84 28.26
2.如下表。
/
（五）课堂小结
今天我们学了什么知识？是怎样学习的？你有什么感受吗？
同学们，猜想验证、操作发现是我们在数学学习中探索未知领域时经常要用到的方法，用好它相信同学们会有更多的发现！
【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】
（六）布置作业
1.填空题。
（1）一个半径为4厘米的圆，把它平均剪成若干份后，拼成一个近似平行四边形，这个平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
（3）一个圆的直径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
2.求下列圆的面积。
/
答案：
1.（1）12.56 4（2）200.96 （3）50.24
2.3.14×（4÷2）2 =12.56（平方厘米）
3.14×32=28.26（平方厘米）
板书设计
圆面积的意义及计算公式
平行四边形的面积 ＝ 底 × 高
↓ ↓ ↓
圆的面积 = 圆周长的一半 × 半径
= C×r
= ×2πr×r
= πr2
用字母表示圆的面积计算公式：S=πr2。
教学反思
《圆的面积》是小学数学教学中的一个难点，又是学习圆柱与圆锥的基础，圆面积公式的推导过程运用了“极限”的思想和方法，这对小学生来讲是深奥难懂的。教材首先用云南景洪的曼飞龙塔基的情景引出了圆的面积概念，接着让学生比较圆的面积和以圆的半径为边长的正方形的面积，对圆的面积有一个初步的感性认识，接下来让学生尝试运用以前曾多次采用过的“转化”的数学思想，把圆转化成已学过的图形（主要是长方形）来计算面积，引导学生自主推导出圆面积的计算公式，再一次让学生熟悉运用“转化”这种数学思想方法来解决较复杂问题的策略。
学习此知识之前，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过程时只需要教师启发、点拨学生依然从转化的思想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，然后通过等量代换得到圆面积公式。因此，新课内容必须从贴近学生生活的情境出发，激发学生的探究欲望，降低内容的抽象性，引导学生用转化的方法推导出圆面积的计算公式。
在教学“圆的面积”计算公式推导时，我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法，引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等平面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合作动手、动脑剪一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己的推导想法，师生共同倾听并判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，有效地体验从猜想——实践验证——分析——归纳总结的科学探究问题的方法。看看他们的推导方法是否科学、合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习，提高了学生的实践能力和创新意识。
在学生实践操作的基础上，我利用多媒体精确演示圆割补拼图的过程，让学生清楚地理解自己推导方法的科学性和准确性，极大地激发了学生们的学习兴趣，为学生今后圆锥，圆柱奠定了有力的基础。
课上及时安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学生由浅入深地掌握了知识，形成了技能。同时，还注意培养学生逻辑推理的能力。
圆除了剪拼成近似的长方形外，还可以转化成近似的三角形、近似的梯形。如果让学生在这里再动手操作，对学生思维的拓展是有很大的好处，但一节课无法容纳这么多的内容，所以这一节课就选择了单纯让学生把圆转化成近似长方形来推导圆面积的公式。但回头想想，也可以把圆的面积分两课时来上，一课时是让学生操作，圆可以转化成什么图形？第二课时才深入地研究如何推导圆面积的公式，这样费时多些但对学生的能力开拓会更有好处。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
圆面积的意义和计算公式(教学片断)
探究合作，推导圆面积公式
1.渗透“转化”的数学思想和方法。
师：圆的面积怎样计算呢？计算公式又是什么？你们想知道吗？
我们先来回忆一下平行四边形的面积是怎样推导出来？
生：沿着平行四边形的高切割成两部分，把这两部分拼成长方形师：哦，请看是这样吗？（教师演示）。
生：是的，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高 。
师：同学们对原来的知识掌握得非常好。刚才我们是把一个图形先切，然后拼，就转化成别的图形。这样有什么好处呢？
生：这样就把一个不懂的问题转化成我们可以解决的问题。
师：对，这是我们在学习数学的过程当中的一种很好的方法。今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。
师：那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？
2.演示揭疑。
师：（边说明边演示）把这个圆平均分成16份，沿着直径来切，变成两个半圆，拼成一个 近似的平行四边形。
师：如果老师把这个圆平均分成32份，那又会拼成一个什么图形？我们一起来看一看（师课件演示）。
师：大家想象一下，如果老师再继续分下去，分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近于什么图形？（长方形）
【评析：教师通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】
（二） 数学资源
1.填空题。
（1）一个圆形桌面的直径是 2米，它的面积是（ ）平方米。
（2）鼓楼中心岛是半径 10米的圆，它的占地面积是（ ）平方米。
（3）用圆规画一个周长50.24厘米的圆，圆规两脚尖之间的距离应是（ ）厘米，画出的这个圆的面积是（ ）平方厘米。
（4）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。
2.一个水缸，从里面量，缸口直径是 50厘米，缸壁厚 5厘米。要制做一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属（不计接头），这个金属条长多少厘米？
答案：
1.（1）3.14 （2）314 （3） 8 200.96 （4）78.5
2.50÷2=25（厘米） 25+5=30（厘米） 3.14×302=2826（平方厘米） 3.14×30×2=188.4（厘米）
资料链接
你知道吗？
怎样求圆面积？这已是一个非常简单的问题，用公式一算，结论就出来了。可是你可知道这个公式是怎样得来的吗？在过去漫长的年代里，人们为了研究和解决这个问题，不知遇到了多少困苦，花费了多少精力和时间。
在平面图形中，以长方形的面积最容易计算了。用大小一样的正方形砖铺垫长方形地面，如果横向用八块，纵向用六块，那一共就用了8×6=48块砖。所以求长方形面积的公式是：长×宽。
求平行四边形的面积，可以用割补的方法，把它变成一个与它面积相等的长方形。长方形的长和宽，就是平行四边形的底和高。所以求平行四边形面积的公式是：底×高。
求三角形的面积，可以对接上一个和它全等的三角形，成为一个平行四边形。这样，三角形的面积，就等于和它同底同高的平行四边形面积的一半。因此，求三角形面积的公式是：底×高÷2。任何一个多边形，因为可以分割成若干个三角形，所以它的面积，就等于这些三角形面积的和。
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一个正方形，占地52900平方米。它的底座边长和角度计算十分准确，误差很小，可见当时测算大面积的技术水平已经很高。
圆是最重要的曲边形。古埃及人把它看成是神赐予人的神圣图形。怎样求圆的面积，是数学对人类智慧的一次考验。
也许你会想，既然正方形的面积那么容易求，我们只要想办法做出一个正方形，使它的面积恰好等于圆面积就行了。是啊，这样的确很好，但是怎样才能做出这样的正方形呢？
你知道古代三大几何难题吗？其中的一个，就是刚才讲到的化圆为方。这个起源于古希腊的几何作图题，在2000多年里，不知难倒了多少能人，直到19世纪，人们才证明了这个几何题，是根本不可能用古代人的尺规作图法作出来的。
开普勒的求解方法
约翰尼斯·开普勒是德国天文学家，他发现了行星运动的三大定律，这三大定律可分别描述为：所有行星分别是在大小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星向径在轨道平面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。这三大定律最终使他赢得了“天空立法者”的美名。为哥白尼的日心说提供了最可靠的证据，同时他对光学、数学也做出了重要的贡献，他是现代实验光学的奠基人。
