23.1.1 图形的旋转及性质(要点讲解+当堂检测+答案)

人教版数学九年级上册同步学案
第二十三章　旋　转
23.1　图形的旋转
第1课时　图形的旋转及性质
要 点 讲 解
要点一　旋转的定义及相关概念
1. 旋转的定义：一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转；点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
2. 对应点的定义：如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
3. 图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.
(1)旋转不改变图形的形状和大小，只是图形位置发生了变化；(2)每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度；(3)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角.
要点二　旋转的性质
1. 对应点到旋转中心的距离相等.
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3. 旋转前、后的图形全等.
经典例题1　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为(　　　)
A. 6　　　　　 B. 4 C. 3　 D. 3
解析：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴∠CAB＝30°，AB＝4.
∵△A′B′C由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，∴A′B′＝AB＝4，AC＝A′C，∴∠CAA′＝∠A′＝30°，∴∠ACB′＝∠B′AC＝30°，∴AB′＝B′C＝2，∴AA′＝2＋4＝6.
答案：A
点拨：利用旋转的性质解决问题时应注意：
(1)明确旋转中的“变”与“不变”；
(2)明确旋转前后的“对应关系”；
(3)明确旋转过程中的线段或角之间的关系.
易错易混警示　不能正确确定旋转中心
在图形的旋转过程中，判断旋转中心，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上.若在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若不在图形上，对应点所连线段垂直平分线的交点就是旋转中心，对于有公共顶点的两个图形，有时会将该公共顶点误认为就是旋转中心.
经典例题2　如图所示，在正方形ABCD中，E是边AD上的一点，△ABE旋转后能与△DAF重合.旋转中心是哪一点？△ABE是怎样旋转得到△DAF的？
解：由旋转的性质“对应点到旋转中心的距离相等”，可得旋转中心是线段AB和AD的垂直平分线的交点，即正方形ABCD的中心；△ABE绕正方形的中心顺时针旋转90°得到△DAF，或△ABE绕正方形的中心逆时针旋转270°得到△DAF.
点拨：因为点A是△ABE和△DAF的公共顶点，此题易将该点误认为是旋转中心，点A虽然是两个三角形的公共顶点，但点A不是两个三角形的对应点，因此点A不是旋转中心；同时，在描述图形旋转时，还应指明旋转方向和旋转角.
当 堂 检 测
1. 下列运动形式属于旋转的是(　　)
A. 在空中上升的氢气球 B. 飞驰的火车
C. 时钟上钟摆的摆动 D. 运动员掷出的标枪
2. 将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是(　　)
A B C D
3. 如图所示，将四边形ABOC绕点O按顺时针方向旋转得到四边形DFOE.则下列角中，不是旋转角的是(　　)
A. ∠BOF B. ∠AOD C. ∠COE D. ∠AOF
4. 旋转不改变图形的 和 .
5. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 cm2.

第5题 第6题
6. 如图所示，△AOB绕着点O旋转至△A′OB′，此时：
(1)点B的对应点是 ；
(2)旋转中心是 ，旋转角为 ；
(3)∠A的对应角是 ，线段OB的对应线段是线段 .
7. 如图，将一个钝角△ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得点C落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)写出旋转角的度数；
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
当堂检测参考答案
1. C 2. D 3. D
4. 形状 大小
5. 4
6. (1)点B′ (2)点O ∠AOA′或∠BOB′ (3)∠A′ OB′
7. 解：(1)旋转角的度数为60°.　
(2)证明：∵点A，B，C1在一条直线上，∴∠ABC1＝180°.∵∠ABC＝∠A1BC1＝120°，∴∠ABA1＝∠CBC1＝60°.∴∠A1BC＝60°.又∵AB＝A1B，∴△ABA1是等边三角形.∴∠AA1B＝∠A1BC＝60°.∴AA1∥BC.∴∠A1AC＝∠C.∵△ABC≌△A1BC1，∴∠C＝∠C1.∴∠A1AC＝∠C1.