16世纪的德国天文学家开普勒，是一个爱观察、肯动脑筋的人。他把丹麦天文学家第谷遗留下来的大量天文观测资料，认真地进行整理分析，提出了著名的“开普勒三定律”。开普勒第一次告诉人们，地球围绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳位于其中的一个焦点上。
提出圆面积公式。
开普勒当过数学老师，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割次数。但是，不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等分才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形；不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形。圆面积等于无穷多个小扇形面积的和，所以在最后一个式子中，各段小弧相加就是圆的周长2πR，所以有这就是我们所熟悉的圆面积公式。
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
开普勒大胆地把圆分割成无穷多个小扇形，并果敢地断言：无穷小的扇形面积，和它对应的无穷小的三角形面积相等。他在前人求圆面积的基础上，向前迈出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立体几何》一书，很快在欧洲流传开了。数学家们高度评价开普勒的工作，称赞这本书是人们创造求圆面积和体积新方法的灵感源泉。
一种新的理论，在开始的时候很难十全十美。开普勒创造的求圆面积的新方法，引起了一些人的怀疑。他们问道：开普勒分割出来的无穷多个小扇形，它的面积究竟等于不等于零？如果等于零，半径OA和半径OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客观存在的面积不等于零，小扇形OAB与小三角形OAB的面积就不会相等。开普勒把两者看作相等就不对了。
面对别人提出的问题，开普勒自己也解释不清。
卡瓦利里的求解方法
他是意大利物理学家伽利略的学生，他研究了开普勒求圆面积方法存在的问题。
卡瓦利里想，开普勒把圆分成无穷多个小扇形，这每个小扇形的面积到底等不等于圆面积，就不好确定了。但是，只要小扇形还是图形，它是可以再分的呀。开普勒为什么不再继续分下去了呢？要是真的再细分下去，那分到什么程度为止呢？这些问题，使卡瓦利里陷入了沉思之中。
有一天，当卡瓦利里的目光落在自己的衣服上时，他忽然灵机一动：唉，不是可以看成为面积嘛！布是由棉线织成的，要是把布拆开的话，拆到棉线就为止了。我们要是把面积像布一样拆开，拆到哪儿为止呢？应该拆到直线为止。几何学规定直线没有宽度，把面积分到直线就应该不能再分了。于是，他把不能再细分的东西叫做“不可分量”。棉线是布的不可分量，直线是平面面积的不可分量。
卡瓦利里还进一步研究了体积的分割问题。他想，可以把长方体看成为一本书，组成书的每一页纸，应该是书的不可分量。这样，平面就应该是长方体体积的不可分量。几何学规定平面是没有薄厚的，这样也是有道理的。
卡瓦利里紧紧抓住自己的想法，反复琢磨，提出了求圆面积和体积的新方法。
1635年，当《葡萄酒桶的立体几何》一书问世20周年的时候，意大利出版了卡瓦利里的《不可分量几何学》。在这本书中，卡瓦利里把点、线、面，分别看成是直线、平面、立体的不可分量；把直线看成是点的总和，把平面看成直线的总和，把立体看成是平面的总和。
卡瓦利里还根据不可分量的方法指出，两本书的外形虽然不一样，但是，只要页数相同，薄厚相同，而且每一页的面积也相等，那么，这两本书的体积就应该相等。他认为这个道理，适用于所有的立体，并且用这个道理求出了很多立体的体积。这就是有名的“卡瓦利里原理。”
事实上，最先提出这个原理的，是我国数学家祖暅。比卡瓦利里早1000多年，所以我们叫它“祖暅原理”。
在一个圆里画一个最大的正方形，正方形占圆面积的约63.7%，在一个圆外画一个最小的正方形，正方形面积是圆形面积的157%。
在卡瓦利里的观点上拓展，也可以将曲线看做不可分量。所以圆面积近似于无数个圆周长曲线的拼接。
/
圆的面积 第2课时
圆面积计算公式的应用
教学内容：
教科书第20～21页，圆面积计算公式的应用。
教学提示：
本课时是在学生掌握了圆的面积计算公式的基础上教学的，主要是对圆的面积计算公式应用，能够正确运用圆的面积计算公式计算圆的面积。
本节课教材安排了两道例题——例3和例4。
例3是一道已知圆的半径求圆的面积的实际问题。
因为学生第一次接触含有平方数的混合运算，要注意提示学生计算3.13×302的时候，应先计算302=900，再计算3.14×900=2826.（突出“r2”在圆面积计算中的重要作用）
例4是一道已知圆的周长求圆的面积实际问题。教学时要引导学生必须先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆的面积。
在学生自主解决完成例3和例4之后，再安排学生解决教材第19页引例中“塔基占地多少平方米”这个问题。
教学目标：
1.知识与技能：进一步掌握圆的面积计算公式，能根据圆的直径、周长计算圆的面积。
2.过程与方法：通过教师引导师生合作交流学生自主完成。
3.情感态度与价值观：提高运用数学知识解决实际问题的能力。
重点难点：
教学重点：掌握圆面积的计算方法，并解决实际问题。
教学难点：会正确运用圆面积公式计算圆面积。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：圆规、练习本等。
教学过程：
（一）新课导入
教师谈话：前面我们学习了圆的周长和圆的面积等知识，那么你知道什么是圆的面积？圆的面积与圆的什么量有关？求圆面积的计算公式是什么？(学生回答，教师板书S=πr2)
下面我们来做几道基本练习。
①根据下面的条件求圆的半径。
C=9.42米 C=34.54米 C=18.84厘米
②根据下面的条件求圆的面积。
r=5分米 r=11厘米 d=7米 d=12厘米
【设计意图：通过几个问题的设计，让学生自己去思考，激发学生学习的兴趣，培养学生自主学习的能力，同时也为下面学习新知打下基础。】
（二）探究新知
1.教学例3。
投影出示例3情境图。
/
修建一个半径是30米的圆形鱼池，它的占地面积约是多少平方米？
教师：同学们请读题，弄清楚题目的已知条件和要求的问题是什么。
大家在读题时要考虑下面的问题：
①求鱼池的占地面积是求什么图形面积？
②求它的面积必须知道什么条件？
③怎样求圆的面积？
弄清楚上面的问题之后，请同学们独立完成上面的问题。
学生独立完成，教师巡视指导。
指名学生到讲台板演。
S=πr2
=3.14×302
=3.14×30×30
= 2826(平方米)
答：它的占地面积是2826平方米。
师生共同评价，给予学生鼓励性评价。
然后师生共同总结：已知圆的半径求圆的面积可直接利用圆的面积公式“S=πr2 ”求解。
【设计意图：通过学生独立解决例3，培养了学生分析问题解决问题的能力，同时使学生认识到圆的面积的大小与圆的半径有关，并且使学生感受到生活中处处有数学。】
2.教学例4。
出示例4，量得一张圆桌的周长是3.14米。这张圆桌的面积是多少平方米？
教师引导学生读题。
学生理解题意时教师进行引导，求圆的面积必须知道什么条件？
（学生：圆的半径。）
已知圆的周长怎样求圆的半径？
（学生：根据C=2πr得到r=，利用r=求出圆的半径。）
解决这个问题时应该先求什么，再求什么？
下面就请同学们现在小组内讨论，然后独立解决。
学生小组讨论后独立解题，教师巡视指导。
独立解答，指名板演，集体订正。
小组汇报：
半径：3.14÷3.14÷2=0.5（米）
面积：S=πr2
=3.14×0.52
=3.14×0.5×0.5
= 0.785(平方米)
答：这个圆桌的面积是0.785平方米。
教师小结：求圆的面积必须知道圆的半径这个条件，但实际生活中常常不能直接知道半径，如果知道圆的周长或直径，必须先求出圆的半径，再求出圆的面积。
【设计意图：通过让学生小组讨论，然后自己独立解决，把整个解题的过程都放手给学生，为学生创设了自主学习的机会，有益于培养学生分析问题的能力、解决问题的能力、自主探究的能力，体验成功的快乐。】
（三）巩固新知
1. 学生独立教材第19页引例中“塔基占地多少平方米”这个问题。
完成后小组内交流
2. 完成教材第22页第7题。
先让学生估一估，说出自己的想法。
然后分别计算出各自的面积，再比较。
结论：周长相等的正方形、圆形，圆形面积大，正方形面积小。
追问：如果是周长相等的长方形、正方形、圆形，谁的面积最大，谁的面积最小？
【设计意图：练习的设计，除激发学生的学习兴趣、有效巩固了新知外，更重要的是让学生动手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。】?
（四）达标反馈
1.一个半圆的直径是6分米，它的面积是多少平方分米？
2. 一个圆形花圃的周长是188.4米。这个花圃的面积是多少平方米？
3.一根长50.24米的绳子正好绕了一棵树8圈，树干横截面的面积是多少平方米？
答案：
1.半径：6÷2=3（分米） 面积：3.14×32=28.26（平方分米）
2.半径：188.4÷3.14÷2=30（米） 面积：3.14×3002=2826（平方米）
3.半径：50.24÷8÷3.14÷2=1（米） 面积：3.14×2=3.14（平方米）
（五）课堂小结
教师：今天你有什么收获？同学之间说说知道半径怎样求圆的周长和面积？知道周长怎样求圆的半径和面积？学习知识应该有举一反三的能力，今天我看到了你们的优秀表现。
【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。在这一环节中教师给予学生肯定性的评价，激发起学生的上进心，使学生产生成功后的喜悦感。】
（六）布置作业
1.草地上有一木桩,用一根长3米的绳子将一头牛拴在大桩上,这头牛最多可以吃到多少平方米的草?
2．一根铁丝长 37.68米，在一根圆形木棒上正好绕200圈，木棒横截面的面积是多少平方厘米？
3.一个圆平均分成若干份后拼成一个近似长方形，长方形的长为12.56，求出该圆的面积。（单位：厘米）
答案：
1.3.14×32=28.26（平方米）
2.37.68米=3768厘米 半径：3768÷200÷3.14÷2=3（厘米） 面积：3.14×32=28.26（平方厘米）
3.12.56÷3.14=4（厘米） 3.14×42=50.24（平方厘米）
板书设计
圆面积计算公式的应用
例3
S=πr2
=3.14×302
=3.14×30×30
= 2826(平方米)
答：它的占地面积是2826平方米。
例4
半径：3.14÷3.14÷2=0.5（米）
面积：S=πr2
=3.14×0.52
=3.14×0.5×0.5
= 0.785(平方米)
答：这个圆桌的面积是0.785平方米。
教学反思
数学与日常生活是密切联系的，数学源于生活最后又回到生活当中。本节课是在上节课学习了圆的面积计算公式的基础上，综合运用圆的周长和面积公式解决简单的实际问题。所以我根据学生的学习实际，设计了几道小题，把学生引入课题，让学生认真思考、认真分析，能灵活运用圆的面积公式、圆的周长公式，解决生活中的简单的实际问题。
两个例题由易到难，层层加深，通过学生动脑思考，合作探究，总结归纳新知识，从而提高学生的探索精神，发展数学应用意识，渗透数学文化，感受数学在日常生活中的广泛应用，激发学生学好数学的信心。
教师在每节课上，应紧紧围绕学习目标，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、推理、交流。总而言之，培养学生独立思考和合作交流的基础上，使学生爱学、乐学，突出学生为主体的教学理念，从而使课堂教学充满活力，增进学生学好数学、学会数学、用数学知识的信心，感受数学的愉悦。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
圆面积计算公式的应用(教学片断)
创设情景，出示图片：一片草地中间拴着一只小狗。
教师提问：小狗的最大活动范围是什么？
引出圆面积的概念：圆所占平面的大小就是圆的面积。
怎样计算小狗活动面积的大小呢？
我们上节课已经学习了圆的面积计算公式，这节课我们就利用圆的面积计算公式解决简单的实际问题？
揭示课题——圆面积计算公式的应用。（板书课题）
【评析：教师通过创设情境引入本节课要学习的内容，激发了学生的学习兴趣，很自然地过渡到了要学习的内容。】
（二） 数学资源
1.填空题。
（1） 用一根 10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（ ）米，面积是（ ）平方米。
（2）从一个长8分米，宽5分米的长方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方分米。
（3）大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的（ ）。
（4）一个圆的周长扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的（ ）倍。
（5）用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形、和一个圆，其中（ ）面积最小，（ ）面积最大。
2.将一根长 100米的绳子，绕一棵大树20圈少48厘米，这棵大树横截面面积是多少平方厘米？
3.校园圆形花池的半径是 6米，在花池的周围修一条 1米宽的水泥路，求水泥路的面积是多少平方米？
答案：
1.（1）2 12.56 （2）19.625（3）4倍 （4）9（5）长方形 圆
2.100米=10000厘米 10000+48=10048（厘米） 10048÷20÷3.14÷2=80（厘米）
3.14×802=20096（平方厘米）
3.6+1=7（米） 3.14×（72-62）=40.82（平方米）
圆的面积 第3课时
与圆有关的组合图形的面积（1）
教学内容：
教科书第23页，求与圆有关的组合图形的面积。
教学提示：
本节课是在学生学习了圆的面积计算之后安排的，学生在以前已经学习了长方形与正方形的面积计算，在此基础上学习与圆有关的组合图形面积的计算，一方面可以巩固已学的基本图形，另一方面则能将所学的知识进行综合，提高学生综合能力。让学生自主探索计算组合图形的基本方法，并在交流、讨论中开阔思路，修正想法，从而更好地解决生活中有关组合图形的实际问题
教材中一共安排了两个例题，本节课学习例1.例1是两个图形（半圆和正方形）面积的组合，解答时突出它的主要思路是：半圆面积+正方形面积，用主要解题思路指导解题过程，关注对共用条件的分析。（1.2米既是正方形的边长，又是圆直径）
教学目标：
1.知识与技能：通过计算窗户的面积，掌握求组合图形面积或周长的方法；通过计算花坛周围小路的面积，掌握求圆环面积的方法。
2.过程与方法：经历解决问题的过程，学会从不同的角度去分析解决生活中的现实问题，思考解决问题的不同策略和方案。
3.情感态度与价值观：体会学习圆的面积的现实意义和价值。
重点难点：
教学重点：掌握求简单组合图形面积的方法。
教学难点：能将组合图形分解成基本图形。
教学准备：
教具准备：多媒体课件
学具准备：圆规、直尺、练习本等
教学过程：
（一）新课导入
出示所学过的几何图形：长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆。让学生说说怎样求这些图形的面积？
生活中，有些现实问题并不是直接求这些基本图形的面积。例如：希望小学的阅览室有这样的窗户(呈现例1图)，圆形花坛的周围有一条小路(呈现课堂活动第2题图)。
如何计算它们的面积？解决相关的问题呢？我们这节课就来研究这个问题。
【设计意图：复习学过的几种基本图形的面积计算方法，唤醒学生的旧知，为下面学习组合图形的面积计算作下铺垫。】
（二）探究新知
投影出示例1情境图。
学校阅览室的窗户上面是半圆的，下面是正方形（如右图）。窗户的面积约是多少平方米？（得数保留整数。）
出示情境图后请学生阅读例题，找出相关信息。
教师：请看与这个窗户相关的信息(完整地呈现例1)。
教师可提问：怎样算出这个窗户的面积？请同学们小组内相互交流，找出解决问题的方案。
学生小组内讨论交流，教师巡视指导。
教师可以适时引导学生，同学们观察图中的窗户，看它的上半部分是什么形状？（预设：半圆。）它的下半部分是什么形状？（预设：正方形。）
上半部分半圆的直径与正方形的边长有什么关系？……
学生小组讨论后小组汇报教师板书：窗户的面积＝正方形的面积＋半圆的面积。
然后让学生根据所学知识独立解答。
指明学生板演：
半径：1.2÷2=0.6（米）
半圆面积：3.14×0.62÷2
=3.14×0.36÷2
=0.5625（平方米）
正方形面积：1.2×1.2=1.44（平方米）
窗户的面积：0.5625+1.44=2.0052≈2（平方米）
答：窗户的面积约是2平方米。
学生板演后师生共同评价，教师给予鼓励性评价。
然后再让学生再通过小组内交流，总结出方法。
师生共同小结：像这种组合图形的面积，我们一般把它分割成几个学过的图形，再把它们的面积加起来。
【设计意图：直接让学生凭借已有的经验探索计算组合图形面积的方法，给了学生更大的自主探索的空间，培养了学生自主探索合作交流的能力。】
（三）巩固新知
处理教材第24页课堂活动第2题。
引导学生理解题意，并用示意图表示出来。
教师引导：求花坛周围小路的面积，实际上就是从大圆面积中减去小圆(同心圆)的面积，也可以告诉学生所剩下部分的形状在数学里面就叫做圆环。
学生小组内交流后独立解决。
汇报交流解决方法。
方法1：3.14×(8+2)2－3.14×82
方法2：3.14×［(8×2+2×2)÷2］2－3.14×82
方法3：3.14×［(8+2)2－82］
师生共同归纳出求圆环面积的方法：
圆环面积=外圆面积-内圆面积
S圆环=S外圆-S内圆
=πR2－πr2
=π(R2－r2)
【设计意图：通过课堂活动，把圆环面积与组合图形面积的解决策略可以统一起来，都要先分析图形的组成，观察组合图形或圆环是用哪个大图形的面积减去哪个小图形的面积或者是哪几个图形的组合。激发了学生的学习兴趣、有效的巩固了新知，增强了学生的数学应用意识。】?
（四）达标反馈
1.计算下面图形的面积。
/
2.光明小区有一个圆形花坛，沿着它的外沿修一圈2米宽的石子路，花坛的直径是6米，那么石子路路面的面积是多少？
答案：
1. 35×10+3.14×（10÷2）2=428.5（平方厘米）
6×8÷2+3.14×（10÷2）2÷2=63.25（平方厘米）
2.（4+10）×4÷2-3.14×42÷4=15.44（平方厘米）
（五）课堂小结
今天我们学了什么知识？
你认为求组合图形面积的基本策略是什么？求圆环面积的方法是什么？
【设计意图：本环节通过提问的形式，让学生把这节课所学的知识在大脑中像过电影一样重现，有利于学生对知识的掌握和理解，更好地内化知识。】
（六）布置作业
1.求下列各图阴影部分的面积（单位：厘米）
/
2.一根钢管的横截面是环形。内圆半径4厘米，外圆直径10厘米。钢管的横截面积多少平方厘米？
答案：
1.6×8+3.14×（8÷2）2÷2=73.12（平方厘米）
4×4÷2+3.14×（4÷2）2÷2=14.28（平方厘米）
2. 2×2-3.14×12÷4×4=0.86（平方厘米）
板书设计
与圆有关的组合图形的面积
半径：1.2÷2=0.6（米）
半圆面积：3.14×0.62÷2
=3.14×0.36÷2
=0.5625（平方米）
正方形面积：1.2×1.2=1.44（平方米）
窗户的面积：
0.5625+1.44=2.0052≈2（平方米）
答：窗户的面积约是2平方米。
方法1：3.14×(8+2)2－3.14×82
方法2：
3.14×［(8×2+2×2)÷2］2－3.14×82
方法3：3.14×［(8+2)2－82］
圆环面积=外圆面积-内圆面积
S圆环=S外圆-S内圆
=πR2－πr2
=π(R2－r2)
教学反思
著名教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个探索者、发现者、研究者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”因此，教师在教学时应创设情境，激发学生的学习兴趣，使浓厚的学习兴趣会变成巨大的学习动力。
上课伊始，引导学生对前面学过的图形的面积进行复习，自然的过渡到本节课要学习的课题，组合图形的面积。让学生观察发现组合的两个图形之间的联系，学生的学习兴趣被激发了起来，学生以良好的心理态势，进入后继知识的学习。
帮助学生形成对知识深层真正的理解，提高学生灵活应用知识解决实际问题的能力，促进学生的发展。为了提高学生的学习兴趣，使学生有成就感，在设计练习中巧妙设计梯度，大多数同学都能准确的解答，在学生做练习的过程中重新组合错题较多的题目，并把相关的题目综合在一起，使学生发现知识的内在联系。为突出教材的重难点“引导学生观察图形之间的联系，通过转化，添加辅助线等方法将两个不同的图形建立起联系，正确的解答组合图形的面积”打好了基础。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
与圆有关的组合图形面积的计算(教学片断)
1．画一画，剪一剪，发现环形特点。
(1)画一画。
让学生在硬纸板上用同一个圆心分别画一个半径为10厘米和5厘米的圆。
(2)剪一剪。
指导学生先剪下所画的大圆，再剪下所画的小圆。
问：剩下的部分是什么图形？（环形）
师：我们也称它为圆环。
(3)教师手拿学生剪的圆环提问：这个圆环是怎样得到的？
(4)借助图示认识圆环的各部分名称。
①外圆：又名大圆，它的半径用R表示。
②内圆：又名小圆，它的半径用r表示。
③环宽：指外圆半径和内圆半径相差的宽度。
2．探究圆环面积的计算方法。
(1)小组讨论，怎样求圆环的面积？
(2)汇报讨论结果。
(3)小结：环形的面积＝外圆面积－内圆面积。
【评析：教师通过这一环节，引导学生在动手操作的基础上，总结出圆环的面积计算方法，有效地调动起了学生学习的积极性，培养了学生动手实践的能力，同时也培养了学生分析归纳的能力。】
（二） 数学资源
1.求下面阴影部分的面积。（单位：厘米）
/
2.一个圆形菜地的周长是31.4米，如果周围再加宽3米，菜地的面积增加了多少平方米？
答案：
1.（1）3×2-3.14×（2÷2）2=2.86（平方厘米） （2）3.14×（32-12）=25.12（平方厘米）
2.内圆的半径：31.4÷3.14÷2=5（米） 外圆的半径：5+3=8（米）
外圆的面积：3.14×82
=3.14×64
=200.96（平方米）
内圆的面积：3.14×52
=3.14×25
=78.5（平方米）
增加部分的面积：200.96-78.5=122.46（平方米）
答：菜地的面积增加了122.46平方米。
圆的面积 第4课时
与圆有关的组合图形的面积（2）
教学内容：
教科书第23～24页例2，求与圆有关的组合图形的面积。
教学提示：
本节课是在学生学习了圆的面积计算之后安排的，学生在以前已经学习了长方形与正方形的面积计算，在此基础上学习与圆有关的组合图形面积的计算，一方面可以巩固已学的基本图形，另一方面则能将所学的知识进行综合，提高学生综合能力。让学生自主探索计算组合图形的基本方法，并在交流、讨论中开阔思路，修正想法，从而更好地解决生活中有关组合图形的实际问题
教材中安排了两个例题，上节课学习了例1这节课学习例2.
例2是圆桌的折叠，涉及多个图形。
计算正方形面积通常下要找边长，本例没有边长，突破了学生的常规思维，是教学难点。难就难在要换一个视角看，把正方形看作两个三角形。
直径与半径相交成直角，涉及等腰三角形的问题，也是学生理解的一个难点。
教材用小男孩的对话框强调折叠部分的面积=圆面积-正方形面积，和上节课学习的例1不同的是，前一题是组合方式，后一题是挖开的方式。
教学目标：
1.知识与技能：通过计算折叠圆桌的面积，掌握把正方形面积转化成两个三角形面积计算的方法。
探索正方形与内切圆、圆与内接正方形的面积关系，学会从不同的角度去分析解决问题。
2.过程与方法：师生合作交流经历解决问题的过程。
3.情感态度与价值观：经历解决问题的过程，学会从不同的角度去分析解决生活中的现实问题，思考解决问题的不同策略和方案，体会学习圆的面积的现实意义和价值。
重点难点：
教学重点：能用转化的方法求图形的面积。
教学难点：掌握求简单组合图形面积的方法，能将组合图形分解成基本图形。
教学准备：
教具准备：多媒体课件
学具准备：圆规、直尺、练习本等
教学过程：
（一）新课导入
教师谈话：我们来欣赏一组生活中圆形物体的图片。
课件出示圆形建筑物、圆形的标志牌、可折叠的圆桌……
同学们，你们从图中发现了什么？
你还知道生活中有哪些圆形的物体？它们给我们的生活带来了怎样的变化？
(学生结合生活实际谈谈已经知道的圆形物体以及它给我们的生活带来的乐趣)
可折叠的圆桌是我们常见的家具之一，使用非常方便，可你知道吗，它里面也包含了重要的数学知识，这节课我们就一起来研究。(板书课题——与圆有关的组合图形的面积)
【设计意图：从学生掌握的常识和熟悉的事物入手，使其感受到数学就在我们身边，学生从直观上也感受到了环形的特点，为后面学习环形的面积奠定基础。】
（二）探究新知
教学例2 （出示例2情境图）
一张可折叠的圆桌，直径是1.2 m ，折叠后便成了正方形。折叠后的桌面面积是多少平方米？折叠部分是多少平方米？(得数保留两位小数)
教师：同学们一定看见过这种桌子吧？你知道知道是怎样的桌子吗？(可折叠的圆桌，折叠后便成了正方形)引导学生用图形表示出桌面。（如下图）
/
引导学生画出示意图之后，让学生独立审题，思考：要求折叠后的桌面的面积是多少平方米？怎么求？
引导学生理解：
要求折叠后的桌面的面积是多少平方米？实际上就是求正方形的面积。
求正方形的面积，一般是找正方形的边长，再根据公式“边长×边长＝正方形的面积”来求，而这个题无法找到边长，用这种办法行不通，那怎么办呢？
添上虚线（如下图），引导学生思考：求正方形面积能不能转化成求其它图形的面积呢？
正方形看作两个三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，从而把正方形的面积转化成4个等腰直角三角形的面积之和。
/
引导：要求折叠部分是多少平方米，折叠部分有4块，能不能算出每块的面积再相加？（预设：不能）为什么？（预设：每一块是不规则图形，也没有相关数据）
那怎样计算呢？能不能从图形的整体上来考虑呢？
学生思考后回答：折叠部分正好是圆的面积减去正方形的面积。
【设计意图：在教师的引导下，帮助学生理解问题，使学生在不断完善认识的过程中，学会倾听、学会吸纳他人的意见，享受积极思考获得的快乐。】
在引导的基础上，放手给学生独立解决。
学生独立解决，教师巡视指导。
学生独立完成指名学生板演。
折叠后的正方形桌面面积：
0.6×0.6÷2 ×4
＝0.36÷2×4
＝0.18×4
＝0.72(m2)
答：折叠后正方形桌面的面积是0.72 m2。
圆桌桌面的面积：
3.14×0.62
＝3.14×0.36
＝1.1304(m2)
折叠部分：1.1304－0.72＝0.4104(m2)
答：折叠部分的面积是0.4104 m2。
学生板演之后教师给予鼓励性评价。
师生共同小结：求正方形面积常用的方法是找边长，用公式“边长×边长＝正方形的面积”来解决，如果无法找到边长，就换个角度思考，把正方形的面积转化成三角形面积来解决。
【设计意图：在前面引导的基础上放手给学生自己去解决问题，给了学生更大的自主探索的空间，培养了学生独立解决问题的能力。】
对学有余力的学生可安排探索圆与内接正方形面积之间的关系和正方形与内切圆面积的关系。
圆与内接正方形面积之间的关系：圆的面积:正方形面积=π∶2
正方形与内切圆面积的关系：正方形面积∶圆的面积＝(4r2)∶(πr2) ＝4∶π
【设计意图：对学有余力的同学，适当提高要求，这样既照顾到其他学生，有提高了优等生学习的积极性，使每个学生都“吃得饱”。】
（三）巩固新知
1.处理课堂活动第1题。
这3个图中的阴影部分的面积有什么关系？
汇报交流：
预设：
生1：第2图中的2个半圆正好可组合成一个圆。
生:2：第3图中的4个扇形(或圆)正好可组合成一个圆。
生3：3个图中的阴影都可以转化成同样的情况：都是从正方形里截去一个最大的圆。
生4：求阴影部分的面积的思路是：阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积。
生5：求正方形的面积和圆的面积只需知道一个条件：正方形的边长。因为正方形的边长就是圆的直径。(演示正方形的边长平移到圆的中间成为直径)
教师：如果圆的直径是2厘米，求出阴影部分的面积。
小结求阴影部分面积的基本策略。
2.练习。
一个长方形的长5分米，宽4分米，从中截取一个最大的半圆，剩下部分的面积是多少？
（要求学生认真审题，分析题意必要时画出示意图）
【设计意图：本环节的设计，激发了学生的学习兴趣、有效的巩固了新知，增强了学生的数学的应用意识，提高了分析问题解决问题的能力。】?
（四）达标反馈
1.求阴影部分的面积。(单位:厘米)
/
2.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
/
答案：
1. 3.14×22÷4-2×2÷2=1.14（平方厘米）
2. 2×2-3.14×12÷4×4=0.86（平方厘米）
（五）课堂小结
谈一谈这节课你有哪些收获？
【设计意图：通过让不同层次的学生谈学习收获，便于反馈每种层次的学生对本节课知识掌握的情况，有利于教师的查缺补漏。在这一过程中，学生不仅对获得的知识进行了复习，更重要的是使所学知识有进一步的升华。】
（六）布置作业
1.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
/
2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。（单位：厘米）
/
答案：
1.（4+10）×4÷2-3.14×42÷4=15.44（平方厘米）
2.扇形的面积：3.14×r2÷4
=3.14×7÷4
=5.495（平方厘米）
阴影部分的面积：7-5.495=1.505（平方厘米）
板书设计
与圆有关的组合图形的面积
折叠后的正方形桌面面积：
0.6×0.6÷2 ×4
＝0.36÷2×4
＝0.18×4
＝0.72(m2)
答：折叠后正方形桌面的面积是0.72 m2。
圆桌桌面的面积：
3.14×0.62
＝3.14×0.36
＝1.1304(m2)
折叠部分：1.1304－0.72＝0.4104(m2)
答：折叠部分的面积是0.4104 m2。
教学反思
本节课让学生在已有的知识基础上，通过自主探究与汇报交流探索出这个组合图形的面积计算方法，对于不同程度的学生其理解程度是不同的，有的学生能想出解题方法，有的学生却不会，如果老师直接讲不仅禁锢了学生的思维，还挫伤了那些会解题同学的积极性，因此在学生探索之后安排了学生展示学习成果的机会，让有想法的同学充分展示自己的想法，让不会的同学在其他同学的汇报和讲解下再次学习，再次思考，达到掌握的目的。
让学生进行交流，能训练学生用数学语言有序表达自己的思考过程，可以让学生在讲解的过程中再次梳理自己的思路。通过倾听学生还能取长补短，丰富了学生的思维。提高了学生解决问题的能力和速度，丰富了学生的经验。
数学来源于生活，又高于生活，最后还要服务于生活。作为一名教师，为了学生的发展，我们不能把教育当成职业，而应把教育当成事业来看待。有一位教育专家说，小学教师教知识，中学教师教方法，大学教师教数学思想。我们虽然是小学教师但我们不能停留在只教知识上，我们应该交给学生学习的方法，让学生感受数学的一些基本的思想，为了学生的终身发展奠定基础。
教学资料包
（一） 教学精彩片段
与圆有关的组合图形面积(教学片断)
教师：同学们都学过哪些平面图形？怎样求出它们的面积？
课件出示由这些图形拼成的组合图形。
观察这三幅图有什么共同特点呢？引出组合图形的定义。
想一想：生活中哪些地方还有组合图形?
窗户、飞机模型……
出示组合图形图片。
学生观察回答,这些图形分别是由哪些图形组成的？
生拿出事先准备好的图形，分一分。
生上台展示。强调用虚线分比较好!
师总结，揭示课题。
这些精美的图案是由两个或两个以上的简单图形组合而成的叫组合图形。今天，我们一起来探索与圆有关的组合图形面积的计算（板书课题）。
【评析：教师通过这一环节，不但复习了前面学过的几种基本图形的面积计算方法，唤醒学生的旧知，为下面学习组合图形的面积计算作下铺垫，同时也比较自然的引入的本节课要研究的课题。】
（二） 数学资源
1．求出阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） /
2.如下图示，AB＝4厘米，求涂色部分的面积。
/
3.计算下图中涂色部分的面积。
/
4.图中圆与长方形面积相等，长方形长6.28米。阴影部分面积多少平方米？
/
答案：
1.6×6×2-3.14×62÷2=15.48（平方厘米）
2.3.14×（4÷2）2÷2=6.28（平方厘米）
3. 15×10-3.14×（15÷3）2×1.5=32.25（平方厘米）
4.6.28÷3.14=2（米） 3.14×22×=9.42（平方米）
4、整理与复习
教学内容：
教科书第26页整理与复习，第二单元圆相关知识的整理与复习。
教学提示：
本节课是在学生学习完圆这一单元之后安排的，教材通过三个同学对话的形式引出本单元学习的主要内容，引入对本单元所学知识的整理与复习。
通过本次整理与复习，旨在使学生对圆的基本知识、周长和面积的计算方法有一个更加系统的认识，并能运用圆的知识解决相关的实际问题。
教学这部分内容时，可以先引导学生对本单元所学知识进行回顾，可以采取小组合作的方式进行，让学生在小组内对所学的圆的有关知识进行全面的回顾和整理，再通过组与组之间相互交流，使本部分知识系统化。然后再对圆的周长和面积计算公式的推导进行回顾，再次体会“化曲为直”、“化圆为方”的思想方法。回顾完本单元的知识之后，教师可设计有代表性的综合性的例题，通过例题的讲解，使学生所学知识得以内化，然后再配以适当的练习，使学生对所学知识进一步深化，更加牢固地掌握本单元所学的知识。
教学目标：
1.知识与技能：让学生通过复习进一步巩固圆的有关知识，能灵活运用圆的周长和面积的有关知识解决生活中的实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
2.过程与方法：经历知识的条理化和系统化的训练，掌握整理与复习的方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：体验圆与日常生活密切相关，感受数学知道的魅力，获得积极的价值体验。
重点难点：
教学重点：对有关圆的知识进行系统化的整理。
教学难点：把实际问题转化成数学问题，灵活运用所学的知识来解决。
教学准备：
教具准备：多媒体课件
学具准备：圆规、直尺、练习本等
教学过程：
（一）新课导入
故事导入：唐僧取经回来后，想把一块土地奖给三个徒弟，唐僧拿出三条一样长的绳子，叫三位徒弟用绳子各围一块地。猪八戒说，我要围成长方形的，沙僧说，我要围成正方形的，孙悟空说，我要围成圆形的。同学们猜一猜，三个徒弟围的地谁围的面积最大？
如果要知道它们占地各多少，需要运用哪些知识？
示课题：今天我们要复习的内容是——第二单元圆，教师板书。
【设计意图：通过故事导入，使学生学习的兴趣高涨，探究新知积极性很高，可以使整节课堂气氛活跃，能收到良好的教学效果。】
（二）探究新知
1.知识梳理。
请同学们回忆一下，本单元学了哪些知识？(提醒学生：可以翻开书看一看，可以和同桌说说)
你准备用什么方法对这部分知识进行整理呢？这样把你的想法整理在作业本上，看看哪些同学做得好。
学生进行整理。
教师进行巡视，对学生进行指导。发现学生整理的各种情况。(按4大板块，圆的认识，圆的周长，圆的面积，解决问题来进行整理。学生整理的形式可以多样。(结构式、流程式、树形式、表格式、其他)
小组汇报.
请学生把对圆的整理给大家展示一下。
圆的认识(圆心、半径、直径、d=2r)
圆的周长(周长的意义、周长的计算方法、C＝πd、C＝2πr)
圆的面积(圆面积的意义、面积公式的推导、面积公式S＝πr2)
解决问题(求组合图形的面积，求阴影图形的面积，求圆环面积，现实问题)
教师可以提问，你怎么想到用这种方法来整理呢？
现在请同学们观察他的整理，如果你发现有错误或不完整的地方，请提出来。
小组交流展示。
观察图，请指出圆的圆心、半径、直径、周长。
提问：圆的周长与直径有什么关系?怎样求圆的周长和面积？
圆的周长总是直径的3倍多一些，即圆的周长是直径的π倍。
圆的周长=圆周率×直径或圆的周长=2×圆周率×半径，字母表示： C＝πd，C＝2πr
圆的面积＝圆周率×半径的平方 用字母表示：S＝πr2
你是怎样探究出圆的面积计算公式的？
采用实验的方法，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的平行四边形，然后根据平行四边形的面积计算公式推导出圆面积的计算公式S＝πr2。
教师小结：通过同学们的努力，整理得很有条理，能让我们一目了然地看出本单元学了哪些知识，哪些知识很重要。
教师整理并板书：
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圆 /
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【设计意图：引导学生对所学知识进行整理，使所学的知识更加条理化，系统化，进一步加深学生对知识的理解，为进一步的学习打好坚实的基础。教师收集一些有特点具有代表性的整理单结合收集的学生作品进行梳理、提升认识在展示交流时，应有意识地选取不同孩子的作业，要有代表性，可以是简单的对知识的罗列，可以是形成性知识的推导，可以是知识之间的网络结构，也可以是对重点知识的重点介绍。展示预习作业不是目的，而应该让孩子在展示中廓清知识的联系和区别，捕捉、领会到整理的方法和策略，更让孩子感受、体验到自主整理的快乐和意义。】
2.教学例题
出示第1题：画一画，算一算。
（1）画一个圆，并用字母标出它的圆心和半径。
（2）画一个半径是3cm的圆，并画出圆的一条对称轴，再算出圆的周长和面积。
第（1）小题：学生独立完成，提示学生要完成要求，用字母标出。
第（2）小题：根据要求，在画圆时，圆规两脚的距离是取多少？学生独立完成。
提示学生要把半径画出，并标出3cm，还要画出圆的一条对称轴。
追问：你能画出多少条圆的对称轴？为什么？
计算周长和面积，抽学生板演。
C＝2πr S＝πr2
=2×3.14×3 =3.14×32
=18.84(cm) =28.26(cm2)
展示交流时，提问：你选用的什么方法?求周长为什么不用公式C＝πd ？(根据已知的信息，选择合理的方法，才能准确、快速地解决问题)
同学们，既然是解决实际问题，在实际生活中哪些地方用到了圆的知识呢？你能说说吗？
出示第2题。
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要求学生自己读题，搞清楚题目中的已知条件和要求的问题，理清题意。
引导学生思考：要解决这些问题就需要用到哪些知识？
请大家独立尝试将这些问题解决出来。
小组内交流之后独立完成。
指名学生板演。
师生共同评判黑板上同学的解答情况。
教师可以提问：你能说说你每一步所求的是什么？在解决这个问题时你用到了哪些知识呢？
问题（1），第1个问题要用到圆周长的知识，求需要多长的铁丝就是圆的周长与接头处的长度的和，列式计算： 3.14×50＋4＝161(cm)
问题（2），第2个问题要用到圆面积的知识，求至少需要多少平方厘米的木板就是求圆的面积。列式计算： 3.14×502＝7850(cm2)
小结：同学们，刚才通过第2题的解决过程，你觉得解决实际问题时，它的思考方法是怎样的呢?我们要先做什么，再做什么呢？
【设计意图：通过例题的教学，使学生对所学知识从感性认识上升理性认识，同时让学生运用所学的圆的周长和面积计算的知识来解决实际问题，相当于对本单元知识的综合运用，提高学生的实践应用能力。】
（三）巩固新知
1.处理练习七第2题。
让学生独立填表，注意根据已知的条件，合理地选用公式。
全班交流，集体订正。注意关注学生的错误，并追问：你是怎么想的？帮助学生从错误根源处纠正，扎实地掌握基础知识。
2.练习七第9题。
结合图引导学生分析出思路。
第(1)问：搭一个蒙古包至少需要多少米的围绳，实际上就是求3个圆的周长之和。
第(2)问：求这个蒙古包占地多少平方米？实际上就是求圆的面积。
学生独立解决，小组内交流，集体订正。
【设计意图：本环节的设计，激发了学生的学习兴趣、有效的巩固了新知，增强了学生的数学的应用意识，提高了分析问题解决问题的能力。】?
（四）达标反馈
1.填一填。
（1）圆中最长的线段是它的（ ）。
（2）一个圆的直径扩大4倍，它的面积将扩大（ ）倍。
（3）一根铁丝可以围成一个直径是8分米的圆，如果把它们围成一个最大的正方形，它的边长是（ ）分米。
2.判断题。
（1）所有圆的直径都相等。 （ ）
（2）大圆的圆周率比小圆的圆周率大。 （ ）
（3）如果两个圆的周长相等，那么它们的面积也相等。 （ ）
（4）圆的对称轴有无数条。 （ ）
3.草地的木桩上栓了一只羊，绳子长4米，这只羊最多能吃多少平方米的草？
4.有一种火车头，它的主动轮的半径是0.75米，如果每分钟转360圈，这个火车头每小时行多少千米？(得数保留整数)
答案：
1. （1）直径 （2）16（3）6.28
2. （1）×（2）× （3）√（4）√
3. 3.14×42＝50.24(m2)
4. 3.14×0.75×2×360×60÷1000＝101.736(米)≈102米
（五）课堂小结
通过这节课的整理和复习，你最大的收获是什么？
对于本单元所学知识，你还有那些困惑？
【设计意图：通过小结，进一步加深了学生对知识的理解和掌握，同时对于个别学生还有没弄懂的问题做一个了解，争取使每一个学生都有所收获。】
（六）布置作业
1.把一张边长为4分米的正方形纸剪成一个面积最大的圆，那么四周剩下的纸的面积是多少平方分米？
2.农家小园里修起了直径是10米的小池，现在准备在小池的周围建一条宽1米的走道，这条走道的面积是多少平方米？
3.张师傅在一张长6.28分米，宽4分米的长方形铁皮上，截取半径为1分米的圆铁片，最多能截多少个？
4.下图把一个圆形纸片等分成若干份后，剪开拼成一个宽等于半径，面积不变的近似长方形。这个长方形的周长是16.56cm。原来这个圆形纸片的面积是多少cm2？
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答案：
1.42－3.14×（4÷2）2＝3.44（平方分米）
2.10÷2＝5（米） 3.14×［(5＋1)2－52］＝34.54（平方米）
3.1×2＝2（米） 4÷2＝2（个） 6.28÷2≈3（个） 2×3＝6（个）
4.16.56÷4.14=4（厘米） 3.14×42=50.24（平方厘米）
板书设计
圆的整理与复习
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圆 /
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教学资料包
数学资源
1.一个圆形餐桌，它的直径是2m，它的周长是多少米？它的面积是多少平方米？如果
一个人需要0.5m宽的位置就餐，这张餐桌大能做多少人？
2.一种特殊的两轮车，大轮直径是90厘米，小轮直径是30厘米，大轮转一圈所走的路程，小轮需要多少圈？
3.张大爷打算在空地上用18.84米的竹篱笆围成一个养鸡场，请你根据所学的知识设计一个方案，怎样围使养鸡场的面积最大？最大是多少平方米？
4.计算下图中阴影部分的面积．
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答案：
1. 3.14×2=6.28（米） 3.14×（2÷2）2=3.14（平方米） 6.28÷0.5≈12（人）
2.（3.14×90）÷（3.14×30）=3（圈）
3. 18.84÷3.14÷2=3（米） 3.14×32=28.26（平方米）
4. 3.14×（10÷2）2÷2-3.14×（6÷2）2÷2=39.25-14.13=-25.12（平方分米）
10×10-3.14×52=21.5（平方厘米）
5、综合与实践 读故事 学数学
教学内容：
教科书第29页，综合与实践——读故事学数学。
教学提示：
教材选取了一个班读书交流会的场景，使学生快速进入情境之中。读书、读故事都要边读边想，从书中汲取营养，这是读书的好习惯。
本节课从一个侧面反映了了这个主题教育学生应该怎样读书。教材通过“狄多公主圈地”的故事中呈现出来的数学知识来引导学生用自己所学的和圆相关的知识去解决实际生活中的相关问题，培养学生解决问题的能力，让学生在实际操作中感悟数学的价值和作用，体会学习数学的乐趣。
通过上节课的学习，学生已经初步具备了运用和圆相关的的知识灵活解决问题的能力，读故事是学生的一大特点，学生具有很强的好奇心，所以本节课教师紧紧抓住学生的好奇心理，设置梯度不同的问题帮助学生从故事中领悟到更多的道理。
教学目标：
1.知识与技能：通过读故事，了解故事中所蕴含的基本的数学思想和方法，综合运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：掌握“转化”这一数学方法，能运用“转化”的思想方法解决实际问题。
3.情感、态度、价值观：体会数学在生活中的广泛应用，激发起学习数学的兴趣，培养学生读书的好习惯。
重点难点：
教学重点：综合运用所学知识解决实际问题。
教学难点：解决问题的灵活性。
教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：练习本、草稿纸等。
教学过程：
（一）走进生活，引入主题
投影直接出示教材第29页情境图。
谈话：同学们说一说，你们读过哪些故事？
生1：我读过《田忌赛马》。
生2：我读过《曹冲称象》。
生3：我读过《狄多公主圈地》。
……
【设计意图：本环节采取开门见山的方式引入新课，直奔主题，节省了时间。】
（二）合作探究
1.了解故事内容。
《狄多公主圈地》故事的大致内容如下：
古代有一位公主叫狄多，她的王国发生叛乱后，就逃离了非洲。一天，她向当地的一名酋长雅布祈求一些土地，雅布酋长不想多给土地，就给了狄多一张犍牛皮，让公主用这张犍牛皮圈土地，圈多少就给多少。聪明的公主用这张犍牛皮圈了很多的土地，在这片土地上建立了拜萨（意思为牛皮）城。
2.探究故事中的数学问题。
（1）狄多公主为什么能圈很多土地？
狄多公主之所以能圈很多土地，究其原因是她把张张犍牛皮变得尽可能的长。
根据故事的叙述，狄多公主“先把牛皮放到水里（牛皮遇到水会膨胀），然后捞出来把它剪成许多小条，沿着海岸线围成一个最大的圆”，因此圈出来很多的土地。
（2）《狄多公主圈地》的故事中蕴含着什么数学知识？
《狄多公主圈地》的故事中蕴含着的数学知识是周长相等的长方形、正方形和圆形中，圆的面积最大。
3．模拟圈地。
（1）动手计算。
假设狄多公主得到的那张犍牛皮剪成了20000米的牛皮条，那么最多可以圈多少公顷的土地？
我们按照圈成正方形和圆形两种情况分别来计算。
①圈得的正方形土地的面积：
边长：20000÷4=5000（米）
正方形的面积：5000×5000=25000000（平方米）=2500（公顷）
②圈得的圆正方形土地的面积：
半径：20000÷3.14÷2≈3184.71（米）
圆形土地的面积：3.14×3184.712≈31847066（平方米）≈3185（公顷）
2500公顷＜3185公顷
答：最多可以圈得3185公顷的土地。
（2）比一比
如果充分利用雅布酋长的土地边界来圈，和狄多公主的圈地方法相比，那么是不会圈得更多的土地的。
4．活动拓展
（1）回忆《曹冲称象》的故事。
三国时期，曹操得到一头大象，但是文武官员都没有办法称出大象的重量。曹操的小儿子曹冲想出一个办法：把大象放到一条船上，刻上船帮上的水印记号，然后把大象牵下船，往船里面装上石头，知道船下沉到刚才的记号处，船中石头的重量就是大象的重量。《曹冲称象》的故事给了我们很好地启示。
（2）探究故事中的数学思想
虽然不能直接称出大象的重量，但是通过把石头代替大象的办法称出了大象的重量，这种解决问题的方法就是“转化”法。
【设计意图：本环节从了解故事内容，再到模拟圈地，基本上都是在教师的引领下，放手让学生自己独立完成，这样操作，体现了学生的主体地位，培养了学生的分析问题和解决问题的能力，通过活动让学生感知狄多公主的聪明才智，学会灵活运用自己所学知识解决实际问题。】
（三）巩固新知
通过对狄多公主圈地的故事进行试验研究，可以发现用数学的眼光来看问题，从数学的角度来分析问题，合理运用一些解决策略，能有效地帮助我们解决一些实际问题。下面的问题来自于生活，来自于一些故事，我们平时是否注意到这些问题呢？应该怎么思考解决呢？
1.我们年级将举行XX比赛，怎样根据田忌赛马的策略来设计比赛的呢？
2.忽略了一个小数点，怎么就引起“联盟一号”宇宙飞船无法打开降落伞而坠毁呢？
3.农民用竹席围成圆柱形谷仓来堆放更多的粮食，这是为什么？
【设计意图：本环节的练习，激发了学生的学习兴趣、有效的巩固了新知，增强了学生的数学的应用意识，提高了学生动手实践的能力。】?
（四）达标反馈
1.一个圆形花坛，半径是10米，它的周长是多少？它的面积是多少？
2.用一根长44厘米的铁丝围成一个正方形或圆形，哪个的面积大？
答案：
1.3.14×10×2=62.8（米） 3.14×102=314（平方米）
2.（44÷4）2= 11×11=121（平方厘米） 3.14×（44÷3.14÷2）2 ≈154（平方厘米）
121＜ 154 圆的面积大
（五）课堂小结
通过今天这节课的学习，你有什么收获？
学生回答：狄多公主真的很聪明。她在遇到问题之后善于动脑筋、想办法，充分利用自己的知识获取最大的利益，我们要向她学习。
……
【设计意图：在学生课上接受了狄多公主的做法的教育的基础上，让他们课下继续探究，培养学生解决问题的灵活性，通过活动，使学生感受到生活中处处有数学，从而激发起学生学习数学的兴趣。】
（六）布置作业
1.农民用竹席围成圆柱形谷仓来堆放更多的粮食，这是为什么？
2.如图，已知正方形面积是18平方厘米，求圆的面积。
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答案：
1.高一定时底面是圆形时面积最大,谷仓所盛放的粮食的体积也最大。
2.3.14×18=56.52（平方厘米）
板书设计
读故事 学数学
①圈得的正方形土地的面积：
边长：20000÷4=5000（米）
正方形的面积：5000×5000=25000000（平方米）=2500（公顷）
②圈得的圆正方形土地的面积：
半径：20000÷3.14÷2≈3184.71（米）
圆形土地的面积：3.14×3184.712≈31847066（平方米）≈3185（公顷）
2500公顷＜3185公顷
答：最多可以圈得3185公顷的土地。
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动物中的数学“天才”
蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。
丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？
蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天
蚂蚁的计算本领也十分高明。英国科学家亨斯顿做过一个有趣的实验：他把一只死蚱蜢切成三块，第二块比第一块大一倍，第三块比第二块大一倍，在蚂蚁发现这三块食物40分钟后，聚集在最小一块蚱蜢处的蚂蚁有28只，第二块有44只，第三块有89只，后一组差不多较前一组多一倍；蚂蚁的计算本领如此准确，令人惊奇！
美国有只黑猩猩，每次吃10根香蕉。有一次，科学家在黑猩猩的食物箱里只放了８根香蕉，黑猩猩吃完后，不肯离去，不停地在食物箱里翻找。科学家再给它１根，它吃完后仍不肯走开，一直到吃够10根才离开。看来黑猩猩会数数，至少能数到10。
